MEC2-98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS 2.1. Fig 1 - Mecanismo com 2 graus de liberdade

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1 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS.1 Problema nº Fig 1 - Mecanismo com graus de liberdade No mecanismo representado na figura, a barra ABE está ligada por uma articulação plana à barra OA e através de uma corrediça à barra BC. Os pontos O e C são fios. O movimento é transmitido ao mecanismo através das barras OA e CB, variando as respectivas posições angulares de acordo com a seguinte lei: θ = + 1. t rad ; ψ = +. 6t rad. Pretende-se fazer uma análise cinemática deste mecanismo, que permita obter : a) A trajectória do movimento absoluto do ponto E ; b) A velocidade angular do movimento absoluto da barra AE ; c) A velocidade de escorregamento do corpo 3 sobre o corpo ; d) A aceleração angular do corpo ; e) A aceleração do ponto B, relativa à barra AE ; f) A posição dos CIR dos diversos movimentos relativos que é possível considerar neste mecanismo RESOLUÇÃO Fig - Definição dos parâmetros auiliares s e β

2 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS. Atendendo a que OABCDO é um polígono fechado, facilmente podemos relacionar o ângulo β e a distância s com os ângulos conhecidos, que são θ e ψ. Obteremos, para o ângulo β a seguinte epressão de cálculo: DC + BC cosψ OA sinθ β = atn( OD BC sinψ + OA cos θ ) (1) A figura mostra a variação dos ângulos θ, ψ e β nos primeiros 1 segundos: THETA PSI BETA Fig - Variação da posição angular com o tempo a) Trajectória do movimento absoluto do ponto E Esta trajectória obtém-se pela representação gráfica das coordenadas do ponto E num referencial fio, ao longo do tempo. Colocando a origem desse referencial no ponto O, teremos E E = OE S E = OA cosθ + AE cosβ E = + OA sinθ + AE sinβ () A figura 3 mostra esta trajectória, nos primeiros 1 segundos Fig 3 - Trajectória do ponto E b) Velocidade angular do movimento /

3 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS.3 c) Velocidade de escorregamento correspondente ao movimento 3/ A resposta a estas duas alíneas será dada em simultâneo, como iremos ver de seguida. O movimento absoluto do ponto B, pode decompor-se na soma de dois movimentos, de acordo com a teoria do movimento relativo: - um movimento relativo à barra, que é um movimento rectilíneo na direcção AE; e um movimento de transporte com a barra, que é o movimento absoluto desta barra. Teremos, pois, r r r v = v + v B3 B3 B r r r v = v = w CB (4) B3 B4 4 cosβ r v B = v 3 B sinβ 3 (5) r r r r r v = v + w AB = w OA+ w AB (6) B1 A 1 AB Fazendo AB = AB, a equação (3) toma o aspecto seguinte (3) v cosβ sinβ + w B 3 OA cosθ + OA sin θ + w AB AB = w 1 4 BC sin ψ + BC cos ψ (7) AB + AB cosβ w sin β v w OA sin θ w BC cos ψ = = b w OA cosθ w BC sin ψ b B3 (8) w v = B b sinβ b cosβ AB sinβ = ABb ABb 3 AB sinβ (9) (1) Pode efectuar-se uma representação gráfica destes cálculos, como se sugere na figura 4 Fig 4 - Velocidade absoluta de B = velocidade de B relativa à barra AE + velocidade de transporte com essa barra

4 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS Fig 5 - Evolução dos valores da velocidade angular da barra AE e da velocidade de B relativa à barra AE Notam-se, nestes dois gráficos, os mesmos pontos singulares: correspondem aos valores nulos do determinante da matriz de coeficientes da equação (8), o qual intervém no cálculo das duas grandezas em questão, como se vê pelas epressões (9) e (1). a) A aceleração angular do corpo b) A aceleração do ponto B, relativa à barra AE Também agora podemos responder em simultâneo a estas duas questões, pela aplicação da teoria do movimento relativo à análise da aceleração do ponto B. Teremos r r r r r a = a + a + w v (11) B B B 3 3 B3 r r r r r α CB w CB = a u$ + α OA w OA+ α AB w AB+ w v (1) 4 4 B AE B3 r r r r r α AB+ a u$ = + α OA w OA w AB+ w v α CB+ w CB (13) B AE B3 4 4 Teremos sendo AB + AB cosβ sinβ a α B3 = c c (14) c c OA w OA w AB v B BC w BC = α 1 sin θ 1 cosθ sinβ α 4 cos ψ 4 sin ψ 3 α1 OA cosθ w 1 OA sin θ w AB v B cosβ α 4 BC sin ψ w 4 BC sin ψ 3 (15) Obteremos a seguinte forma eplícita para os valores da aceleração angular α e a aceleração relativa a B3

5 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS.5 β β α = c sin c cos AB sinβ a B = AB c AB c 3 AB sinβ (16) (17) Efectuaremos, como para a análise das velocidades, uma resolução gráfica Fig 6 - Aceleração de B, decomposta em acel. relativa + de transporte + complementar f) A posição dos CIR dos diversos movimentos relativos que é possível considerar neste mecanismo Para esta alínea, faremos apenas uma resolução gráfica. A resolução analítica seria feita pela procura, em cada campo de velocidades contemporâneas dos diversos corpos, de um ponto com velocidade nula. A figura 7 mostra o resultado desta análise

6 MEC - 98/99 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS.6 Fig 7 - Posição de diversos centros instantâneos de rotação