Equações do Movimento

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1 Capítulo 12 Equações do Movimento 12.1 Ângulos de Euler Referenciais Para os nossos propósitos podemos considerar como inercial um referencial fixo na Terra, designado por F E, (Ox E y E z E ). Uma vez que pretendemos analisar apenas o voo durante intervalos de tempo relativamente curtos (da ordem de minutos), podemos desprezar a curvatura da Terra e considerar a aceleração da gravidade g como vertical. O eixo Oz E é escolhido segundo a direcção e sentido da gravidade (é vertical e aponta pra baixo). O referencial fixo no avião é designado por F B, (Cxyz). Tem origem no centro de massa da aeronave e move-se solidário com ela. A figura 12.1 representa os dois referenciais. Qualquer dos referenciais pode ser usado para medir grandezas. Assim, podemos medir a velocidade do ar relativamente ao avião ou relativamente à Terra. Por outro lado, os eixos e os vectores de base de qualquer dos referenciais pode ser usado para escrever qualquer vector. Podemos, por exemplo, escrever a velocidade do ar relativemente ao avião tanto no referencial do avião como no referencial da Terra. Sempre que possa haver ambiguidades usaremos a notação V a b em que o expoente a identifica o referencial relativamente ao qual medimos o vector e o índice b identifica o referencial no qual escrevemos as componentes do vector. Exemplificando o uso da notação, a velocidade relativamente à Terra é V E, e pode ser escrita no referencial da Terra, V E E = (ẋ E, ẏ E, ż E ), ou no referencial do avião, V B E = (u E, v E, w E ). A velocidade do avião relativamente ao ar (airspeed), pode ser designada simplesmente por V B = (u, v, w), escrita no referencial do avião. Note-se que, se o vento tiver velocidade W, V E = V + W Definição dos Ângulos de Euler Os ângulos de Euler permitem descrever a orientação relativa dos dois referenciais (F E fixo na Terra e F B solidário com o avião). Existem muitas definições possíveis para 81

2 Figura 12.1: Referencial inercial ligado à Terra, F E, de eixos (Ox E y E z E ) e referencial ligado ao avião, F B, de eixos (Cxyz). os ângulos de Euler, mas em aeronáutica são usados os ângulos de guinada (yaw), picada/cabragem (pitch) e pranchamento ou rolamento (bank, roll). A primeira rotação, em torno do eixo vertical fixo Cz E, define o ângulo de guinada ψ, como se mostra na figura A segunda rotação, representada na figura 12.3, é feita em torno do eixo Cy 1 obtido após a rotação anterior, e define o ângulo de picada (usa-se também cabragem quando o ângulo é negativo), θ. A terceira rotação faz-se em torno do eixo Cx 2, como se mostra na figura 12.4 e define o ângulo de pranchamento (ou rolamento) φ Matrizes de rotação Para relacionar vectores escritos no sistems de eixos da Terra e no sistema de eixos do avião temos de introduzir a matriz de rotação. As matrizes de rotação relacionam as componentes de um vector nos sistemas de eixos antes e depois da rotação. Como os ângulos de Euler são definidos como rotações em torno de sucessivos eixos coordenados, comecemos por definir as matrizes para rotações em torno de cada um dos eixos coordenados para os ângulos mostrados na figura Para uma rotação de um ângulo α em torno do eixo Ox, a matriz de rotação é L x (α) = 0 cos α sin α ; (12.1) 0 sin α cos α 82

3 Figura 12.2: Rotação que define o ângulo de guinada, em torno do eixo fixo vertical Cz E. Figura 12.3: Rotação que define o ângulo de picada, em torno do eixo Cy 1. 83

4 Figura 12.4: Rotação que define o ângulo de rolamento, em torno do eixo Cx 2 Cx. z z z β α α γ x y x β y x γ y Figura 12.5: Rotações em torno de cada um dos eixos coordenados 84

5 para uma rotação de um ângulo β em torno do eixo Oy a matriz de rotação é cos β 0 sin β L y (β) = ; (12.2) sin β 0 cos β finalmente, para uma rotação de um ângulo γ em torno do eixo Oz a matriz de rotação é cos γ sin γ 0 L z (γ) = sin γ cos γ 0. (12.3) Para obtermos a matriz de rotação do referencial fixo na Terra F E para o referencial fixo na aeronave F B basta-nos aplicar multiplicar (da direita para a esquerda) as matrizes correspondentes às rotações de guinada, picada e pranchamento: L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ). (12.4) Para transformar as componentes de um vector escritas no referencial da Terra para as componentes do mesmo vector escritas no referencial do avião basta-nos multiplicar pela matriz de rotaçao: V B = L BE V E. (12.5) A matriz L BE de rotação do referencial fixo na Terra F E para o referencial fixo na aeronave F B que se obtém a partir de (12.4) e das matrizes (12.1), (12.2) e (12.3) é L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ) = cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ = sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ sin φ cos θ. cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ (12.6) Como exemplo, vamos determinar as componentes do peso no referencial do avião. No referencial da Terra o peso é (m g) E = (0, 0, mg). Para obtermos as suas componentes no referencial do avião usamos (12.5): cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ 0 (m g) B = sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ sin φ cos θ 0 cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ mg mg sin θ = mg cos θ sin φ. mg cos θ cos φ Também podemos definir a matriz de rotação inversa, do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra F E : L EB = L 1 BE = L z( ψ) L y ( θ) L x ( φ). Agora as rotações devem ser feitas pela ordem inversa e os ângulos são simétricos dos ângulos da rotação inicial. A relação entre as componentes dos vectores nos dois referenciais é V E = L EB V B, (12.7) 85

6 sendo a matriz L EB de rotação do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra F E dada por L EB = L 1 BE = L z ( ψ) L y ( θ) L x ( φ) = cos θ cos ψ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ = cos θ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ. sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ (12.8) Velocidade e frequências angulares A velocidade angular de um avião é habitualmente referida a partir das componentes ao longo dos eixos coordenados do avião: ω = p i B + q j B + r k B. (12.9) Por outro lado, da definição dos ângulos de Euler deduz-se que a velocidade angular se pode escrever em função das frequências angulares ψ, θ e φ. Para relacionar p, q e r com as frequências angulares comecemos por notar que ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B. (12.10) Mas, pela definição dos ângulos de Euler: i 3B = i B, j 2B = cos φj B sin φk B, k 1B = cos θ(sin φj B + cos φk B ) sin θi B. (12.11) Substituindo (12.11) em (12.10), obtém-se ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B = ψ[cos θ(sin φ j B + cos φ k B ) sin θ i B ] + θ[cos φ j B sin φ k B ] + φ i B = ( φ ψ sin θ) i B + ( ψ cos θ sin φ + θ cos φ) j B + ( ψ cos θ cos φ θ sin φ) k B. Por comparação com (12.9), constata-se facilmente que p = φ ψ sin θ, q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ, r = ψ cos θ cos φ θ sin φ. (12.12) 12.2 Equações de Euler Equações do movimento Considerando o avião como um corpo rígido e sendo F a resultante das forças exteriores aplicadas ao avião, M C o momento resultante relativo ao centro de massa C 86

7 do avião e H C o momento angular total relativamente a C, as equações do movimento no referencial inercial F E são [ ] d F = m dt ( V E ) (12.13) F E para a dinâmica de translação e M C = [ ] d dt ( H C ) (12.14) F E para a dinâmica de rotação. O referencial do avião é um referencial em rotação com velocidade angular ω. Por isso, a equação da dinâmica de translação pode escrever-se ( F) B = m [ ] d dt ( V E ) F E ] = m [( V E ) B + ( ω) B ( V E ) B, (12.15) enquanto que para a equação da dinâmica de rotação temos [ ] d ( M C ) B = dt ( H C ) [( H ] C ) B + ( ω) B ( H C ) B. (12.16) F E = São estas equações, em que as grandezas vectoriais estão expressas no referencial do avião, que vamos procurar desenvolver e resolver Equações do movimento no referencial do avião As forças externas aplicadas a uma aeronave incluem a força gravítica m( g) B, as forças aerodinâmicas, designadas genericamente por A, e a força de propulsão T. Como vimos, no referencial do avião a força gravítica pode escrever-se m( g) B = mg ( sin θ i B + cos θ sin φ j B + cos θ cos φ k B ) (12.17) Por outro lado, podemos por enquanto agrupar as forças aerodinâmicas e de propulsão sob uma designação genérica, ( A) B + ( T ) B = X i B + Y j B + Z k B. (12.18) Note-se que X, Y e Z dependem das variáveis dinâmicas ( V e ω) e que também teremos de incluir aqui as forças de controlo. Tendo em conta que no referencial do avião ( ω) B = p i B + q j B + r k B ( V E ) B = u E ib + v E jb + w E kb as componentes segundo x, y e z da equação da dinâmica de translação (12.15) são X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ), Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ), (12.19) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ). 87

8 O momento resultante das forças externas relativamente ao centro de massa C da aeronave é ( M C ) B = L i B + M j B + N k B, (12.20) em que L, M, e N são chamados respectivamente momentos de rolamento, picada e guinada. O momento angular relativamente a C é dado por [( H C ) B ] = [I B ][( ω) B ]. (12.21) A matriz de inércia é I xx I xy I xz [I B ] = I xy I yy I yz, (12.22) I xz I yz I zz sendo os momentos de inércia definidos por I xx = (y 2 + z 2 ) dm, etc., e os produtos de inércia definidos como I xy = xy dm, etc. Substituindo todas estas expressões na equação da dinâmica de rotação (12.16) as componentes segundo x, y e z são L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr, M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p, N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq. (12.23) Resumo das equações do movimento Em resumo, temos nove equações diferenciais não lineares acopladas: três equações para a dinâmica de translação, três equações para a dinâmica de rotação e três equações que relacionam as velocidades angulares com as frequências de Euler. X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ O sistema de equações tem também nove incógnitas: (u, v, w, p, q, r, ψ, θ, φ). Uma simplificação que é válida na maior parte dos casos é a de considerar que a aeronave é simétrica, o que implica I xy = 0 = I yz. Note-se que só é possível separar completamento o movimento longitudinal do movimento lateral se p = 0 = r, e isto exige φ = 0 (pois caso contrário a existência de q 0 faz aparecer r 0). Portanto, se as asas não estiverem niveladas não é possível um voo com movimento apenas longitudinal. 88

9 Trajectória A trajectória (flight path) é definida no referencial solidário com a Terra Terra, F E. Neste referencial V E E = (ẋ E, ẏ E, ż E ) e V B E = (u E, v E, w E ). As velocidades u E, v E e w E são obtidas pelas equações do movimento, e os vectores velocidade estão relacionados por [ V E E ] = [L EB ][ V B E ]. Daqui obtém-se o sistema de equações diferenciais para as coordenadas da trajectória. ẋ E = u E cos θ cos ψ + v E (sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ)+ w E (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) ẏ E = u E cos θ sin ψ + v E (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)+ w E (cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ) ż E = u E sin θ + v E sin φ cos θ + w E cos φ cos θ 12.3 Rotores em movimento Mesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um avião não é um corpo rígido. No caso de propulsão a hélice, os hélices dos motores são partes em movimento rotativo, como o são as turbinas e compressores no caso de propulsão a jacto. Quando estabelecemos as equações de Euler, admitimos que o avião era um corpo rígido, mas não é difícil introduzir o efeito dos rotores nas equações, bastando somar ao momento angular do avião o termo correspondente o momento angular dos rotores: [( H C ) B ] = [I B ][( ω) B ] + [ h B ], (12.24) em que h B é momento angular dos rotores (devido ao seu movimento de rotação relativo ao avião) e [I B ][( ω) B ] é momento angular do avião, já anteriormente considerado. É este momento angular total que deve ser usado na equação para a dinâmica de rotação (12.16) [ ] d ( M C ) B = dt ( H C ) = [( H ] C ) B + ( ω) B ( H C ) B F E Quando a velocidade dos rotores é constante, é necessário apenas acrescentar os seguintes termos adicionais na equação dos momentos: na equação segundo x, qh z r h y ; na equação segundo y, r h x ph z ; na equação segundo z, ph y qh x Sistemas de eixos do corpo Qualquer sistema de eixos solidários com o corpo pode ser usado como referencial F B. Na prática, os sistemas de eixos com utilidade seguem as seguintes regras: Eixos Cx e Cz no plano de simetria do avião, Cx apontando «para a frente», 89

10 Figura 12.6: Sistema de eixos em que o eixo Cx é a linha de sustentação nula do avião. Cz apontando «para baixo», Cy formando um triedro directo. O eixo Cy é portanto o eixo que é perpendicular ao plano de simetria e passa pelo centro de massa. Quanto aos eixos Cx e Cz, existem muitas possibilidades de escolha. Uma das possibilidades é escolher o eixo Cx na direcção da linha de sustentação nula do avião, como se mostra na figura Nesse caso, o ângulo de ataque do eixo Cx é o ângulo de ataque da aeronave e o ângulo de subida (ou de rota) γ é dado por γ = θ α. Uma outra escolha que apresenta vantagens, representada na figura 12.7, é a de usar como Cx e Cz os eixos principais de inércia (num avião simétrico, a nossa escolha para Cy garante que é sempre um eixo principal de inércia). Assim, I xy = I xz = I yz = 0, e o momento angular do avião é apenas h x = I x p h y = I y q h z = I z r o que traz simplicações nas equações do movimento de rotação. Agora, porém, α x α. O ângulo de subida é γ = θ α x, mas é necessário conhecer a relação entre α e α x. Em estudos de estabilidade é frequente usar um outro sistema de eixos, conhecido como sistema de eixos de estabilidade (x S, y S, z S ), que se apresenta na figura O eixo Cx é aqui escolhido segundo a direcção do vector velocidade. A grande vantagem é que por definição, w = 0, e portanto α x = 0. Este é o sistemas de eixos que iremos usar mais frequentemente no estudo da estabilidade dinâmica. 90

11 Figura 12.7: Sistema de eixos em que os eixos Cx e Cz são eixos principais de inércia do avião. Figura 12.8: Sistema de eixos de estabilidade: o eixo Cx cincide com a direcção da velocidade do avião. Por definição α x = 0. 91

12 Designando por ɛ o ângulo entre os eixos de estabilidade e os eixos principais de inércia, os novos momentos e produtos de inércia são I xs = I xp cos 2 ɛ + I zp sin 2 ɛ, I zs = I xp sin 2 ɛ + I zp cos 2 ɛ, I xs z S = 1 2 (I z P I xp ) sin 2ɛ. 92

13 Capítulo 13 Estados Estacionários Num voo típico, um avião encontra-se habitualmente num estado estacionário: subida ou descida com ângulo constante, voo de cruzeiro, volta coordenada, etc. Interessa-nos caracterizar estes estados estacionários, que serão a base para o estudo da estabilidade dinâmica para pequenas perturbações. Alguns estados estacionários podem caracterizar-se por ser apenas longitudinais, enquanto noutros entram também em jogo variáveis laterais. Vamos procurar caracterizar estes tipos de movimentos. Começaremos por caracterizar um pouco melhor as forças e momentos aplicados a uma aeronave Forças e momentos aplicados a uma aeronave Para além do peso, as forças e momentos aplicados a uma aeronave podem ter origem aerodinâmica (sustentação, resistência aerodinâmica) ou ser forças e momentos de controlo. Estes podem ser devidos à propulsão ou a modificação das forças e momentos aerodinâmicos pela deflexão de superfícies de controlo, como o leme de profundidade (elevator, ou alternativamente, stabilator), o leme de direcção (rudder) ou os ailerons. Para as forças e momentos usamos a seguinte notação: X A, Z A, Z A designam as componentes aerodinâmicas das forças e L A, M A, N A designam as componentes aerodinâmicas dos momentos. As componentes devidas ao controlo são designadas por um índice C: X C, Y C, Z C para as forças e L C, M C, N C para os momentos. As forças totais são então X = X A + X C, Y = Y A + Y C, (13.1) Z = Z A + Z C, e os momentos totais L = L A + L C, M = M A + M C, N = N A + N C. (13.2) 93

14 Variáveis dinâmicas e sua adimensionalização Os momentos e forças aerodinâmicos dependem das variáveis dinâmicas: as velocidades lineares u, v e w, e as velocidades angulares p, q e r. Iremos muitas vezes utilizar a versão adimensional das variáveis dinâmicas. As velocidades lineares adimensionalizam-se dividindo pelo módulo da velocidade, isto é, û = u V, (13.3) ˆv = v V, (13.4) ŵ = w V. (13.5) As velocidades angulares adimensionalizam-se de modo diferente consoante são variáveis laterais (p e r ) ou lateral (q): ˆp = p b 2V, (13.6) ˆq = q c 2V, (13.7) ˆr = r b 2V. (13.8) Note-se que se os ângulos de derrapagem e de ataque são pequenos, então são válidas as aproximações β = arcsin v V v V α = arctan w V w V = ˆv, (13.9) = ŵ. (13.10) As forças e momentos aerodinâmicos não dependem das derivadas das variáveis dinâmicas. A excepção é o ângulo de ataque: as forças e momentos longitudinais podem depender de ẇ ou de α. A adimensionalização da derivada temporal é feita dividindo pelo factor 2V / c: ˆ α = α c 2V. (13.11) Forças e momentos aerodinâmicos para o movimento longitudinal Relativamente ao movimento longitudinal, isto é, o que não altera a posição do plano de simetria do avião, as forças e momentos aerodinâmicos relevantes são X A, Z A e M A e, para o movimento ser verdadeiramente longitudinal, devem depender apenas das variáveis dinâmicas longitudinais, isto é, de u, w, q e ẇ: X A = X u u + X w w + X q q + Xẇ ẇ, Z A = Z u u + Z w w + Z q q + Zẇ ẇ, (13.12) M A = M u u + M w w + M q q + Mẇ ẇ, 94

15 Por definição, as derivadas (dimensionais) são X u X u X w X w X q X q Xẇ X ẇ Z u Z u Z w Z w Z q Z q Zẇ Z ẇ M u M u M w M w M q M q Mẇ M ẇ Com frequência é preferível usar coeficientes adimensionais em vez de forças e momentos dimensionais. Para o movimento longitudinal, os coeficientes adimensionais das forças e momentos aerodinâmicos são X A = 1 2 ρv 2 S C xa, (13.13) Z A = 1 2 ρv 2 S C za, (13.14) M A = 1 2 ρv 2 S c C ma. (13.15) Adimensionalisando (13.12), obtemos C xa = C xu û + C xα α + C xq ˆq + C xˆ α ˆ α, C za = C zu û + C zα α + C zq ˆq + C zˆ α ˆ α C ma = C mu û + C mα α + C mq ˆq + C mˆ α ˆ α. (13.16) Forças e momentos de controlo longitudinal Para controlo longitudinal dispomos habitualmente de uma superfície de controlo (leme de profundidade ou equivalente, cuja deflexão é δ e ) e podemos também controlar a potência desenvolvida pelo motor, sendo a posição relativa da manete de potência dada por δ T. Assim, temos X C = X δe δ e + X δt δ T, Z C = Z δe δ e + Z δt δ T, M C = M δe δ e + M δt δ T. (13.17) Os coeficientes das forças e momentos de controlo longitudinal obtém-se por adimensionalização das equações acima: C x = C xδe δ e + C xδt δ T, C z = C zδe δ e + C zδt δ T, (13.18) C m = C mδe δ e + C mδt δ T. 95

16 Tendo em conta (13.1) e (13.2), os coeficientes das forças e momento longitudinais totais, incluindo controlo, são C x = C xu û + C xα α + C xq ˆq + C xˆ α ˆ α + C xδe δ e + C xδt δ T, C z = C zu û + C zα α + C zq ˆq + C zˆ α ˆ α + C zδe δ e + C zδt δ T, (13.19) C m = C mu û + C mα α + C mq ˆq + C mˆ α ˆ α + C mδe δ e + C mδt δ T Forças e momentos aerodinâmicos para o movimento lateral Para o movimento lateral, em que a posição do plano de simetria do avião é alterada, as forças e momentos aerodinâmicos relevantes são Y A, L A e N A, que devem depender apenas das variáveis dinâmicas longitudinais, isto é, de v, p e r : As derivadas (dimensionais) são Y v Y v, Y p Y p, Y r Y r, Y A = Y v v + Y p p + Y r r, L A = L v v + L p p + L r r, N A = N v v + N p p + N r r. L v L v, L p L p, L r L r, N v N v, N p N p, N r N r. (13.20) Para o movimento lateral, os coeficientes adimensionais das forças e momentos aerodinâmicos são Y A = 1 2 ρv 2 S C ya, (13.21) L A = 1 2 ρv 2 Sb C la, (13.22) N A = 1 2 ρv 2 Sb C na. (13.23) Adimensionalisando (13.20), obtemos C y = C xβ β + C yp ˆp + C yr ˆr, C l = C lβ β + C lp ˆp + C lr ˆr, C n = C nβ β + C np ˆp + C nr ˆr. (13.24) Forças e momentos de controlo lateral Para controlo lateral as superfícies de controlo habitualmente disponíveis são o leme de direcção (rudder, cuja deflexão é δ r ) e os ailerons, cuja deflexão é dada por δ a. 96

17 Assim, temos Y C = Y δa δ a + Y δr δ r, L C = L δa δ a + L δr δ r, N C = N δa δ a + N δr δ r. (13.25) Estas equações podem facilmente adaptar-se a outras configurações (como, por exemplo, um par adicional de ailerons). Note-se também que frequentemente se faz a aproximação Y δa = 0, pois a força lateral devido à deflexão dos ailerons é praticamente nula. Os coeficientes das forças e momentos de controlo lateral obtêm-se facilmente pela adimensionalização das equações acima: C y = C yδa δ a + C yδr δ r, C l = C lδa δ a + C lδr δ r, (13.26) C n = C nδa δ a + C nδr δ r. Tendo em conta (13.1) e (13.2), os coeficientes das forças e momento laterais totais, incluindo controlo, são C y = C xβ β + C yp ˆp + C yr ˆr + C yδa δ a + C yδr δ r, C l = C lβ β + C lp ˆp + C lr ˆr + C lδa δ a + C lδr δ r, (13.27) C y = C nβ β + C np ˆp + C nr ˆr + C nδa δ a + C nδr δ r Estados estacionários longitudinais Estamos agora em condições de abordar alguns estados estacionários. Começaremos por verificar em que condições é que podem existir estados estacionários longitudinais «puros». Por definição, num estado estacionário as derivadas temporais são nulas: u = 0, v = 0, ẇ = 0 ṗ = 0, q = 0, ṙ = 0 ψ = 0, θ = 0, φ = 0 Se o estado estacionário é longitudinal, são nulas as velocidades angulares laterais, bem como a velocidade lateral (de derrapagem): p = r = 0 e v = 0 β = 0. Adicionalmente, se o estado estacionário corresponder a um voo rectilíneo, q = 0. As equações do movimento de translação (12.19) reduzem-se então a X mg sin θ = 0, Y + mg cos θ sin φ = 0, (13.28) Z + mg cos θ cos φ = 0, e as equações do movimento de rotação (12.23) a L = 0, M = 0, N = 0. (13.29) 97

18 Figura 13.1: Voo rectilíneo com ângulo de subida constante. Dado que { L = Lv v + L p p + L r r + L δa δ a + L δr δ r, N = N v v + N p p + N r r + N δa δ a + N δr δ r, de (13.29) com v = p = r = 0, conclui-se que δ a = 0 = δ r. Logo Y = Y v v + Y p p + Y r r + Y δa δ a + Y δr δ r = 0. Da segunda equação de (13.28) segue-se finalmente que sin φ = 0. Em conclusão, só pode haver estados (estacionários) longitudinais para voo com asas niveladas, i.e., com ângulo de pranchamento nulo. Se φ 0 passa a existir acoplamento entre movimento longitudinal e lateral. Os estados estacionários longitudinais possíveis são então voos simultaneamente rectilíneos e com asas niveladas e podem ser horizontais ou com ângulo de subida. A manobra de pull-up é estado «estacionário» com q 0, mas a direcção do peso não é constante no sistema de eixos do avião a não ser na vizinhança do ponto mais baixo da trajectória. Não é, por isso, um verdadeiro estado estacionário Voo com ângulo de subida constante O voo horizontal rectilíneo com asas niveladas já foi tratado antreiormente com pormenor. O estado estacionário longitudinal que iremos tratar agora é o de um voo rectilíneo com ângulo de subida constante. para ser estado estacionário longitudinal, este voo terá de ser nivelado (φ = 0). O eixo Cx é escolhido segundo a direcção da linha de sustentação nula do avião. Suporemos que a linha de propulsão coincide com o eixo Cx (no caso mais geral existe um ângulo constante entre a linha de propulsão e o eixo Cx, que aqui supomos nulo). As forças aplicadas no avião estão representadas na figura As componentes 98

19 das segundo x e z das forças aerodinâmicas e de propulsão são dadas por { X = T + L sin α D cos α, Z = L cos α D sin α. De (13.28) com φ = 0 e de (13.29), as equações do movimento neste caso são T + L sin α D cos α mg sin θ = 0, L cos α D sin α + mg cos θ = 0, M = 0 (13.30) (13.31) Se α for suficientemente pequeno para podermos desprezar os termos em sin α, a primeira equação é T = D + mg sin θ (13.32) e a intensidade da força de propulsão determina θ e o ângulo de subida γ = θ α. Numa aproximação menos grosseira, em que sin α α e cos α 1 teríamos T + Lα D mg sin θ = 0, L + mg cos θ = 0, (13.33) M = 0. Na segunda equação o termo D sin α foi desprezado face aos outros dois. Adimensionalizando (13.33), obtém-se C T + C L α C D C W sin θ = 0, C L = C W cos θ, (13.34) C m = 0. As duas últimas equações são idênticas às equações de equilíbrio habituais para voo rectilíneo horizontal, mas com C Ltrim = C W cos θ. Os valores de α e de δ e resultam da solução de { CW cos θ = C Lα α trim + C Lδe δ etrim, 0 = C m0 + C mα α trim + C mδe δ etrim. (13.35) Como C Ltrim = C W cos θ < C W (que é o valor de C Ltrim para voo horizontal), o valor de α trim será menor e o de δ etrim será maior que para voo horizontal para a mesma velocidade. A primeira equação de (13.34) é agora C T = C D + C W sin θ C L α = C D + C W (sin θ α cos θ). (13.36) A velocidade e o ângulo de subida são determinados pelo sistema (13.34) e controlados por δ e e pela força de propulsão Estados estacionários laterais Derrapagem estacionária Tal como anteriormente, «estacionária» implica que as derivadas temporais são nulas (excepto, evidentemente, ẋ E ). Num voo apenas de derrapagem, as velocidades 99

20 angulares devem também ser nulas: p = 0 = q = r. (13.37) As equações do movimento lateral são (para aeronaves simétricas): Y + mg cos θ sin φ = m( v + r u pw) = 0, L = I xx ṗ I zx (ṙ + pq) (I yy I zz )qr = 0, N = I zz ṙ I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq = 0. Tendo em conta (13.37) e o anulamento das derivadas temporais, obtemos Y + mg sin φ cos θ = 0, L = 0, N = 0. Recordando que as forças e momentos aerodinâmicos são dados por Y = Y v v + Y p p + Y r r + Y c = Y v v + Y δr δ r, L = L v v + L p p + L r r + L c = L v v + L δr δ r + L δa δ a, N = N v v + N p p + N r r + N c = N v v + N δr δ r + N δa δ a. em que se usou (13.25), obtemos o sistema de equações para movimento lateral Y v v + Y δr δ r + mg cos θ sin φ = 0 L v v + L δr δ r + L δa δ a = 0 N v v + N δr δ r + N δa δ a = 0 Este sistema pode escrever-se na forma matricial. Dada a velocidade de derrapagem, obtemos os valores das deflexões dos ailerons e do leme de direcção, bem como do ângulo de pranchamento necessários para a manobra. Y δr 0 mg cos θ L δr L δa 0 N δr N δa 0 δ r δ a sin φ = Y v L v v. (13.38) N v Note-se que as equações (13.38) podem também ser escritas na forma adimensional: C y δr 0 C W cos θ C lδr C lδa 0 C nδr C nδa 0 δ r δ a sin φ = C y β C lβ β. (13.39) C nβ A relação entre as derivadas dimensionais e as derivadas dos coeficientes adimensionais será tratada mais à frente. Alguns casos particulares de especial interesse são os de voo com vento lateral e de voo na situação de One engine inoperative (OEI). No caso de One engine inoperative (OEI) a propulsão não é simétrica e há forças adicionais de resistência do(s) motor(es) parado(s). É necessário adicionar estas forças e momentos às equações. 100

21 Figura 13.2: Viragem estacionária com subida. (Fonte: Etkin) 101

22 Figura 13.3: Forças numa manobra de viragem estacionária. (Fonte: Etkin) 102

23 Manobra de Viragem Estacionária Define-se volta coordenada como uma manobra de viragem em que a velocidade angular de viragem é vertical e constante e em que a força resultante não tem componente lateral (no referencial do avião). Note-se que por vezes se diz que numa volta coordenada a derrapagem é nula, o que é apenas aproximadamente verdade. Habitualmente φ é grande, pelo que existe acoplamento entre equações longitudinais e laterais. As outras variáveis (ângulos de ataque, ângulo de subida, etc.) são pequenas e podemos linearizar as equações nessas variáveis (θ pequeno cos θ 1 e sin θ θ) As componentes da velocidade angular obtém-se aplicando a matriz de rotação ao vector ω: p 0 sin θ θ q = LBE 0 = cos θ sin φ ω sin φ ω (13.40) r ω cos θ cos φ cos φ ou seja, p = ω sin θ q = ω sin φ cos θ r = ω cos φ cos θ (13.41) Comecemos por determinar as equações do movimento de translação segundo y e z, que dependem das forças aerodinâmicas aplicadas. O sistema de eixos de estabilidade é o mais adequado neste problema. O eixo Gx é definido como estando na direcção da projecção da velocidade no plano de simetria e portanto α x = 0 = w. Admitiremos também que não há vento. As equações do movimento de translação segundo y e z são então { Y + mg cos θ sin φ = m( v + ur pw) = mur Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ + vp qu) = m(vp qu) Numa volta coordenada o ângulo de derrapagem é quase nulo, pelo que podemos supor v pequeno, e portanto u V. Além disso, se v e p são pequenos, podemos desprezar o produto vp. Logo, o sistema pode aproximar-se por { Y mg sin φ cos θ + mr V = 0 (13.42) Z mg cos φ cos θ mqv Note-se que Y = 0 pela definição de volta coordenada, e que Y = 0 C y = 0. 0 = mg sin φ cos θ + mr V sin φ = r V g cos θ tan φ = ωv r g r = ω cos φ cos θ cos φ = ω cos θ O factor de carga (vertical) n z é a razão entre a força vertical e o peso, donde n z = Z mg = cos φ cos θ + qv g (ω sin φ cos θ)v = cos φ cos θ + g = cos φ cos θ + sin φ tan φ cos θ = cos θ = cos θ sec φ cos φ = 103

24 Para eixos de estabilidade Z = L, pelo que n = L W = n z = cos θ sec φ (13.43) O incremento do coeficiente de sustentação relativamente ao valor necessário para um voo estacionário rectilíneo é C L = L mg 1 2 ρv 2 S = (n 1)C W. (13.44) Este incremento é conseguido à custa da contribuição da velocidade angular de picada e dos incrementos α e δ e relativamente aos valores de equilíbrio para voo rectilíneo horizontal. Consideremos agora as equações para o movimento de rotação. Para uma aeronave simétrica as equações dos momentos são L = I x ṗ I zx ṙ + qr (I z I y ) I zx pq + qh z r h y M = I y q + r p(i x I z ) + I zx (p 2 r 2 ) + r h x ph z N = I z ṙ I zx ṗ + pq(i y I x ) I zx qr + ph y qh x Num estado estacionário as derivadas temporais são nulas. Por outro lado as velocidades angulares sopõem-se pequenas e pode-se desprezar os termos quadráticos (qr, pq, r p, p 2 e r 2 ). Finalmente, desprezam-se as contribuições dos rotores. Conclui-se portanto que L = M = N = 0 C l = C m = C n = 0. Tendo em conta (13.27), as equações para o movimento lateral direccional são então 0 = C l = C lβ β + C lp ˆp + C lr ˆr + C lδr δ r + C lδa δ a 0 = C n = C nβ β + C np ˆp + C nr ˆr + C nδr δ r + C nδa δ a 0 = C y = C yβ β + C yp ˆp + C yr ˆr + C yδr δ r Para o movimento longitudinal as equações são { CL = C Lα α + C Lq ˆq + C Lδe δ e = (n 1)C W C m = C mα α + C mq ˆq + C mδe δ e = 0 em que, tal como no caso da manobra de pull-up, α e δ e são os incrementos do ângulo de ataque e da deflexão do elevator relativamente ao caso de voo rectilíneo estacionário (em equilíbrio). Usando (13.41) para escrever todas as velocidades angulares em função de ω, as equações na forma matricial para as variáveis laterais são C yβ C yδr 0 β C lβ C lδr C lδa δ r = C nβ C nδr C nδa δ a C yp C lp C np C yr C lr C nr [ sin θ cos φ cos θ ] ωb 2V, (13.45) e para as variáveis longitudinais são [ ] [ ] [ ] CLα C Lδe α CLq = ω c [ ] 0 sin φ cos θ +. (13.46) C mα C mδe δ e C mq 2V (n 1)C W 104

25 O incremento da deflexão do leme de profundidade pode obter-se resolvendo a equação (13.46), obtendo-se [ ω c {C mα C Lq δ e = 1 det = 1 det = 1 det 2V sin φ cos θ + (n 1)C W { ω c ( ) 2V sin φ cos θ C mq C Lα C mα C Lq { n 2 1 n Nas equações acima usou-se ω c 2V ] ( )} ω c + C Lα C mq sin φ cos θ 2V } + (n 1)C W C mα } C ( ) W 2µ cos θ C mq C Lα C mα C Lq + (n 1)C W C mα. sin φ = (g tan φ/v ) c 2V sin φ = = C W 2µ (1 1 n )n = C W n µ n. A expressão para δ e pode também escrever-se como mg ρs c sin 2 φ 1 2 ρv 2 S 2 2m cos φ = δ e = (n 1)C W C mα + n+1 2µn cos θ ( C mq C Lα C mα C Lq ) C Lα C mδe C Lδe C mα. (13.47) Esta expressão apresenta semelhanças com a obtida para o caso da manobra de pull-up. 105