SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMA TERMOELÁSTICO COM ESTIMATIVA DO ERRO DE DISCRETIZAÇÃO

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1 Proceedings of te t Brazilian Congress of ermal Sciences and Engineering -- ENCI 006 Braz. Soc. of Mecanical Sciences and Engineering -- ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006 Paper CI SOLÇÃO NMÉRICA DE PROBLEMA ERMOELÁSICO COM ESIMAIVA DO ERRO DE DISCREIZAÇÃO Orestes Hacke niversidade do Contestado (nc, Mafra, SC orestesacke@brturbo.com Carlos Henrique Marci Departamento de Engenaria Mecânica, niversidade Federal do Paraná (FPR, Curitiba, PR marci@demec.ufpr.br Resumo. Neste trabalo, verifica-se o erro numérico da solução de um problema de condução de calor e estima-se o erro de um problema termoelástico; ambos bidimensionais. As soluções numéricas são obtidas empregando-se o método de diferenças finitas com aproximações numéricas de segunda ordem de acurácia. São avaliados o erro (E verdadeiro de discretização e sua estimativa ( além das ordens efetiva e aparente. é obtido com os estimadores de Ricardson e GCI. São utilizadas malas uniformes com até 04x04 elementos. Verificou-se que o estimador GCI é confiável e as ordens efetiva e aparente tendem à ordem assintótica, prevista a priori, quando o tamano dos elementos tende a zero. Palavras-cave: diferenças finitas, GCI, extrapolação de Ricardson, condução de calor, termoelasticidade.. Introdução Com relação às estimativas dos erros numéricos envolvidos nos resultados de simulações numéricas, atualmente os trabalos encontrados na literatura podem ser classificados em quatro conjuntos: ( nenuma estimativa é realizada e a solução numérica é obtida sobre uma única mala; ( nenuma estimativa é realizada mas são apresentadas soluções numéricas obtidas sobre duas ou mais malas, geralmente fazendo-se comparações gráficas de perfis de variáveis de campo nas diversas malas; (3 são feitas estimativas mas com base em estimadores de erro pouco confiáveis ou inadequados, como o estimador delta (Roace, 998; e (4 são feitas estimativas com base no estado-daarte, isto é, com os melores estimadores de erro disponíveis, como o estimador GCI (Grid Convergence Index (Roace, 994. A magnitude aceitável para o erro numérico é função, entre outros fatores, da finalidade da solução numérica, dos recursos financeiros envolvidos, do tempo permitido ou disponível para realizar as simulações e dos recursos computacionais existentes. Sabendo-se que as soluções numéricas contêm erros, entre outros motivos, é importante estimá-los porque quando o erro é maior do que o aceitável compromete-se a confiabilidade do uso da solução numérica. Neste trabalo é resolvido um problema de condução de calor e um de termoelasticidade linear, ambos com o método de diferenças finitas, com malas uniformes e aproximações numéricas de ª ordem de acurácia. O modelo numérico segue basicamente o de Demirdzic e Martinovic (993, que empregaram o método de volumes finitos em problemas termoelásticos, entre outros. Porém, eles não fizeram estimativa do erro de discretização. Assim, os objetivos do presente trabalo são: ( verificar (Roace, 998 as soluções numéricas para o problema térmico cuja solução analítica é conecida; ( obter soluções numéricas altamente acuradas, com malas de até 04x04 elementos; (3 utilizar os estimadores de Ricardson e GCI para estimar o erro de discretização das variáveis de interesse; (4 avaliar o desempeno destes estimadores para o caso em que a solução analítica é conecida; e (5 comprovar a ordem de acurácia das soluções numéricas. O trabalo está assim dividido: na seção são apresentados os estimadores de erro; na seção 3 é definido o problema térmico, seu modelo numérico e apresentados os resultados; na seção 4, o mesmo para o problema termoelástico; e na seção 5, a conclusão do trabalo.. Erro de discretização Erro numérico (E é a diferença entre a solução analítica exata (Φ de uma variável de interesse e a sua solução numérica (φ, isto é, (Marci e Silva, 00 E ( φ Φ φ (

2 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI onde E é causado por quatro fontes de erros: truncamento, iteração, arredondamento e programação. Quando as outras fontes são inexistentes ou muito pequenas em relação aos erros de truncamento, E também pode ser denominado de erro de discretização. Em situações práticas, uma solução numérica é obtida porque a solução analítica é desconecida. Por conseqüência, o valor verdadeiro do erro numérico também é desconecido. Portanto, o erro numérico tem que ser estimado. Pelo número de citações e amplo uso que vem sendo feito dele, e segundo a experiência de um dos autores deste trabalo, o GCI (Grid Convergence Index de Roace (994 pode ser considerado o mais confiável dos estimadores atuais para erros de discretização. Segundo o GCI, o erro de discretização estimado ( é dado por onde GCI φ φ ( p, φ Fs ( p ( r p Min(, p > 0 (3 p φ φ3 log φ φ log( r (4 r (5 3 φ, φ e φ 3 soluções numéricas obtidas respectivamente com malas fina (, grossa ( e supergrossa ( 3, tamano dos elementos da mala, isto é, a distância entre dois nós consecutivos, r razão de refino de mala, Min valor mínimo entre os argumentos, F s fator de segurança (três, neste trabalo, ordem assintótica (Roace, 998 do erro prevista para cada variável de interesse, p ordem aparente (De Val Davis, 983; Marci e Silva, 00 do erro calculada para cada variável de interesse. A Eq. ( resulta dos trabalos de Roace (994 e Marci e Silva (00. O cálculo da ordem p do erro, segundo a Eq. (3, aumenta a confiabilidade do erro estimado pela Eq. (. Se p 0 ou indefinido, a Eq. ( não deve ser aplicada (Marci, 00. eoricamente (Marci, 00, espera-se que p E e p para 0. Isto é, espera-se que as ordens práticas (p E e p, que são calculadas com as soluções numéricas de cada variável de interesse, tendam à ordem teórica, prevista a priori, quando o tamano dos elementos da mala ( tende a zero. A ordem efetiva (p E do erro verdadeiro é definida por (Marci, 00 p E E( φ log E( φ log( r (6 Conforme a Eq. (6, a ordem efetiva (p E é função do erro verdadeiro da variável de interesse. Assim, para os problemas cuja solução analítica é conecida, ela pode ser usada para verificar a posteriori se, à medida que 0, p E. O estimador de Ricardson, baseado nas ordens assintótica e aparente (p, é dado por Ri Ri ( p ( p L φ φ, φ (7 p r L φ φ, φ (8 p r 3. Condução de calor bidimensional 3.. Modelo matemático é, O problema da condução de calor bidimensional em regime permanente é governado pela equação de Laplace, isto

3 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI x + y 0 (9 onde x e y são as direções coordenadas e é a temperatura. As condições de contorno são do tipo Diriclet e dadas por: (x,0 (0,y (,y 0 e (x, sen(πx. As variáveis de interesse, isto é, as variáveis para as quais é obtida a solução numérica e verificado seu erro de discretização e suas ordens são: (a emperatura ( em x y 3/4: variável dependente, primária, local, incógnita principal do problema que é obtida a partir da solução da Eq. (9, que é uma equação diferencial parcial (EDP, linear, de segunda ordem. Sua solução analítica é sen( πy ( x, y sen( πx (0 sen( π (b axa de transferência de calor (q: variável secundária, obtida a partir da seguinte definição q 0 kw y x, y dx ( onde k condutividade térmica do material (constante, W espessura do material (constante. Para a Eq. (0, a solução analítica da Eq. ( é q kw cot( π ( 3.. Modelo numérico O modelo numérico é caracterizado pelo uso do método de diferenças finitas, malas uniformes e o método de Gauss-Seidel (Kreyszig, 999 para resolver o sistema de equações. A linguagem de programação usada é C++ Builder 6.0, com precisão dupla para todas as variáveis reais. Os dois termos da Eq. (9 foram aproximados com o esquema de diferença central (CDS (anneill et al., 997. O processo iterativo foi levado até ser atingido o erro de máquina para minimizar o erro de iteração e utilizou-se estimativa inicial nula. A variável taxa de transferência de calor (q foi obtida com o esquema de diferença à montante de segunda ordem (DS- (anneill et al., 997. Considerando-se as aproximações numéricas acima, a ordem assintótica prevista para cada variável de interesse é Resultados Para obter as soluções numéricas deste trabalo foi utilizado um computador com processador Pentium 4,.8 GHz e 5 MB de memória RAM. Considerou-se k W/m.K e W m. As malas utilizadas são uniformes com, 4, 8,... até 04 elementos em cada direção. Para a mala mais refinada, o número de iterações para atingir o erro de máquina foi de,8x0 6, que resultou no tempo de CP de quase três dias (7 oras. A ab. apresenta a solução analítica e numérica para as duas variáveis de interesse, para a mala 04x04 elementos. Nesta mala, para as duas variáveis, o estimador GCI é confiável. Isto é, a solução analítica está contida no intervalo compreendido pela solução numérica (φ ± GCI. abela. Solução numérica com mala 04 x 04 do problema térmico. Variável Solução analítica (Φ Solução numérica (φ e seu GCI (3/4,3/4 [K] 0, , ± 5,6x0-7 q [W] 805,00 804,997 ±,x0 - Para as duas variáveis de interesse, a Fig. apresenta o módulo do erro verdadeiro (E, e a sua estimativa ( baseada nas Eqs. (, (7 e (8. Percebe-se que o estimador GCI é confiável em qualquer mala, isto é, /E. Além disso, E se reduz monotonicamente à medida que 0. A Fig. apresenta as ordens assintótica, efetiva (p E e aparente (p do erro. Nota-se que p E e p monotonicamente à medida que 0. Para não comprometer a análise dos resultados, foram eliminados alguns pontos que, sabidamente, já sofrem efeito do erro de arredondamento; no caso em análise, isso ocorre em geral para < 4x0 -. odos os resultados de p E e p, apresentados neste trabalo, foram obtidos com as Eqs. (4 e (6 com razão de refino (r igual a.

4 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI ,0 00 E-3 0 E ou E-4 E-5 E-6 E (p GCI E ou 0, 0,0 E (p GCI E-3 0,0 0, a emperatura (3/4,3/4. E-3 0,0 0, b axa de transferência de calor q. Figura. Condução de calor: módulo do erro (E e de sua estimativa (.,00,0,95,8,90,6 p,4,85 p E p p E, 0,0 0, E-3 0,0 0, a emperatura (3/4,3/4. b axa de transferência de calor q. Figura. Condução de calor: ordens assintótica, efetiva (p E e aparente (p do erro. 4. ermoelasticidade bidimensional 4.. Modelo matemático O problema termoelástico linear, bidimensional, em regime permanente é governado pelas seguintes equações (imosenko e Goodier, 970: u v u Cu u C u β x x y x y x u v v Cu v C u β y x y x y y (3 (4 + µ onde C µ, µ razão de Poisson, x e y direções coordenadas, temperatura, β coeficiente de expansão µ térmica, e u e v deslocamentos nas direções x e y. As condições de contorno são do tipo Diriclet e dadas por u e v 0 em todos os quatro contornos. A parte térmica do problema é governada pela Eq. (9. As variáveis de interesse são:

5 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI (a Deslocamento na direção x (u em x y 3/4: variável dependente, primária, local, incógnita principal do problema que é obtida a partir da solução das Eqs. (3 e (4, que é um sistema de equações diferenciais parciais, acopladas, de segunda ordem. (b Força na direção x no contorno direito (F X : variável secundária, obtida a partir da seguinte definição F X W ( σ X (5 0 x, y dy onde a tensão normal σ x é dada por E µ u v u σx + + Cµ β ( o + µ µ x y x (6 com E módulo de Young e O temperatura de referência, nula. 4.. Modelo numérico O modelo numérico é caracterizado pelo uso do método de diferenças finitas e malas uniformes. O método de Gauss-Seidel (Kreyszig, 999 é usado para resolver os três sistemas de equações originados da discretização das Eqs. (9, (3 e (4. A linguagem de programação usada é C++ Builder 6.0, com precisão dupla para todas as variáveis reais. Os termos das equações foram aproximados com o esquema de diferença central (CDS (anneill et al., 997. O processo iterativo foi levado até ser atingido o erro de máquina para minimizar o erro de iteração e utilizou-se estimativa inicial nula para as três variáveis primitivas:, u e v. A variável força na direção x no contorno direito (F X foi obtida com o esquema DS-, de segunda ordem (anneill et al., 997. Considerando-se as aproximações numéricas acima, a ordem assintótica prevista para cada variável de interesse é Resultados As soluções numéricas foram obtidas para β 6x0-6 K -, E 0 9 N/m, W m e µ 0,3. As malas utilizadas são uniformes com, 4, 8,... até 5 elementos em cada direção. Para a mala mais refinada, o número de iterações para atingir o erro de máquina foi de 6,4x0 5 que resultou no tempo de CP de quase 8 oras. A ab. apresenta a solução numérica das duas variáveis de interesse, para a mala 5x5 elementos. abela. Solução numérica com mala 5 x 5 do problema termoelástico. Variável Solução numérica (φ e seu GCI u(3/4,3/4 [m] 5,4863x0-7 ± 3,5x0 - F X [N] ± 50 Para as duas variáveis de interesse, a Fig. 3 apresenta a estimativa do erro de discretização ( baseada nas Eqs. (, (7 e (8. A Fig. 4 apresenta as ordens assintótica e aparente (p do erro. Nota-se que p monotonicamente à medida que E E E-0 (p GCI (p 00 (p GCI (p 0,0 0, 0 0,0 0, a Deslocamento u(3/4,3/4. b Força F X. Figura 3. ermoelasticidade: módulo da estimativa do erro (.

6 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI ,0,0,9,8,8,7,6 p p,6,4 0,0 0,0 a Deslocamento u(3/4,3/4. b Força F X. Figura 4. ermoelasticidade: ordens assintótica e aparente (p do erro. 5. Conclusão Para o problema de condução de calor, cuja solução analítica é conecida, verificou-se que: À medida que a mala é refinada, os valores das ordens efetiva (p E e aparente (p tendem monotonicamente ao valor ( teórico da ordem assintótica para as variáveis de interesse. A estimativa do erro ( GCI é confiável em todos os pontos em que se comparou com E, isto é, a solução analítica está contida no intervalo compreendido pela solução numérica (φ ± GCI. Para o problema termoelástico, cuja solução analítica não é conecida, verificou-se que à medida que a mala é refinada, os valores de p tendem monotonicamente ao valor ( teórico de para as variáveis de interesse. Apresentou-se a solução numérica obtida com a mala 5x5 e a estimativa ( do seu erro de discretização. 6. Agradecimentos O segundo autor é bolsista do CNPq (Conselo Nacional de Desenvolvimento Científico e ecnológico. 7. Referências Demirdzic, I. Martinovic, D., 993, Finite volume metod for termo-elasto-plastic stress analysis, Computer Metods im Applied Mecanics and Engineering, v. 09, p De Val Davis, G., 983, Natural convection of air in a square cavity: a benc mark numerical solution, International Journal for Numerical Metods in Fluids, v. 3, p Kreyszig, E., 999, Advanced Engineering Matematics, 8 t ed., New York: Wiley. Marci, C. H., Silva, A. F. C., 00, nidimensional Numerical Solution Error Estimation for Convergent Apparent Order, Numerical Heat ransfer, v. 4, p Marci, C. H., 00, Verificação de Soluções Numéricas nidimensionais em Dinâmica dos Fluidos, ese Doutorado em Engenaria Mecânica, niversidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis. Roace, P. J., 994, Perspective: a metod for uniform reporting of grid refinement studies, ASME Journal of Fluids Engineering, v. 6, p Roace, P. J., 998, Verification and validation in computational science and engineering, Hermosa. anneill, J. C., Anderson, D. A., Pletcer, R. H., 997, Computational fluid mecanics and eat transfer, aylor & Francis. imosenko, S. P., Goodier, J. N., 970, eory of elasticity, Japan: McGraw-Hill.

7 Proceedings of ENCI ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006, Paper CI NMERICAL SOLION OF HERMOELASIC PROBLEM WIH DISCREIZAION ERROR ESIMAION Orestes Hacke niversidade do Contestado nc Mafra, SC, Brazil Carlos Henrique Marci Department of Mecanical Engineering Federal niversity of Paraná Curitiba, PR, Brazil Abstract. e main objective of tis work is verify te error of numerical solution of a termoelastic problem in two-dimensions. It is used te finite difference metod wit numerical approaces of second order. e true error (E of dicretization and its estimative ( are evaluated. It is used te Ricardson and GCI estimators. It were used uniform grids wit up to 04 elements in eac direction. It was verified tat te GCI estimator supplies reliable uncertainty. e value of te effective and apparent orders approaces te asymptotic order monotonically as 0. Keywords: finite difference, GCI, Ricardson extrapolation, eat conduction, termoelasticity.