MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS PARA A SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE STEFAN

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1 CMNE/CILAMCE 007 Porto, 13 a 15 de Junho, 007 APMTAC, Portugal 007 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS PARA A SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE STEFAN Jaie Rodrigues 1,*, Rui Robalo, Maria do Caro Coibra 1 e Alírio E. Rodrigues 1 1: Laboratório de Processos de Separação e Reacção, LSRE Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Rua Dr. Roberto Frias, Porto Portugal e-ail: {jdrodrig,coibra,arodrig}@fe.up.pt web: : Departaento de Mateática Universidade da Beira Interior Covilhã, Portugal e-ail: rrobalo@at.ubi.pt web: Palavras-chave: Equações de Derivadas Parciais, Eleentos Finitos Móveis, Métodos Nuéricos de Malha Adaptativa, Probleas co Fronteira Móvel, Probleas de Stefan Resuo. Este trabalho deonstra o uso de u algorito nuérico que perite rever de odo eficiente probleas de Stefan. Os probleas de Stefan ou probleas co fronteira óvel, são probleas odelados por equações de derivadas parciais dependentes do tepo, e que o doínio espacial se defora. Deste odo, a fronteira do doínio espacial deve ser deterinada coo parte da ução. São probleas de grande interesse e uitos étodos nuéricos tê sido propostos por diversos autores. Usando o Método dos Eleentos Finitos Móveis (MEFM) os autores desenvolve u algorito nuérico que perite a reução de ua grande variedade de probleas evolutivos envolvendo fronteiras óveis. São apresentados alguns exeplos nuéricos que ilustra o desepenho do MEFM. Coparando os resultados nuéricos obtidos co os disponíveis na literatura podeos afirar que o MEFM é ua técnica eficaz para rever ua grande variedade de probleas de Stefan.

2 1. INTRODUÇÃO E uitos probleas odelados por equações de derivadas parciais dependentes do tepo, probleas evolutivos, o doínio espacial defora-se coo função de ua fronteira óvel. São probleas de grande interesse e uitos étodos nuéricos tê sido propostos por diversos autores. Neste tipo de probleas, geralente conhecidos por probleas de Stefan, a fronteira do doínio espacial deve ser deterinada coo parte da ução. Crank [1] fornece ua copleta descrição dos probleas de Stefan e apresenta vários étodos nuéricos para a sua reução. Neste tipo de probleas é necessário procurar a posição da fronteira óvel e siultaneaente rever a equação diferencial. Usando o Método dos Eleentos Finitos Móveis (MEFM) [] os autores desenvolve u algorito nuérico que perite rever de odo eficiente este tipo de probleas. Neste artigo apresentaos ua breve descrição das odificações introduzida no MEFM de fora a possibilitar a reução de ua grande variedade de probleas evolutivos envolvendo fronteiras óveis. Mostraos que usando u étodo de alha adaptativa é possível obter, co apenas alguns nós, ua boa qualidade nos resultados das siulações nuéricas co u custo coputacional reduzido. Apresentaos alguns exeplos de aplicação do MEFM a probleas co fronteira óvel. Os resultados nuéricos ostra que o MEFM é ua técnica eficaz para rever ua grande variedade de probleas deste tipo.. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Para descrever os probleas co fronteira óvel para os quais foi desenvolvido o algorito baseado no étodo dos eleentos finitos óveis, considere-se a decoposição do doínio espacial e duas fases usando a posição da fronteira óvel no instante t, s (, [ a b] = Ω Ω = [ a, ] [, b] Ω = (1), 1 E cada ua das fases o sistea de equações de derivadas parciais é definido por n equações da fora e que u = f x, t, u, + g,,,, Ω, > 0 x t u x t () u = u x, = u ( x,, u ( x,, L u ( x,, x Ω, t (3) ( ) 0 ( 1 n São as variáveis dependentes. A decoposição do doínio referida e (1) produz a I II u( x, u ( x,, u ( x, Ω 0, + decoposição das variáveis independentes ( ) = sendo [ ] I II doínio de Ω 0, + doínio de u. Aditios que as condições de fronteira pode ser de Dirichlet, Neuann ou de Robin e que é conhecida ua condição inicial, u e [ ] 1

3 u ( x,0) = u0 ( x), x Ω (4) Supoos ainda que é conhecida a posição inicial da fronteira óvel, s (0) e que o oviento da fronteira óvel é definido pela equação geral ds dt I II + = w s, t, u( s,, ( s,, ( s,, ( s, Pretendeos deterinar s =, t > 0 e u = u( x,, x Ω, t > 0. (5) 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS Nesta secção apresentaos ua breve descrição da forulação étodo dos eleentos finitos óveis que desenvolveos para reução do problea forulado anteriorente. Ua copleta descrição do MEFM pode ser encontrada e []. O MEFM foi desenvolvido para reução de probleas evolutivos descritos por equações de derivadas parciais co a fora das equações () nu doínio espacial de fronteiras fixas, sujeito a condições de fronteira de Dirichlet, Neuann ou de Robin e que é conhecida ua condição inicial. Na forulação do MEFM que apresentáos e [], foi definida ua alha espacial associada a cada ua das variáveis dependentes. Designaos por, j =, j ( o j-ésio nó da alha espacial associada à variável dependente u. Localente, e cada eleento finito, a -ésia variável dependente do sisteas de equações () é aproxiado por u polinóio de grau arbritrário, isto é, de grau escolhido pelo utilizador. Deste odo, e cada instante a variável dependente u é aproxiada por U sendo U ua função contínua, seccionaente polinoial que depende da ordenada da ução aproxiada e todos os pontos usados para construir o polinóio local de grau arbritrário e que depende ainda da posição dos nós,, j e, j + 1, de separação nesse instante. As equações gerais do MEFM obté-se definindo o resíduo associado a cada ua das funções U e iniizando a nora L dos resíduos e Ω co respeito às derivadas e orde ao tepo de todas as aplitudes nodais e de todas as posições dos nós de separação de todas as alhas. Para evitar singularidades, são introduzidas penalizações na função objectivo. Este procediento transfora cada ua das equações de derivadas parciais () nu sistea de equações diferenciais ordinárias. O MEFM produz não só a ução do sistea evolutivo () as tabé as alhas adaptativas que elhor descreve as diferentes variáveis dependentes. Usando este facto foi ipleentada ua decoposição do doínio espacial introduzindo nas alhas espaciais a posição da interface. 3

4 4. RESULTADOS NUMÉRICOS 4.1. Parâetros do MEFM Os exeplos nuéricos que apresentaos visa ilustrar o desepenho do MEFM para reução de probleas co fronteira óvel. Os resultados nuéricos fora obtidos usando u coputador co processador Pentiu M co 1.7GHz co 1.0GB de RAM. O algorito nuérico foi desenvolvido e linguage Fortran usando o copilador livre g95 Fortran. Alguns dos parâetros do MEFM fora antidos constantes para todas as siulações realizadas. Para rever o sistea de equações de derivadas ordinárias resultante da aplicação do MEFM foi usada rotina LSODI [3]. Os valores considerados 5 para as tolerâncias fora: 10 7 para as aplitudes nodais e 10 para as abcissas dos nós de separação. Os valores para as constantes de penalização são 5 3 c = c = 10 ; c = 10 ; c = 10 ; (6) 1 4 Para o cálculo dos integrais que define o sistea de equações de derivadas ordinárias resultante da aplicação do MEFM foi usada quadratura de Lobatto co 11 pontos interiores de quadratura. Para cada problea concreto define-se ainda o núero e a posição inicial de nós de separação de cada ua das alhas espaciais, e o grau da aproxiação e cada eleento finito. 4.. Problea de Stefan clássico Considereos o problea da fusão de u bloco de gelo a 0 o C e contacto co ua região de água líquida considerado e [4]. As variáveis desconhecidas para este problea são a posição da interface que separa a região líquido - sólido e a distribuição de Ω 0, teos água no estado líquido teperaturas na fase líquida. Na região = [ ] enquanto que e = [ 0, l] \ Ω = [ t l] ), 3 Ω teos água e estado sólido. O ponto de separação das duas fases deterina a posição da interface, s (. u ( x, representa a teperatura na fase I na posição x Ω no instante t. A distribuição inicial da teperatura é definida por u x,0) = g( x), x Ω ; u( x,0) = 0, x Ω ; (7) ( Co o derreter do gelo a água líquida ocupará a região desconhecida [ 0, ] Nua fora a diensional, o problea na fase I pode ser expresso pela equação Sujeito às condições iniciais u =, Ω. = x Ω, t > 0 (8) u( x,0) = g( x), x Ω ; 0) = s (9) 0 4

5 e às condições de fronteira (0, = 0, u(, = 0, t > 0 t > 0 (10) A velocidade da interface é dada por ds dt = (,, t > 0 Na fase II, v ( x, representa a teperatura na fase II na posição x Ω no instante t. O odelo fica descrito por (11) sujeito às condições de fronteira v =, x Ω, t > 0 (1) ( l, = 0, t 0 (13) v(, = 0 t 0 e à condição inicial v( x,0) = 0, x Ω. A ução analítica a função definida por v( x, = 0, x Ω, t > 0. De acordo co [4] considere-se l =, g( x) x = 1 e que a região ocupada inicialente pela água líquida te aplitude 1, isto é, s 1. Para aplicação do MEFM considerou-se 4 eleentos finitos e aproxiações cúbicas e cada eleento para a fase I e 1 eleento finito co aproxiação linear para a fase II. A posição inicial dos nós de separação para a fase I foi = ; = 0.5; = 0.9; = 0.98; 1 (14) 1,1 0 1, 1,3 1,4 1, 5 = O tepo de CPU para a obtenção destes resultados foi de 0.38 segundos. A figura 1 apresenta a posição da interface óvel e função do tepo e verificaos que a posição da interface óvel se aproxia de u valor liite, s ( = Na figura apresentaos os perfis de teperatura para os instantes t = 0, t = 0., t = 0. 4, t = 0. 6 e t = Na figura 3 visualizaos as trajectórias dos nós de separação das alhas espaciais. Podeos constatar o oviento dos nós por fora a seguire a frente óvel e a elhor representare a ução. Os resultados nuéricos ostra de fora clara a eficiência do MEFM para a reução de probleas co fronteira óvel. É de realçar que se obtivera resultados que estão e acordo co os presentes na literatura usando alhas espaciais co pouco nós, reduzindo significativaente os custos coputacionais. 0 = 5

6 Figura 1. Posição da interface e função de t. Figura. Perfis de teperatura para diferentes valores de t. Figura 3. Trajectórias dos nós de separação. 6

7 4.. Transforação sólido - líquido Considereos a transforação sólido líquido descrita e [5]. Adita-se que a distribuição inicial da teperatura é definida por 0.53, x Ω u( x,0) = 0, x = s0 (15) 0.1, x Ω e que a posição inicial da interface é s = Na fase fase I o odelo é descrito pela equação Sujeito às condições de fronteira u = K, x Ω, t > 0 (16) (0, = 0, t > 0 (17) u(, = 0, t > 0 Na fase II o odelo fica descrito por sujeito às condições de fronteira v = K, x Ω, t > 0 (18) ( l, = 0, t 0 (19) v(, = 0, t 0 De acordo co [5] considere-se que a velocidade da interface é dada por pela condição ds L dt = K (, K (,, t > 0 (0) representando L o calor latente da idificação. O valor dos parâetros para este problea são, [5], l = 1, L = 0. 53, K = 1 e K = Para aplicação do MEFM considerou-se 4 eleentos finitos e aproxiações cúbicas e cada eleento tanto para a fase I coo para a fase II. A posição inicial dos nós foi 1,1,1 = 0; = 0.; 1, = 0.05;, = 0.01; 1,3 = 0.1;,3 = 0.6; 1,4 = 0.199;,4 = 0.9; 1,5 = 0.,5 = 1 (1) 7

8 O tepo de CPU para a obtenção destes resultados foi de 1.3 segundos. Na figura 4 apresentaos a posição da interface óvel e função assi coo a ução analítica, [5], quando se considera u doínio espacial sei-infinito. Nos instantes iniciais verifica-se ua concordância entra as duas uções e, coo seria de esperar, e para tepo ais elevados as uções diverge devido ao facto de nas siulações nuéricas co o MEFM se ter considerado u doínio finito. Na figura 5 apresentaos a história de teperatura para x = 0. 5 nos instantes iniciais. Na figura 6 visualizaos as trajectórias dos nós de separação das alhas espaciais. Figura 4. Posição da interface líquido - sólido e função de t. Figura 5. Histórias de teperatura para x=0.5. 8

9 Figura 6. Trajectórias dos nós de separação. 5. CONCLUSÕES Neste trabalho apresentáos ua forulação do MEFM para rever probleas co fronteira óvel. O MEFM reve co precisão e eficácia coputacional este tipo de probleas. Para ilustrar o desepenho do código desenvolvido consideráos dois probleas de Stefan. Extensões para a reução de probleas de Stefan a doínios espaciais de diensão superior a 1 usando o MEFM estão a ser investigadas. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradece o apoio da Fundação para a Ciência e Tecnologia, Projecto POCI/EQU/6100/004. REFERÊNCIAS [1] J. Crank, Free and Moving Boundary Probles, Clarendon Press, (1984). [] M.C. Coibra, C. Sereno and A.E. Rodrigues, Moving Finite Eleent Method: Applications to Science and Engineering Probles, Coputers and Cheical Engineering, Vol. 8(5), pp , (004). [3] A.C. Hindarsh, LSODE and LSODI, two new initial value ordinary differential equation vers. ACM-SIGNUM Newslett, 15, pp 10-11, (1980). [4] A. Kharab, Spreadsheet siulation of the oving boundary of the one-phase Stefan proble, Coput. Methods Appl. Mech. Engrg, Vol. 145, pp. 17-5, (1997). [5] E. Javierre, C. Vuik, F.J. Verolen, S. van der Zwaag, A coparision of nuerical odels for one-diensional Stefan probles, Journal of Coputational and applied Matheatics, Vol. 19, pp , (006). 9