Vibrações mecânicas. Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio representa sempre efeitos indesejáveis

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1 Vibrações mecânicas Jstiicação da ocorrência Sistema mecânico em eqilíbrio estável Introdz-se ma pertrbação por exemplo na orma do deslocamento Liberta-se Depois disso o sistema tende voltar à sa posição do eqilíbrio estável Neste passo actam as orças de restitição (orças elásticas das molas, orças de gravidade) O sistema em geral atinge a sa posição de eqilíbrio estável com ma certa velocidade, assim o sistema ltrapassa a sa posição de eqilíbrio, cria-se m movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação eectase em torno da posição do eqilíbrio estável Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio representa sempre eeitos indesejáveis Corpos o sistema de corpos com 1 gra de liberdade cinemática Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

2 Vibrações livres O movimento mantém-se apenas devido às orças de restitição, a pertrbação qe inicia o movimento corresponde a m deslocamento o a ma velocidade aplicada ao sistema, não há orças exteriores aplicadas ao sistema. Vibrações orçadas Há orças exteriores aplicadas ao sistema (e além disso pode haver m deslocamento o ma velocidade aplicada ao sistema). Vamos considerar somente as orças periódicas. Vibrações amortecidas Devido ao atrito (interno o externo) o movimento baixa a sa amplitde (deinição a segir), passado algm tempo cessa se or livre, mantém-se indeinidamente se or orçado. Vibrações não-amortecidas Eeito do atrito é desprezável, o movimento contina indeinidamente. Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

3 Movimento periódico (repetitivo) t T T T T T Período T T T T Tempo necessário para completar m ciclo de movimento Freqência 1 T s 1 O número de ciclos nm segndo nidade s -1 chama-se Hertz cíclica Heinrich Rdol Hertz Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

4 Movimento harmónico Gráico descrito pelas nções de seno e coseno mplitde max t Deslocamento máximo no valor absolto Movimento não-periódico Os termos período, reqência e amplitde samse também para a orça de excitação harmónica, etc. max Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16 t

5 Vibrações livres não-amortecidas Molas s orças de restitição são as orças elásticas mola indeormada de rigidez F + massa m na posição de eqilíbrio estável e est mg est mg est + pertrbação, depois de retirar a casa da pertrbação inicia-se o movimento oscilatório Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

6 continação do movimento a ma F e est na posição geral > Eqação do movimento mg ma mg est m Eqação dierencial ordinária de ª ordem homogénea m v v a ma F e e t m Eqação característica Começando do eqilíbrio estático 1 i m i m m C cos t C sin t n 1 n n Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

7 C 1 e C das condições iniciais ( pertrbação ), condições iniciais não podem ser homogéneas, se orem, não há movimento 1 t C v t v C cos t C sin t v C sin t C cos t 1 n n n 1 n n v t v v C n v cos t sin t cos t sin sin t cos sin t n n n n n v n v cos & sin tan & n v m v arctan v v Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

8 sin t v arctan( ) para arctan( ) para max sin t max : amplitde do deslocamento Φ: ânglo de ase ω n : reqência natral (circlar) T n n n Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

9 v cos t a sin t Período e ase mantêm-se mplitde v n a n Problemas sobre reqência natral de movimento 1. Resolção sando eqações de movimento 1. Estabelecer a eqação do movimento. lterar do modo qe o coeiciente do termo de aceleração eqivale a 1 3. Freqência natral eqivale à raiz qadrada do coeiciente do parâmetro de deormação (deslocamento) m m n Simpliicações: mola eqivalente Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

10 Molas eqivalentes Ligação em paralelo 3 3 eq eq Ligação em série F e 1 1 eq eq eq 1 eq 1 eq Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

11 Molas eqivalentes dos elementos elásticos deormáveis P el eq P F e eq el eq P el Pêndlo Forças de restitição são as orças de gravidade Otros mecanismos Forças de restitição de ambos tipos Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

12 . Resolção sando conservação de energia mecânica 1. Escolher a posição de velocidade máxima (posição do eqilíbrio estático estável) como nível zero para a energia potencial. Máxima energia potencial ocorre qando a cinética é nla (velocidade é zero), neste caso o deslocamento é máximo 3. Escrever o princípio de igaldade de energia entre estas das posições Nota: na posição do deslocamento máximo a velocidade mda o se sentido, o seja passa por zero mplitde do deslocamento corresponde ao deslocamento máximo mplitde da velocidade corresponde à velocidade máxima max v max v max Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

13 Problemas em qe é possível dispensar o eeito do peso Estes casos correspondem aos sistemas em qe existem partes lexíveis (molas) cja deormação é necessária para assegrar o eqilíbrio estático estável. Em otras palavras nestes casos a orça elástica (estática) eqilibra o peso. No entanto é possível desprezar apenas as componentes directamente eqilibradas. Para ter a certeza qais as partes desprezar, é possível escrever: a) eqação do eqilíbrio estático (na posição deormada); b) eqação do movimento com as orças elásticas completas e com o eeito de peso e ver a parcela qe se anle devido ao eqilíbrio estático. No caso de se azer esta veriicação sando o princípio de conservação de energia, é preciso ter cidado, porqe esta eqação envolve qantidades peqenas ao qadrado. Por esta razão o coseno do argmento peqeno é preciso de sbstitir pelo (1-argmento /). sbstitição do seno do argmento peqeno mantêm-se como na eqação do movimento, o seja seno do argmento peqeno eqivale ao argmento. Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

14 Vibrações livres amortecidas Recorda-se a eqação do movimento de vibração livre não-amortecida Eqação dierencial ordinária de ª ordem homogénea n O termo livre signiica qe não existe orça harmónica qe excitava este movimento, assim o lado direito da eqação eqivale a (eqação homogénea) O termo não-amortecida signiica qe o amortecimento é desprezável, assim alta o termo da primeira derivada da nção variável Qando se considera amortecimento, este habitalmente é viscoso, o seja proporcional à velocidade, e assim a eqação em acima ganha mais m termo c n m onde c [N.s/m] é o coeiciente do amortecimento viscoso Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

15 mortecimento Externo: orças de atrito entre o corpos Interno: entre as moléclas qe constitem o corpo mola indeormada de rigidez amortecedor de coeiciente c est max Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

16 Eqação do movimento já com eliminação do eqilíbrio estático ma cv posição intermédia entre est e max, v, a ma Fd cv F e mg est m c Eqação dierencial ordinária de ª ordem homogénea c n v m v a t c e n Eqação característica m c c c c 1, n i n m m m m Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

17 c n m Caso mais comm: amortecimento sb-crítico Raízes da eqação característica conjgado do número complexo Otras designações Coeiciente de amortecimento crítico c cr m n c Factor de amortecimento Damping ratio, mitas vezes em % c cr n c 1 n m 1, n i 1 n ia Otras ormas da eqação de movimento c m cr n n n Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

18 a n 1 Freqência natral (circlar) amortecida Solção a cos t D e D e e C sin t C t n i a t n i a t n t 1 1 a a Diminição de amplitde, envelopes C 1 e C das condições iniciais Parte periódica (harmónica) v t C t v cos sin sin cos nt e C t C t e C t C t nt a 1 a a n 1 a a Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

19 a 1 n a 1 n v t v v C C C C 1 v n a v cos t n e sin at at a e t t sin a a v n tan & v n a Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

20 mortecimento sb-crítico e t mortecimento crítico c 1 a c cr Raiz dpla t t C C te 1 e t Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

21 mortecimento sper-crítico Raízes reais, distintas, ambas negativas não há vibração, porqe não há parte harmónica 1, 1 t C e 1 1 t C e 1 t Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

22 Constrção da eqação de movimento Não há método alternativo para determinação da reqência natral, como nas vibrações livres não-amortecidas, onde oi possível sar o princípio da conservação de energia. gora, com o amortecimento há sempre ma perda de energia qe varia em cada ciclo, e assim é necessário constrir a eqação do movimento. Também não há relação entre amplitdes de deslocamento, velocidade e aceleração tão directa como no caso não-amortecido. Tal como nas vibrações não-amortecidas é valido: Como a eqação de movimento de ma vibração é de acto a eqação de eqilíbrio na direcção do movimento, o seja não se escrevem as 3 eqações como no caso geral, é possível azer ma simpliicação seginte: No caso da vibração anglar do conjnto de corpos com único movimento é possível sar o momento de inércia em relação ao centro de rotação. O seja não é necessário relacionar as orças e os momentos de inércia aos centros de massa de corpos elementares, mas é possível sar único momento de inércia relacionado ao centro de rotação. Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

23 Vibrações orçadas Recorda-se a eqação do movimento de vibração livre amortecida meq ceq eq Eqação dierencial ordinária de ª ordem homogénea Considera-se somente ma excitação harmónica (existem otras), qe orma o lado direito da eqação. ssim a eqação do movimento corresponde a ma eqação dierencial ordinária de ª ordem não-homogénea Excitação pode ter das ormas: orça externa harmónica o movimento de base harmónico Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

24 Vibrações orçadas não-amortecidas Excitação pela orça externa harmónica m sin eq eq F t Ft ma F e Ft reqentemente Fsin t m eq eq Fsin t Solção da eqação não-homogénea tem das partes: homogénea e particlar H P Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

25 Solção homogénea chama-se também vibração natral tc cos t H C1 sin Usando a solção da eqação característica Solção particlar chama-se também vibração orçada cos D sin t D t P 1 Cálclo das constantes D 1, D cos m D sin t D t 1 consoante a orma do lado direito da eqação do movimento 1sin cos sin D t D t F t F F F D, D 1 1 F m m n sin P F t Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

26 Cálclo das constantes C1, C das condições iniciais n n F C sin t C cos t sin t 1 Condições iniciais homogéneas C sin F v C cos t C sin t cos t n 1 n n n F v C cos C cos n 1 F 1 F H F sin sin t t F n envelopes + + cos - t F H F H n Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

27 Natral Forçada Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

28 Condições iniciais não-homogéneas v C sin tc cos t sin t 1 F t C sin t cos t C 1cos F t C v t v C 1 F v C 1 v sin t sin t sin t n F n F sin t sin t sin t o n F n Como anteriormente e Φ Mantêm-se também a análise qando v = v arctan v Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

29 Excitação pelo movimento de base harmónico ma t b t t t b b m t b t Usin t Movimento total t b m m b b Usin t m mu sin t b F mu Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

30 ssim nas eqações anteriores basta sbstitir F mu Qando se pretende resolver a componente relativa v sin t sin tsin t sign U U U 1 No entanto qando é preciso resolver o deslocamento total sin t sin t U sin t t b n U n U sin t sin t sin t n U n Ut Ut U 1 Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

31 Ressonância mplitde da solção particlar tende para ininito qando a reqência da excitação coincide com a reqência natral F E U 1 U 1 Ut U Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

32 Vibrações orçadas amortecidas O amortecimento elimina apenas a parte da vibração natral (regime transiente qando as das partes actam, o seja qando ainda a vibração natral não é desprezável) parte orçada ica (regime estacionário) Neste caso o interesse está no regime estacionário, e mitas vezes examina-se apenas a solção particlar em vez de solção completa Excitação pela orça externa harmónica sin P F sin t P F t F t Ânglo de ase da excitação não é importante, bastava alterar tempo inicial Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16

33 P arctan 1 F F E d 1 R E Deslocamento estático qe casava a amplitde da orça de excitação no regime estático Rd Coeiciente de ampliicação dinâmica Excitação pelo movimento de base harmónico Parte relativa sin P U t P U U 1 Parte total sin Pt Ut t Pt Ut U 1 1 Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 16