Data de entrega: 20 de junho de 2014

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1 Universidade Federal do Espírito Santo DI/PPGEM/PPGI 1 o Trabalho de Algoritmos Numéricos II Computação científica - 14/1 Método das Diferenças finitas aplicado a problemas bidimensionais Estudo de Precondicionadores aplicado a Métodos Iterativos Não Estacionários Data de entrega: 20 de junho de 2014 Descrição do Problema Dado o problema de valor no contorno: Encontrar u(x,y) em Ω = (a,b) (c,d) tal que: ( ) 2 u k x + 2 u +β 2 y 2 x (x,y) u x +β y(x,y) u +γ(x,y)u = f(x,y) em Ω (1) y u = g em Γ g k u n = c(h u) em Γ h considerando: k, c, β x (x,y), β y (x,y), γ(x,y), h(x,y) e f(x,y) conhecidas. o domínio Ω discretizado em n 1 divisões na horizontal e m 1 divisões na vertical, respectivamente, de dimensões h x e h y. Considere aproximação de segunda ordem para todos os termos da equação diferencial (1) para obter a equação linear de diferenças finitas para todo I = 1,...m n. O sistema resultante deve ser armazenado utilizando a estrutura otimizada CSR, tendo por opção a solução pelos métodos GMRES(k) e LCD(k) e considerando os precondicionadores definidos abaixo. Precondicionadores Dado um sistema linear Ax = b, considerar: M 1 Ax = M 1 b (2) onde: M = (L+D)(U +D) sendo A = L+D+U (3) M = LŨ sendo L e Ũ fatores da decomposição ILU(p) (4)

2 Para o precondicionador SOR (3) deve ser implementado uma função que encontre p tal que (L+D)(U +D)p = v. De forma similar, para o precondicionador ILU(p) deve ser implementado uma função que encontre p tal que LŨp = v, sendo que os fatores L e Ũ serão obtidos com o auxílio das funções definidas em funcoes.c e main.c, disponíveis na página do curso. Experimentos Numéricos Para cada uma das aplicações a seguir, apresente o conjunto de testes requerido. Validação 1 - Problema simples com solução trivial Determine a distribuição de calor em uma chapa de metal, com faces termicamente isoladas e com espessura desprezível, sendo que a temperatura é conhecida em todas as faces da chapa. Neste caso a Eq. (1) é dada por: ( ) 2 T x + 2 T = 0 em Ω (5) 2 y 2 para (x,y) no domínio Ω = (a,b) (c,d). Considerando condições de contorno: u(a,y) = T 0 u(x,c) = T 0 u(x,d) = T 0 u(b,y) = T 0 espera-se que os valores no interior da placa sejam iguais a T 0 em todos os pontos de discretização. Para testar seu programa varie o número de incógnitas n e m, e as dimensões da placa a, b, c e d. Este exemplo pode te ajudar a testar quase todos os detalhes da implementação. Não é necessário apresentá-lo no relatório, mas se a sua solução para esse teste não estiver correta todo o resto estará errado. Validação 2 - Problema com solução conhecida Determine a solução aproximada para u(x,y) em Ω = (0,1) (0,1) considerando na Eq. (1): k = 1 β x (x,y) = 1 β y (x,y) = 20y γ(x,y) = 1 f(x,y) tal que u(x,y) = 10xy(1 x)(1 y)e x4.5 é a solução exata (6) e sabendo que u(x,y) = 0 no contorno de Ω. Para este experimento considere a seguinte expressão para o erro cometido: erro = max u i,j u(x i,y j ) (7) i=1,...,n;j=1,...,m Para encontrar a função f(x,y) você deve derivar a função u(x,y) e montar o lado esquerdo da expressão (1). Para auxiliar, considere a possibilidade de utilizar um software simbólico para o cálculo de derivadas parciais.

3 Experimentos Específicos Apresente o gráfico da solução encontrada. Escolha um dos métodos GMRES ou LCD, para testar a acuidade da solução aproximada encontrada. Varie o número de incógnitas em cada direção(n m), por exemplo, e ; e ; e Observando o comportamento do erro dado pela expressão (7). Apresente um conjunto de experimentos comparando a solução pelos métodos GMRES e LCD considerando: (i)um número de vetores para o restart adequado para cada caso; (ii) métodos GMRES(k) e LCD(k) com e sem precondicionadores, definidos por (3) e (4). Enriqueça sua análise com gráficos e tabelas que auxiliem a entender o comportamento dos métodos para esse problema específico. Defina qual foi a melhor combinação de estratégias numéricas adotadas. Aplicação Física 1 - Resfriador bidimensional Considere o problema de resfriar uma massa aquecida como mostra a Fig. 1. Exemplos podem incluir o resfriamento de chips de computadores ou amplificadores elétricos. O modelo matemático que descreve a transferência de calor nas direções x e y é dado pela Eq. (8). Detalhes sobre a definição do modelo matemático podem ser encontrados em 1, disponível na página do curso. Figura 1: Geometria do Resfriador 2d. ( ) 2 u k x + 2 u + 2c 2 y 2 T u = 2c T u ref em Ω = (0,L) (0,W) (8) onde k é a condutividade térmica (considerada aqui constante), c é o coeficiente de transferência de calor, T é a altura do resfriador, u ref é a temperatura de referência. Encontre a temperatura no interior do resfriador considerando as seguintes condições de contorno: u(x,0) = 70 (9) u(x,w) = 70 u(0,y) = 200 k u n (L,y) = c(u ref u(l,y)) 1 R. E. White,Computational Modeling with Methods and Analysis, Department of Mathematics, North Carolina State University, 2003

4 e os seguintes parâmetros físicos admensionalisados: T = 2, L = W = 1, k = 1, u ref = 70. Para o coeficiente de tranferência de calor considere os possíveis valores: c = 1, c = 10 e c = 100. Experimentos Específicos Apresente o gráfico da solução encontrada. Defina um número de incógnitas em cada direção (n m) de forma que você obtenha três tamanhos de problemas: pequeno, médio e grande. Apresente um conjunto de experimentos comparando a solução pelos métodos GMRES e LCD considerando: (i)um número de vetores para o restart adequado para cada caso; (ii) métodos GMRES(k) e LCD(k) com e sem precondicionadores, definidos por (3) e (4). Enriqueça sua análise com gráficos e tabelas que auxiliem a entender o comportamento dos métodos para esse problema específico. Defina qual foi a melhor combinação de estratégias numéricas adotadas. Aplicação Física 2 - Escoamento em Águas Subterrâneas O escoamento de um fluido em um meio poroso sob certas condições pode ser modelado por equações diferenciais similares aquelas que regem a transferência de calor em estado estacionário(equação de Poisson). O escoamento em meio poroso é regido por uma lei empírica denominada Lei de Darcy que é similar a Lei de Transferência de calor de Furrier levando os escoamentos a possuirem equações equivalentes. A compressibilidade de um fluido indica a quantidade de massa que passa por um volume infinitesimal em uma unidade de tempo. Matematicamente a compressibilidade é regida pelo divergente da velocidade:.v = v x x + v y y (10) onde v = (v x,v y ) é a velocidade do escoamento em um domínio bidimensional. Se o fluido for incompressível.v = 0. Por outro lado, a Lei de Darcy estabelece que: v = k p (11) onde p e k são, respectivamente, pressão e condutividade hidráulicas. Em geral k depende de p, porém se o meio poroso for saturado, a condutividade pode ser considerada constante. Acoplando a Lei de Darcy com a Eq. (10) tem-se: v x x + v y y = k ( 2 p x + 2 p 2 y 2 ) = f (12) Considere um meio poroso superficial saturado retangular no plano xy com pelo menos um poço. Nas faces superior e inferior do retângulo assuma que não exista fluxo na direção do contorno. Porém, considere um amplo abastecimento das fronteiras esquerda e direita de tal forma que a pressão seja conhecida. Detalhes sobre a

5 definição do modelo matemático podem ser encontrados em 2, disponível na página do curso. O modelo de um escoamento em águas subterrâneas considerando as condições descritas acima pode ser modelado por: k ( 2 p x + 2 p 2 y 2 ) = 0 quando (x,y) não for poço R w quando (x,y) for poço em Ω. (13) A Fig. 2 apresenta um esquema com 4 poços. As condições de contorno podem ser sumarizadas em: k p = 0 n para y = c e y = d (14) p = p ref para x = a e x = b Encontre a pressão p(x,y) e a velocidade v(x,y) = (v x (x,y),v y (x,y)) (Eq. (11)), Figura 2: Esquema do Escoamento em Águas Subterrâneas - Exemplo com 4 poços. considerando p aproximado por diferenças finitas de primeira ordem, sendo: Ω = (0,5000) (0,1000), dois poços localidados em u 1 = (x 1,y 1 ) w = (1500,600) e u 2 = (x 2,y 2 ) w = (3200,250), sendo R w = 250, k = 1 e P ref = 100. Escolha os números de incógnitas (n e m) tal que os poços u 1 e u 2 sejam pontos incógnitas. Faça a gráfico da pressão e da velocidade. Experimentos Específicos Apresente o gráfico da pressão e o campo de velcidade. Defina um número de incógnitas em cada direção (n m) de forma que você obtenha dois tamanhos de problemas: pequeno e grande. Apresente um conjunto de experimentos comparando a solução pelos métodos GMRES e LCD considerando: (i)um número de vetores para o restart adequado para cada caso; (ii) métodos GMRES(k) e LCD(k) com e sem precondicionadores, definidos por (3) e (4). Enriqueça sua análise com gráficos e tabelas que auxiliem a entender o comportamento dos métodos para esse problema específico. Defina qual foi a melhor combinação de estratégias numéricas adotadas. 2 R. E. White,Computational Modeling with Methods and Analysis, Department of Mathematics, North Carolina State University, 2003

6 Estrutura do relatório O relatório deve ser escrito observando as normas do padrão ABNT. A divisão do relatório deve ser de acordo com as seguintes seções: Introdução: apresentar a estrutura do trabalho e os objetivos Método das Diferenças finitas: um pequeno resumo considerando todas as técnicas e ordens de aproximação consideradas. Implementação: onde serão apresentados a estutura do código e partes significativas do código comentado. Experimentos Numéricos: onde serão apresentados os exemplos testes utilizados, tanto as entradas para os programas bem como tabelas e gráficos das respectivas saídas geradas pelas soluções. Conclusão: onde serão discutidos os resultados obtidos.