LOQ Fenômenos de Transporte I

Transcrição

1 LOQ Fenômenos de Transporte I FT I 6 Introdução aos Fluidos em Moimento (Cinemática dos fluidos) Prof. Lucrécio Fábio dos Santos Departamento de Engenharia Química LOQ/EEL Atenção: Estas notas destinam-se eclusiamente a serir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

2 Objetios Ao terminar este roteiro oce deerá ser capaz de: Classificar o escoamento de um fluido; Diferenciar escoamento laminar de turbulento; econhecer trajetória, linha de corrente e tubo de corrente; Descreer o moimento de um fluido, quanto à isão lagrangiana e euleriana; elacionar elocidade e azão em algumas aplicações de engenharia.

3 Introdução Cinemática dos fluidos Estuda o moimento dos fluidos sem lear em conta suas causas. Estudaremos os fluidos ideais. Todos os fluidos reais possuem iscosidade. Entretanto, há muitos casos de escoamento em que é razoáel desprezar os efeitos iscosos. Há diferentes tipos de escoamento, como, por eemplo, os apresentados na Figura 1. 3

4 Figura 1 Classificação do escoamento dos fluidos 4

5 egimes ou moimentos transiente e permanente egime permanente é aquele em que as propriedades do fluido num ponto são independentes do tempo, ou seja: egime transiente ou ariado é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou regiões de pontos ariam com o passar do tempo. t t p t t t p t 5

6 Um eemplo prático é o escoamento em um reseratório, conforme apresentado na Figura : NC: níel cte Figura Escoamento em um reseratório 6

7 A Figura 3(a, b) mostra um reseratório de grandes dimensões, em que, apesar de haer uma descarga do fluido, o níel não aria sensielmente com o passar do tempo, de forma que o regime pode ser considerado aproimadamente como regime permanente. (a) Figura 3(a, b) eseratório de grande dimensão (b) 7

8 Já, a Figura 4(a, b) mostra um reseratório em que a seção transersal é relatiamente pequena deido à descarga do fluido. Isso faz com que o níel arie sensielmente com o passar do tempo, haendo uma ariação significatia da configuração do sistema, caracterizando um regime transiente ou ariado. (a) (b) Figura 4(a, b) eseratório de pequena dimensão 8

9 Escoamento laminar e turbulento A eistência desses dois tipos de escoamentos foi demonstrada por Osborne enolds (1883) (Figura 5). Figura 5 Aparato eperimental utilizado por enolds Osborne enolds ( ) Físico britânico. 9

10 Figura 6 Aparato eperimental utilizado por enolds Disponíel: on_of_his_papers_on_turbulent_flow/figures?lo=1

11 Após inestigações eperimentais e teóricas, enolds concluiu que o critério mais apropriado para classificar o tipo de escoamento de um fluido líquido se resume à epressão (1): e D D (1) sendo: = elocidade média do fluido D = diâmetro interno do tubo μ = iscosidade dinâmica do fluido ρ = massa específica do fluido ʋ = iscosidade cinemática do fluido O significado fundamental do número de enolds é que este permite aaliar o tipo do escoamento (a estabilidade do fluo) e pode indicar se flui de forma laminar ou turbulenta. enolds erificou que a transição laminar-turbulenta ocorria para um número de enolds denominado de crítico (e crit ), que não era único, já que era afetado pelo grau de pertubação presente. 11

12 O alor normalmente aceito para o número de enolds crítico de projeto é e crit.3. Entretanto, dependendo das condições eperimentais, e crit poderá ocorrer com alores bem mais eleados. Na maioria das situações práticas de escoamento no interior de dutos, admite-se os seguintes alores: e Moimento <.3 Laminar.3 < e < 4. Transição > 4. Turbulento Laminar Transição Turbulento 1

13 Trajetória Trajetória Conjunto de posições diferentes que a partícula percorreu ao longo de tempo (Figura 7). Figura 7 Trajetória Uma isualização da trajetória será obtida por meio de uma fotografia, com tempo de eposição, de um flutuante colorido colocado num fluido em moimento. 13

14 Linha de corrente Linha de corrente é a linha tangente aos etores elocidade de diferentes partículas no mesmo instante (Figura 8). Instante t LC Figura 8 Linha de corrente em um campo de escoamento As linhas de corrente e as trajetórias coincidem geometricamente no regime permanente. 14

15 Tubo de corrente É a superfície de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apóiam numa linha geométrica fechada qualquer (Figura 9). Figura 9 Tubo de corrente Propriedades dos tubos de corrente a) São fios quando o regime é permanente; b) São impermeáeis à passagem de massa, isto é, não eiste passagem de partículas de fluido atraés do tubo de corrente. 15

16 Descrição do Moimento dos Fluidos Descrição Lagrangiana O método de Lagrange descree o moimento de cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total. O obserador desloca-se simultaneamente como a partícula. As partículas indiiduais são obseradas como uma função do tempo. A posição, a elocidade e a aceleração de cada partícula são apresentadas como: 16

17 Descrição Euleriana O método de Euler consiste em adotar um interalo de tempo, escolher uma seção ou um olume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passam por esse local. Na descrição Euleriana do moimento, as propriedades do escoamento são funções do espaço (pontos de obseração) e do tempo: 17

18 elocidade e aceleração no escoamento dos fluidos Ao lidarmos com fluidos em moimento, estaremos necessariamente preocupados com a descrição de um campo de elocidade. Num dado instante, o campo de elocidade é uma função das coordenadas espaciais, e z, em regime transiente O etor elocidade pode ser escrito em termos dos seus três componentes escalares. Denotando os componentes nas direções, e z por, e z, segue-se que: 18

19 Para regime permanente, a elocidade e suas componentes escalares não serão função do tempo, sendo somente funções do ponto. (4) Aceleração A aceleração de uma partícula de um fluido é encontrada considerando-se uma partícula específica (Figura 1). Figura 1 elocidade de uma partícula do fluido 19

20

21 mas: (6) 1

22 As equações em coordenadas cartesianas ficarão, segundo suas componentes em regime permanente:

23 t z a t z a t z a z z z z z z z z No caso de fluido em regime transiente, dee-se considerar, em relação às equações anteriores, a ariação do tempo: (8) 3

24 Eemplo 1: Num escoamento no plano O, o campo de elocidades é dado por = t e = t. Determinar a aceleração no ponto P = (1,), no instante t = 5s (medidas em cm). O moimento é transiente, pois e são funções do tempo. z 4t a t) ( t(t) a t z a t e t Solução: 4

25 3 z t a t t ()t a t z a 44 5 a t a (5) 1 a t 4 a (1,) e P 5s t No instante 3 3 5

26 Proposto: Num escoamento no plano O, o campo de elocidades é dado por = 3 t e = t. Determinar a aceleração no ponto P = (1,), no instante t = 5s (medidas em cm). O moimento é ariado (transiente), pois e são funções do tempo. esposta: a = 167,6 cm/s 6

27 azão Define-se azão em olume (Q) como sendo o olume de fluido que atraessa uma certa seção do escoamento por unidade de tempo. azão em olume, Q Suponha uma torneira aberta e seja colocado um recipiente embaio dela e simultaneamente seja disparado o cronômetro (Figura 13). Admita-se que o recipiente encha em 1s. Pode-se então dizer que a torneira enche L em 1s ou que a azão em olume da torneira é L/1s = L/s. Q t (9) Figura 13 Esquema para medição de azão m s 3 L m ; ; s h 3 ; L min 7

28 azão em massa, ṁ É a massa do fluido que escoa num determinado interalo de tempo. (1) kg g kg ; ; ; s s h g min azão em peso, G É a azão em massa multiplicada pela aceleração da graidade. (11) N s dina ; s ; N h dina ; min 8

29 elocidade média na seção Suponha que um fluido esteja em moimento atraés da seção de área A a uma distância s (Figura 14). O olume de fluido que atraessa a seção de área A no interalo de tempo t é = sa Figura 14 Moimento de um fluido atraés de uma seção 9

30 Eiste uma relação importante entre a azão em olume e a elocidade do fluido, a qual é apresentada na epressão (15). Q = t = sa t = A (1) É claro que essa epressão só seria álida se a elocidade fosse uniforme na seção. Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é unidimensional; no entanto, é possíel obter uma epressão do tipo da equação (15) definindo a elocidade média na seção, conforme apresentado a seguir: 3

31 Adotando um da qualquer no entorno de um ponto em que a elocidade genérica é, como mostra a Figura (15), tem-se: dq = da Logo, a azão na seção A será: Figura 15 Elemento de área e elocidade Q = A da (13) 31

32 Define-se elocidade média na seção como uma elocidade uniforme que, substituída no lugar da elocidade real, reproduz a mesma azão na seção. Logo: Q = da = A m A (14) Dessa igualdade, surge a epressão para o cálculo da elocidade média na seção (Figura 16): m = 1 A A da (18) Figura 16 Perfil da elocidade média 3

33 Eemplo : Para escoamento laminar em tubos, a elocidade é dada pela seguinte epressão: r má 1 onde má é a elocidade no centro do tubo. Calcular a elocidade média, m, e a azão em olume, Q. Solução: Equações básicas: m 1 A A da Q m A A ; da π rdr 33

34 4 má m 4 má m má m má m 4 4 r r rdr r 1 π rdr r 1 π 1 má m A Q m π Q má 4 4 má m 4 34

35 Eemplo 3: Para escoamento turbulento em tubos a elocidade é dada pela seguinte epressão: má 1 r 1/7 onde má é a elocidade no centro do tubo. Calcular a elocidade média, m, e a azão em olume, Q. Solução: Equações básicas: m 1 A A da A ; da π rdr Q m A 35

36 1 8/7 1/7 má 1 1/7 má m 1 1/7 má m 1/7 má m 1/7 má m du u u du u 1 u du u 1 u du dr u 1 r ; u ; para r 1 u ; para r r 1 u rdr r 1 π rdr r 1 π 1 36

37 u 15 7 u 8 7 du u du u má má m má m 1 15/7 1 8/7 má m 1 8/7 1 1/7 má m 6 49 má m A Q m 6 49π Q má 37

38 Proposto 1: Determinar a elocidade média e a azão em olume de um fluido escoando em um canal de largura b e altura h. esposta: m = /3 má e Q = /3 má bh má 1 h onde é a coordenada ertical, com origem no fundo do canal. 38

39 Proposto : Determinar a elocidade média e a azão em olume de um fluido escoando em um duto circular de raio, com perfil cônico de elocidades. esposta: m = 1/3 má e Q = 1/3 má r má 1 39

40 Proposto 3: Determinar a elocidade média e a azão em olume de um fluido escoando entre placas planas e paralelas distanciadas de h. esposta: m = /3 má e Q = 4/3 má bh má 1 h onde é a coordenada ertical, com origem no centro do canal. 4