Integração Numérica. Regra do 1/3 de Simpson (1ª regra) Regra dos 3/8 de Simpson (2ª regra)

Transcrição

1 ntegração Nérica Regra do / de Sipson (ª regra) Regra dos /8 de Sipson (ª regra)

2 ntrodção Seja f() a fnção contína do intervalo [a,b]. Seja F() a priitiva de f(), tal qe F () f(). Então a integral definida de f() no intervalo [a,b] será: b a f ( ) d F( b) F( a) CN5 HFM

3 nterpretação Geoétrica Aproiação pelo polinôio interpolador de Gregor-Newton f ( ) d P ( ) d b a b a n CN5 HFM

4 nterpretação Geoétrica Aproiação por polinôio do º gra Regra do Trapézio ( ) CN5 HFM

5 Regra do Trapézio - Fórla Coposta Considere o intervalo [a,b] sbdividido e sbintevalos gais. Aplicando a regra do trapézio scessivaente ( ) ( ) ( ) ( Donde: ( ) ) CN5 HFM 5

6 Erro de ntegração ( b a) E f '' < θ < ( θ ), a b Devido à dificldade de obter θ ele é toado coo sendo ponto no intervalo [a,b] onde a derivada apresenta o aior valor e ódlo. CN5 HFM 6

7 Regra do / de Sipson o ª Regra de Sipson

8 Regra do / de Sipson Aproiação por polinôio do º gra b a f ( ) d b a P ( ) d CN5 HFM 8

9 CN5 HFM 9 ) ( P Trocando a variável por, te-se: d d P b a ) ( A integral torna-se: O polinôio de gra de Gregor-Newton é: b a d d e

10 CN5 HFM ( ) ( ) 6 d ntegrando, ( ) Obté-se a regra do / de Sipson:

11 CN5 HFM Fórla Coposta para a regra do / de Sipson Sbdividindo o intervalo [a,b] e sbintervalos igais, sendo últiplo de e aplicando a fórla a cada pontos, a integral será a soa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 Eeplo Verificar qe π d sando a regra de / de Sipson coposta co passo de integração,5 b a, 5 i i i,,,5,9,5,8,75,6,,5,5,785 (,,9,8,6,5),785,6 π CN5 HFM

13 Erro de ntegração Pode ser estiado soando-se os erros de integração de cada sbintervalo, obtido a partir da integração da fórla do erro de trncaento do polinôio de Gregor-Newton. : E ( b a) 5 iv f (θ ), a < θ 8 < b θ é toado coo sendo ponto no intervalo [a,b] onde a derivada apresenta o aior valor e ódlo. CN5 HFM

14 Regra dos /8 de Sipson O ª Regra de Sipson

15 Regra dos /8 de Sipson Aproiação por polinôio do º gra b f ( ) d a b a P ( ) d CN5 HFM 5

16 CN5 HFM 6 ( ) 6 b a b a d d P Trocando a variável por e fazendo a integração, cega-se à seginte epressão: [ ] 8 Qe é a regra dos /8 de Sipson. Desenvolvendo a epressão do polinôio pela fórla de Gregor-Newton, te-se:

17 Fórla Coposta da Regra dos /8 de Sipson CN5 HFM 7

18 CN5 HFM 8 Fórla Coposta da Regra dos /8 de Sipson ( ) ( ) ( ) b a d f ) ( ( ) 6 5 8

19 Erro de ntegração Para a regra dos /8 de Sipson o erro de trncaento pode ser estiado soando-se os erros de integração de cada sbintervalo, obtido a partir da integração da fórla do erro de trncaento do polinôio de Gregor-Newton. E ( b a) 5 iv f (θ ), a < θ 8 < b θ ele é toado coo sendo ponto no intervalo [a,b] onde a derivada apresenta o aior valor e ódlo. CN5 HFM 9

20 Eeplo Calclar π sen ( ) d três prieiras regras de Newton-Cotes co E< - sando a das Para resolver este problea deve-se identificar qal das fólas eige o enor valor de. Este pode ser deterinado a partir do erro de integração, qe deve ser enor qe o valor de -. Definição dos valores de θ: Regra do Trapézio / e /8 f ( ) f '( ) f ''( ) f '''( ) f iv ( ) 6 6 sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( ) θ π θ π CN5 HFM

21 ) Núero de sbintervalos para regra do trapézio: ( b a) ( π ) 9 f ''( θ ) < > (π sen( π )) / 9,7 ) Núero de sbintervalos para a regra do / de Sipson 5 ( b a) ( π ) 8 6 f iv ( θ ) < > 8 5 ( 6 sen( π / )) ) / 5,87 ) Núero de sbintervalos para a regra dos /8 de Sipson 5 ( b a) ( π ) 8 9 f iv ( θ ) < > 8 5 ( 6 sen( π / )) ) / 7,9 CN5 HFM

22 A regra do / de Sipson deve ser sada já qe eige enor esforço b a π π 6 6 i i π/6 i,,799 π/,6 π/,989 Usando a regra do / de Sipson: 5 π/ 5π/6,68 9,979 6 π,9 π 6 (,,799,6,989,68 9,979,9) 7,65 CN5 HFM

23 CN5 HFM Sário Fórlas de Newton-Cotes Regra do Trapézio: ( ) Regra do / de Sipson: Regra dos /8 de Sipson: ( ) ( )

24 Sário Fórlas de Newton-Cotes Regra do Trapézio: Regra do / de Sipson: Regra dos /8 de Sipson: ( b a) E f '' θ < E ( b a) 5 ( θ ), a < b iv f (θ ), a < θ 8 < b E ( b a) 5 iv f (θ ), a < θ 8 < b CN5 HFM

25 CN5 HFM 5 Eercício Calclar o valor da integral abaio aplicando a segnda regra de Sipson (regra dos /8 de Sipson) co sbintervalos: d e ) ( ln ( ) 6 5 8

26 Resolção b a i i i c i,7,88,59,69 (,7 8,88,59,69) (,8675) 8 8,575 CN5 HFM 6