Universidade Federal do Espírito Santo DI/PPGEM/PPGI 1 o Trabalho de Algoritmos Numéricos II - Computação Científica 17/1

Transcrição

1 Universidade Federal do Espírito Santo DI/PPGEM/PPGI 1 o Trabalho de Algoritmos Numéricos II - Computação Científica 17/1 Métodos Iterativos Não Estacionários para Sistemas Esparsos de Grande Porte 1 Introdução Frequentemente processos de solução de problemas das mais diversas áreas do conhecimento recaem na necessidade de resolver sistemas lineares. Na maioria das vezes esses sistemas são esparsos e de grande porte. Nesse contexto, o uso de métodos diretos torna-se desaconselhável, por limitações de tempo e memória. Em contrapartida, as abordagens iterativas tornam-se mais atraentes. Seja Ax = b um sistema linear, onde A é uma matriz esparsa de grande porte. Quando a matriz A dos coeficientes é esparsa, o sistema linear correspondente pode ser resolvido de forma mais eficiente se os elementos nulos não forem armazenados. Uma série de esquemas de armazenamento de matrizes esparsas foram idealizados para alocar memória de forma contígua com o objetivo de armazenar os elementos não nulos da matriz e, talvez, um número limitado de zeros. Isto, naturalmente, requer uma maneira de saber onde os elementos se encaixam no interior da matriz original. Dentre esses esquemas, podem ser citados o Compressed Sparse Row (CSR), Compressed Column Storage (CCS), armazenamento Diagonal e o armazenamento Skyline. A técnica de compactação CSR será utilizada no presente trabalho. Ela substitui a matriz A, por três vetores auxiliares AA, JA e IA. O vetor AA armazena todas as contribuições não nulas da matriz A, o vetor JA armazena a coluna correspondente que cada coeficiente não nulo ocuparia em A e o vetor IA mapea em AA o primeiro elemento não nulo de cada linha de A. A Fig. 1 apresenta um exemplo de aplicação da técnica de compactação CSR em uma matriz A de ordem 5 5, esparsa, composta por apenas 10 coeficientes não nulos. Figure 1: Técnica de Compactação CSR 2 Objetivo Realizar um estudo comparativo de métodos iterativos estacionários e não estacionários para matrizes esparsas de grande porte, observando o comportamento dos métodos a partir de um conjunto de parâmetros pré-definidos. Os métodos a serem implementados são: Método dos Gradientes Conjugados (CG) 1

2 Método dos Resíduos Mínimos Generalizados (GMRES); Método das Direções conjugadas à Esquerda (LCD); Método da Sobrerelaxação Sucessiva (SOR) Para cada método considere os respectivos parâmetros de entrada: Matriz dos coeficientes A, armazenada na forma compacta CSR, vetor dos termos indepedentes b, tolerância ɛ, número de vetores para a reinicialização k, número máximo de iterações ou ciclos lmax, parãmetro de relaxação ω. Para a leitura das matrizes no repositório Repositório da Universidade da Flórida 1 utilize a função MATRIX readcsr (função definida dentro do arquivo matrix.c) para ler os arquivos.mtx e carregar as informações nos vetores AA, JA e IA correspondentes ao armazenamento CSR de cada matriz definida na Tab. 1. A Fig. 2 apresenta todos os campos que serão utilizados no formato CSR. Note que além dos vetores convencionais AA, JA e IA, a estrutura nomeada tipo MAT, ainda armazena separadamente os elementos da diagonal no vetor de double D e inteiros m, n, e nz. Figure 2: Estrutura de dados MAT: contendo os vetores do CSR Observe que os coeficientes não nulos estão listados coluna a coluna e não existe informações sobre os coeficientes do vetor de termos independentes b. Nesse trabalho será considerada a matriz transposta (A t ) como a matriz dos coeficientes do sistema A t x = b (1) Considerando a solução do sistema conhecida, ou seja, tomando x = (1, 1,..., 1) t, o vetor b será obtido da seguinte forma: b = A t x = b i = n a ij. (2) i=1 Sendo A t a transposta da matriz oriunda do arquivo.mtx. O material de apoio disponível na página Trab algoritmos-c.zip contém um conjunto de funções e definições que serão utilizados em trabalhos posteriores, mas é aconselhável utilizar as estruturas defindas para não haver retrabalho posteriormente

3 3 Experimentos Numéricos Para alcançar o objetivo do presente trabalho deve ser feito um relatório detalhado sobre alguns experimentos numéricos. Siga exatamente os passos descritos a seguir para realizar os experimentos. 3.1 Matrizes para Experimentos Utilize as matrizes esparsas do Repositório da Universidade da Flórida 2 Tab. 1. O formato indicado do arquivo para todas as matrizes é <nome da matriz>.mtx. Matriz Área de Aplicação n nnz rail 5177 Transferência de Calor aft01 Problema de Acústica FEM 3D thermal1 Problema Térmico Dubcova2 Problema 2D/3D H20 Problema de química quântica parabolic fem Problema de dinâmica de fluidos atmosmodj Modelos atmosféricos Table 1: Matrizes a serem utilizadas nos experimentos numéricos Importante: As matrizes listadas na Tab. 1 podem ser simétricas ou não. Para cada uma, leia as informações no repositório e verifique a condição de simetria. Para algumas matrizes simétricas são armazenadas somente a parte superior ou somente a parte inferior. 3.2 Resolução dos Sistemas Lineares Uma vez realizadas as etapas da leitura de dados, o próximo passo é obter a solução do sistema linear. Nesse passo, a função que solucionará o sistema receberá como parâmetros de entrada a matriz dos coeficientes no formato CSR, o vetor de termos independentes, a tolerância, o número máximo de vetores na base de Krylov, número máximo de iterações e o e por fim o parâmetro de relaxação, no caso do SOR. Os parâmetros de saída serão a solução do sistema linear e o número total de iterações realizadas pelo método escolhido. Portanto você deve implementar as funções: SOR, GMRES, LCD e CG, além das funções que realizam as principais operações: produto-matriz vetor Av, produto escalar y t x, e y = y + αx. 3.3 Experimentos Para cada uma das matrizes listadas na Tab. 1, resolva o sistema linear associado utilizando os métodos SOR, CG (matriz simétrica, positiva definida) ou GMRES e LCD. Varie a quantidade de vetores na base de Krylov com valores 20, 30, 50 e 100 (parâmetro k). EScolha para comparação um valor do parâmetro de relaxação ω para o método SOR. Anote em uma tabela o número de iterações e o tempo de processamento, em segundos, de cada conjunto de parâmetros. A Tab. 2 e Tab. 3 ilustram como apresentar os dados das matrizes rail 5177 e H2O, respectivamente

4 Método Número de Iterações Tempo (seg.) SOR(ω) GMRES(20) GMRES(30) GMRES(50) GMRES(100) LCD(20) LCD(30) LCD(50) LCD(100) Table 2: Resultados para Matriz rail 5177 Número máximo de iterações:, Tolerância adotada: Método Número de Iterações Tempo (seg.) SOR(ω) CG Table 3: Resultados para Matriz H20 Número máximo de iterações:, Tolerância adotada: Para uma melhor compreensão do estudo da convergência, escolha para cada uma das matrizes apresentadas na Tab. 1 o valor de k e ω que resultaram em um menor tempo de processamento utilizando os métodos SOR, CG ou GMRES e LCD. Para cada configuração escolhida, faça um gráfico do número de iterações em função da logaritmo do resíduo da solução (iter log( r )). O gráfico deverá conter uma comparação entre os métodos utilizados para cada uma das matrizes contendo o parâmetro que proporcionou a melhor solução em termos de tempo de CPU. 4 Estrutura do relatório O relatório deve ser escrito observando as normas do padrão ABNT e salvo em pdf. A divisão do relatório deve ser de acordo com as seguintes seções: Introdução: apresentar a estrutura do trabalho e os objetivos Referencial Teórico um pequeno resumo considerando todos os métodos e técnicas abordados. Experimentos Numéricos: onde serão apresentadas as tabelas, os gráficos bem como seus respectivos comentários. É imperativo descrever nessa seção qual foi o software e hardware utilizado. Conclusão: onde serão discutidos os resultados obtidos. 5 Considerações gerais sobre o trabalho O relatório deve ser enviado por para luciac@inf.ufes.br até o dia 05/06/2017. O assunto do deve ser AN2171:TRAB1:<nome> para alunos de Algorítmos Numéricos II ou CC20171:TRAB1:<nome>, contendo em anexo, um 4

5 arquivo do tipo TRAB1<nome>.zip. Neste caso <nome> deve conter o nome e último sobrenome (por exemplo, AN2171:TRAB1:Lucia Catabriga) Qualquer código que você tenha implementado deve ser anexado ao arquivo.zip descrito no item anterior. Caso o arquivo seja enviado múltiplas vezes, apenas a última versão enviada será considerada. 5