PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS APLICADO À FLEXÃO DE BARRAS COM FORTE NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA

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1 3 PRNCÍPO DOS TRABALHOS VRTUAS APLCADO À FLEXÃO DE BARRAS COM FORTE NÃO LNEARDADE GEOMÉTRCA José Mário Feitosa Lima * Li Fernando T. Garcia ** RESUMO No presente trabalho, à l do modelo apresentado por GARCA (987) para a fleão dinâmica de barras prismáticas com forte não linearidade geométrica, são institídas inicialmente as epressões dos trabalhos virtais interno e eterno, as qais, em pblicação posterior, servirão de base a m tratamento nmérico do problema por diferenças finitas energéticas. Dedem-se, ainda, como conseqüência da aplicação do princípio dos trabalhos virtais, as eqações diferenciais e as condições de contorno do problema. PALAVRAS-CHAVE: Fleão de Barras; Análise Dinâmica; Não Linearidade Geométrica. ABSTRACT n the crrent ork, based on a model presented b GARCA (987) for bending problems of prismatic bars ith strong geometric non-linearit and dnamic loads, the eqations for internal and eternal virtal ork ere developed. n a ftre pblication, these eqations ill serve as a basis for the nmerical treatment of the problem in qestion b the energetic finite difference method. Also in the present ork the differential eqations and bondar conditions for the problem are developed from the principle of virtal ork. KEY WORDS: Bending of Bars; Dnamic Analsis; Geometric Non Linearit. * Prof. Assistente. DTEC (UEFS). Engenheiro Civil. Mestre em Engenharia Civil, COPPE (UFRJ). jmflima@efs.br Universidade Estadal de Feira de Santana Dep. de Tecnologia. Tel./Fa (75) BR 6 KM 3, Camps - Feira de Santana/BA CEP ** Engenheiro Civil. Dotor em Engenharia Civil, COPPE (UFRJ). Prof. Adjnto - Programa de Engenharia Civil (PEC) da COPPE (UFRJ). taborda@coc.frj.br Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

2 3 NTRODUÇÃO Em sa tese de dotorado, GARCA (987) apresento m modelo estrtral aplicado ao comportamento de barras prismáticas sjeitas à fleão plana, considerando tanto cargas dinâmicas qanto forte não linearidade geométrica. Nesse trabalho, o referido ator formlo, analiticamente, o problema, institindo as eqações diferenciais e correspondentes condições de contorno. Para tanto, visando assegrar ma maior confiabilidade no processo analítico de obtenção dessas eqações, GARCA (987) tiro partido de dois procedimentos distintos, qais sejam: o princípio de D Alembert aplicado ao eqilíbrio dinâmico de barras, estratégia clássica e largamente tiliada por diversos atores, a eemplo de CLOUGH e PENZEN (993) e PAZ (985); e o princípio de Hamilton, qe tem a vantagem de fornecer, de forma natral e consistente, as eqações diferenciais e, simltaneamente, as condições de contorno do problema. Posteriormente, ainda no mesmo trabalho, GARCA (987) implemento m tratamento nmérico sobre as eqações diferenciais do problema, simplificadas para o caso de amortecimento nlo, tiliando diferenças finitas tradicionais, para representar as derivadas dos deslocamentos no espaço, e o método da aceleração constante, visando avaliar as derivadas no tempo. Além disso, ma segnda abordagem tiliando elementos finitos, conjntamente com o método da aceleração constante, foi também apresentada. Nessa fase do trabalho, mais especificamente, qando da tentativa de abordar o problema por diferenças finitas, GARCA (987) destaco m problema qe servi de inspiração para se conceber e empreender ma pesqisa no Departamento de Tecnologia da UEFS, cjos resltados propiciaram a concepção da presente pblicação. O citado ator relato qe, ao trabalhar com as eqações diferenciais gerais de qarta ordem do problema, não obteve resltados nméricos satisfatórios, tradidos, principalmente, pela etrema dificldade de convergência no processo iterativo de Neton-Raphson, mesmo Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.-3, jan./jn.

3 33 em eemplos com fraca não linearidade geométrica. Para resolver esse impasse, gero das eqações íntegro-diferenciais para o problema, através de ma prévia integração nas eqações diferenciais originais. Em conseqüência disso, o tratamento nmérico passo a envolver, também, integração nmérica. Por otro lado, a redção da ordem da derivada mais alta no espaço, de qarta para terceira ordem, propicio m aspecto favorável, já qe derivadas de ordem mais baia tendem a ter representações em diferenças finitas mais precisas. Com o aílio dos dois tratamentos nméricos citados anteriormente (diferenças finitas e elementos finitos), o modelo de GARCA (987) pôde então ser aferido mediante o estdo de algns casos de carregamento e de vinclação na barra, confrontando-se as solções nméricas entre si e, por vees, comparando-as com solções analíticas disponíveis. No presente artigo, pretendem-se institir, para o modelo de GARCA (987), as epressões dos trabalhos virtais interno e eterno visando m posterior tratamento nmérico alternativo por diferenças finitas energéticas, tradido pela tiliação, na epressão do princípio dos trabalhos virtais (ptv), de representações em diferenças finitas para as derivadas no espaço. Tal abordagem já foi implementada e testada com scesso por LMA (995), para m caso particlar do modelo de GARCA (987). Além disso, como conseqüência direta da aplicação do ptv, são aqi obtidas as eqações diferenciais e as condições de contorno estáticas e cinemáticas para o problema. SSTEMA DE REFERÊNCA Conforme estabelecido por GARCA (987), adota-se o sistema cartesiano de referência X, Y e Z, observando qe o eio X coincide com o próprio eio da barra em sa configração indeformada, e qe os demais eios, Y e Z, estão contidos no plano da seção da etremidade esqerda da barra, conforme eplicita a Figra : Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

4 34 Y Z X Figra - Sistema de referência adotado 3 HPÓTESES BÁSCAS As hipóteses consideradas para o problema podem ser apresentadas, segndo a sa natrea, em dois grpos: A) HPÓTESES GEOMÉTRCAS. Admite-se qe, drante a fleão, ocorrem grandes rotações, porém as deformações específicas e distorções mantêmse peqenas em relação à nidade;. As seções transversais da barra permanecem, com a fleão, planas e normais ao eio (Hipótese de Navier-Bernolli). Além disso, admite-se qe a seção permanece indeformada; 3. Considera-se qe a barra é prismática e qe apresenta m plano vertical de simetria XZ, no qal se spõe qe atam todos os carregamentos, acarretando, assim, fleão plana; B) HPÓTESES MECÂNCAS 4. Considera-se qe o material da barra é visco-elástico, comportando-se, segndo a lei constittiva do sólido de Kelvin- Voigt; 5. As componentes normais de tensão σ e são admitidas peqenas, qando comparadas com σ σ Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

5 35 4 CAMPO DE DESLOCAMENTOS Com base na Figra e atentando-se para as hipóteses geométricas, o deslocamento de m ponto genérico B da barra pode ser epresso em termos das componentes, v e (associadas aos eios X, Y e Z, respectivamente, e admitidas como positivas qando no mesmo sentido destes) por: (,,, t) (, t) senθ (.a) (,,, t) v (.b) (,,, t) (, t) ( cosθ) (.c) (, ) ( ) onde t e, t são as translações segndo os eios X e Z de m ponto B o localiado sobre o eio da barra, e com θ θ(, t) representando a rotação do eio nesse mesmo ponto, admitida como positiva qando corresponde a m giro de X para Z. S h B o B C o X, d ds ( E o )d cos θ h S* B o * * B C o * θ 'd.. θ ( ' )d Z, sen θ Figra - Deslocamentos, e θ nm certo instante t Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

6 36 Etraem-se ainda, da Figra, as segintes relações: sen E o θ (.a) cosθ ' (.b) Ε o tanθ (.c) ds d E onde o termo o d qe representa a deformação específica da fibra elementar B C do eio da barra, foi o o despreado em virtde da premissa de peqenas deformações específicas em presença da nidade. 4. RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO Em atendimento à hipótese, são consideradas as relações deformação-deslocamento gerais da Elasticidade Não Linear, as qais, em virtde da hipótese, qe acarreta a nlidade das componentes ε, ε, γ, γ e γ, redem-se apenas à componente assim epressa: ε v ε (3) Sbstitindo-se as epressões () em (3), e operando, terse-á: ε θ cosθ θ cosθ θ senθ θ (4) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

7 37 Com o so das epressões (a) e (b), pode-se reescrever a epressão anterior na forma seginte: ε θ θ. (5) Mas, face à hipótese, o último termo nesta última pode ' ser despreado em presença de θ, resltando finalmente para ε : ε θ (6) Observando-se qe o conjnto dos três primeiros termos de (6) pode ser identificado como a deformação específica ε de ma fibra elementar do eio da barra, a componente ε fica então escrita na forma mais compacta: ε ε θ (7) com ε o E o. 4.. Relação Constittiva Considerando-se a hipótese 4, a lei constittiva tomada por GARCA (987), correspondente ao sólido de Kelvin-Voigt, pode ser escrita como sege: σ (8) Eε ε Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

8 38 onde E e representam propriedades do material da barra, sendo a primeira grandea o módlo de elasticidade longitdinal e a segnda, o coeficiente de viscosidade. ntrodindo em (8) a epressão de ε dada em (6), reslta para σ [( ) θ ] σ E θ 4.. Esforços Solicitantes em Fnção dos Deslocamentos Os esforços solicitantes diretamente reqeridos pela formlação, M, e N, respectivamente o momento fletor em torno do eio Y e o esforço normal, são eplicitados, em conjnto com o esforço cortante Q, todos com os ses sentidos positivos, na Figra 3. (9) M Q N Figra 3 - Esforços solicitantes nma seção genérica da barra A avaliação de N e M é feita recorrendo-se às definições clássicas para esses esforços, como resltantes de tensões nma seção transversal genérica de área A da barra: N σ d Α A (.a) M σ dα A (.b) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

9 39, e proce- Mediante sbstitição da epressão (9) de dendo à integração, obtém-se: σ N EA A E θ θ [( ) ] (.a) M (.b) qe são, portanto, as epressões para o esforço normal e o momento fletor em termos dos deslocamentos, com a grandea representando o momento de inércia da seção em relação ao eio Y. Ressalte-se qe, embora o esforço cortante não participe diretamente da formlação aqi apresentada, pode-se, a partir do eqilíbrio dinâmico de m elemento de barra, estabelecer, para o mesmo, a seginte epressão: Q M µ θ E θ θ µ θ () onde a grandea µ é a massa específica do material da barra e o termo µ θ.. representa a força generaliada de inércia de rotação por nidade de comprimento, f, a qal será introdida posteriormente, qando da avaliação da parcela do trabalho virtal eterno. 4. PRNCÍPO DOS TRABALHOS VRTUAS δw et O ptv estabelece a igaldade entre os trabalhos virtais das forças internas δ e eternas δw, o seja, W int et δ W δ o δw δw int W et int et (3) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

10 4 Nos dois sbitens a segir, desenvolvem-se, individalmente essas das parcelas do ptv, tendo como objetivo principal determinar as sas epressões qe, em trabalho posterior, serão tomadas como base para o tratamento nmérico por diferenças finitas energéticas. Na seqüência, será aplicado o ptv e, como decorrência, obter-se-ão as eqações diferenciais e correspondentes condições de contorno do problema. 4.. Trabalho Virtal das Forças nternas O trabalho virtal das forças internas pode ser assim epresso: δw σ δε dv int V onde V representa o volme da barra, o então: (4) L δw ( d int σ δε Α)d A Com base na epressão (6) de variação dessa grandea na forma: δε δ δ δ δθ ε (5), obtém-se a primeira (6) ntrodindo-se então δε ora calclado em (5) e, em segida, procedendo à integração na área da seção, reslta para : δw int [ N( ) δ N δ M δ ] δw l int θ d (7) Em raão do tratamento nmérico a ser posteriormente implementado, torna-se necessário reescrever essa epressão em termos dos deslocamentos incógnitos do problema e. Para tanto, basta, primeiramente, inserir em (7) as epressões dos esforços N e M, (.a) e (.b), respectivamente, obtendo-se: Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

11 4 δw int L 3 3 EA [( ) ( ) ] δ A 3 ΕΑ A ( ) [ ] δ ( E θ θ ) δ d θ (8) Em segida, com o aílio das relações (), avaliam-se as grandeas envolvendo nessa epressão, isto é, θ δθ δθ δ δ d θ θ ( ) ( δθ ) δ δ δ ( ) (9) () () as qais, inseridas em (8), condem a: δw int L 3 3 EA E ( ) [ A( ) ] [ A( ) ] Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

12 4 ( ) δ 3 EA ( ) E [ A( ) ] [ ] ( ) δ { ( ) A E ( ) [ ] } δ { E ( ) [( ) ( )] [( ) ( ) ] } δ d () qe é a epressão do trabalho virtal interno na forma reqerida para implementação do tratamento nmérico por diferenças finitas energéticas. 4.. Trabalho Virtal das Forças Eternas O trabalho virtal das forças eternas será avaliado, em consonância com a hipótese 3, pela seginte epressão, en- Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

13 43 volvendo a contribição das cargas de domínio e das possíveis cargas prescritas nas etremidades da barra: δw et { [ q () f ] δ [ q () f ] δ f δθ } L d [ F ] L δ Fδ M δθ sendo as cargas de domínio representadas por: ( ) ( ) q - carga aial distribída segndo o eio X; q - carga transversal distribída segndo o eio Z; f - força de inércia de translação por nidade de comprimento segndo o eio X ; f f - força de inércia de translação por nidade de comprimento segndo o eio Z; - força generaliada de inércia de rotação por nidade de comprimento; e as cargas de etremidade por: F - força aial prescrita nos etremos da barra; F - força transversal segndo Z, prescrita nos etremos da barra; M - momento em torno de Y, prescrito nas etremidades da barra. Esse caso geral de carregamento está representado na Figra 4, destacando-se qe todas as cargas foram representadas com os sentidos convencionados como positivos. (3) M F f F M L f f q q Figra 4 - Carregamento da barra F L F L Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

14 44 O cálclo das forças de inércia, a partir das correspondentes definições etraídas de GARCA (987), é eplicitado a segir: f µ da µ ( senθ ) da µ A A A t (4.a) f f [ ( θ )] µ A t µ da µ cos da A A θda µ cos senθda A µ µ θ A (4.b) (4.c) δw et δw et Sbstitindo agora essas epressões em (3), tem-se para : { [ q () µ A ] δ [ q () µ A ] δ µ θδθ } L d [ F δ F δ M δθ ] L (5) δw et Por otro lado, para epressar na forma conveniente ao tratamento nmérico por diferenças finitas energéticas, impõe-se reescrevê-lo somente em fnção dos deslocamentos incógnitos do problema, conforme observado no sbitem anterior para δw. Portanto, atentando-se qe as grandeas int θ e δθ, presentes em (5), podem ser avaliadas com o aílio das epressões (), o seja, θ θ [( ) ] ( ) t t (6) θ θ δθ δθ (, ) δ δ δ ( ) δ (7) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

15 45 e, em segida, sbstitindo essas em (5), reslta finalmente para δ W et : L δ Wet [ q () µ A ] δ [ q ( ) µ A ] δ [ ( ) ] µ δ [( ) ( ) ] µ δ d [ Fδ Fδ M δ M ( ) δ ] 4.3 EQUAÇÕES DFERENCAS QUE REGEM O PROBLE- MA As eqações diferenciais do problema, bem como as condições de contorno, são obtidas diretamente do ptv, isto é, pela igaldade entre δ W int e δ Wet. Com esse objetivo, focalia-se, primeiramente, a parcela δ W int dada em (7), e fa-se ma integração por partes no segndo membro dessa, obtendo-se: δw L [ ( )] ( ) int N δ N δ M δθ d [ N( ) δ N δ δθ ] L δθ Sbstitindo avaliado em (7), no integrando de (9), a epressão de assme então a seginte forma: δw δw int M [ N( ) δ N δ δθ ] L M L (8) (9) [ N( )] δ ( N ) δ M δ M ( ) δ d L int (3) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

16 46 a qal jstifica ma nova integração por partes nos dois últimos termos do integrando, do qe reslta: δw L [ ( ) ] [ ( int N M δ N M )] δ d [ N( ) M ] δ N M ( ) [ ] δm δθ δw et Qanto à otra parcela do ptv, dada em (5), fase nessa a sbstitição das grandeas θ e δθ, presentes no integrando, pelas respectivas epressões (6) e (7), donde se obtém: L δ Wet [ q() µ A ] δ [ q() µ A ] δ [ ( ) ] δ µ [( ) ( ) ] δ µ d [ F δ F δ M δθ ] L Finalmente, procedendo-se a ma integração por partes nos termos do integrando contendo δ e δ, reslta para o trabalho virtal da forças eternas: L (3) (3) δw et [ ] δ L () ( ) q A µ µ Y () A µ µ [( ) ( ) ] δ Y q d [ Fδ Fδ M δθ ] L (33) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

17 47 Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn. Aplicando-se o ptv, o seja, igalando-se as epressões (3) e (33), obtém-se, para o domínio, as segintes eqações diferenciais para o problema, escritas em termos dos esforços N e M : Alternativamente, com o aílio das epressões (.a), (.b), () e (), obtêm-se as eqações diferenciais escritas totalmente em termos dos deslocamentos e no instante t: ( ) ( ) [ ] () q A M N µ µ (34.a) ( ) ( ) ( ) [ ] () q A M N µ µ (34.b) 3 3 EA ( ) E ( ) [ ] ( ) [ ] A A ( ) ( ) ( ) q A µ µ µ (35.a) 3 EA ( ) E ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] A A ( ) ( ) ( ) ( ) () q A µ µ µ (35.b)

18 CONDÇÕES DE CONTORNO DO PROBLEMA Da igaldade entre as epressões (3) e (33), dedemse, também, as segintes condições estáticas e cinemáticas nas etremidade da barra (com barra sperior indicando valores prescritos das grandeas): ( ) M F N o (36.a) ( ) F N M o (36.b) M M θ θ o (36.c) o ainda, recorrendo-se às epressões () e () de N e M : 3 3 EA ( ) E [ A( ) ] [ A( ) ] ( ) F EA 3 o (37.a) ( ) E [ ] [ A( ) ( )] A ( ) ( ) ( ) F ( ) [ ( ) ] M E o (37.b) o θ θ (37.c) Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.

19 49 5 CONSDERAÇÕES FNAS Com este trabalho, de cnho eminentemente analítico, pode-se considerar cmprida a primeira parte dos objetivos globais da pesqisa, qal seja: a) nstitição das epressões dos trabalhos virtais interno e eterno para o problema em estdo, eqações () e (8), respectivamente, escritas, eclsivamente, em termos dos deslocamentos e, forma essa apropriada à implementação posterior do tratamento nmérico por diferenças finitas energéticas; b) Dedção, a partir do ptv, das eqações diferenciais qe regem o problema e correspondentes condições de contorno estáticas e cinemáticas, eqações (35) e (37), tendo-se, assim, a formlação analítica completa do problema. A esse respeito, cabe destacar qe a dedção de GARCA (987) baseo-se no princípio de Hamilton, o qe é eqivalente à tiliação do ptv. Resta, por fim, enfatiar qe, dada a compleibilidade das eqações geradas, jstifica-se, plenamente, a implementação de abordagens nméricas visando gerar ferramentas comptacionais para eplorar o potencial da teoria. Portanto, à l desse entendimento, será apresentada, nma próima pblicação, a formlação nmérica por diferenças finitas energéticas para o problema, combinada com o método da aceleração constante como procedimento de marcha no tempo. REFERÊNCAS CLOGH, R. W. ; PENZEN, J. Dnamics of strctres,. ed. Ne York: McGra-Hill, 993. GARCA, L. F. T. Uma contribição ao estdo da fleão de barras com forte não linearidade geométrica Tese (Dotorado em Engenharia Civil) - COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. LMA, J. M. F. Análise dinâmica da fleão de barras com não linearidade geométrica tiliando diferenças finitas energéticas Tese (Mestrado em Engenharia Civil) - COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro. PAZ, M. Strctral Dnamics,.ed. Ne York: Van Nostrand, 985. Sitientibs, Feira de Santana, n.6, p.3-49, jan./jn.