Líquidos e gases fluem livremente. Forças volumétricas e superficiais: Tensões num meio material. Força Área.

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1 Instituto Suerior Técnico Fluidos: Hidrostática e Hidrodinâmica Estática dos Fluidos Sólido: Volume e forma definida Líquido: Volume bem definido; não tem forma. Gás: Não tem olume nem forma bem definidos. Líquidos e gases fluem liremente. Forças olumétricas e suerficiais: Tensões num meio material Considere um elemento de suerfície num fluído: Força Área. Força Área Tensão

2 Instituto Suerior Técnico Tensão: o Normal o Tangencial cisalhamento (shear) Diferença fundamental entre sólidos e fluidos:fluidos não equilibram forças tangenciais or menores que sejam. Escoamento Num fluído em equilíbrio ( 0) não há tensões tangenciais.

3 Instituto Suerior Técnico Pressão num fluído: (em equilíbrio) Densidade num onto P: lim V 0 m V dm dv Demonstra-se que: ressão no interior dum fluído só deende da osição e não da orientação do elemento de suerfície. força suerficial sobre um elemento ds: df Pnˆ ds (sentido > 0 de nˆ ara fora de S). lim S 0 F S df ds 3

4 Instituto Suerior Técnico Equilíbrio num camo de forças: (graidade) Consideremos um olume V de fluído suosto cilíndrico (o resultado não deende da forma do elemento de fluído). f Graítica sobre o olume V força olume F mg f V Vg f : g V S z 4

5 Instituto Suerior Técnico Forças de ressão sobre suerfícies: (Pressão lateral equilibra-se) Ora: [ ( x, y, z + dz) + ( x, y, z) ]ds ( x, y, z + dz) ( x, y, z) Em equilíbrio: z x, y z z 0 ( x, y, z) dz z + f z dsdz 0 z Resultante das forças externas é nula. f z z Densidade de força olumétrica é igual à ariação de ressão, num olume elementar. const. 5

6 Instituto Suerior Técnico Para: f z g g <0 z No camo graitacional, a ressão decresce com a altitude e cresce com a rofundidade. taxa de ariação com a altitude é dada elo eso esecífico (eso or unidade de olume). No cilindro a força de ressão sobre a base inferior excede aquela exercida sobre a base suerior elo eso do fluído contido no cilindro. z dsdz fdsdz gdsdz 6

7 Instituto Suerior Técnico Fluído incomressíel no camo graitacional Lei de Stein: ressão no interior dum fluído aumenta linearmente com a rofundidade. Suonha 0 constante. (Ex. água) : 00 atm-> % 0 Suonhamos uma força olumétrica conseratia: F z U z U mgz (energia otencial graíticica) f z d dz mgz gz Energia or unidade V u 0 u de olume. 7

8 Instituto Suerior Técnico u f z u z + z constante Lei da Hidrostática (Equilíbrio em termos de otenciais) Suerfícies isobáricas são suerfícies equiotenciais. ( z) gz constante 0 + Lei de Stein: ressão num fluido aumenta linearmente com a rofundidade. P g z (sentido ositio de z ara cima) ou ( z) + gz constante 0 8

9 Instituto Suerior Técnico Líquido em rotação ós algum temo o líquido gira rigidamente junto com reciiente. Num referencial S que gira com o reciiente o líquido está em equilíbrio. o Forças sobre o fluído: graítica e centrífuga. f c F c mω rrˆ Vω rrˆ F V c ω rrˆ Densidade de energia centrífuga: 9

10 Instituto Suerior Técnico du dr u c c rˆ r f c ω rrˆ ω r ( ) ω r gz + constante No onto O: z 0, 0 (atmosférica) 0 r e 0 + ω r Equação suerfície lire: gz 0 é z ω g r (arabolóide). 0

11 Instituto Suerior Técnico Exemlos.Prensa hidráulica Lei de Stein F F F F F F 0 0 Podemos equilibrar uma força F com uma força F 0x menor.

12 Instituto Suerior Técnico.Vasos Comunicantes; líquidos não mescíeis: Os líquidos sobem alturas diferentes em relação ao lano B que assa todo elo mesmo fluído. Se P é a ressão sobre B temos: Lei de Stein gh 0 gh h h Medida de densidades relatia.

13 Instituto Suerior Técnico Princíio de rquimedes: Pressões laterais anulamse a or simetria. Lei de Stein gh Resultante das forças suerficiais elo fluído sobre o cilindro é uma força ertical ara cima: F gh gv V h m V Massa de fluído deslocada elo cilindro F mgkˆ fluído deslocada. P Peso de massa de mg resultante das forças suerficiais sobre o cilindro é igual e contrária ao eso do fluído deslocado. (Princíio de rquimedes) 3

14 Instituto Suerior Técnico Hidrodinâmica bordagens: o Lagrange: Cálculo de r ( t) ara qualquer artícula descrição do moimento do fluido. o Euler: Fixa-se um onto r do fluido e descree-se como aria com o temo a elocidade nesse onto. ( r, t) (camo ectorial) Linha de corrente: Linha tangente em cada onto ao ector nesse onto. 4

15 Instituto Suerior Técnico Tubo de corrente: Suerfície formada, num dado instante, or todas as linhas de corrente que assam elos ontos duma dada cura fechada C no fluido., /. Escoamento estacionário: ( r t) ( r ) Diferentes artículas do fluido assam (ara todo o temo) elo mesmo onto com a mesma elocidade embora ossa ariar de onto ara onto. Resultado: linhas de corrente nunca se odem cruzar (Em regime estacionário, as artículas de fluido dentro de um tubo de corrente num dado instante nunca odem atraessar as aredes desses tubo.) 5

16 Instituto Suerior Técnico Leis de Conseração o Massa o Momento Linear o Energia Permitem obter informação do fluido sem a resolução ormenorizada das equações do moimento. Continuidade: (massa) No interalo de temo t uma massa m atraessa secção corresondente ao 6

17 Instituto Suerior Técnico olume do cilindro de base e altura t. Fluxo de massa m t m t Em regime estacionário, toda a massa entra em e sai em : (conseração de massa) m m t t 7

18 Instituto Suerior Técnico Fluido incomressíel: 0 olume de fluido que atraessa or unidade de temo (taxa de escoamento). elocidade é inersamente roorcional à área de secção transersal do tubo de corrente. o Balanço de momento (Forças num fluido em moimento): Considere uma artícula de fluido de olume V e massa m : equação do moimento é: ma F V + F S 8

19 Instituto Suerior Técnico F V resultante forças olumétricas F S resultante forças suerficiais. F V ( F ) ( ) Vg + FV isc (trito no deslizamento de camadas fluidas (tensão tangencial) Ora: F V + F e a S f g V (Fluidos Ideais) z ma Va (ertical) f z z gz ª Lei (Fluido) 9

20 Instituto Suerior Técnico Balanço de Energia (Equação de Bernoulli): Desrezar ariações trans- -ersais de quantidades físicas. Considere o fluido entre secções e : em regime estacionário: No interalo de temo t: m constante m Variação energia cinética: T m m 0

21 Instituto Suerior Técnico Trabalho realizado ela: ressão ( )( t) ( )( t) graidade g ( m z m ) z Pelo teorema Trabalho-Energia: m m m g( m t z m m z t ) Como m m: + gz + + gz + Lei de Bernoulli.

22 Instituto Suerior Técnico licações a) Fórmula de Torricelli z + g + 0 g z g g 0 z 0 z g h g gh Torricelli 636 elocidade é a mesma que seria atingidaem queda lire de uma altura h.

23 Instituto Suerior Técnico b. Tubo de Pitot: (medição da ressão ou elocidade dum fluido em moimento) gz constante 0 + ressão no onto de estagnação 0 > efeito dinâmico deido à elocidade zero no onto de estagnação. 3

24 Instituto Suerior Técnico c)fenómeno de Venturi (medição de elocidade de escoamento).,,,, Equação Bernoulli sobre a linha central z z. + + () (continuidade) () < > Nos ontos de estrangulamento, a elocidade de escoamento é maior e a ressão é menor. 4

25 Instituto Suerior Técnico 5 Como ( ) ( ) ( ) gh h h g gh gh (3) Medição de elocidade: ( ) gh gh (método de medição de elocidade)

26 Instituto Suerior Técnico Exemlo: Um deósito de água com 3 m de altura e 3 m de diâmetro fornece água a uma casa. O cano horizontal na base da torre ossui d.54 cm. O tubo tem de fornecer água à taxa de R m 3 /s. 6

27 Instituto Suerior Técnico a) Se a água fluir à taxa máxima, qual a ressão no cano horizontal? b) Um cano mais estreito, de diâmetro d '.7 cm fornece água ara o º andar da casa a uma distância 7. m acima do níel do solo. Qual a elocidade e ressão da água neste caso? Desreze iscosidade. a) licamos a eq. Bernoulli à linha de corrente, B, C. Nos ontos e B: + + gya B + B + gy : 0 h 3 B y a m, y gh + B ( ) e B odem determinar-se a artir de: B B 7

28 Instituto Suerior Técnico R (taxa de escoamento) B B R m/s π (.5) R π 4.9 ( 0.07) B m/s Como B B << B : + gh ( Pa) ( 4.9) Pa B N.B.: Se a água no cano horizontal não fluísse: 5 B Pa ( B 0) Estática é uma ressão dinâmica 8

29 Instituto Suerior Técnico b) Para R constante: R C 9.7 m/s π ( ) C Eq. Bernoulli: + + gya C + C + gy ( ) + g( y y ) C 0 C C Pa Como ( > ) C B 3 3 ( 0 ) ( 3 7.) Pa Pa > a ressão dinâmica é maior em C do que em B. ressão estática também é menor em C. Unidades de Pressão N S.I. m Pascal Pa N m 5 atm.03 0 ( Pa) 3 mm Hg.36 0 atm bar 0 5 N m 5 Pa C 9