Modelação e Simulação Problemas - 3

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1 Modelação e Silação - Probleas 3 Modelação e Silação Probleas - 3 P1. Considere o sistea ecânico de translação esqeatiado na figra seginte Asse-se qe a força indicada na figra é o reanescente de a força qe eqilibra o peso. a) Escreva a lei de Newton para o oviento da assa. b) Escreva as qe eqações do odelo de estado do sistea, toando cono saída a posição da assa, e coo variáveis de estado a posição e a velocidade da assa. c) Aplicando a transforada de Laplace co condições iniciais nlas, deterine a fnção de transferência. d) Sponha qe / = 1. Considere as sitações = 0 e 0. Para cada a delas, deterine o valor dos pólos e arqe a sa posição no plano coplexo. Discta face à sa intição sobre o fncionaento do sistea. P. Este problea é ito seelhante ao anterior. A diferença é considerar a assa e rotação. Considere o sistea ecânico de rotação esqeatiado na figra seginte T θ a) Escreva a lei de Newton para o oviento da assa e rotação. J J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 1

2 Modelação e Silação - Probleas 3 b) Escreva as qe eqações do odelo de estado do sistea, toando cono saída a posição anglar da assa, e coo variáveis de estado a posição e a velocidade anglares da assa. c) Aplicando a transforada de Laplace co condições iniciais nlas, deterine a fnção de transferência. d) Sponha qe / J = 1. Considere as sitações = 0 e 0. Para cada a delas, deterine o valor dos pólos e arqe a sa posição no plano coplexo. Discta face à sa intição sobre o fncionaento do sistea. P3. Conidere o sistea ecânico de translação da figra seginte, e qe é a força qe acta sobre a assa. a) Por aplicação da lei de Newton, escreva a eqação diferencial qe odele o oviento da assa. b) Toando coo variáveis a posição e a velocidade da assa, coo entrada a força aplicada e coo saída a posição, escreva as eqações do odelo de estado na fora atricial. c) Deterine a fnção de transferência qe relaciona a força aplicada co a posição da assa. d) Sponha qe a assa está inicialente e resposo. Co base na fnção de transferência obtida na alínea anterior, esboce qalitativaente a evolção teporal da velocidade, spondo qe a força te a evolção e escalão. P4. Considere o sistea ecânico de translação da figra seginte: 1 1 a) Utiliando a lei de Newton, escreva a eqação diferencial qe odele o sistea. J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo

3 Modelação e Silação - Probleas 3 b) Toando coo entrada a força, saída a posição e estado as posições e velocidades das das assas, escreva odelo de estado para o sistea. P5. Considere o sistea ecânico de translação da figra seginte: A Deda a fnção de transferência qe relaciona a posição do ponto A co a posição da pla no referêncial. Note qe é a posição e não a força. P6. Considere o seginte sistea ecânico de translação: Por aplicação da Lei de Newton, escreva as eqações diferenciais qe odela o sistea. Obtenha a segir odelo de estado. P7. Recorrendo à lei de Newton, deterine a representação na fora de odelo de estado para o sistea assa/ola/atrito representado na figra. Considere coo entrada a força F(t) e coo saída a posição x da assa M.. x 1 x D M 1 M F(t) Não existe fricção J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 3

4 Modelação e Silação - Probleas 3 P8. Modelo ateático da sspensão activa de atoóvel 1 A aplicação de sisteas de controlo e veíclos atoóveis te vindo a ser crescente e veíclos qer de protótipo, qer coerciais. Isto é possível devido ao aento da potência de cálclo e da eória instaladas nos coptadores de bordo de veíclos, e qe perite a tiliação de algoritos cada ve ais potentes. Desenvolve-se assi sisteas sofisticados e qe o Controlo, a Electrónica e a Mecânica concorre para atingir os objectivos. A palavra Mecatrónica foi criada para designar esta nova área interdisciplinar. U atoóvel é sistea coplexo dado qe possi várias assas interligadas por eleentos elásticos não lineares e dissipativos, o qe origina odelo de estado co orde elevada. Assi, os odelos ais copletos tê e consideração as qatro rodas (co os respectivos sbsisteas) e são tiliados para estdar as forças laterais e longitdinais qe acta sobre a viatra e o se efeito nela. E certas sitações é possível considerar odelos siplificados, redindo assi, qer a carga coptacional, qer o esforço de projecto. Por exeplo, se a preocpação fore apenas as oscilações verticais a qe está sjeito o passageiro, a possibilidade freqenteente explorada é o chaado odelo de ¼ de atoovel. Este odelo é assi denoinado por considerar qe a viatra pode ser odelada por a roda, a assa não sspensa (eixo) e a assa sspensa (chassis). Asse-se qe a dinâica de a roda é igal à das restantes 3 e qe a ligação entre elas é despreável. Existe eso odelos físicos qe perite testar experientalente o odelo de ¼ de atoóvel (fig. P8-1). 1 Este problea é baseado no Trabalho Final de Crso da LEEC de Migel Loro Bancada de ensaios e sistea de controlo para sspensão activa electroagnética, orientado pelo prof. Jorge Esteves e conclído e 000. J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 4

5 Modelação e Silação - Probleas 3 Fig. P8-1 Bancada de testes de odelo de ¼ de atoóvel. A seta indica a colocação de aceleróetro. A fig. P8- representa esqeaticaente o odelo de ¼ de atoóvel. Chassis s s Sspensão A F s a Roda+eixo Pne Perfil da estrada t r Fig. - Modelo de ¼ de atoóvel. Neste odelo: s Posição da assa sspensa Posição da assa não sspensa s Massa sspensa (chassis) s Constante de elasticidade da ola J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 5

6 Modelação e Silação - Probleas 3 Massa não sspensa (pne, eixo) t Constante de elasticidade do pne r Posição da estrada F a Força iposta pelo actador A sspensão é constitída por a ola e actador. A ola te coo objectivo redir a força feita pelo actador. E regie peranente (qando não há oscilações) o peso da assa sspensa é sportado pela ola e a força qe o actador te de faer é nla. O actador é ia áqina linear de íans peranentes, qe te por objectivo aplicar a força para contrariar as pertrbações casadas pelo perfil da estrada qando este varia. A tabela P8-1 dá valores típicos para os valores dos parâetros do sistea. s s t (F a ) áx 90 g 1681 N g N N Tabela P8-1 Parâetros típicos do odelo de ¼ de atoóvel. Pretende-se o seginte: a) Utiliando a lei de Newton, escreva as eqações diferenciais qer odela o sistea da figra -. b) Obtenha odelo de estado, toando coo variáveis de estado as posições e velocidades das assas, coo entrada o perfil da estrada e coo saída a posição do chassis. c) Obtenha a fnção de transferência (se o MATLAB). Trace o respectivo diagraa de resposta e freqência e o apa de pólos e eros (se o MATLAB). J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 6

7 Modelação e Silação - Probleas 3 P9. Considere o circito representado na figra, onde a tensão (t) é a entrada e a corrente na resistência y(t) a saída. Deterine a representação e espaço de estados. L + + i (t) ~ R R C - - P10. Considere o circito representado na figra, onde a tensão (t) é entrada e a corrente y(t) a saída. Deterine a representação e espaço de estados. y(t) + (t) ~ - C R x 1 L R x P11. (Constrção do odelo de estado a partir de eqações fndaentais da Física, Qíica, etc.) Obtenha as eqações do odelo de estado linear do circito da figra seginte. Toe coo variáveis de estado as tensões nos dois condensadores e coo variável de saída a tensão aos terinais da resistência da direita. R C C R J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 7

8 Modelação e Silação - Probleas 3 P1. Três espécies qíicas S 1, S e S 3 estão presentes reacção co constantes de taxa de reacção constantes ij, i.e., S i transfora-se e S j à taxa ijxi, e qe x 1, x e x 3 são as concentrações das espécies. Escreva as eqações de estado deste sistea na fora atricial. J. Miranda Leos IST DEEC/Área Científica de Sisteas, Decisão e Controlo 8