XXIX CILAMCE November 4 th to 7 th, 2008 Maceió - Brazil

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1 XXIX CILAMCE Noveber 4 t to 7 t, 008 Maceió - Brazil MÚLTIPLAS EXTRAPOLAÇÕES DE RICHARDSON PARA REDUZIR E ESTIMAR O ERRO DE DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE D Carlos Henrique Marci arci@ufpr.br Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departaento de Engenaria Mecânica Curitiba, PR, Brasil Leandro Alberto Novak leandron@sanepar.co.br Prograa de Pós-Graduação e Engenaria Mecânica Universidade Federal do Paraná (UFPR) Curitiba, PR, Brasil Coso D. Santiago coso@unibrasil.co.br Faculdades do Brasil Unibrasil, Curitiba, PR, Brasil Resuo. O objetivo deste trabalo é avaliar, aperfeiçoar e generalizar o uso de Múltiplas Extrapolações de Ricardson (MER) para reduzir e estiar o erro de discretização de soluções nuéricas. É considerado u problea de condução de calor governado pela equação de Laplace bidiensional (D), que é resolvida através do étodo de diferenças finitas. O doínio de cálculo é quadrado e discretizado co alas unifores. São epregadas aproxiações de segunda orde de acurácia, condições de contorno de Diriclet, solver MSI co ultigrid, alas co até ilões de nós, precisão dupla e quádrupla, núero de iterações suficiente para atingir o erro de arredondaento de áquina e até doze extrapolações de Ricardson. São obtidos resultados para as seguintes variáveis: teperatura no centro do doínio e e outro ponto; édia do capo de teperaturas; taxa de transferência de calor e dois contornos; e nora do erro de discretização. Mostra-se que: () MER reduz significativaente o erro de discretização; () o estiador de erro de Ricardson funciona para resultados nuéricos obtidos co MER; e (3) resultados ais efetivos co MER são obtidos usando precisão quádrupla nos cálculos, aior núero de extrapolações, aior núero de alas e ordens corretas do erro. Palavras-cave: erro nuérico, estiativa de erro, diferenças finitas, CFD, ordens de erro, Verificação.

2 . INTRODUÇÃO A técnica de últiplas extrapolações de Ricardson (MER) foi criada á uito tepo (Ricardson, 90; e Ricardson e Gaunt, 97) co o objetivo de reduzir o erro de discretização (Roace, 998) de soluções nuéricas. Para usar MER é necessário ter a solução nuérica, da variável de interesse, e três ou ais alas co núero de nós diferentes. MER se baseia na extrapolação de Ricardson, que é ais usada coo u estiador do erro de discretização, ou é a base para outros estiadores, coo o GCI (Grid Convergence Index) de Roace (994). Ainda oje, MER é uito pouco epregado. Apesar disso, alguns trabalos (Benjain e Denny, 979; Screiber e Keller, 983; e Erturk et al., 005) obtivera bons resultados co MER para diinuir o erro de discretização e probleas de CFD (Coputational Fluid Dynaics). Poré, estes autores utilizara este procediento co no áxio quatro alas, resultando e até três extrapolações para a ala ais fina usada. E nenu destes trabalos foi proposto u estiador de erro associado ao uso de MER. Mas, a estiativa quantitativa do erro nuérico é u dever dos analistas de CFD (Oberkapf e Trucano, 00). O objetivo deste trabalo é avaliar, aperfeiçoar e generalizar o uso de últiplas extrapolações de Ricardson (MER) para reduzir e estiar o erro de discretização. Pretendese ostrar que o uso de MER é extreaente efetivo na redução do erro. Isso significa que MER pode ser usado de duas foras. A prieira, para obter o eso erro de discretização co ua ala que te uito enos nós, resultando na redução do esforço coputacional (eória e tepo de CPU). A segunda, para reduzir o erro de discretização e ua ala co o eso núero de nós, resultando e erros uito enores e aior confiabilidade da solução; esta fora é indicada especialente para obter bencaks. É considerado neste trabalo u problea de condução de calor odelado pela equação de Laplace bidiensional (D), que é resolvida através do étodo de diferenças finitas. O doínio de cálculo é quadrado e discretizado co alas unifores. São epregadas aproxiações de segunda orde de acurácia, condições de contorno de Diriclet, solver MSI co ultigrid, alas co até ilões de nós, precisão dupla e quádrupla, núero de iterações suficiente para atingir o erro de arredondaento de áquina e até doze extrapolações de Ricardson. São obtidos resultados para as seguintes variáveis: teperatura no centro do doínio e e outro ponto; édia do capo de teperaturas; taxa de transferência de calor e dois contornos; e nora do erro de discretização.. MODELO MATEMÁTICO O odelo ateático considerado neste trabalo é a equação de Laplace bidiensional co condições de contorno de Diriclet, definida por T T + = x y T ( x,) = sen( π x), 0, 0 < x, y <, T ( x,0) = T (0, y) = T (, y) = 0, () onde x e y são as direções coordenadas e T representa a teperatura. Fisicaente, esta equação pode odelar u problea de condução de calor e regie peranente, co propriedades constantes, e ua placa plana (Ozisik, 993). As variáveis de interesse neste trabalo são: () a teperatura no centro do doínio, isto é, e x=y=½, representada por Tc; () a teperatura e x=½ e y=¾, representada por T; (3)

3 a édia do capo de teperaturas (T); (4) a édia da nora l do erro de discretização (L); e as taxas de transferência de calor nos contornos de x= (5) e y= (6), representadas respectivaente por Qe e Qn. A variável L é definida na seção 3. As variáveis T, Qe e Qn são definidas ateaticaente por T = T ( x, y) dx dy, () 0 0 Qe Qn = = k k T x 0 T y 0 x= y= dy, (3) dx, (4) onde k é a condutividade térica do aterial, co valor unitário. A solução analítica da Eq. () é sen( π y) T ( x, y) = sen( π x). (5) sen( π ) 3. MODELO NUMÉRICO 3. Solução nuérica se extrapolação A Eq. () é discretizada co o étodo de diferenças finitas, alas unifores e diferença central (CDS Central Differencing Scee) (Tanneill et al., 997), resultando e ( T T + T ) ( T T + T ) i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ + = 0, (6) onde i e j representa cada nó da ala, e é a distância entre dois nós consecutivos da ala; neste trabalo, tabé será denoinado de taano da ala. Escrevendo-se a Eq. (6) para todos os N nós da ala, obté-se u sistea de equações algébricas que é resolvido através do solver Modified Strongly Iplicit Metod (MSI) (Scneider e Zedan, 98). Para acelerar a convergência, utiliza-se o étodo ultigrid geoétrico (Wesselin 99), co o esquea Full Approxiation Scee (FAS), ciclo V, restrição por injeção, prolongação por interpolação bilinear e razão de engrossaento dois. Utilizou-se o valor nulo coo estiativa inicial da solução de cada problea. O núero de vezes que o ciclo V do étodo ultigrid é repetido é denoinado de iterações externas. O processo iterativo foi levado até ser atingido o erro de arredondaento de áquina para a solução nuérica das variáveis Tc e T. Fora ipleentados dois prograas coputacionais e linguage Fortran 95, versão 9. da Intel, u usando precisão dupla (Real*8) e o outro, precisão quádrupla (Real*6). As siulações fora realizadas e u icrocoputador co processador Intel (Xeon Quad Core X5355,66 GHz), 6 GB RAM e sistea operacional Windows xp 64 bits.

4 A solução nuérica das variáveis Tc e T é obtida diretaente dos respectivos nós da ala após a obtenção da solução nuérica da Eq. (6); isso ocorre porque sepre são usadas alas co núero ípar de nós. A solução nuérica da Eq. (), para T, é obtida através de integração nuérica pela regra do trapézio (Kreyszi 999). A solução nuérica das Eqs. (3) e (4), para Qe e Qn, é obtida através de integração nuérica pela regra do trapézio antecedida pelo uso do esquea UDS (Upstrea Differencing Scee) (Tanneill et al., 997) de ª orde de acurácia e cada nó do contorno. A édia da nora l do erro de discretização é definida ateaticaente por L N analítico nuérico TP TP P= =, (7) N onde P representa cada u dos N nós i,j da ala. 3. Solução nuérica co extrapolação A solução nuérica (φ) para qualquer variável de interesse na ala co extrapolações de Ricardson, é dada por φ φg, φ g, = φg, +. (8) p r A Eq. (8) é válida para = a M-, e g = + a M; onde é o núero de extrapolações; M é o núero de alas diferentes sobre as quais fora obtidas soluções nuéricas (φ) se qualquer extrapolação, confore descrito na subseção anterior; g representa cada ua das alas; g= é a ala ais grossa do conjunto de alas, isto é, aquela na qual a distância entre dois nós consecutivos te o aior valor; g=m é a ala ais fina do conjunto de alas, isto é, aquela na qual a distância entre dois nós consecutivos te o enor valor; r= g- / g é a razão de refino de ala; para = 0 te-se a solução nuérica (φ) se qualquer extrapolação, obtida confore descrito na subseção anterior; e p são as ordens verdadeiras (Marci e Silva, 00) do erro de discretização, obtidas através do procediento explicado na próxia seção. 4. ERRO NUMÉRICO E SUA ESTIMATIVA O erro nuérico (E) da solução nuérica (φ) de ua variável de interesse pode ser definido por E ( φ) = Φ φ, (9) onde Φ é a solução analítica exata da variável de interesse. O erro nuérico é causado por cinco fontes (Versteeg e Malalasekera, 007): erros de discretização, de iteração, de arredondaento, de prograação e de usuário. Quando o erro nuérico é causado apenas pelo erro de discretização, te-se (Marci e Silva, 00) p0 p p E( φ ) = C + C + C..., (0) 0 +

5 onde C 0, C, C,... são coeficientes que independe de ; p 0, p, p,... são as ordens verdadeiras de E(φ ), que são núeros inteiros e positivos, e seu conjunto é representado por p V ; e p 0 é a orde assintótica ou de acurácia de E(φ ). Os valores de p V pode ser obtidos a priori co u procediento que eprega a série de Taylor (Tanneill et al., 997). 4. Obtenção de ordens do erro Os valores de p V, obtidos a priori, pode ser confirados a posteriori co o conceito de orde efetiva (p E ) (Marci, 00) do erro de discretização, que generalizado para últiplas extrapolações de Ricardson é dado por ( p E ) = E( φg log E( φ log( r), ) ). () A Eq. () é válida para = 0 a M-, e g = + a M. As deais definições da subseção 3. se aplica aqui. Deve-se perceber que para obter cada valor de p E é necessário conecer o erro da solução nuérica e duas alas. Teoricaente, à edida que 0, os valores de (p E ) deve tender à orde verdadeira (p ) do respectivo nível de extrapolação () da Eq. (0). Confore a Eq. (), p E é função do erro da variável de interesse. Portanto, a Eq. () não pode ser aplicada e probleas cuja solução analítica é desconecida. Alé disso, a Eq. () não deve ser usada quando se quer confirar a posteriori os valores de p se utilizar soluções nuéricas extrapoladas co os próprios valores de p. Neste últio caso, pode-se usar o conceito de orde aparente ou observada (p U ) (De Val Davis, 983) do erro de discretização, que generalizado para últiplas extrapolações de Ricardson é dado por ( p U ) = θ g log θ, log( r) θ θ g, g,. () A Eq. () é válida para = 0 a Int((M-3)/), g = *+3 a M, e r constante entre as três alas, onde Int(a) representa a parte inteira de a. As deais definições da subseção 3. se aplica aqui. Teoricaente, à edida que 0, os valores de (p U ) deve tender à orde verdadeira (p ) do respectivo nível de extrapolação () da Eq. (0). Deve-se perceber que para obter cada valor de p U na Eq. () são necessárias soluções nuéricas relacionadas a três alas. Estas soluções não são obtidas co a Eq. (8), por isso a udança de variável; elas são obtidas por extrapolação através de θ θ g, θ = θ + ( p U. (3) ) g, r A Eq. (3) é válida para = a Int((M-)/), e g = *+ a M. As deais definições da subseção 3. se aplica aqui.

6 Neste trabalo, os valores de p usados na Eq. (8) são obtidos de (p U ) da Eq. (). Eles são núeros inteiros e positivos que são obtidos, para cada nível de extrapolação (), da tendência dos valores de (p U ) para Estiador do erro Ua estiativa (U) do erro de discretização da solução nuérica (φ) para qualquer variável de interesse, na ala co extrapolações de Ricardson, é dada por φ φg, U ( φ ) = p r. (4) A Eq. (4) é válida para = 0 a M-, e g = + a M. As deais definições da subseção 3. se aplica aqui. A Eq. (4) é ua generalização do estiador de Ricardson (Roace, 994). Coo será ostrado na próxia seção, co o uso de últiplas extrapolações de Ricardson, é cou se ter no qual o erro de arredondaento é aior do que o erro de discretização. Nessa situação, a Eq. (4) não é acurada para prever o erro nuérico. Analisando-se os resultados obtidos neste trabalo, verificou-se que a Eq. (4) pode ser epregada e cada no qual são satisfeitas as seguintes condições: ) A razão g, = Δ φ = φ g, φ φ g, g, deve ser crescente para 0. (5) ) A razão Δ Δ g, p 0 deve ser crescente para 0 e tender a p r. (6) 5. RESULTADOS Usando precisão dupla (Real*8), fora obtidas soluções nuéricas para as seis variáveis de interesse e alas co 3x3, 5x5, 9x9,... até 893x893 nós; portanto M=3 alas. Já co precisão quádrupla (Real*6), a ala ais fina foi de 4097x4097 nós; portanto M= alas. Para atingir o erro de arredondaento de áquina, fora necessários no áxio seis e doze iterações externas, respectivaente para precisão dupla e quádrupla; poré, fora realizadas 50 e 0 iterações externas respectivaente para precisão dupla e quádrupla. Para atingir o erro de arredondaento de áquina, o tepo áxio de CPU foi de 0 in e 5 in, respectivaente para precisão dupla e quádrupla. O núero de algarisos significativos das soluções nuéricas se extrapolação é no ínio de e 30, respectivaente para precisão dupla e quádrupla; isto significa que nestes algarisos as soluções não tê erro de arredondaento. Para edir o erro nuérico co a Eq. (9), a solução analítica (Φ) de cada variável de interesse foi obtida através do software Maple co 30 e 64 algarisos, respectivaente para as soluções nuéricas obtidas co precisão dupla e quádrupla. 5. Redução e estiativa do erro Para as seis variáveis de interesse e precisão quádrupla, a Fig. apresenta, e função do taano da ala (): E, que é o erro da solução nuérica de φ (se qualquer extrapolação,

7 obtida confore descrito na subseção 3. para g = a M), calculado co a Eq. (9); U, que é a estiativa de E, calculado co a Eq. (4) para = 0 e g = a M; Eer, que é o erro da solução nuérica de φ co extrapolação (obtida confore descrito na subseção 3. através da Eq. (8) para = a M- e g = +), calculado co a Eq. (9); Uer, que é a estiativa de Eer, calculado co a Eq. (4) para = a M- e g = +; e = φ - φ g-,, que é o nuerador da Eq. (4) e está envolvido nas Eqs. (5) e (6), onde φ é obtido através da Eq. (8), confore descrito na subseção 3., para = a M- e g = +. Ebora não seja possível ver na Fig., U praticaente coincide co E e qualquer e para todas as seis variáveis. É possível ver na Fig. que Uer e geral está próxio de Eer e qualquer e para todas as seis variáveis; isso só não ocorre nas alas ais finas, co enor, devido ao fato do erro de arredondaento ser aior que o erro de discretização. Portanto, a Eq. (4) é suficienteente acurada para prever o erro de discretização de soluções nuéricas obtidas através da Eq. (8) co últiplas extrapolações de Ricardson. Coparando-se as curvas de E co Eer da Fig. fica evidente que o uso de últiplas extrapolações de Ricardson (MER) é extreaente eficiente na redução do erro de discretização. As Tabelas e ajuda a ostrar isso para a variável Tc; nestas duas tabelas, a letra e representa a notação científica para núeros. Para três alas específicas, a Tabela ostra o efeito da redução do erro de discretização, edido pela razão E/Eer, ao se refinar a ala e auentar o núero de extrapolações (). Por exeplo, na ala 33x33, eso co apenas três extrapolações, o erro já é reduzido e ais de 00 il vezes. Para três níveis de erro específicos, a Tabela ostra o efeito de MER na redução do núero de nós de ua ala para obter o eso erro de discretização. Por exeplo, para o nível de erro -9e-7, se MER é necessário usar a ala 53x53 para atingir este nível de erro, e a ala 7x7 co MER; portanto, co MER é necessária ua ala co 9 vezes enos nós. Esta razão entre o núero de nós das alas de E e Eer indica o nível de redução do esforço coputacional (eória e tepo de CPU) ao seu usar MER e relação a não usá-lo. Tabela. Redução do erro para alas fixas Mala 33x33 9x9 05x05 3,e- 7,8e-3 9,76e-4 E -,30e-4 -,44e-5 -,5e-7 Eer -,6e-9 -,e-6-9,83e-3 para Eer E / Eer,43e+5,9e+,9e+4 Tabela. Redução de nós de ala para erros fixos Nível do erro -e-4-9e-7-3e-9 E -.30e-4-9,0e-7-3,5e-9 Eer -,56e-4-8,67e-7 -,6e-9 para Eer 3 Mala de E 33x33 53x53 893x893 Mala de Eer 9x9 7x7 33x33 Razão entre o núero de nós das alas de E e Eer 3,

8 Tc E Eer U Uer T E Eer U Uer T E Eer U Uer L E Eer U Uer Qe E Eer U Uer Qn E Eer U Uer Figura Erros (E) e suas estiativas (U) versus taano da ala ().

9 5. Efeito da precisão dos cálculos Para as seis variáveis de interesse, a Fig. apresenta, e função do taano da ala (): E(real*8), que é o erro da solução nuérica de φ (se qualquer extrapolação, obtido co precisão dupla confore descrito na subseção 3. para g = a M), calculado co a Eq. (9); Eer(real*6), que é o erro da solução nuérica de φ (co extrapolação, obtido co precisão quádrupla confore descrito na subseção 3. através da Eq. (8) para = a M- e g = +), calculado co a Eq. (9); e Eer(real*8), que é o eso parâetro anterior as obtido co precisão dupla. Pode-se observar na Fig. que o erro de soluções nuéricas obtidas co últiplas extrapolações (Eer) é reduzido uito ais quando se usa precisão quádrupla do que dupla. Co precisão dupla, Eer é reduzido até ua orde que fica no intervalo de a 0-4 quando o erro de arredondaento (Eπ) passa a ser a principal fonte do erro nuérico. No caso de precisão quádrupla, para alguas variáveis, Eer é reduzido até ua orde que fica no intervalo de 0-3 a 0-3 quando Eπ passa a ser a principal fonte do erro nuérico; para outras variáveis, não se atinge Eπ e Eer é reduzido até ua orde que fica no intervalo de 0-7 a 0-5. Para precisão dupla, Eπ é atingido e da orde de 0 - e para precisão quádrupla, da orde de 0-3 ou enor. 5.3 Efeito do núero de extrapolações e alas Para a variável Tc obtida co precisão quádrupla, a Fig. 3 apresenta, e função do taano da ala (), ua curva do erro da solução nuérica de φ para cada núero de extrapolações, partindo de = 0 (se extrapolação) até = M-, para g = + a M, onde M= alas. Co a Fig.3, pode-se perceber o efeito do núero de extrapolações sobre a redução do erro, be coo do núero de alas usadas. É evidente que quanto aior o núero de extrapolações () e aior o núero de alas (g), aior é a redução do erro, até que se atinja o erro de arredondaento de áquina. 5.4 Verificação de ordens do erro Para as seis variáveis de interesse, a Fig. 4 apresenta, e função do taano da ala (), a orde aparente (p U ), calculada co a Eq. () para = 0, e, g = *+3 a M, onde M= alas e r=. Teoricaente, à edida que 0, os valores de (p U ) deve tender à orde verdadeira (p ) do respectivo nível de extrapolação (). Na Fig. 4, está claro que, para 0, os valores de p 0, p e p são, 4 e 6 para Tc, T, T e Qe, e, 3 e 4 para L e Qn. Para a variável Tc obtida co precisão quádrupla, a Fig. 5 apresenta, e função do taano da ala (), ua curva da orde efetiva (p E ), calculada co a Eq. (), para cada núero de extrapolações, partindo de = 0 (se extrapolação) até = M-, para g = + a M, onde M= alas. Nas alas co os enores valores de, alguns pontos de p E tê seu valor afetado pelo erro de arredondaento (Eπ), quando este passa a ser a principal fonte do erro nuérico e vez do erro de discretização. Isso ocorre principalente para 5. Mas está claro na Fig. 5 que, para 0, os valores de p 0, p, p, p 3, p 4, p 5 e p 6 são respectivaente, 4, 6, 8, 0, e 4 para a variável Tc.

10 Módulo do erro Tc E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Módulo do erro T E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Módulo do erro T E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Módulo do erro L E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Módulo do erro Qe E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Módulo do erro Qn E (real*8) Eer (real*6) Eer (real*8) Figura Erros (E) versus taano da ala () co precisão dupla (real*8) e quádrupla (real*6).

11 0-4 Módulo do erro =0 = = =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 =0 = Figura 3 Erro (E) versus taano da ala () e núero de extrapolações (). 6. CONCLUSÃO Co a realização deste trabalo, verificou-se que: ) A técnica de últiplas extrapolações de Ricardson (MER) é extreaente eficiente na redução do erro de discretização. ) O estiador de erro de Ricardson funciona para resultados nuéricos obtidos co MER. 3) Resultados ais efetivos co MER são obtidos ao se usar precisão quádrupla nos cálculos, aior núero de extrapolações, aior núero de alas e ordens corretas do erro. 4) O procediento proposto na Eq. () para obter as ordens do erro, dos diversos níveis de extrapolação, funciona be. 5) É correta a Eq. (8) proposta para obter a solução nuérica de ua variável de interesse co qualquer núero extrapolações de Ricardson, be coo a Eq. (4) para estiar o seu erro. 6) O erro de arredondaento pode ser u liitador do uso de MER na redução do erro nuérico.

12 Orde aparente Tc =0 = = Orde aparente 6 T =0 = = T 5 =0 = = 4 3 Orde aparente 4 3 Orde aparente L 0 =0 = = Orde aparente 4 3 Qe =0 = = Orde aparente 3 Qn =0 = = Figura 4 Orde aparente (p U ) versus taano da ala () e núero de extrapolações ().

13 8 6 4 =0 = = =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 =0 Orde efetiva Figura 5 Orde efetiva (p E ) versus taano da ala () e núero de extrapolações (). Agradecientos Os autores agradece o apoio financeiro do MCT/CNPq (Conselo Nacional de Desenvolviento Científico e Tecnológico, do Brasil) e do Prograa UNIESPAÇO da AEB (Agência Espacial Brasileira). O prieiro autor é bolsista do CNPq. REFERÊNCIAS Benjain, A. S. and Denny, V. E., 979. On te Convergence of Nuerical Solutions for -D Flows in a Cavity at Large Re. Journal of Coputational Pysics, Vol.33, pp De Val Davis, G., 983. Natural Convection of Air in a Square Cavity: a Benc Mark Nuerical Solution. International Journal for Nuerical Metods in Fluids, Vol.3, pp Erturk, E., Corke, T. C. and Gökçöl, C., 005. Nuerical Solutions of -D Steady Incopressible Driven Cavity Flow at Hig Reynolds Nubers. Int. J. Nuer. Met. Fluids, Vol.48, pp

14 Kreyszi E., 999. Advanced Engeneering Mateatics. 8 ed., Wiley. Marci, C. H., 00. Verificação de soluções nuéricas unidiensionais e dinâica dos fluidos. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina. Tese de doutorado e Engenaria Mecânica. Marci, C. H. and Silva, A. F. C., 00. Unidiensional Nuerical Solution Error Estiation for Convergent Apparent Order. Nuerical Heat Transfer, Part B, Vol.4, pp Oberkapf, W. L.; Trucano, T. G., 00. Verification and validation in coputational fluid dynaics. Progress in Aerospace Sciences, v. 38, p Ozisik, M. N., 993. Heat Conduction. ed. Wiley. Ricardson, L. F., 90. Te approxiate aritetical solution by finite differences of pysical probles involving differential equations, wit an application to te stresses in a asonry da. Pylosopical Proceedings of te Royal Society of London Serial A, v. 0, p Ricardson, L. F.; Gaunt, J. A., 97. Te deferred approac to te liit. Pylosopical Proceedings of te Royal Society of London Serial A, v. 6, p Roace, P. J., 994. Perspective: a Metod for Unifor Reporting of Grid Refineent Studies. ASME Journal of Fluids Engineerin Vol.6, pp Roace, P. J., 998. Verification and Validation in Coputational Science and Engineering. Herosa, 446 p. Scneider, G. E. and Zedan, M., 98. A Modified Strongly Iplicit Procedure for te Nuerical Solution of Field Probles. Nuerical Heat Transfer, Vol.4, pp. -9. Screiber, R. and Keller, H. B., 983. Driven Cavity Flows by Efficient Nuerical Tecniques. Journal of Coputational Pysics, Vol.49, pp Taneill, J. C.; Anderson, D. A.; Pletcer, R. H., 997. Coputational Fluid Mecanics and Heat Transfer. ed. Taylor & Francis. Verstee H. K.; Malalasekera, W., 007. An Introduction to Coputational Fluid Dynaics, Te Finite Volue Metod. ed. Pearson. Wesselin P., 99. An introduction to ultgrid etods. Wiley.