Resposta à Actuação de Controlo
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- Luzia Rodrigues Campelo
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1 Resposta à Actuação de Controlo João Oliveira Departaento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 7 de Dezebro de 2010 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 1 / 68
2 Suário Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para o oviento lateral Resolução de equações diferenciais não hoogéneas: étodo das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Resolução de sisteas Funções de transferência Resposta a ipulso Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta e frequência Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta lateral Exeplo do 747 Modos aproxiados João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 2 / 68
3 Matrizes e vectores de controlo Suário Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para o oviento lateral Resolução de equações diferenciais não hoogéneas: étodo das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Resolução de sisteas Funções de transferência Resposta a ipulso Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta e frequência Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta lateral Exeplo do 747 Modos aproxiados João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 3 / 68
4 Matrizes e vectores de controlo Equações do oviento Equações do oviento para pequenas perturbações: ẋ = Ax + Bc B: atriz de controlo c: vector de controlo Moviento Longitudinal: c = [ δ e δ P ] T Moviento Lateral: c = [ δa δ r ] T É necessário deterinar a atriz de controlo e cada u dos casos. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 4 / 68
5 Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para oviento longitudinal Das equações do ovientos obté-se: Bc = [ 1 I y X c Z c Zẇ ] M c + M ẇ Z c Zẇ Por outro lado: X C = X δe δ e + X δp δ P Z C = Z δe δ e + Z δp δ P M C = M δe δ e + M δp δ P 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 5 / 68
6 Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para oviento longitudinal Fazendo as substituições necessárias, obté-se: X δe X δp Z δp Z δe [ ] Zẇ Zẇ δe Bc = M δe I y + M ẇ Z δe M δp I y ( Zẇ) I y + M ẇ Z δp δ P I y ( Zẇ) } 0 {{ 0 } atriz B João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 6 / 68
7 Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para o oviento lateral Matriz de controlo para o oviento lateral Y c L c Bc = I + I x zx N c I zx L c + N c I z 0 Por outro lado: Y C = Y δa δ a + Y δr δ r L C = L δa δ a + L δr δ r N C = N δa δ a + N δr δ r João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 7 / 68
8 Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para o oviento lateral Matriz de controlo para o oviento lateral Fazendo as substituições necessárias, obté-se: Y δa Y δr L δa I Bc = L δr x zxn δa I + I x zxn δr I zxl δa + N δa I z I zxl δr + N δr I z } 0 {{ 0 } atriz B [ ] δa δ r João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 8 / 68
9 Método das transforadas de Laplace Suário Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para o oviento lateral Resolução de equações diferenciais não hoogéneas: étodo das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Resolução de sisteas Funções de transferência Resposta a ipulso Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta e frequência Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta lateral Exeplo do 747 Modos aproxiados João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 9 / 68
10 Método das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Definição de Transforada de Laplace: L x(t) = + 0 x(t)e st ds x(s) Se xe st 0 quando t +, ostra-se facilente que L ẋ(t) = x(0) + s x(s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 10 / 68
11 Método das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Transforadas de Laplace inversas Transforada inversa: x(t) = 1 2πi li ω γ iω γ iω e st x(s)ds onde γ é u núero real aior que a parte real qualquer dos dos pólos de x(s). Métodos habituais para a obter: étodo das fracções parciais teorea da expansão de Heaviside uso de tabelas, etc. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 11 / 68
12 Método das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Teorea da expansão de Heaviside Seja x(s) = N(s) D(s) e que D(s) é u polinóio de grau n e N(s) é u polinóio de grau inferior a n, e designando por a r as raízes de D(s), de odo que D(s) = (s a 1 )(s a 2 ) (s a n ), então a transforada inversa é x(t) = n [ ] (s ar )N(s) r =1 D(s) s=a r e a r t João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 12 / 68
13 Método das transforadas de Laplace Resolução de sisteas Resolução de sisteas de equações diferenciais não hoogéneas Equação diferencial ordinária não hoogénea (se x(0) = 0): ẋ = ax(t) + bc(t) s x(s) = a x(s) + b c(s) x(s) = b s a c(s) Analogaente, para u sistea de equações: ẋ = Ax(t) + Bc(t) s x(s) = A x(s) + B c(s) x(s) = (si A) 1 B c(s) }{{} G(s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 13 / 68
14 Método das transforadas de Laplace Resolução de sisteas Resolução de sisteas de equações diferenciais não hoogéneas Logo, obteos x(s) = G(s) c(s) As soluções do sistea são dadas por: x(t) = L 1 x(s) = L 1 [G(s) c(s)] Nota 1: atenção aos valores iniciais! Nota 2: estas equações são atriciais! João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 14 / 68
15 Método das transforadas de Laplace Resolução de sisteas Resposta das variáveis de estado De x(s) = G(s) c(s) obté-se a resposta da i-ésia variável de estado: x i (s) = j G ij (s) c j (s) A resposta a ua «soa» de entradas é a soa das respostas individuais a cada ua das entradas. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 15 / 68
16 Método das transforadas de Laplace Resolução de sisteas Sisteas e série Quando dois sisteas estão e série, a entrada do segundo é a resposta do prieiro. Logo: x 1 = G 1 (s) c(s) x 2 = G 2 (s) x 1 (s) = G 2 (s)g 1 (s) c(s) Logo, a função de transferência total é o produto das funções de transferência: G(s) = x 2(s) c(s) = G 2(s)G 1 (s) Pode-se generalizar este resultado para u núero arbitrário de sisteas e série. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 16 / 68
17 Método das transforadas de Laplace Funções de transferência Matriz das funções de transferência Matriz das funções de transferência: Mas (si A) 1 = cof(si A): atriz dos cofactores G(s) = (si A) 1 B cof(si A) det(si A) polinóio característico: f (s) = det(a si) det(si A) = ( 1) n f (s) G(s) = (n é a diensão do sistea) 1 ( 1) n cof(si A) B f (s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 17 / 68
18 Método das transforadas de Laplace Funções de transferência Eleentos da atriz das funções de transferência G ij (s) = ( 1)n [cof(si A) B] ij f (s) N ij (s) = (s λ 1 )(s λ 2 ) (s λ n ) N ij (s): polinóio e s λ 1,..., λ n : valores próprios do sistea Os valores próprios pode ser: reais tero (s λ k ) sistea de 1ª orde pares de raízes coplexas conjugadas (λ k, λ k+1 ) (s λ k )(s λ k+1 ) = (s 2 + a k s + b k ) sistea de 2ª orde João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 18 / 68
19 Método das transforadas de Laplace Funções de transferência Sisteas de 1ª e 2ª orde Eleentos da atriz das funções de transferência: produtos de teros de 1ª orde e de 2ª orde. Sisteas que interessa e aeronáutica: conjuntos de sisteas de 1ª e 2ª orde e série. Podeos analisar separadaente reposta de cada u dos subsisteas. Respostas a analisar: a ipulso; a escalão; e frequência; ruído branco. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 19 / 68
20 Método das transforadas de Laplace Resposta a ipulso Resposta a ipulso Ipulso: c j (t) = δ(t). Mas δ(t) é delta de Dirac δ(s) = 1 Note-se que: x i,j (s) = G ij (s) c j (s) = G ij (s) δ(s) = G ij (s) Designaos por h(t) a resposta a ipulso, isto é, h ij (t) = L 1 hij (s) h ij (s) x i,j (s) = G ij (s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 20 / 68
21 Método das transforadas de Laplace Resposta a ipulso Resposta a ipulso Logo h ij (t) = L 1 G ij (s) = 1 G ij (s) e st ds 2πi = 1 2π C + G ij (iω) e iωt dω Note-se que, se o sistea é estável, os pólos de G ij estão no sei-plano esquerdo e o contorno C do integral pode ser o eixo iaginário (s = iω) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 21 / 68
22 Método das transforadas de Laplace Resposta a ipulso Resposta a ipulso: sistea de 1ª orde Sistea de 1ª orde: G(s) = 1 s λ h(t) = π iω λ eiωt = e λt Se o sistea é estável, λ é negativo. Seja T = 1/λ: h(t) = e t/t João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 22 / 68
23 Método das transforadas de Laplace Resposta a ipulso Resposta a ipulso: sistea de 2ª orde Sistea de 2ª orde: 1 G(s) = s 2 + 2ζω n s + ω 2 n = 1 (s n) 2 + ω 2 se ζ < 1 1 (s n) 2 ω 2 se ζ > 1 e que ω = ω n 1 ζ 2 e n = ζω n. h(t) = 1 ω ent sin(ωt) ζ < 1 h(t) = 1 ω ent sinh(ωt) ζ 1 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 23 / 68
24 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta a escalão Entrada: função de Heaviside: c j (t) = H(t) c j (s) = H(s) = 1/s Designaos por A ij (t) a resposta a escalão, isto é, x i,j (s) Ā ij (s) = G ij (s) H(s) = G ij(s) s Mas, coo h ij (s) = G ij (s), Ā ij (s) = h ij (s) s João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 24 / 68
25 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta a escalão Coo vios, Ā ij (s) = h ij (s) s Logo, pelas propriedades da transforada de Laplace A ij (t) = t 0 h ij (τ)dτ (Note-se que para t 0, se te A ij (t) = 0 e h ij (t) = 0.) Usaos os h(t) obtidos anteriorente para deterinar A ij (t). João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 25 / 68
26 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta a escalão: sisteas de 1ª e 2ª orde Sistea de 1ª orde: A ij (t) = T (1 ) e t/t Sistea de 2ª orde: A ij (t) = 1 ω 2 [ 1 e nt ( cos(ωt) n ω sin(ωt) )] A ij (t) = 1 [ ω n ω 2ω e(n+ω)t n + ω ] 2ω e(n ω)t ζ < 1 ζ 1 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 26 / 68
27 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Ganho estático Ganho estático K: valor assiptótico de A quando t Pelo teorea do valor final: li t + A(t) = li sā(s) = li G(s) s 0 s 0 Logo, conclui-se que K = li s 0 G(s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 27 / 68
28 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Sisteas de 1ª orde: resposta a ipulso e escalão João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 28 / 68
29 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Sisteas de 2ª orde: resposta a ipulso João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 29 / 68
30 Método das transforadas de Laplace Resposta a ua entrada tipo escalão Sisteas de 2ª orde: resposta a escalão João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 30 / 68
31 Método das transforadas de Laplace Resposta e frequência Resposta e frequência Neste caso, a entrada é ua função oscilatória: c(t) = A 1 e iωt c = A 1 s iω (Para ais porenores, ver Etkin) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 31 / 68
32 Resposta longitudinal Suário Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para o oviento lateral Resolução de equações diferenciais não hoogéneas: étodo das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Resolução de sisteas Funções de transferência Resposta a ipulso Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta e frequência Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta lateral Exeplo do 747 Modos aproxiados João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 32 / 68
33 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Equações para o oviento longitudinal Recorde-se que ẋ(t) = Ax(t) + Bc(t) x(s) = (si A) 1 B c(s) ou seja, no caso de oviento longitudinal: ū(s) w(s) = (si A) 1 B δ e (s) q(s) δ P (s) θ(s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 33 / 68
34 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Matriz de controlo para oviento longitudinal Recorde-se tabé que B = ( Mδe X δe Z δe Zẇ I y + M ẇ Z δe I y ( Zẇ) X δp Z δp Zẇ ) ( MδP I y + M ẇ Z δp I y ( Zẇ) 0 0 ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 34 / 68
35 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Derivadas diensionais para variáveis de controlo As derivadas diensionais de controlo obté-se a partir das derivadas adiensionais por: X δe = 1 2 ρu2 0 SC x δe X δp = 1 2 ρu2 0 SC x δp Z δe = 1 2 ρu2 0 SC z δe Z δp = 1 2 ρu2 0 SC z δp M δe = 1 2 ρu2 0 S cc δe M δp = 1 2 ρu2 0 S cc δp João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 35 / 68
36 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: resposta ao elevator Resposta ao elevator δ P = 0 ū(s) w(s) = (si A) q(s) 1 B δ e (s) = (si A) 1 0 θ(s) ( Mδe X δe Z δe Zẇ I y + M ẇ Z δe I y ( Zẇ ) 0 ) δ e (s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 36 / 68
37 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta ao elevator: funções de transferência Resolvendo o sistea podeos obter as funções de transferência: ū(s) δ e (s) = G uδ e (s) = N uδ e (s) f (s) w(s) δ e (s) = G wδ e (s) = N wδ e (s) f (s) q(s) δ e (s) = G qδ e (s) = N qδ e (s) f (s) θ(s) δ e (s) = G θδ e (s) = N θδ e (s) f (s) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 37 / 68
38 Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: resposta à variação na propulsão Resposta à variação na propulsão throttle δ e = 0 ū(s) w(s) 0 = (si A) 1 B q(s) δ P (s) θ(s) Procedendo de fora análoga ao caso anterior, obté-se as funções de transferência. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 38 / 68
39 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: exeplo do 747 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 39 / 68
40 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Características da aeronave Voo horizontal a ft e co Ma = 0.8 I x = kg 2 S = c = I y = kg 2 W = N u 0 = 235.9/s I z = kg 2 ρ = kg/ 3 θ 0 = 0 I xz = kg 2 C L0 = C D0 = Derivadas adiensionais: C x C z C û α ˆq ˆ α δ e João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 40 / 68
41 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Derivadas diensionais e atrizes Derivadas diensionais: X (N) Z (N) M (N) u (/s) w (/s) q (rad/s) ẇ (/s 2 ) δ e (rad) Matriz do sistea: A = Matriz de controlo: B = (Co X δp / = 0.3g, Z δp = 0 = M δp ) Nota: as atrizes não estão calculadas e SI. Equação característica: det(si A) = 0 f (s) = s s s s = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 41 / 68
42 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Polinóio característico Equação característica: f (s) = s s s s = 0 Raízes: s 1,2 = ± i; s 3,4 = ± i Ua vez que: (s s 1 )(s s 2 ) = s s (s s 3 )(s s 4 ) = s s o polinóio característico escreve-se: f (s) = ( s s )( s s ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 42 / 68
43 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta à actuação do elevator Funções de transferência: obtidas por resolução de ū(s) w(s) = (si A) q(s) δ e (s) θ(s) 0 ū(s) δ e (s) = G uδ e (s) = N uδ e (s) s s s = f (s) (s s )(s s ) w(s) δ e (s) = G wδ e (s) = N wδ e (s) 17.85s s s = f (s) (s s )(s s ) q(s) δ e (s) = G qδ e (s) = N qδ e (s) 1.158s s s = f (s) (s s )(s s ) θ(s) δ e (s) = G θδ e (s) = N θδ e (s) 1.158s s = f (s) (s s )(s s ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 43 / 68
44 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Outras funções de transferência iportantes Ângulo de subida: γ = θ α G γδe = G θδe G αδe Factor de carga n z = Z W : n z = Z W = 1 W (Z u u + Z w w + Z q q + Zẇẇ + Z δe δ e ) G nδe = n z δ e = 1 ) (Z u G uδe + Z w G wδe + Z q G qδe + ZẇGẇδe + Z δe W João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 44 / 68
45 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta a escalão ( δ e = 1 o ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 45 / 68
46 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta a escalão Início da resposta: só α varia significativaente oscilações de α são aortecidas rapidaente o oviento é doinado pelo odo de período curto Após os prieiros segundos: oscilações de u (e de α, co enos aplitude) oscilações pouco aortecidas o oviento é doinado pelo odo fugóide João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 46 / 68
47 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta a escalão: estado estacionário No estado estacionário: li u = li s G uδ e δ e = 14.11/s t + s 0 li α = li s G αδ e δ e = 1.06 o t + s 0 li γ = li s G γδ e δ e = o t + s 0 O resultado da deflexão do lee de profundidade é variação significativa de u variação significativa de α variação uito pequena do ângulo de subida João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 47 / 68
48 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: exeplo Resposta à actuação do throttle Co δ P = 1/6 (increento na força de propulsão de 0.05W ): oscilações de u co valor édio nulo e pouco aortecidas α aproxiadaente constante γ oscila e tende para valor estacionário γ = 2.8º João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 48 / 68
49 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta longitudinal: odos aproxiados Pretende-se, para cada u dos odos aproxiados: resolver as equações do oviento (co controlo) pelo étodo das transforadas de Laplace deterinar as funções de transferência para os odos aproxiados longitudinais fugóide período curto João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 49 / 68
50 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide Equações para o odo fugóide aproxiado (incluindo teros de controlo) u = X u u + X w w + g θ + X δ e δ e + X δ P δ P ẇ = Z u u + Z w w + u 0q + Z δ e δ e + Z δ P δ P 0 = M u u + M w w + M δe δ e + M δp δ P θ = q João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 50 / 68
51 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide Equações na fora atricial (e considerando apenas δ e ): u ẇ 0 θ = X u X w 0 g Z u Z w u 0 0 M u M w u w q θ + X δe Z δe M δe 0 δ e Após aplicação da transforada de Laplace: s ū s w 0 q s θ = X u X w 0 g Z u Z w u 0 0 M u M w ū w q θ + X δe Z δe M δe 0 δ e João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 51 / 68
52 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide Finalente obteos ( ) s X u X w 0 g ū X δe ( ) Z u s Z w u 0 0 w Z δe = M u M w 0 0 q δ e M δe s θ 0 Resolvendo este sistea e orde a ū/ δ e, w/ δ e, q/ δ e e θ/ δ e obteos as funções de transferência João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 52 / 68
53 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide: funções de transferência ū(s) δ e (s) = G uδ e = a 1s + a 0 f (s) Os coeficientes são: a 1 = u 0 ( M δe X u ( Z w a 0 = g M δe M w ) M X δe w gm δe ) Z δe Polinóio característico para o odo fugóide aproxiado: f (s) = As 2 + Bs + C A = u 0 M w B = gm u + u 0 (X um w M u X w ) C = g (Z um w M u Z w ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 53 / 68
54 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide: funções de transferência Os coeficientes são: w(s) δ e (s) = G wδ e = b 2s 2 + b 1 s + b 0 f (s) b 2 = u 0 M δe X δe b 1 = u 0 M u ( ) Z δe b 0 = g M u M Z u δ e João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 54 / 68
55 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo fugóide: funções de transferência Os coeficientes são: θ(s) δ e (s) = G θδ e = c 2s 2 + c 1 s + c 0 f (s) c 2 = M δe X δe c 1 = M u + M Z δe w M δ e ( Xu c 0 = M δe X δe Z w X w Z u ) ) ( M w Z u M u Z w ( Xu + Z ) w + Z δ e ( M u X w M w ) X u + João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 55 / 68
56 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo de período curto aproxiado Sistea de equações para o odo aproxiado de período curto (incluindo teros de controlo): ẇ = q [ 1 I y Z w u 0 ] [ ] w + M w + M ẇ Z w 1 I y M q + Mẇu0 q M δe I y Z δe + M ẇ Iy Z δe δ e As funções de transferência obté-se aplicando a transforada de Laplace e usando os étodos descritos acia. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 56 / 68
57 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo de período curto: funções de transferência Notando que q = s θ, obté-se: G wδe = a ss + a 0 f (s) G θδe = b 1s + b 0 sf (s) = G qδ e s Polinóio característico: f (s) = s 2 + c 1 s + c 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 57 / 68
58 Resposta longitudinal Resposta longitudinal: odos aproxiados Modo de período curto: funções de transferência Coeficientes: Z δ e a 1 = u 0 a 0 = u 0 M δe I y M q I y Z δe b 1 = M δ e I y + M ẇ I y Z δe b 0 = Z δ e c 1 = c 0 = 1 I y Z w M δe I y + 1 ( ) ] M q + Mẇu 0 I y [ M w u 0 Z ] w M q M w I y [ Zw João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 58 / 68
59 Resposta lateral Suário Matrizes e vectores de controlo Matriz de controlo para oviento longitudinal Matriz de controlo para o oviento lateral Resolução de equações diferenciais não hoogéneas: étodo das transforadas de Laplace Transforadas de Laplace Resolução de sisteas Funções de transferência Resposta a ipulso Resposta a ua entrada tipo escalão Resposta e frequência Resposta longitudinal Caso geral: funções de transferência Resposta longitudinal: exeplo Resposta longitudinal: odos aproxiados Resposta lateral Exeplo do 747 Modos aproxiados João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 59 / 68
60 Resposta lateral Exeplo do 747 Resposta Lateral As funções de transferência obtê-se pela resolução das equações: v p [ ] δa (si A) r = B δ r φ João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 60 / 68
61 Resposta lateral Exeplo do 747 Derivadas relativas às variáveis de controlo Derivadas adiensionais: (e rad -1 ) C y C l C n δ a δ r As derivadas diensionais são dadas por: Y δ = 1/2 ρu 2 0SC yδ L δ = 1/2 ρu 2 0SbC lδ N δ = 1/2 ρu 2 0SbC nδ e que δ pode ser substituído por δ a ou δ r. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 61 / 68
62 Resposta lateral Exeplo do 747 Funções de transferência G vδa = N vδ a f (s) G vδr = N vδ r f (s) G pδa = N pδ a f (s) G pδr = N pδ r f (s) G r δa = N r δ a f (s) G r δr = N r δ r f (s) G φδa = N φδ a f (s) G φδr = N φδ r f (s) f (s) é o polinóio característico do sistea (lateral), dado por f (s) = s s s s João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 62 / 68
63 Resposta lateral Exeplo do 747 Funções de transferência N vδa = 2.896s s N vδr = 5.642s s s5.934 N pδa = s s s N pδr = s s s N r δa = s s s N r δr = s s s N φδa = s s N φδr = s s João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 63 / 68
64 Resposta lateral Exeplo do 747 Estados estacionários após aplicação de escalão Neste caso δ = sδ. Aplicando o teorea do valor final: p ss = 0 e abos os casos β, r e φ tende para valores finitos para valores «norais» de δ, esse liites são elevados teoria linear só é válida para δ pequenos João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 64 / 68
65 Resposta lateral Modos aproxiados Modos aproxiados Nos casos seguintes trata-se de resolver [ ] δa (si A) x = B δ r Usar-se-á a notação Y δ = Y δ L δ = L δ I x + I zx N δ N δ = I zxl δ + N δ I z e que δ = δ a ou δ r, confore o caso. João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 65 / 68
66 Resposta lateral Modos aproxiados Aproxiação espiral/rolaento Neste caso quereos resolver 0 0 u 0 g v L v (s L p ) L r 0 p N v N p (s N r ) 0 r = φ Polinóio característico: f (s) = Cs 2 + Ds + E Y δa L δa N δa Y δr L δr N δr 0 0 [ ] δa δ r C = u 0 N v D = u 0 (L v N p L p N v ) gl v E = g(l v N r L r N v ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 66 / 68
67 Resposta lateral Modos aproxiados Espiral/rolaento: funções de transferência G vδ = N vδ /f (s) N vδ = a 3 s 3 + a 2 s s + a 1 s + a 0 G φδ = N φδ /f (s) N φδ = b 1 s + b 0 G r δ = N r δ /f (s) N r δ = d 2 s 2 + d 1 s + d 0 G pδ = N pδ /f (s) N pδ = s N φδ a 3 = Y δ a 2 = Y δ (L p + N r ) u 0 N δ a 1 = Y δ (L p N r L r N p ) u 0 (L δ N p L p N δ ) + L δ g a 0 = g(l r N δ L δ N r ) b 1 = Y δ L v b 0 = u 0 (L δ N v L v N δ ) + Y δ (L v N r L r N v ) d 2 = Y δ N v d 1 = Y δ (L v N p L p N v ) d 0 = g(l δ N v L v N δ ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 67 / 68
68 Resposta lateral Modos aproxiados Aproxiação de rolaento holandês Neste caso quereos resolver [ ] [ ] [ ] (s Yv ) u 0 0 Yδr δa = N v (s N r )] [ v r N δa N δr δ r Polinóio característico: f (s) = s 2 (Y v + N r ) s + (Y v N r + u 0 N v ) Funções de transferência: G vδa = N vδa /f (s) N vδa = u 0 N δa G r δa = N r δa /f (s) N r δa = N δa s Y v N δa G vδr = N vδr /f (s) N vδr = Y δr s (Y δr N r + u 0 N δr ) G r δr = N r δr /f (s) N r δr = N δr s (N δr Y v Y δr N v ) João Oliveira (ACMAA, IST) Resposta à Actuação de Controlo Estabilidade de Voo 68 / 68
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