Física para Engenharia II
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- Rebeca Igrejas Sintra
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1 Física para Engenharia II 4396 (FEP96 Tura Sala C-3 3as 5h / 5as 9h. Prof. Antonio Doingues dos Santos Depto. Física Materiais e Mecânica IF USP Ed. Mário Scheberg, sala 5 adsantos@if.usp.br Página do curso (Stoa -> Cursos -> IF -> Poli ->
2 Módulo Oscilações Oscilador harônico. Oscilações aortecidas e forçadas. Bibliografia: Módulo (Oscilações: H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol., Capítulo 3 (Oscilador Harônico e Capítulo 4 (Oscilações Aortecidas e Forçadas.
3 O Oscilador Harônico Exeplos de sisteas ecânicos: pêndulos, diapasões, cordas e instruentos usicais, colunas de ar e instruentos de sopro,... E sisteas elétricos: corrente alternada, filtros, sisteas de transissão (rádio/video,... E sisteas ecânicos, e poços de potencial, teos trajetórias oscilantes F( x du dx Para pequenas oscilações e torno do equilíbrio, a força é aproxiadaente linear F( x x U ( x x A energia potencial é parabólica
4 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola Considerando x coo a elongação da ola e relação à condição de equilíbrio, teos a equação do oviento: x ɺɺ F( x x Dividindo a equação por e definindo Teos: ɺɺ x ω x ω Na condição de equilíbrio o peso do corpo é copensado pela elongação da ola (gx Sisteas que tê esta equação coo a equação do oviento, são chaados de Osciladores Harônicos. Qualquer sistea oscilante, para pequenas aplitudes de oviento pode ser considerado coo u oscilador harônico.
5 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola Equações diferenciais pode ser resolvidas por étodos nuéricos (coputador. Toando-se Dt suficienteente pequeno, dx dx t + ( t ( t t ( t ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda dx ( t ( ( t [ xt + t xt ] dx t Para t ( [ x( + t x( ] v( ( ( t [ x t x ] x( t x( + v( t
6 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola Equações diferenciais pode ser resolvidas por étodos nuéricos (coputador. Toando-se Dt suficienteente pequeno, dx dx t + Para t ( t ( t t ( t dx dx t t + ( ( ( ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda v( t v( ω x( t x( t x( + v( t ω [ ] a( ω x( v( t v( t
7 O Oscilador Harônico Linearidade e Princípio da Superposição Qualquer equação diferencial linear, te as seguintes propriedades: i Se X (t e x (t são soluções, x (t+x (t tabé é solução. ii Se X(t é solução, ax(t (aconstante tabé é solução. A cobinação das duas regras fornece que: X(tAx (t+bx (t, co a e b constantes, tabé é solução (Cobinação Linear. A d x + B dx + Cx A, B, C são constantes que não depende de x Princípio da Superposição ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda
8 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola Parece ua solução do tipo senoidal Vaos supor que senos e cossenos seja solução da equação diferencial do sistea assa. ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω xt ( a cos( ωt + bsen( ωt xt ( Acos( ωt+ ϕ ou Co a, b, A e ϕ constantes a Acos( ϕ b Asen( ϕ A a + b cos( ϕ a a + b
9 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda xt ( a cos( ωt + bsen( ωt xt ( Acos( ωt+ ϕ ω π ω πf T ω t+ ϕ θ ϕ Fase inicial (rad a Acos( ϕ b Asen( ϕ A a + b cos( ϕ a a + b frequência angular (rad/s Fase do oviento (rad
10 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola xt ( a cos( ωt + bsen( ωt xt ( Acos( ωt+ ϕ ω a Acos( ϕ b Asen( ϕ A a + b cos( ϕ a a + b Condições iniciais x( x v( v x( t Acos( ωt+ ϕ x( Acos( ϕ x ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda v( t xɺ ( t ωa sin( ωt+ ϕ v( ωa cos( ϕ v Acos( ϕ x ωasin( ϕ v x( t a cos( ωt + bsin( ωt x( t x v cos( ωt + sin( ω ω t v A x + ω x cos( ϕ A
11 O Oscilador Harônico Sistea assa-ola x x ɺɺ ω ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω Energia do oscilador harônico Energia Cinética ( sin ( ( ϕ ω ω + t A t x t T ɺ Energia Potencial ( cos ( ( ( ϕ ω ω ω + t A t x t x t U Energia Total const A t U t T E + ( ( ω 4 A E U T ω ( x A U E T ω x A v ± ω
12 O Oscilador Harônico - exeplos Pêndulo de Torção O torque no fio será τ ϕ Onde é o coeficiente elástico de torção ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω Considerando-se I coo o oento de inércia, teos: τ I α Iɺ ϕɺ Portanto: Iɺɺ ϕ ϕ ɺɺ ϕ ϕ I ɺɺ ϕ ω ϕ Solução: ω ϕ( t Acos( ωt+ φ ϕ( t a cos( ωt + bsin( ωt I
13 O Oscilador Harônico - exeplos Pêndulo Siples Decopondo as forças e coponentes angular e radial, teos: a cp rω l( ɺ θ I a θ rα lɺɺ θ g sinθ g cosθ A segunda equação descreve o oviento: lɺɺ θ g sinθ ɺɺ x ω x ª orde para x(t ω ɺɺ θ ɺɺ θ g sinθ l g θ l Solução: Para θ<< > sin θ θ ω g l T π l g (envolve a derivada segunda θ ( t θ ( t Acos( ωt+ ϕ a cos( ωt + bsin( ωt
14 O Oscilador Harônico - exeplos Pêndulo Siples Vaos reconsiderar o problea, se a aproxiação para pequenso ângulos. Energia Cinética Energia Potencial ( ω T r U U l ( ɺ θ W θ g sinθ ldθ θ gl( cosθ ɺɺ x ω x ω ª orde para x(t (envolve a derivada segunda Energia Total E l ( + gl( cos E especial, nos pontos de retorno da oscilação, teos: ɺ θ θ Egl cosθ l ( ɺ θ + gl(cosθ cosθ ɺ dθ θ ± ( g / l(cosθ cosθ (
15 O Oscilador Harônico - exeplos Pêndulo Siples Energia Cinética ± dθ g / l(cosθ cosθ ( Integrando no sei-ciclo positivo, teos: t + T / θ T dθ t ( / (cos cos θ g l θ θ ɺɺ x ω x ω ª orde para x(t (envolve a derivada segunda T A integral da direita é ua integral elíptica, se solução analítica. Mas, e segunda aproxiação, pode-se obter: l π + θ g 6 Nesta condição, o período depende da aplitude do oviento!!!
16 O Oscilador Harônico - exeplos Pêndulo Físico O torque no pendulo será τ sinθ Mgs ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω Considerando-se I coo o oento de inércia, teos: τ Iα Iɺ θ T π Mgssinθ ɺɺ Mgs θ sinθ I Igual ao pendulo siples, as co : l g l I Ms
17 O Oscilador Harônico - exeplos Líquido nu tubo e U Massa total de líquido (MρAl Posição de equilíbrio z > U ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω Vaos olhar para o problea, a partir das energias: Energia Potencial Energia Cinética Coparando-se co as expressões para u sistea assa-ola, U ( z z teos: U ( z gz ρaz gz ρagz dz T Mv ρal ρag M ρal ρag g ω ρal l Portanto, o líquido oscila co ua frequência definida por etade do copriento da coluna de líquido.
18 O Oscilador Harônico - exeplos Duas partículas acopladas Seja l o copriento de equilíbrio da ola. A deforação da ola será x(x -x l As forças restauradoras são F x-f M + ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω As equações do oviento são: Para o centro de assa, teos: co Portanto, as assas oscila e relação ao centro de assa, co frequência x ɺɺ x x ɺɺ x Xc ( x + x / M Xɺ c Vc const. Xɺɺ c Para o oviento interno, teos: x ɺɺ x x ɺɺ x x ɺɺ x x ɺɺ x ɺɺ x x ɺɺ x ɺɺ x ɺɺ x + µ ɺɺ x x ( ( x µ + ω µ
19 O Oscilador Harônico - exeplos Duas partículas acopladas A energia total do sistea é: E E + E c int Seja l o copriento de equilíbrio da ola. A deforação da ola será x(x -x l As forças restauradoras são F x-f M + ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω Para o centro de assa, teos: E T µ ɺɺ x x co µ + Portanto, as assas oscila e relação ao centro de assa, co frequência ω c c MV Para o oviento interno, teos: T ( v + v µ xɺ ( co v ( ( + xɺ M int E int µ xɺ + x µ
20 O Oscilador Harônico - exeplos Molécula Diatôica Molécula constituída por dois átoos co a distância de equilíbrio (a e energia de ligação (D ɺɺ x ω x ª orde para x(t (envolve a derivada segunda ω f A energia potencial de interação é dada por: co Portanto, a olécula oscila e relação ao centro de assa, co frequência a a U ( r D r r Para pequenos ovientos e torno do equilíbrio (xr-a, podeos fazer a aproxiação: U ( r D+ ( r a ɺɺ µ x x du dr µ + r a ω 6 µ 4 8 D a a 3 7 a r r 7D a Para ua olécula de CO, a~,x - e a energia de dissociação é DeV. (C x -6 g e (O,7x -6 g. ω 4 c, 4x Hz λ µ infraverelho π π µ f r a
21 MHS e MCU MCU No MCU, o círculo é descrito pelo ângulo de fase θ θ ωt+ ϕ O MHS pode ser visto coo a projeção nua dada direção, do MCU. x Acosθ Acos( ωt+ ϕ v ωasin( ωt+ ϕ ɺ x x ω ω + ϕ ω ɺɺ ax Acos( t x x MCU > MHS Núeros Coplexos OP ax+ by Substituindo x e y i ( i O ponto P será z a+ ib z é coplexo
22 MHS e MCU Núeros Coplexos Coplexo conjugado * z a ib ( z a+ ib Soa de coplexos a Re{ z} b I{ z} z z+ z ( a+ ib + ( c+ id z ( a+ c + ib ( + d Produto de coplexos z zz ( a+ ib( c+ id z ( ac bd + i( ad+ bc Módulo de u coplexo * z zz ( a+ ib( a ib a + b Quociente de coplexos z z ( a+ ib z z ( c+ id ( a+ ib( c id z ( c+ id( c id ( ac bd ( bc ad + + i c + d c + d
23 MHS e MCU A fórula de Euler (748 ix e cos( x + isin( x Re z i * { } ( z+ z I z * { } ( z z ix ix ix Ree { } ( e + e cos( x ix ix ix I{ e } ( e e sin( x i Coordenadas polares x rcosθ y rsinθ r x + y θ arctg( y / x i z x+ iy r( cosθ + isinθ re θ e π Identidade de Euler: i!!!
24 MHS e MCU Aplicação ao MHS d z ɺɺ z ω z zt ( e Co p coplexo d z dz p p ω pt p z Escrevendo C na fora polar, teos e zt ( Ae ω ϕ i( t + Toando-se a parte real de z, teos a solução real da equação diferencial x Re{ zt ( } Acos( ωt+ ϕ i C Ae ϕ dz i( ωt+ ϕ iωae dz xɺ Re{ } ωasin( ωt+ ϕ iπ / e i p± ω ± iω i t zt ( Ce ω Sendo C, ua constante coplexa
25 Superposição de MHS Mesa frequência e direção x ( t A cos( ωt+ ϕ x ( t A cos( ωt+ ϕ xt ( x ( t + x ( t? Aplicando-se a lei dos cossenos e dos senos, teos: A A + A + AAcos ( ϕ ϕ A A sinβ sin( ϕ ϕ Assi, o resultado fica: xt ( Acos( ωt+ ϕ + β Alternativaente, poderíaos escrever: zt ( z ( t + z ( t i( ωt+ ϕ i( ωt+ ϕ Ae + Ae e [ A + Ae ] i( ωt+ ϕ i( ϕ ϕ co i i( Ae β A + Ae ϕ ϕ
26 Superposição de MHS Frequências diferentes x ( t A cos( ωt+ ϕ x ( t A cos( ωt+ ϕ xt ( x ( t + x ( t? co ϕ ϕ Coo regra geral, o oviento dado por x(t não será periódico. Exceto, se houver u período τ, e que x e x volte siultaneaente ao valor inicial. ωτ nπ ωτ nπ ω ω nτ nτ τ n τ n τ
27 Superposição de MHS Frequências diferentes x ( t A cos( ωt+ ϕ x ( t A cos( ωt+ ϕ xt ( x ( t + x ( t? co ϕ ϕ A A A ω ω > Batiento! Supondo que é possível se escrever: a b ω a+ b ω a b ( ω + ω / ω ( ω ω / ( ω / ω ω xt ( A cos( ωt+ t + cos( ωt t ω xt ( Acos( t cos( ωt
28 Superposição de MHS Mesa frequência e direções perpendiculares Potencial Central: a Força é proporcional à distância ao centro de equilíbrio. r ɺɺ F r ɺɺ r ω r co r xiˆ + yj ˆ Podeos considerar o oviento independe de cada coordenada: ɺɺ x ω x ɺɺ y ω y Adotando-se: xt ( Acos( ωt+ ϕ yt ( B cos( ωt+ ϕ ϕ xt ( Acos( ωt x y xy + cosϕ sin A B AB ϕ ϕ + ϕ yt ( B cos( ωt+ ϕ y B cos( ωtcosϕ sin( ωtsinϕ x x cosϕ± sinϕ A a ϕ
29 Superposição de MHS Mesa frequência e direções perpendiculares Para casos particulares de defasage entre as coponentes, teos: ϕ ϕ π y ( B / A x y ( B / A x Potencial Central: a Força é proporcional à distância ao centro de equilíbrio. x y xy + cosϕ sin A B AB ϕ π ϕ 3π ϕ π ϕ 4 x y A B +
30 Superposição de MHS Frequências diferentes e direções perpendiculares Para : ω n ω n Figuras fechadas Figuras de Lissajous ω ω ω ω n n Figuras abertas
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x = Acos (Equação da posição) v = Asen (Equação da velocidade) a = Acos (Equação da aceleração)
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