Movimento circular e movimento relativo

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APONTAMENTOS DE CINEMÁTICA para a Cadeira de MECÂNICA E ONDAS Movimento circular e movimento relativo João Fonseca

2 4 Movimento circular Quando o raio de curvatura é constante e igual a R ou seja. quando a trajectória é uma circunferência o vector velocidade pode ser escrito na forma v = R(dθ/dt) û θ ou v = ωr û θ, onde [30] ω = dθ/dt é a velocidade angular. É conveniente definir o vector velocidade angular w como se indica na figura 21: o seu módulo é igual a dθ/dt, a sua direcção é perpendicular ao plano do movimento, e o seu sentido é dado pela regra da mão direita quando os outros dedos apontam o sentido da rotação, o polegar aponta no sentido de ω. ω R v β r Figura 21 Definição do vector velocidade angular ω Resulta da maneira como foi definido que o vector velocidade angular verifica a expressão [31] v = ω x r Com efeito, o módulo de ω x r é ω r senβ = ωr, que é o módulo da velocidade no movimento circular. Verifique que a direcção e o sentido do vector velocidade resultam correctos quando se usa a expressão [31].

3 5 Movimento relativo de translacção. Em muitas situações é importante comparar descrições de um dado movimento feitas por observadores que estão em movimento relativo de translacção entre si. Por conveniência, vamos considerar que (S) é o referencial de um observador em repouso e (S ) é o referencial de um observador móvel. (S ) (S) r m r R r Figura 22 Movimento relativo de translacção A figura 22 mostra que os vectores posição da partícula vistos pelos dois observadores se relacionam através de [32] r = r r R onde r R é o vector posição da origem do referencial móvel, em relação ao referencial fixo. A derivação da expressão [32] conduz directamente à Como se sabe, é arbitrário dizermos que um dado objecto está fixo: o chão que pisamos está suficientemente fixo para descrevermos em relação a ele o movimento de um projéctil, mas acompanha os movimentos de rotação e translacção da Terra, movimento do Sistema Solar na galáxia, etc...

4 relação existente entre as velocidades da partícula segundo os dois observadores: [33] v = v v R e derivando novamente obtém-se a relação entre as acelerações: [34] a = a a R A última expressão tem uma consequência importante: se o movimento relativo entre os observadores for rectilíneo e uniforme, a R será zero e ambos os observadores determinam a mesma aceleração para o objecto móvel. Se no referencial (S) se verificar o Princípio da Inércia, que diz que um corpo livre de interacções mantém constante a sua velocidade, e se não existir aceleração de (S ) em relação a (S), será pela equação [34] a = a = 0, ou seja, o Princípio da Inércia verifica-se também em (S ). Chamamos referencial inercial a um sistema de eixos em que seja verificado o Princípio da Inércia. Podemos agora concluir que se (S) for um referencial inercial, qualquer outro referencial que tenha em relação a (S) um movimento de translacção rectilíneo e uniforme será também um referencial de inércia. Por esse motivo, designam-se por referenciais equivalentes dois sistemas de eixos com movimento relativo de translacção rectilíneo e uniforme. Um referencial que sofra uma aceleração não pode ser um referencial inercial. Um autocarro que trava (isto é, desacelera) é um bom exemplo de um referencial não inercial. Um objecto abandonado a si mesmo tende a manter o seu movimento inalterado (Princípio da Inércia) e por isso quando o autocarro trava esse objecto tende a acelerar em relação ao referencial autocarro. Se conseguirmos identificar um referencial inercial, poderemos testar os outros referenciais verificando se têm aceleração em relação ao primeiro. A Mecânica Clássica (ou Newtoniana) resolve este problema postulando que o Espaço Absoluto é imóvel logo, é um referencial inercial. Podemos imaginar esse referencial imóvel como sendo definido por quatro estrelas no Cosmos, mas ainda assim estaremos a fazer uma aproximação, visto que as estrelas acompanham os movimentos das suas galáxias. Na prática, interessa-nos que o referencial com que trabalhamos seja suficientemente inercial para estudarmos o movimento de que nos ocupamos. Se quizermos estudar a queda de uma maçã, a superfície da

5 Terra está suficientemente em repouso. Já o movimento do planeta Mercúrio será difícil de descrever e explicar se tomarmos a Terra como referencial, como verificaram os astrónomos anteriores a Copérnico (séc. 16) que usavam um sistema geocêntrico para o Sistema Solar. 6 Movimento relativo de rotação. Se um referencial girar em relação a outro considerado fixo, os respectivos observadores descreverão de modo diferente o movimento de uma mesma partícula. A figura 23 exemplifica essa situação. (S) z (S ) z ω y r = r y x x Figura 23 Os eixos do referencial (S ) giram em torno do eixo de rotação indicado a traço-ponto. A origem dos dois referenciais mantém-se coincidente. Num exemplo importante de aplicação, o eixo a traço-ponto seria o eixo de rotação da Terra, e o eixo Oz a vertical (direcção do fio do prumo) de um lugar, por exemplo Lisboa. O referencial fixo poderia ser definido astronomicamente (eixos apontados para estrelas distantes). Como

6 comparar as velocidades e as acelerações determinadas por dois observadores, um fixo e outro a girar? Como as origens se mantém coincidentes, o vector posição é o mesmo independentemente do referencial que se considere. Podemos afirmar que [35] r = xû x + yû y + zû z,= x û x + y û y + z û z onde se considertam as duas maneiras possíveis de decompôr o vector posição. Para o cálculo da velocidade, vamos optar por derivar a segunda decomposição, mas calculando segundo o ponto de vista do referencial (S): v = dr/dt = d/dt(x û x + y û y + z û z ) = (dx /dt) û x + (dy /dt) û y + (dz /dt) û z + x (dû x /dt) + y (dû y /dt) + z (dû z /dt). Foi necessário derivar os vectores de base do referencial (S ) pois estamos a calcular a velocidade segundo o observador em (S), para quem aqueles vectores de base estão a girar. ω (dû y /dt) û y Figura 24 Derivada do vector unitário de base de um eixo girante Podemos considerar û y, por exemplo, como o vector posição de um ponto que se encontra na sua extremidade, e que gira com velocidade angular ω. A derivada (dû y /dt) será o vector velocidade desse ponto (Figura 24). De acordo com a equação [31], deverá então ser (dû y /dt) = ω x û y.

7 Resultados análogoa aplicam-se aos outros vectores de base, e a velocidade v pode ser escrita na forma v = [(dx /dt) û x + (dy /dt) û y + (dz /dt) û z ] + + x ω x û x + y ω x û y + z ω x û z.= [(dx /dt) û x + (dy /dt) û y + (dz /dt) û z ] + ω x r A quantidade entre parentesis rectos é a velocidade observada no referencial (S ), pelo que se pode concluir que [36] v = v + ω x r que é a relação procurada entre as duas velocidades. Para relacionar as acelerações, há que derivar [36]: a = (dv/dt) = d/dt(v x û x + v y û y + v z û z ) + d/dt(ω x r). Repetindo o raciocínio quanto à derivação dos vectores de base, e admitindo que ω é constante, resulta: a = (a x û x + a y û y + a z û z ) + ω x (v x û x + v y û y + v z û z ) + ω x v Identificando os vectores, usando [36] e resolvendo em ordem a a, resulta: [37] a = a - 2 ω x v - ω x (ω x r) Em conclusão, o observador que está num referencial girante vê duas componentes de aceleração adicionais, que resultam da sua própria rotação. A parcela a Cor = -2 ω x v designa-se por aceleração de Coriolis. A parcela a c = - ω x (ω x r) designa-se por aceleração centrífuga. A aceleração de Coriolis só afecta os corpos que se movem em relação ao referencial (S ), pois anula-se se v = 0. Os corpos que se movem à superfície da Terra ficam sujeitos à aceleração de Coriolis quando observados a partir da Terra. A aceleração centrífuga é responsável pelo facto de a aceleração de queda dos corpos no campo gravítico depender da latitude. Exemplo 4 Imagine que a velocidade de rotação da Terra aumentava gradualmente. Para que duração do dia a aceleração da gravidade em

8 Lisboa se reduzia a zero? Qual seria a situação no Equador? E no Polo Norte? Latitude de Lisboa: 39ºN. ω 2 Rcos 2 λ Solução: A figura ao lado mostra como o efeito da aceleração centrífuga associada ao movimento de rotação da Terra corresponde (em primeira aproximação) a sub- λ trair ω 2 Rcos 2 λ ao valor da aceleração g 0 da gravidade, sendo λ a latitude. Para que a aceleração da gravidade se anule (imponderabilidade) deve ser g 0 = ω 2 Rcos 2 λ. Substituindo R po m, λ por 39º e g 0 por 9.8 ms -1, resulta ω = 1.597x10-3 rads -1. Este valor corresponde à velocidade angular da Terra na situação pretendida, e o período de rotação correspondente é dado por T = 2π/ω = 3933 s, ou seja, T = 1h05m34s. No Equador, a componente centrífuga da aceleração seria superior a g 0, e os objectos que não estivessem fixos seriam projectados no espaço. No Polo Norte, a situação não se alteraria, pois a aceleração centrífuga seria nula (cos 90º = 0). a c