Capítulo 3 Comportamento mecânico dos materiais = = = =

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1 apítlo omportamento mecânico dos materiais Problema Uma peça prismática de comprimento L e secção transversal rectanglar de altra 0cm e largra 0cm foi sjeita ao ensaio de tracção. variação de comprimento foi determinada no valor de 0mm para a força aplicada de 00kN. Sabendo qe o material da peça tem o modlo de Yong 00GPa e o número de Poisson 05; calcle o comprimento original L e as variações da largra e da altra da secção transversal. Δ L 0mm b0cm00mm h0cm00mm ΔL ΔL L L F F b h omprimento original: ΔL 0 L 4000mm 4m Δ b b 5μ L h b F 5 ν μ Variação da largra: Δb mm 065μm Variação da altra: Δh mm 5μm

2 Problema Um bloco de plástico (960 MPa e ν 0) está fio pela base horiontal e pela base sperior a ma placa rígida de aço. alcle o deslocamento da placa rígida qando se aplica ma força F90 kn plástico F ssme-se a distribição niforme: méd 67MPa [ mm] 00? Das relações constittivas: γ méd G 960 Devido a isotropia: G ( ν) ( 0) méd 76 Logo: γ G 400 e o deslocamento é: γh MPa 05mm

3 Problema Nma roseta de etensómetros colocada na sperfície de m componente mecânico mediram-se as segintes deformações: etensómetro : 00 0 etensómetro a 45º com : etensómetro a 45º com : 40 0 Determine analiticamente a grandea e as direcções das tensões e das deformações principais e verifiqe graficamente os valores obtidos. Determine igalmente a máima tensão de corte a máima distorção e a máima distorção na sperfície do componente. Dados: 00GPa ν 0 () [ 600 0] cos 45 sin μ 40μ 0μ sin 45cos 45 0μ m 40μ R ( 0) 6 μ μ μ ( 0) tg θ p θp 8º ; corresponde a porqe < 0 direcção() pólo faceta

4 Verificação gráfica: componentes intrínsecas na faceta com a normal () 0 4 componentes intrínsecas na faceta com a normal () 0 67μ desenho ailiar componentes intrínsecas na faceta com a normal () 45º 45º 66 μ arbitrário Tensões principais: (tensão plana direcções correspondem às das deformações principais) 00 0 ( ν ) ( ) 0 58MPa ν ( ν) ( ) 0 867MPa ν 0 ν 0 0 ( ) ( ) 60μ ν 0 Nota: Não é preciso reordenar os valores porqe o valor fora do plano corresponde ao valor mínimo. Máima tensão de corte: 58 0 ma 7664MPa Máima distorção: γ 66 ( 60) 996μ rad 0057º ma Máima distorção no plano do componente: γ ma μ rad 005º

5 Problema 4 Nma roseta de etensómetros colocada na sperfície de m componente mecânico mediram-se as segintes deformações: tensómetro : 900μ tensómetro a 60º com : 00μ tensómetro a -60º com : 700μ. Determine analiticamente as grandeas e as direcções das tensões e das deformações principais. Verifiqe as grandeas das deformações principais graficamente. (tensão plana 0685GPa ν0) μ cos sin / sin 60cos60 60º cos ( 60) sin ( 60) sin( 60) cos( 60) ( / ) 60º θ p () μ 00μ μ 88 68μ [ 900; 8868] pólo direcção() m 600μ R μ μ faceta tg ( 8868) θ p θ p ( 8868) 46 μ 95º corresponde a porqe < 0 Tensões principais (tensão plana): ( ν ) ( ) 0 455MPa ν ( ν) ( ) 0 05MPa ν 0 ν 0 0 ( ) ( ) 54 9μ ν 0 Nota: Não é preciso reordenar os valores porqe o valor fora do plano corresponde ao valor mínimo.

6 6 Verificação gráfica: () arbitrário () () componentes intrínsecas com a normal () componentes intrínsecas com a normal () 8 67μ 06 μ componentes intrínsecas com a normal () Desenho ailiar 60º 60º

7 Problema 5 Nma roseta de etensómetros (veja a figra) colocada na sperfície de m componente mecânico mediram-se as segintes deformações: etensómetro (a): a 000μ 0º etensómetro (b): 500μ etensómetro (c): 750μ b c. alcle: a) s tensões principais sabendo qe 80GPa ν05; b) s direcções principais e a correspondente matri de rotação; c) sboce o referencial principal. Nota: assme-se qe as sperfícies sem cargas encontram-se no estado de tensão plana. b a c 50º 7 0º a). Introdção do referencial: Sabendo qe a alteração da posição b c dos etensómetros para ma localiação paralela com a original não afecta a solção vamos faer as 50º modificações de acordo com a a figra no lado direito e introdir os eios como indicado.. álclo das componentes de deformação relativamente ao referencial introdido: 000 a 500 b cos 60 sin 60 sin 60cos b cos 0 sin 0 sin0 cos Resolvendo -5556μ -5844μ e 000μ. Deformações principais no plano: ( 5844) m 078μ R (-555.6) 8775μ μ μ (não é preciso calclar o terceiro valor porqe só são eigidas as tensões principais e devido ao estado de tensão plana sabemos qe o valor principal qe corresponde à direcção perpendiclar ao plano é ero) 4. Tensões principais: 80 0 ( ν ) ( (-55674) ) 0 05MPa ν ( ν) ( ) 0-498MPa ν 05 0 Reordenando: 05MPa 0-498MPa c 70º b 60º a

8 8 b) Sabe-se qe as direcções principais das tensões e das deformações coincidem. Na fórmla tem qe se introdir as componentes das deformações porqe apenas estes são conhecidos relativamente ao referencial original (): ( 5556) tg( θ p ) θp 964º corresponde a direcção principal () porqe < ( 5844) () assim: e cos(964); sin(964);0 T 094; 06; 0 { } T { e } ( 0;0; ) T { e } ( sin(964); cos(964);0) T ( 06; 094; 0 ) T Os sinais da direcção principal () foram escolhidos de tal maneira para assegrar o valor do determinante da matri de rotação positivo [ R ] c) 964º

9 Problema 6 onsidere o estado plano de tensões indicado na figra. a) Determine as tensões e as direcções principais do estado dado. b) sboce o estado dado na circnferência de Mohr marqe o pólo e verifiqe os valores principais e as direcções principais. c) Represente graficamente as componentes principais nm rectanglar elementar. d) alcle as deformações principais sabendo qe 80GPa e ν07. 0 a) introdindo o referencial como na figra ao lado concli-se directamente: [ ] MPa 50 0 otras componentes de tensão são nlas devido ao estado plano 00 0 logo: m 5MPa ( 0) 00 R ( 50) 99MPa m R MPa m R MPa inclindo o terceiro valor como ero as tensões principais são: 5799MPa 0MPa MPa 8799 direcções das tensões principais: ( 50) tg θ p θp º (corresponde a sando o facto qe > 0 ) 00 0 o seja { e} () ( cos ; sin ;0 ) ( 09; 060;0) {} e ( ) ( 0;0; ) {} e ( sin ; cos ;0 ) ( 060; 09;0) b) c) [ 00 50] [ MPa] [ 0 50] faceta de ( ) pólo faceta faceta de faceta ( ) direcção direcção

10 d) cálclo das deformações principais Nota: as relações constittivas podem-se sar directamente no referencial alinhado com as direcções principais. Para o estado de tensão plana: ( ν ) ( ( 8799) ) ( ν) ( ) ν 07 ( ) ( 84) ν 07 0

11 Problema 7 Uma peça rectanglar de largra de 50 cm e de altra de 0 cm com as propriedades mecânicas 70GPa e ν0 está sjeita a m carregamento qe casa m campo de deformações na forma: ( )μ ( 4 00)μ γ ( 4 )μ γ γ 0 sendo as coordenadas introdidas em mm. a) Verifiqe se o campo de deformações é fisicamente possível. b) alcle as forças de volme a carga aplicada nas arestas horiontais e esboce esta carga. a) não é preciso verificar a compatibilidade porqe as fnções de deformação são lineares a assim derivando parcialmente das vees cada termo nas eqações de compatibilidade será nlo o seja o campo de deformações é à priori fisicamente possível. b) cálclo da tensões: Nota: devido a γ γ 0 trata-se do caso de deformação plana assim: ( ν ) ν ν ν ( 0 )( ) 0 ( 4 00 ) 0 ( ν ) ν ν Gγ ν ( 0 )( 4 00 ) 0 ( ) ( 4 ) 0 γ ν ( ) ( ) ν ν ν cálclo das forças de volme: f ( ) f 0 f 058N / mm f f 0 f 0556N / mm f f 0 f 0 f 0 f

12 arga aplicada nos lados horiontais: Nota: não é preciso faer a rotação das componentes de tensão e calclar o vector das tensões porqe a normal eterior está alinhada com o sistema global. lado : componentes de tensão qe correspondem a carga: especificação do lado : 0 sbstitindo: nas etremidades: ( 0) ( 500) nas etremidades: ( 0) ( 500) esboço: carga normal carga tangencial D 6MPa 9MPa 58MPa lado D: componentes de tensão qe correspondem a carga: especificação do lado D: 00 sbstitindo: nas etremidades: ( 0) ( 500) nas etremidades: ( 0) ( 500) esboço: carga normal carga tangencial 9MPa 8556MPa D 67MPa 4667MPa D

13 Problema 8 Um sólido elástico encontra-se no estado de deformação plana. s etensões neste plano são: 0 ; 0; e sabe-se ainda qe na direcção n r qe forma m ânglo de 0º com o eio n 0. a) alcle as tensões principais as deformações principais e as direcções principais. b) alcle a etensão na direcção qe forma 45º com o eio. c) ssmindo qe a direcção da alínea anterior coincide com a normal de ma faceta calcle a variação do ânglo originalmente recto qe fa esta normal com a respectiva faceta. Dados: 00GPa ν 0 5. a) da condição de deformação plana: 0 0 ; 0 ;? Depois da rotação a 0º: n 0 cos 0º sen 0º sen0º cos 0º 0 / 4 logo: 0 o 0 γ / 4 Deformações principais: 0 0 m 0 R 0 m R m R tg 0 ( 0 ) 0 0 ( θ ) θ 0º p 0 0 p (corresponde a como < 0 ) direcção() [ 0 0 ] pólo faceta omo 0 (deformação plana) depois da reordenação: 0 (direcção definida pelo ânglo -0º) 0 (direcção perpendiclar ao plano ()) 0 { e} ( cos 0; sin 0;0) ( 0866; 05;0 ) { e} ( ) ( 0;0; ) { e} ( sin 0; cos 0;0) ( 05; 0866;0)

14 Tensões principais: 6 0 ( 05) 0 05 ( 0 ) 64MPa 4 ( ν ) ν ν ν 05 ν( ) 05( 64 0) 6MPa ( ν ) ν ν ( 05) ( 0 ) 05 0 ν ) b) O versor da direcção da etensão solicitada: / {} n / 0 0 / ( / / ) ( ) 0 07 n / c) O vector nitário na faceta: / {} s / Δθ T {} s []{} n / 0 0 / / ( ) º / o seja o ânglo amenta. Nota: a ordem dos vectores {s} e {n} na mltiplicação referente à eqação acima não é importante. ontdo se a orientação do {s} for ao contrário marcava ma região do material diferente e o resltado Δθ fosse positivo. Podem-se também sar as eqações para a rotação do sistema de coordenadas n 0 Δθ cos 45º ( ) 0 ( ) sen 45º sen45º cos 45º ( ( ) sen45º cos 45º ( cos 45º sin 45º ) ( 0) ( ) r s faceta 45º n r 4

15 Problema 9 Um sólido elástico cjo contorno é dado na figra está cm sjeito a m estado de tensões niforme. Sabe-se qe ma das direcções principais é (00) e tensão principal correspondente é ero. Mais se sabe qe as componentes P Q intrínsecas nos planos com a normal (00) e (00) são: cm t n 00 MPa t t 40 MPa t n 40 MPa t t? MPa cm respectivamente e qe o ponto da faceta da normal (00) está localiado em cima do eio das componentes normais na circnferência de Mohr correspondente ao plano (). Determine: a) as componentes cartesianas do tensor das tensões no referencial 0; b) as tensões e as direcções principais; c) o comprimento final da aresta PQ assmindo qe o material é isotrópico com 0 GPa e ν0. 5 a) omo a direcção (00) é principal logo: 0 MPa e conseqentemente a componente intrínseca tangencial nos planos com a normal (00) e (00) coincide com daí t t t t 40 MPa e 40 MPa. O sinal da componente tangencial é possível determinar do facto qe o ponto da faceta da normal (00) está localiado em cima do eio das componentes normais o seja a componente roda negativamente. (a vista tem qe ser direccionada contra o terceiro eio). Logo: 40 MPa como se vê da figra. Mais se sabe: t n 00 MPa e t n 40 MPa Resmindo: 00 0 [ ] b) s tensões principais no plano () (as formlas devem-se obter pela rotação cíclica dos índices): m 70MPa R 40 50MPa m R MPa m R MPa por isso 0MPa

16 s direcções das tensões principais: 40 tg( θ p ) θp 66º (medido a partir de eio e corresponde a sando o facto qe 0 6 {} e () ( cos 66;0;sin 66) T ( 0894;0;0 447 ) T {} e ( sin 66; cos 66;0) T ( 0447;0; ) T {} e ( 0 0) T corresponde a 0 corresponde a 0 MPa corresponde a 0 MPa o ainda as direcções principais podem-se calclar da maneira seginte: correspondente a : () v v 0 () () v v 0 () assmindo v () dá v 05 o seja { v } ( ;0;0 5) T normaliado { e } ( 0894;0;0 447 ) T correspondente a : v v v 40 0 v 0 assmindo v dá v o seja { v} ( ;0; ) T e 0447;0; c) comprimento final da aresta PQ: constantes elásticas: 0 GPa e ν0; a variação do comprimento é dada por ( ν( )) 0 0( 00 40) ΔPQ PQ mm inicial normaliado { } T μ PQfinal PQinicial ΔPQ mm

17 Problema 0 O estado das deformações do paralelepípedo da figra ao lado é caracteriado pelas segintes componentes: a( 4 7 5) H a( 6 5 6) F a( ) G 0cm a( 5 7) D 0 0cm onde a0-6 mm -. 5cm a) Verifiqe a compatibilidade das deformações; c) alcle e esboce a carga na face com a normal oposta ao assmindo qe 50GPa e ν05. a) O campo de deformações é linear por isso não é preciso de verificar a compatibilidade. ampo linear é sempre compatível (fisicamente possível) porqe cada termo das condições de compatibilidade contém segndas derivadas das componentes de deformação qe se anla. c) componentes de tensão qe definem a carga na face DH: e ( ν ) ν ν ν 50 0 (( 05)( 4 7 5) 05( ) ) G 60GPa ( ν) ( 05) Gγ Gγ 0 Na face DH Valores nos vértices: D H MPa MPa MPa D MPa H MPa MPa ( 5 7) H arga normal D arga tangencial 5 H D 0 50

18 Problema Uma placa no estado de tensão plana (da figra ao lado) está sjeita a m carregamento qe origina o campo de deslocamento linear cjos valores nos cantos estão designados na figra. onsidere o referencial dado e calcle: a) as fnções de deslocamentos no plano da placa; b) os valores de deslocamento no canto D e esboce a placa deformada; c) a carga (de sperfície e de volme) represente-a graficamente e verifiqe o eqilíbrio global (0GPa ν0); d) tensões e deformações principais e as sas direcções no ponto (5dm 0dm) esboce os qadrados elementares deformados no referencial original e principal (0GPa ν0);??? D 005mm 05mm 8 0mm 0mm 5dm 0dm 0mm 005mm v v v a) a b c v a b c canto : 05 a 0 b 0 c c 0 5 v v v v 005 a 0 b 0 c c 005 canto : 0 a 000 b 0 05 a 05 0 v v v 005 a 000 b a 0 0 canto : b b b 0 0 v b v 0 0 v b) canto D: mm D vd mm O componente mecânico deformado pode-se determinar a partir da posição nova dos qatro vértices. Os lados mantém-se rectos porqe a fnção do deslocamento é linear. c) Primeiro é preciso calclar as deformações no plano 005mm 05mm 0mm 005mm (neste caso poderiam ser igalmente determinados directamente dos deslocamentos) v v γ nas condições de tensão plana ( 0 ) ( ν ) ( ) 0 69MPa ν 0 ν 0 0 ( ν ) ( ) 0 08MPa 0 [ MPa] 08 05mm 0mm 69 0mm 0mm [ MPa] 077

19 Gγ 0 0 ( 0 0 γ ) 0 077MPa ν s componentes de tensão correspondem directamente a carga aplicada as forças de volme são nlas porqe a distribição das tensões é niforme qilíbrio global: as cargas normais opostas eqilibram-se directamente porqe as forças resltantes actam na mesma linha de acção e são opostas; as forças resltantes da carga tangencial formam dois binários da mesma intensidade e rotação oposta. O facto de os binários terem as intensidade igais é obvio porqe no cálclo de m deles apenas o comprimento onde a carga acta e o braço são trocados relativamente ao otro. Mais ainda a carga corresponde a representação das componentes nm rectânglo elementar tem qe por isso corresponder a m estado em eqilíbrio. d) m dos valores principais tem a direcção perpendiclar ao plano { e } ( 00 ) T ν 0 o seja 0 ( ) ( 05 0) ν 0 valores a direcções principais no plano (a designação do ponto é despreável porqe a distribição é niforme) Deformações principais (igalmente poderiam ser calcladas primeiro as tensões principais): m 0 75μ R μ 8 7 ma m R μ min m R μ tg( θ p ) 55 θp 86º (corresponde a ma porqe < 0 ) direcção de min é perpendiclar Qadrado elementar deformado Reordenação ma 7μ (direcção definida pelo θ p 86º ) No referencial original min 6 μ 7 00 (direcção no plano () perpendiclar a definida pelo θ p 86º ) ( μ) 50μ (direcção (00) T ) 50 Tensões principais: ( ν ) ( ) 0 480MPa ν 0 No referencial principal 0 0 ( ν) ( ) 0 70MPa ν º 9 ( μ) 7

20 Problema É dado m campo de deformações na forma: ( - 6 )μ ; (- 8 - )μ ; (- - )μ ; (- 9-5 )μ ; ( 7 4 )μ ; ( 4 - )μ onde as coordenadas deverão ser O introdidas em milímetros. a) verifiqe se o campo é fisicamente admissível; b) calcle a etensão em na direcção ; D c) calcle a variação do ânglo originalmente recto D; d) calcle as componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões na face no ponto. onsidere as segintes coordenadas dos pontos em milímetros: (400); (040); (006) e constantes elásticas 80GPa ν05. O ponto D está posicionado no meio da recta. a) γ (-9-5 ) μ (-8-0 )μ ; γ γ ( 7 4 ) μ ( 4 8 )μ ( 4 - ) μ ( 8-6 )μ ; γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ μ sim. 0 sim b) [ ] μ direcção -[0-46] ( 0 0 0) ( 0 0 0) ( 0 0 0) ( ( 4) 80 0 ( 4) 64 6 ( 4) ) 9 μ c) direcção D-D[-0] D direcção D-D[--6] D 6 verificação de ortogonalidade: ( ) ( ) ( ) D D

21 sim sim [] 8 4 μ 4 6 μ D 0 ΔθD D D 57 0 rad d) [ ] μ μ sim. 0 sim ( 05) ν ν ν ν ) ν ν ν ν ( 05 48) MPa ν ν ν ν ( 05 48) MPa 0 Gγ 0 68MPa Gγ ( ν) ( 4 ( ) ( ) 4 ( ) 0 56 ( ( ) ( ) ( ) ) 8 ( ( ) 6 0) 6 ( 6 0) ) ( ν) 6 ( 4) 0 076MPa [ ] MPa sim. 456 Determinação da normal à face qação do plano (forma canónica): r normal: ~ r n ~ n omponentes cartesianas: / {} t n / 4 05 {} ~ ~ n sim. 456 / omponentes intrínsecas: t MPa [ ] {} MPa t n ~ {} {} t n / 4 / 6 T {} ~ n ( 046; 05;789) / MPa {} t ( t ) ( 046) ( 05) ( 789) ( 885) 605MPa t n

22 Problema Um componente mecânico está sjeito ao carregamento qe origina o campo de deslocamentos na forma: (04) 0 - v (-506) 0 -. a) sboce o componente mecânico deformado. b) sboce o carregamento nos lados assmido qe o componente se encontra nas condições de tensão plana. c) alcle a etensão na direcção perpendiclar ao plano do componente. Dados: 00GPa ν 0. 5dm dm a) O componente mecânico deformado pode-se determinar a partir da posição nova dos qatro vértices após da aplicação do carregamento. Os lados mantém-se rectos porqe a fnção do deslocamento é linear. (04) 0 - v (-506) 0 -. D 08 [00] (04 0 0) 0-0 v ( ) 0-0 [50] (04 5 0) dm00mm v ( ) dm-075mm [5] (04 5 ) dm080mm v ( ) dm-057mm D[0] D (04 0 ) dm060mm v D ( ) dm08mm Nota: o esboço não precisa de estar em escala e por isso os valores são postos por conveniência em [mm] mas na realidade são amentados relativamente às dimensões originais b) Para poder esboçar a carga aplicada nos lados do componente é preciso determinar as tensões e para isso tem qe se primeiro calclar as deformações: μ v μ v μ álclo das tensões (tensão plana): ( ν ) ( ) 747MPa ν ( ν ) ( ) 584MPa ν Gγ MPa ( ν) ( 0) D

23 omo a distribição das tensões é niforme não é preciso determinar separadamente os valores nos lados sjeitos ao carregamento. arga normal 584 arga tangencial (Nota: em elasticidade linear a carga esboce-se no componente não deformado) c) das relações de tensão plana: ν ν 0 μ

24 4 Problema 4 Uma peça trianglar de almínio está sjeita ao carregamento de tal maneira qe o campo de deslocamentos é linear ( v lineares w 0). Sabendo qe o vértice [5] desloca-se para direita pelo 0 mm e o vértice [6] para cima pelo 0mm determine a carga aplicada no lado. s coordenadas dos pontos têm nidade [cm] e as constantes elásticas da peça são 70GPa ν0. Determinação do campo de deslocamento: a b c v v v a b ( 00) a 0 b 0 c 0 c 0 v v v v( 00) a 0 b 0 c 0 v c 0 ( 500) a 50 b 0 c 0 v v v v( 500) a 50 b 0 c 0 ( 060) a 0 b 60 c 0 v v v v( 060) a 0 b 60 c 0 Resolvendo: Resolvendo: v v a 64 0 b 07 0 a 4 0 b 57 0 Determinação das deformações: v v w a 64 0 b v v γ b a γ γ 0 Determinação das tensões (deformação plana): ν ν ν ν c v ( ) 56944MPa ( ν ) ν ν 70 0 ( 0) ν ) 4078MPa mas não é preciso para a determinação da carga no lado ( G ) 0 5MPa γ álclo da carga aplicada no lado cos α sin α 5 07 sin α cos α sin α cosα MPa ( 5) ( ) sin α cosα ( cos α sin α) ( ) ( 5)( ) 799MPa 597 α 4799