MÉTODO GALERKIN DE ELEMENTOS FINITOS NA DETERMINAÇÃO DO PERFIL DE TEMPERATURA NA PAREDE DE UM CONTÊINER ESFÉRICO UTILIZANDO MATLAB

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1 MÉTODO GALERKIN DE ELEMENTOS FINITOS NA DETERMINAÇÃO DO PERFIL DE TEMPERATURA NA PAREDE DE UM CONTÊINER ESFÉRICO UTILIZANDO MATLAB Bruno Avila Farenzena 1 Eliete Biasotto Hauser 2 Resumo: Neste trabalho desenvolvemos um estudo com a finalidade de validar um algoritmo que utiliza a formulação Galerkin de elementos finitos. Hipóteses simplificadoras foram utilizadas para modelar o sistema físico como um problema de valor de contorno. Abordamos aspectos teóricos relativos à interpolação polinômial de Lagrange e à formulação Galerkin de elementos finitos que possibilitaram a discretização do problema modelado. Obtemos estimativas numéricas da distribuição de temperatura na parede de um contêiner esférico. Utilizamos polinômios interpoladores de grau um e dois. O menor desvio relativo percentual foi obtido no caso da interpolação quadrática, quando comparamos as estimativas numéricas obtidas pelo método de Garlekin com a solução analítica do problema. Palavras-Chave: Galerkin, elementos finitos, perfil de temperatura. 1 Introdução Um fenômeno físico geralmente é muito complexo para ser analisado de forma exata. Utilizando hipóteses simplificadoras é possível construir um modelo matemático que aproxima a realidade do problema. Diversos modelos matemáticos são expressos por equações diferenciais ordinárias, para problemas unidimensionais, e parciais, nos casos multidimensionais, com soluções analíticas (exatas) nem sempre possíveis de serem obtidas. A análise 1 Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq, bruno.farenzena@acad.pucrs.br 2 Prof. a Dr. a da Faculdade de Matemática da PUCRS, eliete@pucrs.br 197

2 dessa modelagem matemática requer métodos numéricos, entre os quais se inclui o Método dos Elementos Finitos (MEF). Primeiramente aplicado em problemas estruturais, este método se tornou uma poderosa ferramenta computacional para resolver uma grande variedade de problemas de engenharia e de ciência aplicada. Em todas estas aplicações procuramos por quantidades de campo e os resultados de maior interesse são, normalmente, valores de pico destas quantidades de campo ou dos seus gradientes. Erro da discretização Nodo y Elemento x Figura 1: Discretização de um domínio em elementos finitos Na Seção 2 descrevemos e modelamos o problema a ser resolvido utilizando o Método dos Elementos Finitos. Na Seção 3 abordamos aspectos teóricos relativos a funções interpoladoras e à formulação Galerkin dos elementos finitos, permitindo a discretização do problema proposto. Utilizando funções interpoladoras lineares e quadráticas aplicamos o método para resolver a formulação discreta do problema e os resultados obtidos foram comparados com a solução analítica do problema. E finalizamos com algumas considerações e propostas de continuidade do trabalho na Seção 5. 2 Modelo Matemático Consideremos um contêiner esférico de raio interno r interno = 2m, raio externo r externo = 2, 3m e condutividade térmica k = 30 W m. o C preenchido com água fria a 0o C. O contêiner ganha calor por convecção do ar ao redor a um temperatura de T = 25 o C, com coeficiente de tranferência de calor h = 18 W m 2. o C. Queremos saber como se comporta 198

3 o perfil de temperatura da parede deste contêiner quando está em regime permanente. Para resolver este problema proposto devemos adotar algumas hipóteses simplificadoras. A condutividade térmica é constante; Consideramos que a transferência de calor é estacionária, isto é, dt dt = 0; Assumimos que a temperatura interna do contêiner é 0 o C. Γ 2 Γ 1 Ω r Figura 2: Representação esquemática do problema Segundo (ÇENGEL[1]), aplicando balanços de energia no volume de controle, Ω, e nas superfícies de controle, Γ 1 e Γ 2, chegamos na formulação diferencial do problema, descrita pela eq.(1). ( d r 2 dt ) = 0 para 2 < r < 2, 3 dr dr T (2) = 0 o C (1) k d dr T (2, 3) + h [T (2, 3) T ] = 0 199

4 3 Discretização do Problema O Método dos Elementos Finitos envolve a discretização do domínio e da própria equação governante. Neste processo a solução é obtida em determinados pontos, chamados de nodos. Dividindo o domínio da solução em pequenos subdomínios, chamados de elementos, e aproximando a solução destas regiões por funções conhecidas, uma relação entre a equação diferencial e os elementos é estabelecida. Desta maneira é possível chegar a uma formulação discreta do problema. 3.1 Funções Interpoladoras em Elementos Unidimensionais Estas funções empregadas para determinar a solução nos elementos são chamadas de funções interpoladoras, ou funções de forma ou funções de base. Elas são chamadas de funções interpoladoras porque são utilizadas para determinar os valores da solução em algumas regiões dos elementos interpolando os valores da solução nos nodos. O nome funções de base é dado porque estas funções são a base para o processos de discretização. Para determinar estas funções são utilizados, normalmente, polinômios porque são faceis de integrar e derivar e se for preciso aumentar a precisão das soluções basta utilizar um polinômio de grau maior. Utilizamos a interpolação de Lagrange (BURDEN[2]) para determinar os polinômios interpoladores, N n,j (r), de grau n = 1 e 2, definidos pela eq.(2). n ( ) r rm N n,j = r j r m (2) m=0 j m Nas figuras 3 e 4 ilustramos o comportamento dos polinômios N n,j (r) em um elemento de comprimento L. 3.2 Método de Galerkin O método de Galerkin, classificado como um método de resíduos ponderados, é uma poderosa ferramenta matemática capaz de formular uma solução aproximada, pelo método dos elementos finitos, em equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais e condições de contorno para os casos mais gerais (ZIENKIEWICZ e TAYLOR [3]). Para explicar o método de Galerkin precisamos da definição de resíduo ponderado, para isto, tomamos como exemplo a equação do problema proposto. 200

5 1 0.9 N 1,1 N 1, L Figura 3: Comportamento do polinômio N 1,j (r) N 2,1 N 2,2 N 2, L Figura 4: Comportamento do polinômio N 2,j (r) ( d r 2 dt ) = 0 (3) dr dr com condições de contorno descritas na Seção 2. Se substituirmos em T uma aproximação da solução, esta aproximação vai gerar um erro resídual R: ( d r 2 dϕ ) = R (4) dr dr A idéia basica do resíduo ponderado é construir uma função de peso adequada onde a 201

6 integração, em todo o domínio da solução, do produto entre a função de peso e o erro residual é igual a zero, Ω Ω W i R dω = 0 ( d W i r 2 dϕ ) dω = 0 dr dr onde W i é a função de peso e Ω é o domínio da solução, descrito pela eq.(6). (5) onde, Ω = m Ω i (6) i=1 Ω i é o domínio de um elemento finito; m é o número de elementos utilizados para discretizar o domínio da solução. No método de Galerkin procuramos, para a eq.(3), uma solução numérica do tipo: onde, ϕ(r) = N(r) Φ (7) N(r) é uma matriz de ordem 1xn, cujos elementos são funções interpoladoras; Φ é uma matriz nx1 e seus elementos são valores da solução nos nodos de um elemento finito, que devem ser determinados resolvendo a eq.(5); n é o número de nodos de um elemento. E a função de peso, W i, empregada é igual a transposta da matriz N(r) presente na eq.(7). 3.3 Formulação Discreta do Problema Aplicando o método de Garlekin na formulação diferencial do problema, conseguimos chegar na formulação discreta do problema, descrita pela eq.(8). 202

7 m ( i=1 r 2 dnt i Ω i dr ϕ(2) = 0 o C ) dn i dr dω i Φ i = 0 (8) k d dr ϕ(2, 3) + h [ϕ(2, 3) T ] = 0 onde m é o número de elementos utilizados na discretização espacial. 4 Resultados Objetivando determinar as soluções numéricas da forma eq.(7), implementamos computacionalmente no Matlab (MATSUMOTO[4]) a formulação discreta do problema proposto, considerando a discretização do domínio ilustrado na figura 5 Ω I Ω II Ω I Figura 5: Discretização do domínio em dois elementos unidimensionais lineares e em um elemento unidimensional quadrático Considerando polinômio interpolador de grau 1, obtemos: ϕ 1 (r) = 4, 335 (r 2) para 2 r 2, [ 3 2, 3 r r 2, 15 ] 2, , 0528 para 2, 15 < r 2, 3 Para o caso de interpolação quadrática, expressamos a solução obtida por: ϕ 2 (r) = 200 [ ] 2, (r 9 2 4, 3r + 4, 6) r 2 4, 15r + 4, 3 4, 3233 (9) (10) O problema descrito pela eq.(1) tem como solução exata a eq.(11). 203

8 T (r) = 5, 29.h.T ( 1 2 ) 2.k + 0, 69.h r Na figura 6 representamos geométricamente as soluções aproximadas eq.(9), eq.(10) e solução exata T, eq.(11). Observamos que no grafico que ϕ 2 e T coincidem. 4.5 φ 1 (11) φ 2 T 3 T(r i ) [ o C] r i [m] Figura 6: Comportamento das soluções numéricas (linear e quadrática) e exata Na tabela 1 apresentamos o erro cometido utilizando as aproximações expressas por eq.(10) e eq.(11) em alguns pontos selecionados do domínio. Utilizando os polinômios interpoladores lineares, o desvio percentual máximo foi de 9,88% e ocorreu no pontos r = 2, 05m. Utilizando polinômio interpolador quadrático nesse mesmo ponto, o desvio percentual diminuiu para 0,30%. O erro máximo cometido utilizando a função ϕ 2 foi de 0,93% no ponto r = 2, 25m Tabela 1: Comparação das soluções numéricas e exata r i [m] T(r i )[ o C] ϕ 1 (r i )[ o C] ϕ 2 (r i )[ o C] T (r i ) ϕ 1 (r i ) T (r i ) ϕ 2 (r i ) T (r i ) T (r i ) 2,05 0,8017 0,7225 0,8041 0,0988 0,0030 2,10 1,5653 1,4450 1,5748 0,0768 0,0061 2,15 2,2933 2,1675 2,3120 0,0549 0,0082 2,20 2,9883 2,7960 3,0159 0,0643 0,0093 2,25 3,6523 3,4244 3,6863 0,0624 0,0093 2,30 4,2875 4,0528 4,3233 0,0547 0,

9 5 Considerações Finais Neste trabalho utilizamos a formulação de Galerkin de elementos finitos para obter estimativas numéricas da distribuição de temperatura na parede de um contêiner esférico, visando validar nosso algorítmo e suas futuras aplicações. Quando comparados com a solução exata os resultados numéricos obtidos são considerados satisfatórios se utilizarmos funções interpoladoras de grau 2, pois neste caso o desvio relativo máximo foi de 0,93%. Como sequência deste trabalho estamos utilizando a formulação Galerkin de elementos finitos para um modelo de transferência de calor não estacionária para auxilio no estudo da temperabilidade dos aços. Referências [1] ÇENGEL, Yunus A. Transferência de calor e massa: uma aboradagem prática. São Paulo. McGraw-Hill, [2] BURDEN, Richard., FAIRES, Douglas J. Análise numérica. São Paulo. Thomson, [3] ZIENKIEWICZ, O. C., TAYLOR, R. L. The finite element method volume 1: The basis. Oxford. Butterworth-Heinemann, [4] MATSUMOTO, Érica, Élia Yathie. Matlab 6.5: fundamentos de programação. São Paulo. 205