1 - Energia de deformação

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Luiz Eduardo Natal Quintanilha
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1 UFAM Desde 909 Universidade Federal do Amaonas Faculdade de Tecnologia Departamento de Construção FTC 06 Teoria das Estruturas I, Turma Período Letivo 007/ - Energia de deformação Eng Marcus inícius de asconcelos Paiva, MSc. Professor Assistente. Trabalho de uma força Consideremos uma força F aial aplicada a uma barra, que causa sua deformação. A deformação submete a força a um deslocamento na direção do eio da barra, e a força F realia trabalho W. O trabalho W realiado pela força F pode ser avaliado. /3 Para cada incremento d acrescentado ao deslocamento da força F, o trabalho dw da força é resultado do produto de sua intensidade pelo deslocamento. dw = F.d () O trabalho W devido ao deslocamento da força F pode então ser obtido por integração da equação (): W = dw = 0 F. d () 3/3

2 . Interpretação gráfica do trabalho de uma força Admitamos que a intensidade da força F aumente gradualmente de um valor nulo até um valor máimo F=P, para o qual a deformação total da barra torne-se igual a (figura a). Se o material da barra apresentar comportamento elástico-linear, força e deformação serão proporcionais: P F = ( ). (3) 4/3 Substituindo a epressão (3) na (), obteremos: W W = = dw = F d = 0 0 P ( ) d = P P P ( ) = =. d ( ) ( ) 0 = 0 W = P (4) 5/3 Admitamos ainda que, estando a força P aplicada, outra força P seja aplicada à barra já deformada. Essa força P causará uma nova deformação na barra, igual a (figura b). 6/3

De modo semelhante ao que foi feito para a força P, o trabalho W da força P pode ser avaliado pela epressão: W = P (5) Porém a deformação causada pela força P na barra fa com que a força P realie

Trabalho da força P causado pela deformação ;. Trabalho da força P causado pela deformação ; 3. Trabalho da força P causado pela deformação. 8/3 3.

3 De modo semelhante ao que foi feito para a força P, o trabalho W da força P pode ser avaliado pela epressão: W = P (5) Porém a deformação causada pela força P na barra fa com que a força P realie novo trabalho W. W = P (6) 7/3 Através do gráfico apresentado podemos analisar as parcelas de trabalho de cada força devidas aos deslocamentos resultantes das deformações da barra. 3. Trabalho da força P causado pela deformação ;. Trabalho da força P causado pela deformação ; 3. Trabalho da força P causado pela deformação. 8/3 3. Trabalho de um momento Uma força F realia trabalho quando é submetida a um deslocamento na mesma direção de sua linha de ação. De modo semelhante, um momento M realia trabalho quando é submetido a uma rotação na mesma direção em que o momento atua. 9/3 3

4 A rotação submete o momento a um giro φ na mesma direção de atuação do momento M que realia trabalho W. Para cada incremento dφ acrescentado à rotação do momento M, o trabalho dw do momento é resultado do produto de sua intensidade pelo ângulo de giro, em radianos: dw = M. dφ (7) 0/3 Se o momento M estiver aplicado a um material de comportamento elástico-linear, sua intensidade e o giro de deformação serão proporcionais. Assim, de modo semelhante ao que ocorre com as forças, o trabalho W realiado pelo momento M quando submetido a um giro φ será: W = M. φ (8) /3 Além disso, se um outro momento M é aplicado ao material, causando um novo giro φ, tanto o momento M como o momento M realiarão novo trabalho. O trabalho W realiado pelo momento M em conseqüência do giro φ causado pelo momento M será: W = M. φ (9) /3 4

5 4. Energia de deformação Um corpo submetido a um sistema de forças sofrerá deformação. Essa deformação depende de: - Características geométricas do corpo; - Propriedades mecânicas dos materiais que compõem o corpo; - Modos de ocorrência das forças que compõem o sistema. 3/3 Admitamos que não haja perda de energia sob a forma de calor. O trabalho de todas as forças que compõem o sistema será totalmente convertido em trabalho interno. Denomina-se esse trabalho interno por Energia de Deformação. Essa energia será sempre positiva, estará armaenada no corpo, e resulta da ocorrência de tensões normais ou tensões de cisalhamento. 4/3 5. Energia de deformação causada por tensões normais Consideremos um elemento de volume infinitesimal submetido à ação de uma tensão normal Z. Nas superfícies superior e inferior do elemento atua uma força df Z, cuja intensidade pode ser avaliada: df = da = d dy (0) 5/3 5

6 A ocorrência da tensão Z implica em que o elemento infinitesimal sofra uma deformação d Z : d = ε d () 6/3 Admitindo que a aplicação da força df Z seja gradual, o trabalho du realiado pela força será: d df d d ( d dy) ( ε d) d d dy d d d () 7/3 Ainda que a tensão Z seja de compressão, o trabalho du será sempre positivo. Isso ocorre porque tanto a tensão como a deformação por ela gerada têm a mesma direção. 8/3 6

7 Se todo o corpo está submetido apenas à ocorrência de tensão normal, a energia de deformação armaenada será: du d d (3) 9/3 Se, além disso, o material que compõe o corpo tiver comportamento elástico-linear, podemos aplicar a Lei de Hooke, e então: E = ε ε = E E d d (4) E 0/3 6. Energia de deformação causada por tensões tangenciais Consideremos um elemento de volume infinitesimal submetido à ação de uma tensão tangencial τ. Nas superfícies superior e inferior do elemento, paralelas ao plano -y, atua uma força df, na direção do eio y, cuja intensidade pode ser avaliada: df = τ da = τ d dy (5) /3 7

8 As tensões que atuam no elemento têm uma disposição que assegura o equilíbrio do elemento. A tensão que ocorre em ambas as superfícies paralelas ao plano - é a mesma que ocorre nas superfície superior e inferior, paralelas ao plano -y. Essa tensão tem a direção do eio Z. /3 A disposição dessas tensões fa com que o elemento se deforme. A superfície mais à esquerda, paralela ao plano -, sofre uma rotação γ em relação a esse plano. A superfície inferior não altera sua posição. No mesmo sentido que a tensão τ, a superfície superior sofre um deslocamento igual a: δ =γ d (6) 3/3 As forças que atuam nas superfícies verticais, paralelas ao plano -, não realiam trabalho, pois apenas giram. A força que atua na superfície inferior não realia trabalho. O trabalho du da força df que atua na superfície superior pode ser avaliado: d df δ = ( τ d dy) ( γ d) = τ d dy d d τ d (7) 4/3 8

9 Esse trabalho será sempre positivo, uma ve que tensão e deformação têm a mesma direção. Se todo o corpo está submetido apenas à ocorrência de tensão tangencial, e o material que o compõe apresentar comportamento elástico-linear, a energia de deformação será: τ G = γ τ λ = G du τ d τ τ G d U = τ d τ d (8) G 5/3 7. Energia de deformação no estado múltiplo de tensões Consideremos um elemento de volume infinitesimal submetido a um estado múltiplo de tensões. Cada componente de tensão normal ou tangencial que atua sobre o elemento contribui para o armaenamento de energia de deformação. 6/3 As parcelas de energia de deformação causadas por cada componente de tensão podem ser avaliadas pelas epressões (4) e (8). Uma ve que a energia não é uma grandea vetorial, e sim um escalar, o total armaenado resulta da soma algébrica das parcelas: + y y + + τ y y + τ y y + τ d (9) 7/3 9

10 Se o material apresentar comportamento elástico-linear, podemos aplicar a Lei de Hooke. A energia de deformação acumulada no material pode ser avaliada de outro modo: ν ( + y + ) ( y + y Z + ) + ( τ y + τ y + τ ) d E E G (0) 8/3 8. Energia de deformação no estado principal de tensões Consideremos um elemento de volume infinitesimal submetido a um estado principal de tensões. Não ocorrem componentes de tensão tangencial. Apenas ocorrem as componentes principais de tensões normais. 9/3 As parcelas de energia de deformação causadas por cada componente de tensão principal também podem ser avaliadas pelas epressões (4) e (8): ( ) d () Se o material apresentar comportamento elástico-linear, podemos aplicar a Lei de Hooke: ν ( + + ) ( ) d E E () 30/3 0

11 9. Bibliografia HIBELLER, R. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Prentice Hall, 004. PISSARENKO, G. S.; IAKOLE, A. P.; e MATEIE,.. Prontuário de Resistência dos Materiais. Moscou: Editora MIR, 985. TIMOSHENKO, S. e YOUNG, D. H. Teoria das Estruturas. Editora Gertum Carneiro, /3 Os créditos deste trabalho devem-se a: Universidade Federal do Amaonas Faculdade de Tecnologia - Departamento de Construção Laboratório de Ensaios de Materiais Endereço: Av. Gen. Rodrigo Otávio Jordão Ramos, 3000 Campus Universitário do Aleio, Setor Norte, Pavilhão Rio Trombetas Manaus, Amaonas, Brasil - Tel / Fa: Marcus inícius de asconcelos Paiva Engenheiro Civil, Mestre em Engenharia de Estruturas Professor Assistente mpaiva@ufam.edu.br Home-page:

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