Mecânica dos Sólidos II Parte 1 (Revisão)

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Geovane Bernardes Festas
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1 Departamento de Engenharia Mecânica Parte 1 (Revisão) Prof. Arthur M. B. Braga 214.2

2 ENG 174 Prof. Arthur M. B. Braga Secretaria do DEM ou Lab de Sensores a Fibra Óptica abraga@puc-rio.br Tel: Aulas: 2a e 6as 7:-9: Sala 21L Notas de aula: Tetos J. M. Gere, Mecânica dos Materiais, Thomson S. H. Crandall, N. C. Dahl, and T. J. Lardner, An Introduction to The Mechanics of Solids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978 T. J. Lardner and R. R. Archer, Introduction to Solid Mechanics, McGraw- Hill, 1994

3 Critério de Avaliação Critério 6: NF G1+ G2 2 Se G1 e G2 > 3, e NF > 5, então MÉDIA NF Em outros casos o aluno fa G3: Se G1 e G2 > 3, ou G1 ou G2 < 3, e G3 > 3,, então: MÉDIA Gm + Gn 2 Gm e Gn são as duas maiores notas entre G1, G2 e G3 Se G1 ou G2 < 3, e G3 < 3,, então: MÉDIA G1+ G G3

4 Data das Provas P1: Segunda-feira, 29 de setembro P2: Segunda-feira, 17 de novembro P3: Seta-feira, 3 de novembro

5 Ementa ENG174 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Deslocamento de vigas retas devido à fleão. Relação momentocurvatura. Flambagem de colunas.condições de estabilidade.critérios de falha por flambagem.métodos de energia.teorema de Catigliano.Teorema dos trabalhos mínimos.introdução ao método dos elementos finitos.vigas curvas.deslocamentos sob diversas formas de solicitação.cilindros de paredes grossas.discos girantes.fleão oblíqua.centro de cisalhamento.vigas sobre funções elásticas.

6 Programa Estado de tensão em um ponto (revisão) Introdução à teoria da elasticidade Equações de equilíbrio (revisão) Relação entre deslocamentos e deformações (revisão) Relações constitutivas (revisão) Deformações em vigas Cilindros de paredes grossas Comportamento além do regime elástico (carga limite) Flambagem (instabilidade elástica) Vigas curvas Métodos de energia (Teorema de Castigliano) Tópicos avançados

7 Mecânica dos Sólidos Problema Corpo sujeito a ação de esforços eternos (forças, momentos, etc.) F 8 F 1 F 2 Determinar Esforços internos (tensões) F 7 F 3 Deformações Deslocamentos F 4 F 6 F 5

8 Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças eternas F 1 F 8 F 2 F 3 n F 4 F A F Força de superfície resultante atuando sobre o elemento de área A n

9 Definição do Vetor Tensão s t s Vetor tensão t lim ΔA ΔF ΔA F t A Componente normal (tensão normal) t n t n n t n Componente tangencial (tensão cisalhante) t s t ( t n)n

10 Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Eternas F 1 F 7 F 8 F 2 F 3 [ ] P (,,) F 4 (,, ) F 6 F 5

11 Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)

12 Estado de Tensão em um Ponto Tensão é uma grandea tensorial: [], ou, é chamado o tensor de tensões Pode-se mostrar que o tensor de tensões é simétrico, ou seja,,, e. Logo, [] possui apenas seis componentes independentes! Pode-se mostrar que a simetria do tensor de tensões é necessária para que o balanço de momentos em torno do ponto (balanço da quantidade de movimento angular) seja satisfeito. Uma ve conhecidas as seis componentes independentes do tensor de tensões, pode-se determinar o vetor tensão atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto.

13 Estado de Tensão em um Ponto O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: t t t ( n) ( n) ( n) n n n em notações mais concisas: { ( n )} ( [ ]{ } t n ) t n ou n

14 Tensões Principais e Planos Principais Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula A equação abaio relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões: ou, em forma matricial: t ( n ) n { (n) t } [ ]{ n}

15 Tensões Principais e Planos Principais Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma: Substituindo-se esta epressão na equação da tela anterior, obtém-se: ou em forma matricial: ( t n ) λn n λn [ ]{ n} λ{ n}

16 Tensões Principais e Planos Principais Portanto, a determinação dos planos principais fica reduida à solução de um problema de autovalores: n λn Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais. Os autovalores do tensor de tensão, l, são as tensões principais.

17 Tensões Principais Estado 3D de tensão Tensões Principais 2 1 3

18 Barras Carregadas Aialmente F [ ] F A F ΔL FL EA

19 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção φ 1 τ ( r ) r T J T φ 2 Δφ TL GJ T

20 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção A τ (> ) T A T [ ] τ ( D 2) TD 2J

21 Eios Sujeitos a Carregamentos de Torção τ (< ) B T B T [ ] TD τ ( D 2) 2J

22 Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t) Vasos esféricos θθ PD 4t ϕϕ ϕϕ PD 4t p θθ

23 Vasos de Pressão (pressão interna) Vasos Cilíndricos ( D t >>1) [ ] θθ p θθ pd 2t θθ pd 2t pd 4t

24 q() M () V () Fleão de Vigas [ ] ), ( ),, ( I M ) ( ), ( Tensões Normais de Fleão

25 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão

26 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão P Lâminas Coladas

27 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão P Lâminas Independentes

28 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão P

29 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão Tensões de cisalhamento horiontais impedem o desliamento entre as lâminas Lâminas desliam umas sobre as outras Lâminas Coladas Lâminas Independentes

30 Fleão de Vigas Tensões de Cisalhamento devido à fleão Forças de cisalhamento horiontal Tensões Cisalhantes

31 Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de fleão q() M () V ()

32 Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de fleão Viga de seção retangular: ( ) 3 2 V bh 1 4 h 2 ma{ ( ) } () 3 2 V bh

33 Fleão de Vigas Tensões produidas pela fleão q() M () V () [ (,, ) ] (, ) (, ) (, ) M ( ) (, ) I (, ) 3 2 V() bh 1 4 h 2 Seção Retangular

34 Fleão de Vigas Tensões produidas pela fleão q() M () V () Para L >> h : ma{ } >> ma{ }

35 Critérios de Falha por Escoamento Estado 3D de tensão Tensões Principais 2 1 Início do escoamento no ensaio de tração S S 3 Critério de Escoamento eq eq Estado uniaial equivalente

36 Critérios de Falha por Escoamento Critério de von Mises Tensão de von Mises 1 [( ) ( ) ( ) ] VM De acordo com o critério de von Mises, o material se comporta elasticamente quando VM < S

37 Critérios de Falha por Escoamento Critério de Tresca (Máima Tensão Cisalhante) Deformações plásticas ocorrem num ponto do material quando a máima tensão cisalhante atinge o valor da máima tensão cisalhante que causa o início do escoamento no ensaio de tração τ ma < S 2

38 Critérios de Falha por Escoamento Critério de Tresca (Máima Tensão Cisalhante) Critério de von Mises Onde n S é o Coeficiente de Segurança (maior do que 1)

39 Critérios de Falha por Escoamento II Tensão Plana II I S II I Critério de von Mises S S Critério de Tresca I II S II I I

40 Teoria da Elasticidade Problema F 1 Corpo sujeito a ação de esforços eternos (forças, momentos, etc.) F 7 F 8 F 2 F 3 Determinar F 4 Esforços internos (tensões) Deformações F 6 Deslocamentos F 5

41 Teoria da Elasticidade Equações de Equilíbrio Δ Δ Δ

42 Teoria da Elasticidade Equações de Equilíbrio (estado plano de tensões) (, + Δ) (, + Δ) (, ) (, ) ( + Δ, ) ( + Δ, ) (, ) (, )

43 Teoria da Elasticidade ), ( ), ( ), ( ), ( Δ Δ + Δ + Δ Δ + Δ + Δ Δ Δ Δ F ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( Δ + ), ( Δ + ), ( Δ + ), ( Δ + ), ( ), ( ), ( ), ( Δ Δ + Δ + Δ Δ + Δ + Δ Δ Δ Δ F Balanço de forças

44 Teoria da Elasticidade Para Δ e Δ muito pequenos: ( + Δ, ) (, ) + (, + Δ) (, ) + ( + Δ, ) (, ) + (, + Δ) (, ) + Δ Δ Δ Δ

45 Teoria da Elasticidade Equações de Equilíbrio (Estado plano de tensão) + +

46 Teoria da Elasticidade Equações de Equilíbrio

47 Teoria da Elasticidade Relações entre deslocamentos e deformações u u u ε ε ε u u u u u u γ ε γ ε γ ε

48 Teoria da Elasticidade Relações constitutivas (tensão vs. deformação) ε ε ε ν ν + α ΔT E E E ν + ν + α ΔT E E E ν ν + + α ΔT E E E ε ε ε 2G 2G 2G G E 2 ( 1+ν )

49 Teoria da Elasticidade 15 Equações Equilíbrio (3) Deformação vs. Deslocamentos (6) Tensão vs. Deformação (6) 15 Variáveis: F 7 u ε, u,, ε, u,, ε,, ε, ε,, ε, F 6 F 8 F 5 F 1 F 2 F 4 F 3 Condições de contorno

50 Teoria de Vigas q() 3D Teoria de Vigas (aproimação) n() q() n() 1D

51 Cilindros de Paredes Grossas b a p i p o

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