Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática 1 o Trabalho de Algoritmos Numéricos I - 14/2 Sistemas Lineares

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática 1 o Trabalho de Algoritmos Numéricos I - 14/2 Sistemas Lineares (Cursos: Engenharia de Computação e Ciência da Computação) Data de entrega: 20/10/14 Objetivo Implementar algoritmos de solução de sistemas esparsos utilizando métodos diretos e iterativos. Descrição Frequentemente os processos de solução de problemas das mais diversas áreas do conhecimento recaem na necessidade de resolver sistemas lineares. Na maioria das vezes esses sistemas são esparsos e de grande porte. O armazenamento otimizado é crucial na eficiência do método numérico considerado, tanto em ecomomia de memória, quanto em número de operações de ponto flutuante, que impactam diretamente no tempo de processamento. ConsiderandoumamatrizAdeordemn ncomapenasnnz <<< n 2 coeficientes não nulos, neste trabalho vamos considerar dois tipos de armazenamento: o armazenamento denso, onde para uma matriz A de ordem n é necessário armazenar n 2 coeficientes. o armazenamento CSR (Compress Sparse Row) que armazena somente os coeficientes não nulos de A em um vetor ordenado linha por linha. Além desse vetor, é necessário armazenar informações adicionais das colunas e localização dos coeficientes nas linhas (maiores detalhes ver descrição detalhada na página do curso), totalizando o número total de coeficientes igual a 2 nnz +1. Este trabalho tem por objetivo implementar e analizar o comportamento dos algoritmos Decomposição LU e SOR na solução de sistemas lineares considerando os armazenamentos denso e CSR para matrizes esparsas. Implementação com armazenamento denso Dado um sistema Ax = b e a matriz A armazenada na forma densa: 1. Implemente na linguagem C o algoritmo do Método Decomposição LU, tendo como parâmetros de entrada:

2 matriz esparsa A, vetor dos termos independentes b. 2. Implemente na linguagem C o algoritmo do Método Iterativo SOR, tendo como parâmetros de entrada: matriz esparsa A, vetor dos termos independentes b, tolerância ǫ, número máximo de iterações N max, fator de relaxção ω. Observe que se ω = 1, tem-se o método Seidel. Implementação com armazenamento CSR Dado um sistema Ax = b e a matriz A armazenada na forma CSR: 1. Implemente na linguagem C o algoritmo do Método Iterativo SOR, tendo como parâmetros de entrada: matriz esparsa A, vetor dos termos independentes b, tolerância ǫ, Validação número máximo de iterações N max, fator de relaxção ω. Observe que se ω = 1, tem-se o método Seidel. Para validação dos algoritmos implementados deve ser usado os repositórios de matrizes Esparsas Market Matrix 1 e CISE 2 que disponibilizam matrizes esparsas oriundas das mais variadas áreas para apoio a estudos comparativos de algoritmos numéricos. Exemplos de matrizes depositadas nos repositórios podem ser observados na Fig. 1. Todas as informações das matrizes podem ser obtidas navegando nas páginas de cada matriz. O formato indicado para todas as matrizes é <nome>.mtx. Por exemplo, a matriz possui um arquivo tipo mtx como mostrado na Fig. 2. Observe que os coeficientes não nulos estão listados coluna a coluna. Lembramos que o formato de armazenamento CSR, armazenam os coeficientes não nulos linha a linha. Para facilitar, neste trabalho será considerada a matriz transposta (A t ) como matriz dos coeficientes do sistema A t x = b (1) onde:

3 (a) bcsstk03, n = 112, nnz = 376 (b) hor 131, n = 434, nnz = 4710 (c) gr 30 30, n = 900, nnz = 4322 (d) orsirr 1, n = 1030, nnz = 6858 (e) sherman5, n = 3312, nnz = (f) FEM 3D THERMAL1, n = 17880, nnz = (g) wathen100, n = 30401, nnz = (h) cage13, n = , nnz= Figura 1: Exemplos de Matrizes dos Repositórios Market Matrix e CISE

4 A é a matriz oriunda do arquivo tipo mtx, x é o vetor solução. Seu valor exato é x = ( ) t, b = A t x b i = n i=1 a ji. Implemente duas funções: uma que leia um arquivo tipo <nome>.mtx, armazene a matriz A t no formato denso e gere o vetor dos termos independentes b, outraqueleiaumarquivotipo<nome>.mtx, armazeneamatriza t noformato CSR e gere o vetor dos termos independentes b. Figura 2: Exemplo de arquivo <nome>.mtx das matrizes esparsas dos repositórios Experimentos Numéricos A seguir estão listados os experimentos numéricos obrigatórios. É bom lembrar que outros experimentos podem ser incorporados ao relatório com o objetivo de enriquecer seu trabalho. Observações: Os parâmtros: ǫ, Nmax e ω devem ser escolhidos de acordo com as características do seu teste. Leia os dados de cada matriz nos repositórios com relação as características de convergência.

5 Se existirem experimentos não convergentes, explicar no relatório as possíveis causas. Para o conjunto das 8 matrizes esparsas da Fig. 1 execute os experimentos a seguir: 1. faça um estudo empírico do ωótimo (0,2) no método SOR considerando ǫ = (Dicas: (i) considere Nmax um valor muito elevado, (ii) monte tabela(s) para melhor visualização de seus experimentos, e (iii) este teste pode ser realizado usando a forma de armanzenamento densa ou CSR); 2. encontre a solução do sistema (1) pelos métodos Decomposição LU (armazenamento denso) e SOR(ωótimo ) (armazenamento denso e CSR). (Dica: (i) para avaliar a convergência (e corretude do seu código) é conveniente calcular uma medida para a solução, por exemplo, norma do máximo, (ii) calcule o tempo de processamento para os dois métodos, (iii) monte tabelas para melhor visualizar os resultados fazendo comparações de tempo de processamento e norma do máximo da solução, e (iv) Para cada uma das matrizes indique qual é o melhor método de solução.); Relatório O relatório deverá ser escrito observando as normas do padrão ABNT. A divisão do relatório deve ser de acordo com as seguintes sessões: Introdução: onde deverá ser apresentado a estrutura do trabalho e os objetivos. Métodos Diretos e Métodos Iterativos: onde deve ser apresentado as principais características das duas estratégias de solução, apresentando vantagens e desvantagens. Armazenamentos Otimizados: onde será apresentado a forma de armazenamento CSR. Implementação: onde serão apresentados a estutura do código e partes significativas do código comentado. Experimentos Numéricos: onde serão apresentados os exemplos testes utilizados pelo grupo, tanto as entradas para os programas bem como tabelas e gráficos, quando for necessário. Conclusão: onde serão discutidos os resultados obtidos. Readme Um arquivo denominado Readme deverá ser anexado ao conjunto de arquivos dando instruções de como compilar e executar o código, apresentando com detalhes os arquivos de entrada e saída. Vale ressaltar que o código será testado em linux!

6 Instruções para entrega Serãopermitidosgruposdenomáxiom2alunos. Éimportantequeosdoisalunos conhecam cada detalhe do código que será apresentado em data e horário a ser marcado após a data de entraga do trabalho. Os códigos fonte e o Relatório devem ser enviados por para luciac@inf.ufes.br até às 23:59:59 horas do dia 20/10/14. O assunto do deve ser AN1-TRAB1-142-<nome1>-<nome2> e conter, em anexo, um arquivo do tipo TRAB1-142-nome1-nome2.zip. Neste caso <nome1><nome2> deve conter os nomes e últimos sobrenomes dos intregrantes do grupo (por exemplo, AN1-TRAB1-142-LuciaCatabriga-MariaSilva). (Obs: s com padrões diferentes serão descartados).