IMPLEMENTAÇÃO E AVALIAÇÃO DE TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES USANDO O CÓDIGO LIVRE SCILAB

Transcrição

1 IPLEENTAÇÃO E AVALIAÇÃO DE TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEAS NÃO LINEARES USANDO O CÓDIO LIVRE SCILAB Rosiane Ribeiro Rocha, * Valéria Viana rata, Lís Cládio Oliveira-Lopes Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/FAPEI/UFU, discente do crso de Engenharia Qímica, Professores da Facldade de Engenharia Qímica da UFU/,, Facldade de Engenharia Qímica da Universidade Federal de Uberlândia. Av João Naves de Ávila,, Bloco K, Camps Santa ônica, Uberlândia -, CEP * valeria@f.br RESUO - O objetivo deste trabalho é tilizar técnicas de identificação de m modelo de vias bioqímicas descrito por endes e Kell (998), sando o código livre Scilab (Scientific Laboratory). O modelo consiste de oito eqações diferenciais ordinárias qe representam as variações dinâmicas das concentrações das espécies envolvidas no processo. Uma pertrbação aleatória foi aplicada na variável controlável do sistema e os dados de saída foram sados como dados experimentais no processo de identificação do modelo. A representação em espaço de estados se mostro adeqada para o processo em qestão. A análise dos desvios entre os dados simlados e os dados experimentais foi feita pela aplicação de critérios como SE (Erro Qadrático édio), AIC (Critério de Informação de Akaike), FPE (Erro de Predição Final) e BIC (Critério Bayesiano de Informação). Os valores desses critérios variaram entre: 0,00559 SE 0,7655; -596,69 AIC -5,49; -596,696 FPE -5,4966 e - 579,879 BIC -8,564, caracterizando ma boa capacidade de predição do modelo identificado. A comparação entre valores preditos pelo modelo e valores experimentais demonstra qe a representação encontrada prevê de forma satisfatória a dinâmica do processo. O código livre Scilab mostro-se ma excelente ferramenta de identificação de sistemas não lineares. Palavras-Chave: identificação de sistema, processos bioqímicos, Scilab. INTRODUÇÃO A simlação de processos bioqímicos tem sscitado m grande interesse, qer no meio acadêmico qer indstrial, apresentando-se como m instrmento efetivo no projeto e desenvolvimento de algoritmos robstos, na otimização, monitoramento, controle e caracterização desses processos. A Identificação de Sistemas é ma área do conhecimento qe estda técnicas alternativas à modelagem caixa branca. Uma das características dessas técnicas é qe poco o nenhm conhecimento prévio do sistema é necessário e, conseqentemente, tais métodos são também referidos como modelagem (o identificação) caixa preta o modelagem empírica. O qe se pretende descrever com tais modelos são as relações de casa e efeito entre as variáveis de entrada e de saída. Nesse caso, o tipo de modelos, as técnicas sadas, e os reqisitos necessários são bastante distintos dos correspondentes na modelagem pela natreza do processo. O objetivo da modelagem matemática consiste em desenvolver m modelo com boa capacidade de predição e cjo procedimento de identificação e validação não se torne mais complexo do qe o necessário (Veloso, 006). A motivação para o estdo de técnicas de Identificação de Sistemas srge do fato qe freqentemente não se conhecem as eqações fndamentais qe representam m determinado sistema o então elas são conhecidas, mas excessivamente complexas, tornando sa tilização impraticável, por limitações de tempo e recrsos (Agirre, 007). CÓDIO LIVRE SCILAB O processo de identificação do modelo apresentado a segir foi desenvolvido tilizando o código livre Scilab (disponível em O Scilab (Scientific Laboratory) é ma plataforma gráfica sada na resolção de problemas nméricos. Disponível gratitamente (com o código fonte), o Scilab foi desenvolvido para ser m sistema aberto em qe o sário pode definir novos tipos de dados e operações; possi centenas de fnções matemáticas com a possibilidade de interação com programas em várias lingagens como o C e Fortran; tem ma sofisticada estrtra de dados qe incli objetos como fnções racionais, polinômios, listas, sistemas lineares etc., possi m interpretador e ma lingagem de programação (estrtrada) própria. As principais fnções desse código tilizadas na identificação foram: grand( ) m gerador de números aleatórios, tilizado para gerar a pertrbação randômica; ode( ) qe VIII Congresso Brasileiro de Engenharia Qímica em Iniciação Científica 7 a 0 de jlho de 009 Uberlândia, inas erais, Brasil

2 implementa o algoritmo ODEPACK para a solção de sistemas de eqações diferenciais ordinárias; fsolve( ) tilizada para resolver o sistema de eqações algébricas qe representa o estado estacionário do processo; findr( ) e findabcd( ) tilizadas para encontrar as representações em espaço de estados. Para obter possíveis representações em espaço de estados de diferentes ordens é necessário fornecer os dados de entrada e saída do processo, o seja, fornecer as respostas geradas nas variáveis de estados à pertrbação randômica aplicada na variável controlável S, bem como a própria pertrbação randômica. Os detalhes do modelo matemático são apresentados na seqüência. ODELO ATEÁTICO Nesse trabalho foi tilizado m modelo de vias bioqímicas descrito por endes e Kell (998) e ilstrado na Figra. As setas contínas representem o flxo de massa, as setas tracejadas representam a transferência de energia. S e P são respectivamente o sbstrato e o prodto. e são os metabolismos intermediários da via. E, E e E são as enzimas., e são as espécies RNAm para as enzimas (endes et al., 998). d de de de d V P Ki V ni 4 k4e K 4 V Ka 5 k5e K5 V 6 k6e K 6 kcate km S kcat E na ( S ) k ( ) 4 () (4) (5) (6) (7) d kcate km ( ) 4 Figra Esqema do modelo de vias bioqímicas (endes e Kell, 998) A formlação matemática qe descreve o modelo dinâmico não linear é descrita através das eqações a 8. As condições iniciais estão apresentadas na eqação 9. d d P Ki P Ki V ni Ka S V ni Ka na na k k () () E (0) 0,4 kcate 5 P (0) 0,66667 (0) 0,5754 (0) 0, ( P) 6 E (0) 0,6409 E (0) 0,9457 (0),49 (0) 0,9464 A Tabela apresenta os valores exatos dos 7 parâmetros P do modelo matemático descrito pelas eqações a 8. Tabela Valores exatos dos 7 parâmetros do modelo (endes e Kell, 998) Parâm. Valor Parâm. Valor V,0 k,0 Ki,0 V 4 0, ni,0 K 4,0 Ka,0 k 4 0, (8) (9)

3 na,0 V 5 0, k,0 K 5,0 V,0 k 5 0, Ki,0 V 6 0, ni,0 k 6 0, Ka,0 kcat,0 na,0,0 k,0,0 V,0 kcat,0 Ki,0,0 ni,0 4,0 Ka,0 kcat,0 na,0 5,0 K 6,0 6,0 P 0,05 Figra Pertrbação randômica aplicada à variável S. O comportamento dinâmico as variáveis de saída frente à pertrbação randômica S é apresentado nas Figras 4 a. A dinâmica do modelo bioqímico é apresentada na Figra. Ela foi obtida através da resolção do sistema de eqações diferenciais ordinárias. Figra 4 Resposta da variável à Figra 5 Resposta da variável à Figra Variação dinâmica das concentrações. Os dados experimentais necessários para obtenção da representação em Espaço de Estados são obtidos aplicando ma pertrbação do tipo randômica na variável S, niformemente distribída no intervalo de [0;] e coletando as respostas de cada ma das oito variáveis de estado do modelo. A pertrbação randômica possibilita excitar o processo bioqímico em vários níveis e sob várias freqüências, permitindo obter m modelo mito mais condizente com a realidade. Posteriormente, acrescenta-se m erro de no máximo 5% às respostas obtidas eqivalentes aos possíveis erros experimentais. A Figra apresenta a pertrbação randômica aplicada à variável S. Figra 6 Resposta da variável à Figra 7 Resposta da variável E à

4 complexidade qanto em dimensão) permitindo a tilização de ferramentas de sistemas lineares para a sa tilização. Figra 8 Resposta da variável E à Figra 9 Resposta da variável E à Figra 0 Resposta da variável à x& Ax B(t) y(t) Cx D(t) (0) m sendo qe x R é o vetor de estado m- dimensional, o ponto indica a derivada temporal; r (t) R é o vetor de entradas formado por r p fnções temporais; y(t) R é o vetor p- dimensional de saídas medidas e A, B, C e D são matrizes constantes. O modelo será mltivariável se r > o p >. Se hover apenas ma entrada r e ma saída m, o modelo é dito monovariável (Agirre, 007). As possíveis representações no espaço de estados do modelo em qestão foram obtidas pelo código Scilab e avaliados através de índices e critérios adeqados. Dos 000 dados gerados pela pertrbação randômica, 500 foram sados para a identificação e 500 para a validação do modelo. A avaliação de m modelo pode ser exectada através de índices e critérios estrtrais, como SE, AIC, FPE e BIC. O índice SE (erro qadrático médio) é dado pela Eq. (0): SE n i y yˆ ) ( i i (0) n Figra Resposta da variável à Pela análise dos gráficos apresentados observa-se qe a variável responde de forma mais intensa a pertrbação randômica aplicada, enqanto as demais o fazem de forma mais save. A partir dos dados gerados pela pertrbação randômica, a identificação do modelo por representações em Espaço de Estados foi realizada, como pode ser visto na próxima seção. IDENTIFICAÇÃO DO SISTEA A representação em espaço de estados descreve a dinâmica entre das o mais variáveis, denominadas entrada e saída. Esse tipo de representação é válida no domínio do tempo e é mais conveniente para representar sistemas não-lineares e mltivariáveis do qe a fnção o matriz de transferência. Um modelo linear típico em espaço de estados tem a forma apresentada na Eq.(0). A representação linear simplifica o modelo qe descreve o processo (tanto em sendo qe n representa o número de amostras, y i é o valor de referência e ŷ é o valor previsto pelo modelo para a i-ésima amostra. O critério AIC é obtido através da fnção de áxima Verossimilhança, a partir dos parâmetros ajstados para os modelos conforme os métodos. Este critério foi desenvolvido a partir da distância o informação de Klback e Leibler (95). Esta distância é ma medida de discrepância entre as linhas do modelo verdadeiro e o modelo aproximado. Akaike (98) relaciono a distância de Klback e Leibler com a áxima Verossimilhança, dando origem ao AIC. O AIC é dado pela seginte Eq.(): AIC log L K i () sendo L a Verossimilhança aximizada do modelo candidato e K, o número de parâmetros deste modelo. Já o critério do erro de predição final (FPE), proposto por Akaike (969) é dado pela Eq.(): FPE( p) ˆ. ( p ) ( ) p ρ () p

5 na qal é o número de amostras, p é a ordem do modelo e ρˆ P é a estimativa da variância do rído branco de entrada para o modelo de ordem p. E finalmente, o índice BIC é o critério B de informação, qe sa conceitos estatísticos de Bayes (Akaike, 977; Akaike, 978; Schwartz, 978). A fnção a ser minimizada pela ordem ótima é dada pela Eq.(): BIC( p).ln(ˆ ρ ) p.ln ( ) p.ln p p ( p) ˆ ρx. ˆ ρ p p.ln () na qal ρˆ x é a variância da saída do modelo AR (Shirotai et al., 00). A avaliação desses índices e critérios estrtrais em modelos do espaço de estados com ordens variando de a 0 possibilita escolher qal desses modelos melhor representa cada variável do sistema de vias bioqímicas já apresentado. O modelo em espaço de estados, na forma matricial, fornecido pelo Scilab é representando pelas eqações 4 a. ( 0,890070) ( 0,090895) & y ( 0,46049) ( 0,04706) & ( 0,999008) y ( 0,70609) & ( 0,9974) y ( 0,709079) ( 0,0007) ( 0,00896) (0,000686) ( 0,000890) (4) (5) (6) & ( 0,985) ( 0,068776) y ( 0,89654) & ( 0,099) ( 0,99086) ( 0,00958) y ( 0,74558) ( 0,00658) (0) () Para a variável, o modelo de ordem é o qe melhor representa o processo, por apresentar menores índices e critérios e menor esforço comptacional. As Figras a 5 descrevem as avaliações exectadas para essa variável. Figra Avaliação do índice SE para a variável. E& 0, , , ,00740 y ( 0,77446 (0,000644) 0,665 E 0, ,5058) E (7) Figra Avaliação do índice AIC para a variável. E& ( 0,998969) E ( 0,0089) y ( 0,670) E ( 0, ) ( 0,998965) E ( 0,006950) E& y ( 0,6808) E ( 0,000574) (8) (9) Figra 4 Avaliação do índice FPE para a variável.

6 Figra 5 Avaliação do índice BIC para a variável. Figra 6 Identificação e validação da representação no EE da variável. Essas mesmas avaliações foram realizadas em todos os modelos de cada ma das otras variáveis. Os menores índices e melhores modelos da representação de espaço de estados qe descreve o sistema em qestão, estão apresentados nas Tabelas e 4. Tabela enores valores de SE e AIC e a ordem do melhor modelo para cada variável Variável Ordem SE AIC 0, ,69 0, ,69 0, ,9 E 0,06-9,57 E 0, ,4 E 0,056-7,7 0,7655-5,49 0, ,7 Tabela 4 enores valores de FPE e BIC para cada variável Variável FPE BIC -596, ,879-4,688-7,8-68,98-667,0699 E -9,564-54,647 E -8,76-0,794 E -7,78-0,876-5,4966-8, , ,6 Figra 7 Identificação e validação da representação no EE da variável. Figra 8 Identificação e validação da representação no EE da variável. Nas Figras 6 a são apresentadas as identificações e as validações no Espaço de Estados (EE). Figra 9 Identificação e validação da representação no EE da variável E.

7 Uma análise de resídos foi realizada para verificar se o modelo era o não tendencioso. Os histogramas dos resídos na modelagem são apresentados nas Figras 4 a Figra 0 - Identificação e validação da representação no EE da variável E. Figra 4 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável. Figra Identificação e validação da representação no EE da variável E. Figra 5 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável. Figra Identificação e validação da representação no EE da variável. Figra 6 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável. Figra Identificação e validação da representação no EE da variável. Figra 7 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável E.

8 freqüências dos resídos segem ma distribição normal. CONCLUSÃO Figra 8 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável E. A avaliação da qalidade dos modelos identificados mostra qe as ferramentas de identificação presentes no Scilab, são adeqadas para o projeto de sinais de pertrbação e para a identificação no espaço de estados. O código livre Scilab mostro-se ma excelente alternativa como ferramenta de identificação de sistemas não lineares. REFERÊNCIAS BIBLIORÁFICAS AUIRRE, L. A. (007). Introdção à Identificação de Sistemas: Técnicas Lineares e Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, ed., Editora UF, Belo Horizonte, BH. Figra 9 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável E. ENDES, P., KELL, D.B., 998. Non-linear optimization of biochemical pathways: applications to metabolic engineering and parameter estimation. Bioinformatics 4 (0), VELOSO, A.C.A. Optimização de Estratégias de Alimentação para a Identificação de Parâmetros de m odelo de Utilização do odelo em onitorização e Controlo. Portgal. Tese (Dotorado em Engenharia Qímica e Biológica) Universidade do inho, 006. Figra 0 Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável. Figra Histograma dos resídos da identificação do modelo em EE da variável. Realizando ma análise de todos os histogramas, percebe-se qe o modelo encontrado é não tendencioso, pois as