Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Eixo de rotação Direcção de batimento positiva Dobradiça de batimento Slide

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1 Movimento da pá em rotação Como vimos as pás estão pivotadas na raiz de maneira a aliviar os momentos flectores nesta zona. Isto permite às pás subir e descer (batimento) As forças aerodinâmicas causam a batimento ascendente. As forças centrifugas provocam o batimento descendente São geradas forcas inerciais na direcção oposta à respectiva aceleração. No movimento horizontal, é encontrada uma posição de equilíbrio onde o somatório dos momentos devido a estas três forças é nulo. Slide

2 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Eixo de rotação Direcção de batimento positiva Dobradiça de batimento Slide

3 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Elemento com massa por unidade de comprimento m Distanciado de y do eixo de rotação Fazendo um movimento circular com velocidade A força centrifuga será : d ( F ) ( mdy) a ( mdy) y CF r Slide

4 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Assumindo por agora que não existe offset a força centrifuga total é: F CF m ydy m Onde M é a massa total da pá M Dado que a pá tem um ângulo de coning de a componente da força centrifuga perpendicular à pá é: ( F ) sin ( mdy) y sin d m ydy CF Slide

5 M Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento O momento em relação à dobradiça de batimento é: CF m y dy y mdy M Ou podemos também escrever: M CF m F CF y mdy I b Onde I b é o momento de inércia da pá em relação à dobradiça de batimento Slide 5

6 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento O momento aerodinâmico em relação ao mesmo ponto é: M Lydy No equilíbrio M CF M por isso : M Lydy o Lydy M Slide 6

7 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Dado que a dobradiça pode ter um offset correspondente a e(<.5) podemos obter a expressão: M CF e m y m ( e ) dy M ( e) ( ) o e elembrandomm(-e)m(-e) Slide 7

8 Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento O momento aerodinâmico é: M Lydy e E o ângulo de coning de equilíbrio é: o Lydy e M ( e) Slide 8

9 Eixo de rotação Dobradiça de batimento M(F dm ydl CF inercial ) Direcção de batimento positiva Slide 9

10 Já obtivemos as expressões para os momentos de : dm CF m y dy dm Lydy E o momento inercial é: ( mdy ) y inercial dm inercial Assumindo um offset nulo: m y dy my dy Lydy Slide

11 Escrevendo na forma: my dy ( ) Lydy E dado que o primeiro termo é I b : ( ) I I b b Lydy Slide

12 Introduzindo uma mudança de variável d dt E também d d d dt t d d d d ** dt d * Slide

13 E a equação do movimento pode ser escrita na forma: d ( ) * * b Lydy I d d ( ) b Lydy I * * Sabendo que (da TEP) T i T l T U v U y cc U L ρ α Slide

14 Então o momento aerodinâmico é: i l T ydy v y cc U Lydy ρ α T T l T U U α i v ρ i l dy y y cc ρ α 8 i cc l λ ρ α Slide

15 E a equação de batimento : ( ) 8 * * i cc l λ ρ α 8 l b I α l ρcc λ ( ) 8 * * * i b l I λ ρ α Definindo o número de Lock como: b l I cc α ρ γ Slide 5 b

16 A forma final da equação do movimento de batimento é: * * * i λ γ γ 8 8 * * * i λ γ γ Se o momento aerodinâmico não fosse calculado: com γ M ** l Lydy cc M α ρ Slide 6

17 Comparando a equação obtida: γ γ λ ** * i 8 8 Com o sistema massa-mola-amortecedor: m x cx kx Podemos concluir que a frequência natural nãoamortecida da pá é: ϖ n ( ) k m ou F / rev rad / s Slide 7

18 Para o estudo da equação de batimento vamos considerar o caso do rotor em vácuo (sem forças aerodinâmicas) ** com a solução cos c s sin O rotor actua como um giroscópio Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor irá entrar em precessão para uma nova orientação até que o equilíbrio é novamente atingido através do amortecimento aerodinâmico Slide 8

19 Assumindo uma velocidade induzida uniforme (em voo horizontal) e uma pá idealmente torcida: U U U dr U U U r ydf cc M T P T z l ρ α Substituindo U T e U P com as expressões obtidas com TEP e calculando o integral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ λ µ µ µ µ µ µ µ sin cos sin sin sin sin sin sin * tw M Slide 9 ( ) ( ) ( ) µ λ

20 Em voo horizontal µ e a equação de batimento não tem uma solução analítica O termo de amortecimento (associado com * ) é de origem aerodinâmica. ( µ sin ) γ 8 Para voo pairado e sabendo que por exemplo γ8 obtemos um amortecimento de 5% do valor crítico. Concluímos que o movimento de batimento é amortecido e estável. Slide

21 Para resolver a equação podemos : Prescrever os valores de: Ângulo de picada colectivo Cíclico lateral c Cíclico Longitudinal s ácio da velocidade induzida λ i Integrar numericamente No entanto não nos dá a percepção de como o batimento da pá é afectado pelos vários parâmetros. Slide

22 Alternativamente podemos: Encontrar uma solução periódica Solução periódica estável na forma de uma série de Fourier Não é válida para situações transientes tais como manobras. Assumindo a primeira solução harmónica : ( ) cos sin c cos s Slide

23 Encontrando o par harmónico da parte constante e periódica em ambos os lados da equação: ( ) ( ) µ µ µ γ λ s tw ( ) ( ) 6 µ µ c s ( )[ ] ( ) 8 µ µ λ µ tw s s c Slide

24 A pairar µ: s c c s E se assumirmos que o movimento de picada tem a forma: cos sin c s A resposta de batimento é: ( ) cos π π ( ) ( ) c s sin Ou seja a resposta de batimento tem um atraso de 9º em relação à variação de entrada do ângulo de picada. Slide

25 Vimos que o movimento de batimento tem a forma: ( ) cos sin c s Em que o termo é a média ou o valor médio do movimento de batimento e é independente para posição azimutal da pá. Slide 5

26 O termo c é a amplitude do movimento (coseno) epresenta a inclinação longitudinal do plano de trajectória das pontas das pás. Veio do rotor Inclinação longitudinal pura (sem coning) Veio do rotor Inclinação longitudinal (com coning) Slide 6

27 O termo s é a amplitude do movimento em seno. s epresenta a inclinação lateral do plano de trajectória das pontas das pás. Inclinação lateral pura (sem coning) Inclinação Lateral (com coning) Slide 7

28 Podemos fazer uma análise semelhante para o caso de existir um offset na dobradiça. As diferenças são: A força inercial m(y-e) dy actua a uma distância (y- e) da dobradiça A força centrifuga my dy actua a uma distância (ye) da dobradiça A forças aerodinâmicas Ldy actuam a uma distancia (y-e) da dobradiça Slide 8

29 A equação dos momentos em relação à dobradiça: e m y ( ) ( ) y e dy m y e dy L( y e) dy e e Neste caso o momento de inércia em relação ao eixo da dobradiça é: I b ( y e) m e Slide 9 dy

30 A equação de batimento da pá é: e m( y e) dy e I b I b ou e { * v } L( y e) * Ib e dy ( y e) L dy Slide

31 Nesta expressão m( y e) e e v Ib E com a análoga com o sistema mass-molaamortecedor, a frequência não amortecida do rotor é: e e v ϖ n ( e) Dados os valores de e serem pequenos a frequência natural não amortecida é ligeiramente maior do que /rev Slide dy

32 Isto também quer dizer que o atraso entre a entrada e resposta em batimento do rotor tem que ser menor do que 9º. Nesta caso como a equação de batimento é: ** v A resposta de batimento ao uma entrada do ângulo de picada é: ( ) v γ γ c s c 8 8 ( ) s c s v γ γ 8 8 Slide γ M

33 O que dá o ângulo longitudinal de batimento c ( ) v s 8 γ ( ) 8 v γ c Slide

34 E o ângulo lateral de batimento s ( ) v c γ 8 s ( ) 8 v γ Slide

35 Finalmente a frequência forçada /rev é menor que a frequência natural de batimento e pode ser demonstrado que o atraso (menor que 9º) é dado por: φ 8e γ γ tan tan 8 8 v v ( ) ( ) ) Slide 5