Rafael Barbosa Libotte, Hermes Alves Filho e Amaury Muñoz Oliva

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1 2017 International uclear Atlantic Conference - IAC 2017 Belo Horizonte, MG, Brazil, October 22-27, 2017 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE EERGIA UCLEAR ABE CÁLCULOS DE BLIDAGEM DE ÊUTROS USADO UM MODELO UIDIMESIOAL DE TRASPORTE A FORMULAÇÃO DE ORDEADAS DISCRETAS COM ESPALHAMETO LIEARMETE AISOTRÓPICO E UMA VELOCIDADE Rafael Barbosa Libotte, Heres Alves Filho e Aaury Muñoz Oliva rafaellibotte@hotail.co halves@iprj.uerj.br aoliva@iprj.uerj.br Departaento de Modelage Coputacional - Instituto Politécnico Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rua Bonfi 25, Vila Aélia, ova Friburgo, RJ CEP: RESUMO O fenôeno físico de transporte de partículas neutras nu eio hospedeiro é de interesse e diversas aplicações científicas, e.g., reatores nucleares, cálculos de blindage, proteção radiológica, edicina nuclear, agronoia, ciência dos ateriais, prospecção de petróleo etc. E todas essas áreas existe a necessidade de ua descrição precisa do transporte das partículas no eio hospedeiro. esta classe de aplicações encontra-se os probleas de blindage de nêutrons, tabé denoinados de probleas de fonte-fixa, onde a interação das partículas co o eio não produz novos nêutrons, i.e., eio não-ultiplicativo. este contexto, o desenvolviento de ferraentas que odele esses probleas é relevante e de u retorno benéfico para a sociedade. este trabalho, propoos o desenvolviento da odelage ateática e coputacional deterinística do transporte de nêutrons usando a equação linearizada de Boltzann aplicados a probleas de blindage de nêutrons. Aqui apresentaos tabé o desenvolviento de u étodo espectro-nodal (alha grossa) considerando o fenôeno do espalhaento coo sendo linearente anisotrópico. Mostraos os resultados usando u aplicativo coputacional, desenvolvido e linguage Java, versão 1.8.0_91. Palavras-chave: Modelage coputacional deterinística, ordenadas discretas, blindage de nêutrons, cálculos de fonte-fixa, neutrônica coputacional deterinística. 1. ITRODUÇÃO Para fazeros a odelage ateática e coputacional, via escola deterinística, do problea do transporte de nêutrons e cálculos de blindage fazeos uso de ua equação, frequenteente denoinada equação linearizada de Boltzann, devido à sua siilaridade co a expressão obtida por L. Boltzann para a teoria da cinética dos gases [1]. Essa equação de transporte de nêutrons é integro-diferencial parcial linear, co as hipóteses siplificadoras que as partículas interage co o eio hospedeiro se afetar sua estrutura e não interage entre si. Representa u balanço entre produção e perda de partículas, sendo que e sua generalidade é dependente de sete variáveis independentes: três espaciais, sendo a geoetria cartesiana a ais usada (x;y;z), duas angulares ( j,µ ), ua energética (E) e ua variável teporal (t). Os étodos tradicionais de solução nuérica da equação de transporte de nêutrons são uito coplexos e, e geral, de alto custo coputacional. Para geraros soluções nuéricas ais

2 eficientes, forulações siplificadas deve ser utilizadas. Estes étodos nuéricos discretiza as variáveis do espaço de fase e usa vários esqueas diretos ou iterativos para resolver o sistea de equações lineares e algébricas resultante. A variável E (energia) é tratada pela convencional aproxiação ultigrupo [1]. A variável angular é tratada seguindo várias etodologias: a aproxiação da difusão [1], a expansão e harônicos esféricos [2], a aproxiação de ordenadas discretas S [3], entre outras. A variável espacial pode ser discretizada por étodos de alha fina, e.g., Diaond Difference (DD) [3]; étodos de alha édia, e.g., étodos de eleentos finitos [4]; ou étodos de alha grossa, e.g., os étodos nodais [5,6]. A variável teporal tabé pode ser tratada por étodos de alha fina, édia e grossa. Entretanto, neste trabalho nos concentrareos apenas e probleas independentes do tepo. este contexto, estaos interessados na investigação da precisão de u étodo de alha grossa, proposto para a odelage do problea unidiensional de transporte de nêutrons, co ua velocidade, espalhaento linearente anisotrópico, independente do tepo e co fonte interior fixa conhecida, usando a equação linearizada de Boltzann [1] para cálculos de blindage de nêutrons. Ua fora siplificada, as eficiente, do trataento da variável angular, que indica a direção do oviento das partículas é a discretização desta variável segundo o convencional étodo de ordenadas discretas ou étodo S [3]. A forulação S é ua das ais tradicionais aproxiações na teoria linear do transporte de nêutrons. Consiste e fazer co que a variável angular assua u conjunto discreto de direções (ordenadas discretas) na equação de transporte. As integrais do fluxo angular de nêutrons que aparece nos teros de fonte são aproxiadas nuericaente por esqueas de quadraturas de Gauss-Legendre [3]. esse trabalho fazeos inicialente u estudo das soluções (análise espectral) das equações de transporte de nêutrons na forulação de ordenadas discretas (S ). Essa análise espectral nos dá subsídios para a arquitetura das equações dos étodos espectro-nodais [7-9], que são usados na discretização das variáveis espaciais das equações S, e cálculos de blindage de nêutrons. Esses étodos, etodologia introduzida há enos de 30 anos [7,9], são algébrica e coputacionalente ais trabalhosos que os étodos nuéricos deterinísticos tradicionais de alha fina, e.g., o étodo DD [3], poré, apresenta ais precisão nas soluções nuéricas para grades espaciais relativaente ais grossas; por este otivo, estes étodos nuéricos e seus possíveis algoritos para esqueas iterativos e diretos de solução tê sido largo objeto de estudos nos últios anos. Essa análise espectral enseja o desenvolviento do étodo espectro-nodal MED, cf., Método Espectral Deterinístico [10,11]. As odelagens coputacionais apresentadas no artigo fora ipleentadas e validadas nu aplicativo desenvolvido e linguage Java, versão 1.8.0_91. Os resultados obtidos co o étodo MED são coparados co o tradicional étodo de alha fina DD e o étodo espectro-nodal SGF [9], cf., spectral Green s function. A seguir fazeos u pequeno resuo dos tópicos que copõe esse trabalho. a seção 2 apresentaos os fundaentos ateáticos que são usados para a obtenção das equações constitutivas do étodo MED. a seção 3 apresentaos resultados nuéricos para u probleaodelo típico para essa odelage. Apresentaos aqui tabé o siulador coputacional, arquitetado e linguage JAVA, usado para as representações das siulações do probleaodelo e na seção 4 apresentaos as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

3 2. FUDAMETOS MATEMÁTICOS A equação de transporte de nêutrons onoenergética e geoetria unidiensional, estacionária, co espalhaento linearente anisotrópico, fonte fixa, independente do tepo e na forulação das ordenadas discretas (S ), possui a fora d s (x) 3 µ s (x) µ y (x) +s (x) y (x) = y (x) w + µ y (x) w + Q(x) S0 S1 T å n n å n n n dx 2 n= 1 2 n= 1 = 1:, 0< x < H. (1) A notação aqui é convencional [3]. A variável dependente y (x) é o fluxo angular de nêutrons, as quantidades s (x), s (x) e T S1 s (x) S0 são as seções de choque acroscópicas total, de espalhaento linearente anisotrópico e isotrópico respectivaente. O valor representa a orde da quadratura de Gauss-Legendre [3]. Os µ são as ordenadas discretas que são as raízes dos polinôios de Legendre P( µ ) = 0e os w são os pesos da quadratura. A quantidade Q(x) representa a fonte fixa isotrópica distribuída nas regiões hoogêneas do doínio espacial. A Eq. (1) possui as seguintes condições de contorno prescritas ìf (x)/x = 0, se µ > 0, y (x) =í îg (x)/x = H, se µ < 0, = 1:. (2) 2.1. Discretização Espacial Considere agora ua grade espacial arbitrária Γ definida e u doínio unidiensional D de copriento H, coo ostrada na Figura 1. A grade espacial é coposta por J nodos espaciais Γ j de copriento h j. Cada nodo espacial possui parâetros físico-ateriais constantes. Figura 1: Grade espacial Γ e u doínio unidiensional D de copriento H 2.2. Análise Espectral das Equações S A Eq.(1), definida nu nodo hoogêneo arbitrário G j assue a fora

4 d s 3µ s µ y +s y = y w + µ y w + S0 j S1j (x) Tj (x) n(x) n n n(x) n Qj dx 2 n= 1 2 n= 1 = 1:, j= 1:J. å å (3) A solução geral analítica do sistea de equações diferenciais ordinárias, representado na Eq. (3) pode ser escrita na fora y (x) =y (x) +y, = 1:, (4) h p onde p denota a solução particular e h indica a coponente hoogênea da solução geral do sistea de equações (3). A solução particular, co Qj constante, assue a fora Q y =, onde s =s -s. p j aj Tj S0j saj (5) Para deterinaros ua solução eleentar hoogênea expressão h y vaos considerar a (x) y (x) = a ( J)exp( s (x -x )/ J ), = 1:, (6) h, J Tj j-1/2 onde x j - 1/2é o contorno esquerdo do nodo arbitrário G j, coo visto na Figura 1. substituiros a Eq. (6) na parte hoogênea da Eq. (3) obteos o problea de autovalor ìïéd c w 3 ùüï 1 c a ( ) a ( ), 1:, ûïþ n 0j n å íê - - 1j µ nwn úý n J = J = n= 1 µ 2µ 2 J ïîë Se (7) onde c 0j =ss0j / s Tj, c 1j =ss1j / s Tj e d n é o delta de Krönecker. A Eq. (7) pode ser escrita nua fora copacta coo 1 Aa( J ) = a( J), J (8) onde A é ua atriz real quadrada, de orde x e os autovalores J são todos siétricos e aparece aos pares, devido a tabé sietria da quadratura de Gauss-Legendre. Para x ÎG teos u conjunto linearente independente de autofunções y, (x) definidas na j Eq. (6). A solução geral analítica intra-nodal pode ser escrita na fora J Q y = a J -s - J + = = h j (x) å a ( )exp( Tj(x x j-1/2) / ), 1:, 1:, = 1 saj onde os a são parâetros arbitrários a sere deterinados. (9)

5 2.3. Algorito de Solução do MED Resolveos as equações de transporte de nêutrons, na forulação de ordenadas discretas (S), partindo da obtenção dos parâetros a, que aparece na Eq. (9) conhecendo-se inicialente os fluxos que entra nos nodos espaciais hoogêneos da grade ostrada na Figura 1, que funciona coo condições de contorno para esses nodos. Co esse procediento, esperaos poder obter todos os outros fluxos angulares eergentes nos contornos e assi poderos calcular alguas grandezas de interesse nesse tipo de siulação coo os fluxos escalares nos cantos e no interior dos nodos espaciais, as taxas de absorção nas regiões hoogêneas do doínio espacial e as taxas de fuga de nêutrons nos contornos externos desse eso doínio. O étodo MED utiliza as estiativas dos fluxos angulares incidentes e u nodo espacial para deterinar os fluxos angulares que eerge nos cantos desses esos nodos. Este cálculo é realizado inicialente obtendo os autovalores J e os autovetores a ( J) da Eq.(7). A seguir fazeos o cálculo dos parâetros a, através da Eq. (9). Já co os valores obtidos realizaos o cálculo dos fluxos na saída do nodo, tabé usando a Eq. (9). Para copreenderos a dinâica do cálculo dos fluxos angulares eergentes no esquea iterativo é preciso que se defina o conceito de varredura na grade de discretização espacial para probleas unidiensionais. Definios coo ua iteração de transporte, ua varredura partindo da esquerda ( x = 0), calculando todos os fluxos eergentes ( µ > 0 e µ < 0) do nodo e atingindo o fi do doínio espacial ( x = H), usando a Eq. (9). O processo iterativo é feito até que o critério de parada prescrito para a nora áxia do fluxo escalar seja alcançado. O fluxo escalar é definido pela expressão 1 f (x) = y (x) w. å 2 n = 1 n n (10) 3. RESULTADOS UMÉRICOS Apresentaos aqui dois probleas odelos para ilustraros a validade da etodologia apresentada. E abos os casos usaos a orde da quadratura = 4. O problea-odelo 1 é coposto por u doínio heterogêneo de quatro zonas ateriais e quatro regiões para u copriento total H = 20 c (Figura 2). As condições de contorno são do tipo vácuo à direita e prescrita, co valor 1, a esquerda do doínio espacial. Foi acoplado ao siulador u gerador de quadraturas de Gauss-Legendre de orde arbitrária agilizando as siulações realizadas. O copriento utilizado e cada nodo foi de 5 c. Os parâetros físico-ateriais e o valor das fontes externas pode ser observados na Tabela 1. Figura 2: Problea-odelo 1

6 Tabela 1: Parâetros físico-ateriais do problea-odelo 1 Zona Material s T (c -1 ) s S0 (c -1 ) s S1 (c -1 ) Q 1 1,0 0,90 0,50 0,0 2 1,0 0,95 0,45 1,0 3 1,0 0,93 0,50 0,0 4 1,0 0,98 0,45 0,0 O siulador coputacional é u aplicativo desenvolvido na linguage de alto nível JAVA, versão 1.8.0_91. Co esse aplicativo podeos ter ua visão otiizada do problea-odelo apresentado na Figura 2. a Figura 3, apresentaos a tela inicial deste siulador, onde são apresentados os dados iniciais da siulação a ser realizada. essa tela são introduzidas as condições de contorno, o núero de zonas ateriais e regiões, a orde da quadratura de Gauss- Legendre usada na siulação do problea-odelo. Estão ipleentados nesse aplicativo coputacional os étodos DD (alha fina), SGF e MED (alha grossa). Figura 3: Tela inicial do aplicativo coputacional. a Figura 4, apresentaos a tela onde carregaos os parâetros físico-ateriais dos probleas a sere odelados

7 Figura 4: Parâetros físico-ateriais a Figura 5 e Tabela 2 apresentaos os resultados para o fluxo escalar de nêutrons considerando os étodos nuéricos DD, SGF e MED. Pode-se observar que teos valores concordantes até a quarta casa decial. a Tabela 2 apresentaos tabé os valores do total de iterações e tepos de CPU da siulação. Figura 5: Resultados coparativos entre os étodos MED, DD e SGF Tabela 2: Fluxo escalar de nêutrons Fluxo escalar (nêutrons/c 2.s) f (0) f (5) f (10) f (15) f (20) úero total de CPU (s) f (x) iterações DD a 1,2100 6,1179 6,6295 1,5699 0, ,817 SGF b 1,2100 6,1179 6,6295 1,5699 0, ,061 MED c 1,2100 6,1179 6,6295 1,5699 0, ,003 a Método Diaond Difference co 100 nodos por região. b Método spectral Green s function co 1 nodo por região. c Método Espectral Deterinístico co 1 nodo por região.

8 O segundo problea-odelo [12,13] é ostrado na Figura 6. Os parâetros físico-ateriais e o valor das fontes externas pode ser observados na Figura 6. Os resultados nuéricos para o fluxo escalar são apresentados na Tabela 2 e Figura 7 Figura 6: Problea-odelo 2 Tabela 2: Fluxo escalar de nêutrons Fluxo escalar (nêutrons/c 2.s) f (0) f (20) f (70) f (100) úero total de CPU (s) f (x) iterações DD a 0,6082 0,0041 3,1739e-11 c 2,4118e ,420 SGF b 0,6082 0,0041 3,1817e-11 2,4196e ,039 MED d 0,6082 0,0041 3,1817e-11 2,4197e ,001 a Método Diaond Difference co 200x500x300 nodos. b Método spectral Green s function co 1 nodo por região. c Leia coo 3,1739x d Método Espectral Deterinístico co 1 nodo por região. Figura 5: Resultados coparativos entre os étodos MED, DD e SGF

9 4. COCLUSÕES Os valores obtidos para o fluxo escalar no étodo espectro-nodal MED, considerando o espalhaento linearente anisotrópico para os dois probleas odelos apresentados, apresenta boa concordância quando coparados co os resultados obtidos nos outros étodos, DD e SGF. A outra vantage do MED, quando coparado co o étodo SGF é a sua siplicidade na obtenção das suas equações e ipleentação no aplicativo coputacional, na linguage JAVA. Estaos dando sequência a esses co a obtenção das taxas de absorção nas regiões hoogêneas e fugas nos contornos externos dos doínios espaciais dos probleas-odelo 1 e 2. O siulador coputacional se ostrou ua ferraenta dinâica e eficiente não soente pelo fato de ser de fácil utilização e prograação, as tabé de estar e desenvolviento e aberto a novas atualizações. Estaos atualente desenvolvendo esse estudo para cálculos globais de reatores nucleares (fator de ultiplicação efetivo e distribuição de potência e regiões ultiplicativas). Inicialente estaos odelando probleas estacionários, unidiensionais, u grupo de energia e espalhaento isotrópico. AGRADECIMETOS Os autores gostaria de agradecer ao Laboratório de Modelage Multi-escala e Transporte de Partículas (LabTran) do IPRJ/UERJ e a Fundação de Aparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ). REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Duderstadt J.J. e Hailton L.J., uclear Reactor Analysis, John Wiley & Sons, ew York (1976). 2. Bell G.I. e Glasstone S., uclear Reactor Theory, Van ostrand Reinhold, ew York (1970). 3. Lewis E.E. e Miller W.F.Jr., Coputational Methods of eutron Transport, Aerican uclear Society, La Grange Park, Illinois (1993). 4. Zienkiewicz, O. C., The Finite Eleent Method in Engineering and Science, McGraw- Hill, London, (1997). 5. Badruzzaan, A., odal ethods in Transport Theory, Advances in uclear Science and Technology, J. LEWIS and M. BECKER, Eds., Plenu Press, ew York. Vol. 21, (1990). 6. Lawrence, R. D., Progress in odal Methods for the eutron Diffusion and Transport Equations, Progress in uclear Energy., Vol. 17, pp (1986). 7. Barros R.C., A Spectral odal Method for the Solution of Discrete Ordinates Probles in one and two Diensional Cartesian Geoetry. Ph.D. dissertation, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, (1990). 8. de Abreu, M. P., Métodos Deterinísticos Livres de Aproxiações Espaciais para a Solução uérica Doinante de Probleas de Autovalor Multiplicativo na Forulação de Ordenadas Discretas da Teoria do Transporte de êutrons. Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, (1996).

10 9. Barros, R. C. and Larsen, E. W., A uerical Method for One-Group Slab-Geoetry Discrete Ordinates Probles with o Spatial Truncation Error, uclear Science and Engineering, Vol. 104, pp (1992). 10. Oliva, A.M. e Alves Filho, H.A., Modelage Coputacional Deterinísticas de Probleas Unidiensionais de Fonte-Fixa Utilizando Métodos odais, XVIII EMC e VI ECTM, SEAI CIMATEC, Salvador, BA (2015). 11. Oliva, A.M., Alves Filho, H.A, Silva, D.J.M. e Hernandez, C.R.G., Coputer Deterinistic Modelling of uclear Probles using odal Methods, XXXVI CMAC, Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Coputational Matheatics, Vol. 5,. 1, Graado, RS (2016). 12. Yavuz, M., A One-D Siplified Discrete-Ordinates Method with o Spatial Truncation Error, Annals on uclear Energy, Vol. 22, PP (1995). 13. Barros, R.C., Yavuz, M., de Abreu, M.P., M. Mello, J.A., Progress in Spectral odal Methods Applied to Discrete Ordinates Transport Probles, Progress in uclear Energy, Vol. 33, pp (1998).