AI-34D Instrumentação Industrial Física Mecânica dos Fluidos

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Tecnologia em Automação Industrial AI-34D Instrumentação Industrial Física Mecânica dos Fluidos Prof a Daniele Toniolo Dias F. Rosa danieletdias@utfpr.edu.br

2 Sumário Dinâmica dos Fluidos Característica do Escoamento Linhas de corrente e equação da continuidade dos fluidos Princípio de Bernoulli Aplicações

3 Até agora, nosso estudo dos fluidos foi restrito a fluidos em repouso (estática dos fluidos). Agora voltaremos a atenção para a dinâmica dos fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento. Em vez de tentar estudar o movimento de cada partícula do fluido em função do tempo, descrevemos as propriedades do fluido como um todo.

4 Característica do Escoamento O escoamento é dito constante ou laminar se cada partícula do fluido seguir uma trajetória suave, de modo que as trajetórias diferentes das partículas nunca se cruzem. Assim no escoamento laminar, a velocidade do fluido em qualquer ponto permanece constante no tempo

5 Acima de uma determinada velocidade crítica o escoamento do fluido torna-se turbulento. O escoamento turbulento é um escoamento irregular caracterizado por regiões de pequenos redemoinhos. Por exemplo, o escoamento da água em um rio tornase turbulento nas regiões onde se encontram rochas e outras obstruções, frequentemente formando corredeiras.

6 O termo viscosidade geralmente é utilizado no escoamento de fluidos para caracterizar o grau de atrito interno do fluido. Este atrito interno, ou força viscosa, está associado à resistência que duas camadas adjacentes do fluido opõem ao movimento relativo entre elas.

7 Como a viscosidade representa uma força não conservativa, parte da energia cinética de um fluido é convertida em energia interna quando camadas do fluido deslizam umas sobre as outras. Isso é similar ao mecanismo pelo qual um corpo que desliza em uma superfície horizontal áspera experimenta uma transformação da energia cinética em energia interna.

8 Devido a complexidade de um fluido real, consideraremos o comportamento de um fluido ideal e as seguintes suposições: 1. Fluido não viscoso. O atrito interno é negligenciado. Um objeto que se move através do fluido não sofre força viscosa. 2. Fluido incompressível. A densidade do fluido é considerada constante independente da pressão. 3. Escoamento laminar. Supomos que a velocidade do fluido em cada ponto permanece constante. 4. Escoamento irrotacional. No fluxo irrotacional, o fluido não tem momento angular em nenhum ponto. Se uma pequena roda de pá colocada em qualquer lugar do fluido não girar sobre seu centro de massa da roda, então o fluxo é irrotacional.

9 Linhas de corrente e a equação da continuidade para fluidos A trajetória percorrida por uma partícula de fluido em escoamento laminar é chamada de linha de corrente. A velocidade da partícula é sempre tangente à linha de corrente.

10 Duas linhas de corrente não podem cruzar-se porque, se isso acontecesse, uma partícula poderia seguir uma ou outra trajetória no ponto de cruzamento e o escoamento não seria laminar. Um conjunto de linhas de corrente, forma o que se chama tubo de corrente. As partículas não podem fluir para dentro ou para fora dos lados deste tubo, porque se isso acontecesse, as linhas de corrente se cruzariam.

11 Considere um fluido ideal escoando através de um tubo de tamanho não uniforme como na Figura abaixo. As partículas no fluido movimentam-se ao longo das linhas de corrente no escoamento laminar. Vamos analisar a situação usando o modelo de sistema não isolado em estado estacionário. Selecionamos em nosso sistema a região no tubo entre o ponto 1 e o ponto 2. Vamos supor que esta região está preenchida com fluido em todos os momentos.

12 Imagine que o fluido se desloca uma distância x 1 no ponto 1 e uma distância no x 2 ponto 2, onde sai do sistema. O volume de fluido que entra no sistema no ponto 1 é A 1 x 1 e o volume que sai no ponto 2 é A 2 x 2. Como o volume de um fluido incompressível é uma grandeza conservada, esses dois volumes devem ser iguais para que o sistema esteja em estado laminar. Se isso não fosse verdade, o volume de fluido no sistema estaria mudando. Assim,

13 Vamos dividir a equação anterior pelo intervalo de tempo durante o qual o fluido se move: No limite em que o intervalo de tempo diminui para zero, a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo é a velocidade instantânea do fluido, que podemos escrever como: Esta expressão, chamada equação da continuidade para fluidos, diz que o produto da área de secção reta pela velocidade do fluido em todos os pontos ao longo do tubo é uma constante. (1)

14 Consequentemente, a velocidade é elevada onde o tubo é estreito e baixa onde o tubo é largo. O produto Av, que tem as dimensões do volume pelo tempo, é chamado de vazão volumétrica ou fluxo volumar (vazão, A.v=constante).

15 É por isso que um bico ou seu polegar sobre a mangueira de jardim permitem que você projete a água mais longe. Reduzindo a área através da qual a água flui, você aumenta sua velocidade. Assim você projeta a água da mangueira com uma velocidade inicial elevada e um maior alcance. Multiplicando a equação da continuidade pela densidade, temos a taxa de escoamento de massa ou vazão mássica:

16 Princípio de Bernoulli Quando um fluido se move através de uma região na qual muda sua velocidade ou elevação acima da superfície da Terra, sua pressão varia em função dessas mudanças. Em 1738, o físico suíço Daniel Bernoulli derivou pela primeira vez uma expressão que relaciona a pressão à velocidade e à altura do fluido.

17 Vamos desenvolver uma representação matemática do princípio de Bernoulli, que mostra explicitamente a dependência da pressão em relação à velocidade e à altura. Considere o escoamento de um fluido ideal através de um tubo não uniforme em um tempo t, como na Figura abaixo. O sistema escolhido é a secção do fluido que inicialmente está entre os pontos 1 e 2 e a Terra.

18 Está sendo realizado um trabalho sobre o nosso sistema pelo fluido externo que está em contato com as duas extremidades do fluido no sistema e, consequentemente, estão mudando a energia cinética e gravitacional do sistema. Assim a equação da continuidade para a energia para o sistema nesta situação é (2) Vamos calcular cada um dos termos desta equação.

19 Observe que os elementos do fluido com comprimentos x1 e x2 da Figura representam a única mudança entre a situação inicial e a final. O fluido contido entre esses elementos não sofre nenhuma mudança em sua energia cinética ou potencial gravitacional. A diferença na energia cinética é aquela entre o elemento no ponto 2 e do ponto 1: (3) Em que m é a massa que entra numa extremidade e deixa a outra em um tempo t

20 A mudança na energia potencial do sistema fluido-terra é aquela associada com o movimento do elemento do fluido situado no ponto 1 até o local no ponto 2: Finalmente calculamos o trabalho realizado na seção do fluido. O fluido à esquerda do ponto 1 realiza trabalho positivo sobre nossa seção porque aplica uma força no mesmo sentido que o deslocamento. (4) O fluido à direita do elemento no ponto 2 realiza trabalho negativo porque os vetores da força e do deslocamento estão em sentidos opostos. O trabalho resultante sobre o sistema é:

21 Substituímos a força pelo produto da pressão e da área de seção transversal do tubo: Finalmente reconhecemos o produto da área de seção transversal e do deslocamento como o volume dos elementos do fluido: (5) Usamos agora as equações 3, 4 e 5, substituindo em 2:

22 Dividindo cada termo pelo volume V, lembrando que =m/v: Rearranjando os termos: (6) Esta é a equação de Bernoulli aplicada a um fluido ideal.

23 A equação de Bernoulli é frequentemente é expressa como: A eq. de Bernoulli diz que a soma da pressão P, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial gravitacional por unidade de volume tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo de uma linha de corrente. Quando o fluido está em repouso, v 1 =v 2 =0 e a eq. (6) torna-se: (7) que concorda com a Eq. 5 da aula anterior

24 Aplicações ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL Como parte de um sistema de lubrificação para máquinas pesadas, um óleo de densidade igual a 850 kg/m 3 3 é bombeado através de um tubo cilíndrico de 8,0 cm de diâmetro a uma taxa de 9,5 litros por segundo. (a) Qual é a velocidade do óleo? Qual é a vazão mássica? (b) Se o diâmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, quais serão os novos valores para a velocidade e vazão volumétrica? Considere o óleo incompressível.

25 SOLUÇÃO IDENTIFICAR: o dado fundamental é que o fluido é incompressível, então podemos usar a ideia da equação da continuidade para relacionar a vazão mássica, a vazão volumétrica, a área do tubo de escoamento e a velocidade do escoamento. PREPARAR: usamos a definição da vazão volumétrica (Av=dV/dt), para encontrar a velocidade v 1 na seção de 8,0 cm de diâmetro. A vazão mássica é o produto da densidade e da vazão volumétrica. A equação da continuidade para escoamento incompressível, Equação (1), permite-nos encontrar a velocidade v 2 na seção de 4,0 cm de diâmetro.

26 EXECUTAR: (a) a vazão volumétrica dv/dt é igual ao produto A 1 v 1, onde A 1 é a área da seção reta do tubo de diâmetro de 8,0 cm e raio 4,0 cm. Assim, A vazão mássica é dv/dt = (850 kg/m 3 )(9,5 x 10-3 m 3 /s) =8,1 kg/s. (b) Como o óleo é incompressível, a vazão volumétrica apresenta o mesmo valor em ambas as seções do tubo. Pela Equação (1), AVALIAR: a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira. Logo, a velocidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção, o que é exatamente o que o nosso resultado mostra (v 2 = 4v 1 ).

27 PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0 x 10 5 Pa (cerca de 4 atm). Um tubo com diâmetro interno de 1,0 cm conduz ao banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 1,5 m/s, ache a velocidade do escoamento, a pressão e a vazão volumétrica no banheiro. SOLUÇÃO IDENTIFICAR: estamos supondo que a água escoe a uma taxa constante. O tubo tem um diâmetro relativamente grande, então é razoável desprezar o atrito interno. A água é bastante incompressível, portanto a equação de Bernoulli pode ser aplicada com uma boa aproximação.

28 PREPARAR: os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de entrada e no banheiro, respectivamente. O problema fornece a velocidade v 1 e a pressão P 1 no tubo de entrada, e os diâmetros do tubo nos pontos 1 e 2 (por meio dos quais calculamos as áreas A 1 e A 2 ). Fazemos Y 1 = 0 (na entrada) e Y 2 = 5,0 m (no banheiro). As duas primeiras variáveis que precisamos encontrar são a velocidade v 2 e a pressão P 2.

29 Como temos mais de uma incógnita, usamos tanto a equação de Bernoulli quanto a equação da continuidade para um fluido incompressível. Assim que encontrarmos v 2, podemos calcular a vazão volumétrica v 2 A 2 no ponto 2. EXECUTAR: encontramos a velocidade v 2 no banheiro usando a equação da continuidade, Equação (1): Conhecemos P 1 e v 1 e podemos achar P 2 pela equação de Bemoulli:

30 A vazão volumétrica é AVALIAR: esta é uma vazão volumétrica razoável para uma torneira de banheiro ou chuveiro. Note que, quando a torneira está fechada, tanto v 1 quanto v 2 são zero, o termo 1/2 (v 22 -v 12 ) se anula e a pressão P 2 sobe para 3,5 x 10 5 Pa.

31 VELOCIDADE DE EFLUXO A Figura mostra um tanque de armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A 1 cheio até uma altura h. O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente está a uma pressão P o, e a gasolina flui para fora através de um pequeno tubo de área A 2. Deduza expressões para a velocidade de escoamento no tubo e para a vazão volumétrica.

32 SOLUÇÃO IDENTIFICAR: podemos considerar o volume inteiro do líquido que flui como um único tubo de escoamento com atrito interno desprezível. Podemos, portanto, aplicar o princípio de Bemoulli. PREPARAR: os pontos 1 e 2 na Figura estão na superfície da gasolina e no tubo de saída, respectivamente. No ponto 1, a pressão é P o, e no ponto 2 é a pressão atmosférica, P atm. Fazemos Y = 0 no tubo de saída, de modo que Y 1 = h e Y 2 = 0. Como A 1 é muito maior do que A 2, a superfície superior da gasolina escoará muito lentamente, e podemos encarar v 1 praticamente igual a zero. Encontramos a variável procurada, v 2, com a Equação (6) e a vazão volumétrica.

33 EXECUTAR: aplicamos a equação de Bemoulli aos pontos 1 e 2: Usando v1=0 obtemos: A vazão volumétrica será dv/dt=v 2 A 2.

34 AVALIAR: a velocidade v 2, algumas vezes chamada de velocidade de efluxo, depende da altura do nível h do líquido no tanque e da diferença de pressão (P o - P atm ). Se o tanque estivesse aberto para a atmosfera em sua parte superior, não existiria excesso de pressão: P o = P atm e P o - P atm = 0. Nesse caso, ou seja, a velocidade de efluxo de uma abertura situada a uma distância h abaixo da superfície superior do líquido é a mesma velocidade que teria um corpo caindo livremente de uma altura h. Esse resultado é conhecido como teorema de Torricelli. Ele vale também para uma abertura lateral na parede do recipiente situada uma distância h abaixo da superfície superior do líquido. Nesse caso, a vazão volumétrica é

35 o MEDIDOR DE VENTURI A Figura mostra um medidor de Venturi, usado para medir a velocidade de escoamento em um tubo. A parte estreita do tubo denomina-se garganta. Deduza uma expressão para a velocidade de escoamento v 1 em termos das áreas das seções retas A 1 e A 2 e da diferença de altura h entre os níveis dos líquidos nos dois tubos verticais.

36 SOLUÇÃO IDENTIFICAR: o escoamento é estacionário, e supomos que o fluido seja incompressível e que seu atrito interno seja desprezível. Podemos, portanto, aplicar a equação de Bernoulli. PREPARAR: aplicamos a equação de Bernoulli à parte larga do tubo (ponto 1) e à parte estreita (ponto 2). A diferença de altura entre os dois tubos verticais nos dá a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. EXECUTAR: os dois pontos estão na mesma coordenada vertical y 1 = y 2 ), então aplicamos a Equação (6):

37 Pela equação da continuidade, v 2 = (A 1 /A 2 )v 1, Substituindo esse valor na equação e reagrupando, obtemos Conforme o que vimos na aula anterior, a diferença de pressão P 1 - P 2 é também igual a gh, onde h é a diferença de altura entre os níveis dos líquidos nos dois tubos. Combinando esse resultado com a equação anterior e explicitando v 1 obtemos

38 AVALIAR: como A 1 é maior do que A 2, v 2 é maior do que v 1 e a pressão P 2 na garganta é menor do que P 1. Uma força resultante orientada da esquerda para a direita acelera o fluido quando ele entra na garganta, e uma força resultante orientada da direita para a esquerda freia o fluido depois que ele sai.

39 Referências Bibliografia: 1. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janerio: LTC, vol SERWAY, Raymond A., JR JEWETT John W. Princípios de física. São Paulo: Thomson, vol HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro, RJ: LTC, vol CHAVES, Alaor. Física Básica: Gravitação, Fluidos, Ondas, Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC.