Técnicas de espectroscopia 3D aplicados ao BTFI e SIFS. I - Identificação e redução de ruído em cubos de dados obtidos com espectrógrafos Fabry-Perot.

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1 Técnicas de espectroscopia 3D aplicados ao BTFI e SIFS. I - Identificação e redção de rído em cbos de dados obtidos com espectrógrafos Fabry-Perot. J. E. Steiner e Carlos Edardo Paladini IAG-USP 1 Introdção Com o advento da fase operacional dos instrmentos BTFI e SIFS no telescópio SOAR, é oportno elaborar procedimentos de técnicas de espectroscopia 3D para tratar os dados a serem obtidos com esses instrmentos. Esse é m primeiro relatório de ma série qe apresenta técnicas de identificação e tratamento de rído em cbos de dados obtidos com espectrógrafos Fabry-Perot. Para servir de teste, tilizamos m cbo de dados existente, obtido com otro instrmento, com o objetivo de ilstrar os procedimentos. O relatório tratará de técnicas de análise de dados obtidos com espectrógrafos Fabry- Perot. No relatório 3 serão tratados especificidades de tratamento de dados obtidos com IFU epectrógrafos com nidades de campo integral. Teoria a- Transformada de Forier Uma transformada de Forier pode ser definida como ma operação matemática qe passa ma determinada fnção para o domínio de freqüências. Colocando isso de ma otra forma, pode-se dizer qe se calclando a transformada de Forier de ma fnção, obtém-se m espectro de freqüências dessa fnção, o seja, obtém-se ma nova fnção qe fornece as componentes em freqüência da fnção original. A transformada de Forier de ma fnção contína de ma única variável, fx, pode ser dada pela eqação: Î i πx = I x e dx.1 onde é a freqüência Uma vez calclada a transformada F, a fnção original fx pode ser obtida aplicando-se a transformada de Forier inversa em F: i πx I x = Î e d. 1

2 As eqações 1.1 e 1. acima podem ser facilmente estendidas para fnções de das variáveis Ix,y. A transformada de Forier de ma fnção contína Ix,y pode ser dada por Î, v i π x+ vy = I x, y e dxdy.3 onde é a freqüência ao longo do eixo x v é a freqüência ao longo do eixo y e a transformada inversa de Î,v pode ser dada por I x, y i π x+ vy = Î, v e ddv.4 e Onde,v são as freqüências espaciais em x,y. Como o objetivo aqi, entretanto, é tilizar transformadas de Forier em cbos de dados o seja, tilizá-las nas imagens bidimensionais dos cbos de dados, o interesse maior é nas transformadas de Forier de fnções discretas e não contínas já qe ma imagem pode ser considerada ma fnção bidimensional discreta. A transformada de Forier de ma fnção discreta fx, para x=0,1,,...,m-1, pode ser dada por Î = 1 M M 1 x= 0 I x e iπx M..5 para =0,1,,...M-1 Similarmente, a transformada inversa de fx pode ser dada por I x = M 1 = 0 Î e iπx M..6 Uma importante diferença da transformada de Forier discreta para a transformada de Forier contína é qe a última pode não existir para certas fnções, enqanto qe a primeira sempre existe. Pelas eqações anteriores, pode-se dizer qe, em geral, transformadas de Forier geram valores complexos. Dessa forma, ma transformada de Forier Î pode ser escrita como

3 3 i e Î Î φ =,.7 sendo qe 1 F R Î + =.8 e = tan 1 R F φ.9 onde F = parte imaginária de Î R = parte real de Î Î = magnitde da transformada de Forier φ = ânglo de fase da transformada de Forier Uma qantidade qe é freqüentemente tilizada para representar os resltados de ma transformada de Forier é o espectro de potência, definido como F R Î P + = =..10 Assim como no caso de fnções contínas, a extensão da transformada de Forier, e sa inversa, de ma fnção discreta para o caso bidimensional é bastante simples. A transformada de Forier F,v de ma fnção discreta bidimensional fx,y, de tamanho M x N, pode ser dada por = + = = 1 0 / / 1 0, 1, N y N vy M x i M x e y x I MN v Î π..11 para = 0,1,,...,M-1 v = 0,1,,...,N-1 Por sa vez, a transformada inversa de F,v pode ser dada por = + = = 1 0 / / 1 0,, N v N vy M x i M e v Î y x I π..1

4 Analogamente ao caso de ma transformada de Forier discreta de ma fnção de ma única variável, a magnitde, o ânglo de fase e o espectro de potência da transformada de Forier discreta de ma fnção de das variáveis podem ser dadas, respectivamente, por 1 R, v F, Î, v + v =,.13 e 1 F, v φ, v = tan.14 R, v P, v = Î, v = R, v + F, v.15 b- Transformada de Anscombe A transformada de Anscombe é ma transformação de estabilização de variança qe transforma ma variável randômica com ma distribição de Poisson em ma distribição aproximadamente gassiana padrão. A transformada de Anscombe é mito sada em imagens limitadas por fótons, qando as imagens natralmente segem a lei de Poisson. A transformada de Anscombe é sada para pré-processar os dados e fazer o desvio padrão aproximadamente constante. A segir algoritmos de denoising,prodzidos para filtrar rído aditivo branco, podem ser tilizados.finalmente a transformada inversa deve ser aplicada..16 Ela transforma dados poissonianos em dados aproximadamente gassianos de desvio padrão igal a 1. Essa aproximação é válida se a média dos dados poissonianos tiverem x > 4. Um segndo aspecto importante da transformada de Anscombe é qe o FWHM da PSF amenta em. Isso significa qe no espaço de Forier a PSF se contrai do mesmo fator, amentando a margem para filtrar no espaço de freqüências. Filtros de Btterworth 4

5 Uma forma eficaz e elegante de fazer isso é transformando o cbo para o espaço de Forier e aplicando m filtro de Btterworth. Os rídos de alta freqüência, comm nos cbos de dados podem ser eliminados tilizando-se do filtro de Btterworth de passa-baixo, qe é dado por :.17 Onde, para pixel qadrado, a=b=f.g 4 ln p Fny g= π FWHMPSF d Filtragem de bloqeio de banda Um filtro de bloqeio de banda pode ser definido como.19 Onde l é a largra da banda e 0 e v0 são as freqüências do centro da banda. e-tomografia PCA Um cbo de dados obtido com IFU é caracterizado por três dimensões: xyλ. Cada pixel é caracterizado por ma intensidade Iijλ, onde ij correspondem aos pixels espaciais. Inicialmente transformamos o cbo em ma matriz Iβλ onde:.0 Sobre essa matriz Iβλ é aplicada o PCA, qe é mito eficiente em identificar padrões e correlações nos dados qe, de otra forma dificilmente seriam notados. Matematicamente o PCA é definido como ma transformação linear qe transforma os dados correlacionados em m novo sistema ortogonal de coordenadas não correlacionados, ordenados de tal forma qe o primeiro de atovetor explica a maior parte da variança atovalor, segido pelo segndo atovetor e assim por diante. A matriz de covariança dos dados originais é dada por 5

6 .1 qe tem a propriedade de ser simétrica. A transformada qe corresponde ao PCA é a dada pela fórmla:.3 onde Tβk são os dados no novo sistema de coordenadas Ekλ qe são chamados de atovetores o atoespectros. A transformação é obtida a partir da diagonalização da matriz de covariança:.4 Sendo qe os elementos diagonais dessa matriz são os atovalores. A matriz Tβk pode ser retro-projetada para a forma de cbo de dados; agora os elementos espaciais serão chamados de tomogramas, pois representam recortes dos dados no novo espaço dos atovetores. 6

7 3 Filtragem de freqüências constantes Iniciamos o processo com a filtragem de freqüências constantes. A imagem original, O, a ser filtrada é mostrada a segir. Trata-se de ma imagem da galáxia NGC 9, pertencente a m grpo compacto de galáxias. O É possível ver, em diversas regiões, estrias verticais qe estão presentes nos dados. Essas estrias forma introdzidas pelo instrmento e são classificadas como fingerprints instrmentais. A transformada de Forier da Transformada de Anscombe é mostrada a segir, como F. 7

8 O A F B FxB Nessa imagem fica evidente qe as freqüências são bem marcadas e estão no eixo x. A segir constrímos m filtro de banda, B. Mltiplicamos FxB. Dessa forma nos livramos das freqüências verticais. A transformada inversa de Anscombe da transformada inversa de Forier, denominada f, é mostrada abaixo. A diferença entre as das imagens, r=o-f também é mostrada a segir. Nela vemos a imagem das estrias qe estão presentes na imagem original, mas não na imagem filtrada. 8

9 O f O-f 9

10 4 Filtragem de Btterworth de alta freqüência espacial Tratamento com filtro de Btterworth de altas freqüências espaciais. o cbo de dados está no espaço de Anscombe. O A F B FxB B = Filtro de Btterworth n = 6.0, f =.50, p=0,4, fwhm_psf=1,6 10

11 O f Resltado do tratamento anterior, no espaço normal fora do espaço de Anscombe. r = O-f 11

12 A segir apresentamos as crvas de FWHM da PSF para filtros de Btterworth com n e f variáveis. 1

13 5 Filtragem de Btterworth de alta freqüência espectral Extraímos o espectro de ma região H II qalqer da galáxia. A segir mostramos a transformada de Anscombe desse espectro. Depois, mostramos a transformada de Forier desse espectro, o filtro de Btterworth espectral de passa-baixo, qe corta as altas freqüências. Neste caso a freqüência de corte é 0.5FNy com índice de n = 6 e o prodto BxF. Original FT Btterworth filter BF x FT Mostramos, abaixo, o espectro original, o espectro filtrado e a diferença dos dois. Original spectrm Noise = Original filtered filtered sectrm 13

14 Freqüências de cortes de 0.4 vermelho, 0.5 verde e 0.55 azl. A segir, a diferença entre o cbo original e o filtrado. 14

15 6 Sbtração de cé, inclídas as linhas de OH O cé é identificado em ma região qe não tem objetos. Podemos extrair o espectro médio e o espectro mediano. Depois mostramos o espectro da região H II 5x5 pixels com e sem o cé médio. 15

16 7 Filtragem de rídos com PCA A filtragem de rído de alta freqüência parece ser mito eficiente. Podemos, ainda fazer o PCA para ma remoção final de rído não correlacionado. Para isso identificamos os 3 atovetores, cjos atovalores são mostrado abaixo jntamente com o teste de scree. NGC 09 filtrada O diagrama de scree mostra qe os atovetores acima de 6 são dominados por rído. No entanto, por termos cerca de 1 milhão de pixels espaciais, podemos ter atovetroes nos qais o rído é dominante, mas ainda tem informação localizada exemplo: ma região H II qe não pode ser descartada. Por isso, salvamos os 8 primeiros atovetores e descartamos os atovetores de 9 em diante. 1 91,8516% 91,8516%,6405% 94,491% 3 1,5437% 96,0358% 4 1,130% 97,1588% 5 0,658% 97,8116% 6 0,3633% 98,1749% 7 0,3388% 98,5137% 8 0,3189% 98,836% 9 0,3051% 99,1376% 10 0,5% 99,3898% 11 0,9% 99,6190% 1 0,1635% 99,785% 13 0,105% 99,9030% 14 0,0537% 99,9567% 15 0,061% 99,988% 16 0,0079% 99,9908% 17 0,005% 99,993% 18 0,0007% 99,9940% 19 0,0007% 99,9947% 0 0,0001% 99,9947% 1 0,0006% 99,9954% 0,0006% 99,9960% 3 0,0006% 99,9966% 4 0,0003% 99,9968% 5 0,0005% 99,9973% 6 0,0005% 99,9978% 7 0,0003% 99,9981% 8 0,0003% 99,9984% 9 0,0004% 99,9988% 30 0,0004% 99,999% 31 0,0004% 99,9996% 3 0,0004% 100,0000% 16

17 A segir mostramos a diferença entre o cbo não filtrado e o filtrado. 17

18 8 - Comparação: Início e fim 18

19 Diferença entre o cbo original e o cbo final. 19

20 Radial velocity crve: o, f, r Free spectral range Referências: Gonzales, R. C. & Woods, R.E. Digital Image Processing, 008, Pearson Edcation Inc, New Jersey. Steiner, J.E., Menezes, R.B., Ricci, T.V. & Oliveira, A.S. 009, MNRAS, 395, 64. Agradecimentos: INCT-A/CNPq/FAPESP; Roberto Menezes; Tiago Ricci. 0