MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS, DREAMS E EPE_CG APLICAÇÃO À MARINA DO LUGAR DE BAIXO

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1 MODELOS DE ELEMETOS FIITOS DE PROPAGAÇÃO DE ODAS, DREAMS E EPE_CG APLICAÇÃO À MARIA DO LUGAR DE BAIXO COCEIÇÃO J. E. M. FORTES 1, J. LEOEL M. FERADES 2 e M. AGELA VAZ DOS SATOS 3 1 Laboratório acional de Engenharia Civil LEC, Lisboa, Portugal; Doutora e Engenharia Mecânica; jfortes@lnec.pt 2 Departaento de Engenharia Mecânica - IST, Lisboa, Portugal; Doutor e Engenharia Mecânica; leonel@de.ist.utl.pt 3 Departaento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica FEG PUCRS; Doutora e Engenharia Civil; ariaangela@pucrs.br RESUMO Descreve-se dois odelos que resolve a equação de declive suave, denoinados DREAMS e EPE_CG. O odelo DREAMS utiliza a forulação clássica do étodo dos eleentos finitos para resolver a equação de declive suave, o que leva à ontage da atriz global do sistea. O odelo EPE_CG utiliza ua forulação denoinada eleento por eleento (EPE), para resolver aquela equação. este tipo de forulação EPE, não há a ontage da atriz global do sistea, o que traz grande econoia nos requisitos de arazenaento. Abos os odelos efetua a refração e difração de ondas arítias e zonas portuárias e são adequados quer para estudos de agitação, quer de ressonância e portos e zonas abrigadas. Os dois odelos nuéricos são aplicados ao estudo de agitação no interior da arina do Lugar de Baixo, situada na costa sul da ilha da Madeira, e Portugal, para várias condições de onda incidente. De odo a avaliar as vantagens e desvantagens de cada u dos odelos na sua aplicação a zonas portuárias, os resultados de abos os odelos nuéricos são coparados e teros do tepo de CPU e eória necessária para as várias condições de teste. PALAVRAS-CHAVE: Zonas portuárias e costeiras; propagação e deforação de ondas; refração-difração e reflexão de onda; étodo dos eleentos finitos; forulação eleento por eleento. 1 ITRODUÇÃO Muitos dos principais processos associados à transforação de ondas e zonas costeiras pode ser descritos pela equação elíptica de declive suave (Berkhoff [1]), que te e conta os efeitos cobinados da refração, difração e reflexão de ondas arítias propagando-se e fundos de inclinação suave, coo os que ocorre e portos, baías e zonas costeiras. Há vários anos tê-se desenvolvido odelos ateáticos que resolve essa equação, ou variantes desta, por diferentes etodologias nuéricas (por exeplo, étodo dos eleentos finitos, étodo das diferenças finitas) e se tê ostrado adequados à realização de estudos de agitação e ressonância e portos, arinas ou zonas costeiras e geral. U exeplo desse tipo de odelos é o DREAMS (Fortes [2]), o qual resolve a equação de declive suave pelo étodo dos eleentos finitos, e o sistea de equações resultante é resolvido por ua variante do étodo direto de Crout aplicado a atrizes siétricas esparsas e skyline. Esse odelo, que já foi utilizado co êxito e várias situações, apresenta alguas liitações quando se aplica a grandes áreas costeiras. Co efeito, nas diferentes aplicações desse odelo a zonas de diferentes profundidades, é necessário garantir u núero ínio de pontos (8 a 10 pontos) por copriento de onda e todo o doínio, de odo a ter confiança nos resultados do odelo. Esse fato condiciona significativaente a aplicação do odelo a áreas uito extensas, isto é, e grandes zonas costeiras. Ora, principalente nos estudos de agitação envolvendo períodos curtos, essa condição conduz a alhas de eleentos finitos co u grande núero de pontos, o que, conseqüenteente, exige grande esforço coputacional (eória e tepo de cálculo) para a resolução do correspondente sistea de equações. O esforço coputacional para resolução desses sisteas inviabiliza uitas vezes a análise do problea. Para iniizar essa liitação do odelo e torná-lo ais eficaz do ponto de vista de redução da eória de coputador usada, foi desenvolvido u odelo de eleentos finitos, baseado nua forulação denoinada eleento por eleento (EPE) (Hughes et al. [6]), que resolve a equação de declive suave (Berkhoff [1]). Esse odelo é ua extensão de outro odelo, tabé de eleentos finitos (Vaz dos Santos et al. [10]; Macedo et al. [8]) que se baseia na equação de águas pouco profundas. esse tipo de forulação EPE, não há a ontage da atriz global do sistea, o que traz grande econoia nos requisitos de arazenaento. O étodo para a solução do sistea de equações é ua versão co pré-condicionaento do étodo dos gradientes conjugados (MGC) (Hestenes e Stiefel [5]). O odelo assi construído foi aqui designado por odelo EPE_CG. Para acelerar a convergência do étodo iterativo, fora incorporados quatro pré-condicionadores. este artigo, descreve-se os dois odelos nuéricos, noeadaente a equação base e condições de fronteira de abos e os étodos nuéricos de resolução dos sisteas de equações resultante da aplicação das duas forulações nuéricas. Os dois odelos fora aplicados ao estudo de agitação no interior da arina do Lugar de Baixo, situada na costa sul da ilha da Madeira, e Portugal, de odo a coparar as soluções encontradas. Analisa-se o coportaento e a eficácia da forulação EPE, do étodo iterativo e dos précondicionadores utilizados face ao étodo direto, por eio da coparação do tepo de CPU e eória necessária aos cálculos. Desse odo, avalia-se as vantagens e desvantagens de cada u dos odelos na sua aplicação a zonas portuárias. Efetua-se ainda alguns cálculos supleentares para avaliar a eficácia dos pré-condicionadores ipleentados no odelo EPE_CG. Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

2 2 MODELOS UMÉRICOS DREAMS e EPE_CG 2.1 Equação de declive suave Os odelos nuéricos DREAMS e EPE_CG resolve a equação de declive suave utilizando o étodo dos eleentos finitos. A equação base do odelo e as correspondentes condições de fronteira são dadas por: η 2 cc + = 0, ( = 1,2) in V g k cc j gη x j x j (1) η ikη = f, in S1, n (2) η = ikα abs H, in S2. n (3) e que η é a elevação da superfície livre, c é a velocidade de fase, c g é a velocidade de grupo, k o núero de onda, f é u valor deterinado e função das características da onda incidente (considerando a condição de fronteira de geração radiação na fronteira aberta S 1 ) e α abs u coeficiente de absorção e fronteiras sólidas S 2 ; x j (j=1,2) são as coordenadas e relação a u referencial, n é a coordenada na direção noral às fronteiras S 1 e S 2. V é o doínio a estudar. Essa equação perite descrever os efeitos cobinados da refração, da difração e reflexão de ondas lineares harônicas propagando-se e fundos de inclinação suave, coo os que ocorre e portos, baías e zonas costeiras. 2.2 Aplicação do étodo dos eleentos finitos O étodo dos eleentos finitos (MEF) é usado para resolver a equação de declive suave co as condições de fronteira dadas. Esse étodo é baseado na aplicação da forulação fraca à equação de declive suave. A forulação fraca é obtida prieiraente por eio da ponderação, no doínio V, do resíduo da equação e das condições de fronteira por ua função peso, W(x,y), e posteriorente pela integração do resíduo no doínio. A aplicação do étodo de Galerkin à equação anterior conduz, após alguns passos interédios, ao seguinte sistea de equações ao nível de cada eleento: e que ( e) 2 ( e) ( e) ( e) [ K k cc M ] = F K η (4) g ( e) = cc dv, ( j = 1,2) V g x T j x j ( e) T M =. dv (6) V ( ) ds ( e) T ( e) T F = f ds ik α (7) S1 S2 e que ( ) as Eqs. (5) a (7), x 1, x 2 abs i = i são funções de fora, T é a transposta do vetor. 2.3 Resolução do sistea de equações ( e η ) são os valores das incógnitas e cada nó i do eleento e. i Modelo DREAMS o odelo DREAMS, o sistea de equações global é obtido explicitaente por eio da adição de todas as contribuições ao nível do eleento, Eq. (4), i. e., é construída ua atriz global soando as contribuições de cada eleento. Para a resolução desse sistea de equações, é utilizado o étodo direto (variante do étodo de Crout) baseado na fatorização LDL t co arazenaento e skyline para atrizes siétricas (Fernandes; Fortes [3]). Esse procediento exige grande esforço coputacional (eória e tepo de cálculo), o que torna uito liitativa a aplicação desse odelo a grandes áreas costeiras. (5) 118 Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005

3 2.3.2 Modelo EPE_CG Forulação eleento a eleento o caso do odelo EPE_CG, o sistea Eq. (4) pode ser escrito da seguinte fora: e que ( e) ( e) ( e A η = F ), (8) ( e) ( e) 2 ( e A = K k cc M ). (9) g esse tipo de forulação, designada por forulação eleento por eleento (EPE), não se verifica a ontage da atriz global do sistea. Durante todo o processo de solução trabalha-se co as atrizes de cada eleento arazenadas nu vetor. Desse odo, as posições que na atriz global seria ocupadas por valores nulos são econoizadas. Isso significa que a quantidade de eória necessária é proporcional ao núero de eleentos. Desse odo, a eória de arazenaento cresce linearente co o núero de equações,. Isso contrasta co o que acontece no caso do arazenaento e skyline da atriz que cresce aproxiadaente co 3/2. Para probleas de grande diensão, quando a eória coputacional é liitada, o arazenaento e skyline torna-se proibitivo. Por outro lado, a utilização excessiva de eória virtual torna os prograas uito lentos. A forulação EPE é ais adequada se o sistea de equações for resolvido por u étodo iterativo, pois co os étodos diretos é necessário ontar a atriz de rigidez global. o caso do étodo iterativo, só é necessário u produto vetor-atriz ais a resolução de u sistea ais siples e cada iteração. Os coeficientes fora da diagonal da atriz coplexa siétrica do eleento são arazenados nu vetor, enquanto os seus coeficientes diagonais são asseblados e guardados nua atriz (array) diagonal global. Para u eleento triangular de atriz siétrica, apenas três eleentos fora da diagonal são arazenados por triângulo. Isso conduz a ua iportante econoia no arazenaento dos coeficientes da atriz. Para ua alha triangular, apenas é necessário guardar três vezes o núero de eleentos ais u núero igual ao de equações (para guardar a diagonal). Coo o núero de triângulos é aproxiadaente o dobro do núero de equações,, a eória total para guardar a atriz siétrica é de sete vezes o núero de equações (7). a ipleentação da forulação EPE co pré-condicionaento, há que ter e conta os seguintes aspectos: o produto atriz-vetor e a construção da atriz pré-condicionada. O produto atriz-vetor é calculado soando-se a contribuição dos coeficientes fora da diagonal dos eleentos à contribuição da ultiplicação pela atriz diagonal; O pré-condicionaento consiste e iplicitaente odificar o sistea de equações original de tal odo que o sistea fique elhor condicionado e dessa fora o processo iterativo convirja ais rapidaente. O pré-condicionaento iplícito requer a solução de u sistea auxiliar e cada iteração, no qual a atriz de pré-condicionaento é ua aproxiação da atriz original do sistea A. Esse sistea deve ser de ais fácil resolução do que o original, coo é óbvio. o presente odelo EPE_CG, para a resolução do sistea de equações, Eq. (8), é utilizado o étodo iterativo dos gradientes conjugados (Hestenes; Stiefel [5]). Esse étodo iterativo é associado a diferentes técnicas de pré-condicionaento: Pré-condicionaento diagonal A -1 I (atriz diagonal) - Método EPE_CG_I Pré-condicionaento tipo A -1 (I + ωu) (I + ωl) - Método EPE_CG_II, e que ω=1 é u valor típico (Hurdle et al. [7]); Pré-condicionaento tipo A -1 (I + ω 1 U) (I + ω 2 LU) (I + ω 1 L) - Método EPE_CG_III, e que os parâetros ω 1 e ω 2 são especificados pelo utilizador. As gaas típicas de valores destes parâetros varia entre ω = e ω = ; 1 2 Pré-condicionaento polinoial por série de euann truncada A -1 I + B + B B nt - Método EPE_CG_IV. O valor de nt (núero de teros-1) deve ser inferior a 10 e tipicaente, 2 <_ nt <_ Dados e resultados dos odelos Os dados a fornecer aos odelos são: as características da agitação incidente (período e direção da onda); os coeficientes de reflexão e cada troço da fronteira do doínio de cálculo, e as características da alha de eleentos finitos, co que foi discretizado o doínio e estudo. As condições de fronteira ipleentadas no odelo são as condições de radiação, que perite a saída de perturbações geradas no doínio no sentido de propagação para o infinito, as condições de geração e radiação cobinadas, coo as relativas a fronteiras abertas e que perite a entrada da agitação incidente e a saída das perturbações geradas no doínio e as condições de reflexão (total ou parcial), referentes aos Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

4 contornos sólidos da zona e estudo (praias, falésias, olhes, entre outros). Os odelos calcula índices de agitação (H/H o, relação entre a altura de onda no ponto do doínio de cálculo, H, e a altura de onda à entrada do doínio de cálculo, H o ) ou coeficientes de aplificação e direções de propagação da onda. O capo de velocidades horizontais à superfície livre e as cristas das ondas constitue resultados opcionais. Coo liitações dos odelos, salienta-se: Os odelos não tê e conta os efeitos da dissipação de energia por rebentação e atrito de fundo, os efeitos das correntes na propagação das ondas ou os galgaentos sobre estruturas portuárias; Os odelos são lineares pelo que não tê e conta efeitos não-lineares, coo por exeplo, a interação de ondas e correntes, a interação de ondas devido à topografia do fundo, a transferência de energia entre coponentes de onda e a geração de coponentes de baixa freqüência induzidas por grupos de ondas curtas; Os odelos efetua a propagação de ondas regulares e unidirecionais, não tendo por isso e conta os efeitos da dispersão e freqüência e e direção, presentes na agitação real; A aplicação dos odelos está condicionada a fundos de declive suave, ou seja, até 1:3. É de salientar que, na construção da alha de eleentos finitos, para garantir a precisão da solução, é necessário u núero ínio de pontos (8 a 10 pontos) por copriento de onda e todo o doínio, o que condiciona significativaente a aplicação do odelo DREAMS a áreas uito extensas. Co efeito, principalente nos estudos de agitação envolvendo períodos curtos, essa condição conduz a alhas de eleentos finitos co u grande núero de pontos. Coo e DREAMS é ontada a atriz global do sistea, é necessário ua grande eória de arazenaento e esforço coputacional para esse efeito. Isso coloca sérias restrições à aplicação do odelo a zonas uito extensas. E contrapartida, no odelo EPE_CG, baseado na forulação eleento por eleento, não é necessário ontar a atriz global do sistea, o que se traduz nua redução efetiva da eória necessária aos cálculos. Esse odelo torna-se assi ais vantajoso e estudos de agitação arítia e zonas de grande extensão. 3 O CASO DE APLICAÇÃO MARIA DO LUGAR DE BAIXO O Lugar de Baixo situa-se na costa sul da ilha da Madeira, e Portugal, entre as localidades de Ponta do Sol e Ribeira Brava (FIGURA 1). A arina do Lugar de Baixo será construída para fins recreativos (FIGURA 2). FIGURA 1 Ilha da Madeira 120 Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005

5 a) b) FIGURA 2 a) Lugar de Baixo. b) Localização da arina do Lugar de Baixo. Fotografia aérea da autoria da Ponta do Oeste, S. A. a FIGURA 3 apresenta-se o esquea da arina do Lugar de Baixo proposto pela epresa projetista WW e a batietia da zona arítia adjacente à arina. FIGURA 3 Esquea da Marina do Lugar de Baixo. Batietria. Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

6 Fortes et al. [4] efetuara u estudo de propagação de ondas curtas co o odelo DREAMS, a fi de avaliar o abrigo proporcionado pela arina à agitação incidente. Fora testadas diferentes condições de agitação incidente, i. e., ondas de período entre 6 s e 14 s e direções de onda entre SW e SE e dois níveis de aré. este artigo, reproduze-se apenas seis das condições de agitação incidente, co os odelos nuéricos DREAMS e EPE_CG, de odo a avaliar as principais vantagens e desvantagens de cada odelo. São assi contabilizados os tepos de CPU e a eória necessária aos cálculos e cada odelo. Avalia-se tabé para o odelo EPE_CG, a eficácia, quer do étodo iterativo, quer das técnicas de pré-condicionaento ipleentadas. Os cálculos fora efetuados nua estação de trabalho cujas características são: DIGITAL Alpha a 600 MHZ, eória L2=4 MB (SPECfp20000=411). 3.1 Condições de cálculo Os cálculos de agitação fora realizados para u nível édio anual de aré, à cota (Z.H.), direções de onda à entrada do doínio de SW a SE e períodos de onda de 6 s e 14 s. Coo se trata de odelos lineares, o valor da altura de onda incidente à entrada da zona de cálculo considerado e todos os cálculos foi de 1. A FIGURA 4 apresenta a batietria e o doínio de cálculo utilizada pelos odelos DREAMS e EPE_CG. Esse doínio de cálculo foi discretizado por ua alha de eleentos finitos cujo espaçaento e x e e y é aproxiadaente igual a 2.0, o que conduziu a nós e eleentos. Para os períodos considerados, o núero de pontos por copriento de onda na zona de enor profundidade é de 12. B C D A A E F G H I J Profundidade () y M K x FIGURA 4 Marina do Lugar de Baixo. Batietria e doínio de cálculo dos odelos DREAMS e EPE_CG os cálculos efetuados co abos os odelos nuéricos, houve que estabelecer condições de fronteira nos vários troços que constitue a fronteira do doínio. a FIGURA 4 indica-se os troços (e que cada troço é o conjunto de trechos co características seelhantes) que constitue as fronteiras da arina do Lugar de Baixo (fronteiras A a M). As condições de fronteira ipostas nos troços K, L e M (troços de entrada ou saída da agitação) variara consoante a direção da onda incidente. Assi, para ondas de direção de SW e S, ipusera-se condições de geração-radiação nos troços L e M e de radiação no troço K. Para o caso da direção de SE ipusera-se condições de geração-radiação nos troços K e L e de radiação no troço M. Quanto aos restantes troços, A a J, para as várias direções de incidência da onda ipusera-se condições de reflexão parcial. Os respectivos coeficientes de reflexão fora deterinados co base nas características de cada troço (tais coo a porosidade, diâetro do aterial, D50, o declive do talude e a profundidade no pé do talude) e e cada local, a partir das características da onda, por eio do procediento descrito e Seelig e Ahrens [9]. a secção 0, nos cálculos efetuados co o odelo EPE_CG foi adotado o pré-condicionaento diagonal. L 122 Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005

7 3.2 Apresentação e análise de resultados Para as condições de cálculo referidas, efetuara-se cálculos co os odelos DREAMS e EPE_CG e obtivera-se os valores dos índices de agitação e todo o doínio e estudo. Apresenta-se da FIGURA 5 a FIGURA 13 os diagraas de isolinhas de índices de agitação, obtidos co o odelo EPE_CG, para ondas incidentes de período de 6 s, 10 s e 14 s e direções entre SW e SE, no doínio de estudo e nua zona porenorizada correspondente ao interior da arina. FIGURA 5 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=6 s e direção de SW FIGURA 6 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=6 s e direção de S FIGURA 7 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=6 s e direção de SE Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

8 FIGURA 8 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=10 s e direção de SW FIGURA 9 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=10 s e direção de S FIGURA 10 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=10 s e direção de SE 124 Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005

9 FIGURA 11 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=14 s e direção de SW FIGURA 12 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=14 s e direção de S FIGURA 13 Índices de agitação. Cálculos efetuados co o odelo EPE_CG, para ua onda incidente de período T=14 s e direção de SE Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

10 É de salientar que os resultados obtidos co o odelo DREAMS fora praticaente idênticos aos do odelo EPE_CG, coo se pode observar dos pequenos valores das diferenças entre as soluções de DREAMS e de EPE_CG, que consta no QUADRO 1. Das figuras acia, observa-se significativa redução da agitação arítia à edida que a onda se propaga do exterior para o interior da arina. Os valores ais elevados de índices de agitação ocorre à entrada da arina, pois esta é a zona ais exposta à agitação incidente e existe ainda grandes reflexões provocadas pelas estruturas físicas de proteção da arina. Verifica-se ainda que, para o eso período, co a rotação da direção de SW para S, há aior penetração da agitação arítia para o interior da arina. Quando a agitação roda de S para SE, verifica-se ligeira diinuição da agitação na zona de entrada e no interior da arina, principalente no caso do período de 14 s. Para os outros períodos, não é tão nítida essa tendência. As direções de S e SE conduzira a aior agitação no interior da arina (principalente para os períodos de 10 s e 14 s), as essa agitação é sepre inferior à que se verifica na zona de entrada e, é claro, à zona exterior do porto. E geral, no interior da arina o valor áxio de não excede 0.5 e a aioria dos valores encontra-se abaixo de Relativaente aos períodos das ondas, verifica-se que ocorre aior penetração da agitação à edida que o período auenta. o QUADRO 1 apresenta-se os valores da eória necessária aos cálculos, do tepo de CPU e da diferença entre as duas soluções correspondentes aos odelos EPE_CG e DREAMS, para os três períodos de onda e três direções da onda testados. Apresenta-se tabé o núero de iterações associado ao odelo EPE_CG. QUADRO 1 Meória, tepo de CPU e diferença entre as soluções dos odelos DREAMS e EPE_CG (pré-condicionaento diagonal). úero de iterações de EPE_CG. Direção T (s) Método direto Meória CPU (s) Meória Método iterativo. Iterações CPU (s) Diferença *10-4 SW * * *10-3 S * * *10-4 SE * *10-3 Coo se pode facilente constatar, o tepo de CPU associado ao étodo direto é inferior (cerca de etade) ao do étodo iterativo. O tepo de CPU do étodo iterativo é sepre superior a 76 s e varia consoante o período da onda. E contrapartida, a eória associada ao étodo direto foi de coplexos de dupla precisão, enquanto o étodo iterativo requer apenas , nesses testes efetuados. Trata-se de ua enore vantage do odelo EPE_CG, porque perite a aplicação do odelo a uito aiores áreas costeiras relativaente às associadas a DREAMS, dada a reduzida eória de que necessita. 3.3 Análise da eficácia dos pré-condicionadores do odelo EPE_CG Para avaliar a eficácia dos pré-condicionadores ipleentados, o odelo EPE_CG foi aplicado para ua onda incidente de período 14 s e direção de SE. Deterinara-se o tepo de CPU, o núero de iterações e o núero equivalente de ultiplicações atriz-vector, MVM, correspondente a cada pré-condicionador e a cada u dos parâetros associados (QUADRO 2). Dessa fora, avaliou-se a eficácia dos pré-condicionadores utilizados. 126 Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005

11 QUADRO 2 Iterações, MVM e tepo de CPU necessários aos cálculos co o odelo EPE_CG, considerando diferentes pré-condicionaentos e valores dos parâetros associados Método Paraetros. Iter. MVM CPU (s) ω ω 1 ω 2 nt I II II II II II II II II II II II /C /C - III III III III III III III III III IV IV IV IV IV IV Do QUADRO 2, verifica-se que para todos os pré-condicionaentos (excepto o II, co ω = 2.0) o étodo iterativo é convergente. Os tepos de CPU associados a qualquer destes pré-condicionadores são superiores ao do étodo directo (39 s). Os pré-condicionadores ais eficientes e teros de CPU são o diagonal seguido dos pré-condicionadores IV (nt=1) e II (ω =1). O pré-condicionador que conduziu a enor núero de iterações foi o IV (co nt=10) as à custa de aior trabalho por iteração. É de notar que os tepos de CPU associados aos pré-condicionadores diagonal, II (ω = 1.0 a 1.2) e IV (nt = 1.0 ou 2.0) são da esa orde de grandeza. Estes tepos são cerca de 50% inferiores ao do précondicionador III co ω 1 =1.3, ω 2 =1.8. Os outros pré-condicionadores ainda são piores. 4 COCLUSÕES este artigo, descrevera-se dois odelos, DREAMS e EPE_CG para estudos de agitação e zonas portuárias e abrigadas que utiliza diferentes etodologias para resolver a equação de declive suave. O odelo DREAMS é baseado na forulação clássica do étodo dos eleentos finitos, enquanto o odelo EPE_CG utiliza ua forulação eleento por eleento. Os odelos fora aplicados no estudo da penetração da agitação arítia na arina do Lugar de Baixo. E geral, verificou-se que os resultados dos dois odelos era uito seelhantes. Verificou-se que a zona interior da arina do Lugar de Baixo se encontra, e geral, protegida da agitação incidente proveniente dos ruos de SW a SE. Co efeito, os valores de sofre significativa redução à edida que a onda se Vetor, Rio Grande, 15(2): ,

12 propaga para o interior da arina. Essa redução é ais significativa para a direção de SW do que para as direções de S e de SE. Para todos os casos de teste, o valor áxio não excede 0.5, e e geral os valores se encontra abaixo de 0.25 no interior da arina. À edida que o período da onda auenta, verifica-se aior penetração da agitação no interior da arina, especialente na zona de entrada da arina. Relativaente ao desepenho dos odelos, verifica-se que o odelo EPE-PCG, considerando núeros coplexos, te vantagens relativaente ao étodo direto, devido à grande econoia de eória de arazenaento. Essa vantage torna-se especialente significativa para probleas de grande diensão. Fora experientadas várias aproxiações para a inversa da atriz do sistea de equações coo fora de pré-condicionaento. o entanto, foi o pré-condicionador diagonal que conduziu a elhores resultados. As experiências efetuadas sugere que deve continuar a pesquisa de outras foras de précondicionaento ais eficazes do que o pré-condicionaento diagonal. AGRADECIMETOS Os autores agradece à Ponta do Oeste, S.A. a autorização para publicação de alguns resultados do estudo da Marina do Lugar de Baixo, e aos técnicos Franklin Carvalho e Branca Branco pela colaboração prestada na preparação das alhas de eleentos finitos e na revisão do texto. Agradece tabé o financiaento da FCT por eio dos projetos POCTI/2.1/TPAR/2082/95 e POCTI/C/ECM/12100/98. Este trabalho insere-se no âbito do convênio entre o LEC e a Fundação Universidade Federal do Rio Grande, Brasil. REFERÊCIAS 1. BERKHOFF, J. C. W. Coputation of cobined refraction-diffraction. In: ITERATIOAL COFERECE COASTAL EGIEERIG, 13. Proceedings..., v. 2, p FORTES, C. J. E. M. Modelação ateática da refração e difração cobinadas de ondas arítias: análise pelo étodo de eleentos finitos. Lisboa, Tese [Mestrado e Engenharia Mecânica] IST. 3. FERADES, J. L. M.; FORTES, C. J. E. M. U étodo directo usando o arazenaento CSR para as equações atriciais siétricas do étodo dos eleentos finitos. Lisboa: LEC, jul Relatório 180/99 PP. 4. FORTES, C. J. E. M.; ZÓZIMO, A. C.; EVES, M. G. O.; COVAS, J. M. A. Estudos de agitação no interior da arina do Lugar de Baixo (Ilha da Madeira). Lisboa: LEC, out Relatório 64/02-PP. 5. HESTEES, M.R.; STIEFEL, E. Methods of conjugate gradients for solving linear systes. Journal of Research of the ational Bureau of Standards, n. 49, p , HUGHES, T. J. R; FERECZ, R. M.; HALLQUIST, J. O. Large scale vectorized iplicit calculations in solid echanics on a Cray X-MP/48 utilizing EBE preconditioned conjugate gradients. Coputer Methods in Applied Mechanics and Engineering, n. 61, p , HURDLE, D. P.; KOSTESE, J. K.; VA DE BOSH, P. Mild slope odel for the wave behavior in and around harbours and coastal structures in areas of variable depth and flow conditions. In: ITERATIOAL SYMPOSIUM: WATER MODELLIG And MEASUREMET, 2. Proceedings Harrogate, ch MACEDO, M. A.; ALQUATI, E. L. G.; VAZ DOS SATOS, A. C. O. Solução iterativa nua forulação eleento por eleento dos estados de agitação e ressonância e portos. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE RECURSOS HÍDRICOS, 14. Anais Aracaju, SEELIG, W..; AHRES, J. P. Wave reflection and energy dissipation by coastal structures: wave forces on inclined and vertical wall structures. ASCE, p , VAZ dos SATOS, M. A; CUCHIARA, D. C.; AWRUCH, A. M. uerical and analytical odels for the analysis of agitation states and resonance probles in harbors. Hybrid Methods in Engineering, v. 2, p , Vetor, Rio Grande, 15(2): , 2005