Módulo de elasticidade ou módulo de Young

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1 CAPÍTULO FLEXÃO DE VIGA Antecedendo a apresentação da formulação de diversos tipos de elementos de viga, efectua-se em seguida uma revisão dos fundamentos da flexão de vigas. Apenas são consideradas as deformações devidas às tensões normais.. - imbologia Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulação da flexão de vigas. Tabela. - imbologia relativa à flexão de vigas. g l i j x u θ G ε E Referencial geral Referencial local Primeiro nó de uma barra egundo nó de uma barra Coordenada cartesiana Campo de deslocamentos Ângulo Centro de gravidade Extensão Tensão normal ódulo de elasticidade ou módulo de Young uperfície Esforço axial 9

2 k A I omento flector Curvatura Área da secção transversal da barra prismática omento de inércia da secção transversal da barra prismática. - Flexão composta plana Considere-se uma barra prismática de eixo rectilíneo e secção variável, representada na Figura. conjuntamente com os referenciais geral ( g ) e local ( l ). g l l l i j g g i < j Fig.. - Barra ij, referencial geral g e referencial local l. Oeixol do referencial local coincide com o eixo da barra e está orientado do nó i para onój, correspondendo i e j à numeração global dos nós da malha. Os eixos l e l são os eixos principais centrais de inércia da secção transversal. Apesar de a secção ser variável, considera-se que a localização destes eixos é constante ao longo da barra. A transformação dos deslocamentos generalizados e das forças generalizadas entre os referenciais l e g encontra-se descrita nos Capítulos e. o estudo que se segue, apenas é considerado o referencial l, que passa a ser designado por x. upõe-se também que todas as acções estão contidas no plano (x, x ), sendo os 94

3 deslocamentos segundo x considerados nulos. a Figura. está representado o eixo da barra indeformado e deformado, para o caso da flexão plana. Encontra-se também representada a secção transversal da barra, cujos eixos principais centrais de inércia são x e x. u x x θ G x u ( x ) x u Fig.. - Barra deformada e secção transversal. Uma vez que os deslocamentos são muito pequenos, considera-se tan θ θ () sendo θ o ângulo de rotação do eixo da barra. A função u (ver a Figura.) corresponde ao deslocamento do eixo da barra, que apenas depende de x. De acordo com () e com a equação da deformada, que se encontra representada na Figura., tem-se ( ) θ x () a Figura. encontram-se representados os deslocamentos de três pontos de uma secção transversal (A, O e B). 95

4 u x u ( x ) θ B' A' B O A x B B' θ O' O O' u O ( x ) u ( x, x ) A A' x u Fig.. - Barra deformada e deslocamentos da secção transversal. Admite-se que uma secção plana se mantém plana após a deformação. Admite-se também que uma secção perpendicular ao eixo da barra mantém esta característica após a deformação. O ponto O apresenta coordenada nula segundo x. O deslocamento do ponto O segundo x é designado u O e depende apenas de x. O deslocamento de um ponto genérico da secção transversal segundo x depende de x edex e é definido pela seguinte expressão ( x x ) u ( x ) x ( ) u O θ (), x ou u uo θ (4) x A extensão segundo x édadapor ε u x x ( u x θ ) O O x d θ (5) Aextensãoε é positiva quando existe um alongamento. ubstituindo () em (5) obtém-se O ε x (6) d x 96

5 Uma vez que se consideram muito pequenas as dimensões da secção transversal em comparação com o comprimento da barra, pode-se desprezar o efeito das tensões normais e, ficando a lei de Hooke reduzida a ε / E,ou O d θ E E E x ε (7) sendo E o módulo de Young, que é sempre positivo [.]. A um valor positivo da tensão corresponde uma tracção. ubstituindo () em (7) resulta E O E x (8) d x A resultante das tensões normais na secção transversal é (ver a Figura.4) O d θ d E E x d (9) sendo a área da secção transversal (ver a Figura.). De um modo semelhante se define o momento flector como sendo O d θ x d E E x x d (0) Considera-se que um momento flector é positivo quando provoca tracções nas fibras que têm coordenada x positiva (ver a Figura.4). 97

6 x Curvatura (k) positiva omento flector positivo Esforço axial positivo x Fig..4 - Definição do esforço axial e do momento flector. upondo que o módulo de Young ( E ) é constante em todos os pontos da barra e passando para fora do integral tudo o que não depende de x nem de x, resulta de (9) e (0) O d θ E d E x d () e E d O θ x d E x d () Uma vez que os eixos x e x são principais centrais de inércia, o seguinte momento estático é nulo x d 0 () A área e o momento de inércia em relação a x expressões (ver a Figura.) são definidos com as seguintes A d (4) I x d (5) 98

7 É assim possível simplificar () e () para E A O (6) d θ E I (7) d x Designando a extensão correspondente ao eixo da barra por ε o,tem-se O ε o (8) E A ε (9) o que corresponde à expressão clássica relativa à tracção de barras [.]. ubstituindo () em (7) tem-se E I (0) d x Designando por k a curvatura da barra k () d x resulta E I k () ou k () E I que corresponde a uma das expressões clássicas da flexão de vigas [.]. a Figura., todos os pontos da linha que representa o eixo da barra deformada apresentam ordenada positiva (u > 0), primeira derivada positiva ( 0 ) e > 99

8 segunda derivada também positiva ( > 0 ). Atendendo à definição do sentido positivo do momento flector (ver a Figura.4), verifica-se que um momento flector positivo provoca uma curvatura negativa. Esta questão encontra-se expressa na equação (), em que E e I são sempre positivos. A expressões (6) e (7) são equivalentes às seguintes o E A (4) d θ E I (5) ubstituindo (4) e (5) em (7), tem-se E + E x (6) E A E I resultando + x (7) A I que corresponde à expressão clássica da flexão composta [.].. - Considerações finais A formulação apresentada neste capítulo apresenta a vantagem de ser facilmente estendida a problemas em que os eixos x e x não são principais centrais de inércia. Apresenta também a vantagem de recorrer a um conjunto de convenções coerente com o que é habitual considerar no método dos elementos finitos. Fica assim facilitada a formulação de elementos finitos de viga, bem como a sua combinação com outros tipos de elementos. 00

9 BIBLIOGRAFIA [.] - Azevedo, A. F.. - ecânica dos ólidos, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 996. [.] - assonnet, C. - Résistance des atériaux, Dunod, Paris,

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