ÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS

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1 ÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 27

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3 Seja o sistema linear Ax = b, onde: A: Matriz dos coeficientes, n n; x: vetor das variáveis, n 1; b: vetor dos termos independentes, n 1. Convertemos este sistema em um sistema do tipo x = Cx + g, onde C é matriz n n e g vetor n 1. ϕ(x) = Cx + g função de iteração na forma matricial. Esquema iterativo: x (0) (vetor aproximação inicial) x (1) = Cx (0) + g = ϕ(x (0) ), (primeira aproximação) x (2) = Cx (1) + g = ϕ(x (1) ), (segunda aproximação). x (k+1) = Cx (k) + g = ϕ ( x (k)), k = 0, 1,... 3 / 27

4 Observação Se a sequência de aproximações x (0), x (1),... x (k),... é tal que lim k x (k) = α, então α = Cα + g, ou seja, α é a solução do sistema linear Ax = b. 4 / 27

5 Testes de Parada 5 / 27

6 Método Iterativo de A forma como o método de transforma o sistema linear Ax = b em x = Cx + g é o seguinte: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Supondo que a ii 0, i = 1,..., n isolamos o vetor x mediante a separação pela diagonal, assim: x 1 = 1 (b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n ) a 11 x 2 = 1 (b 2 a 21 x 1 a 23 x 3 a 2n x n ) a x n = 1 ( ) bn a n1 x 1 a n2 x 2 a n,n 1 x n,n 1 a nn 6 / 27

7 Método Iterativo de Desta forma, temos x = Cx + g, onde e C = 0 a12 /a 11 a13 /a 11 a1n /a 11 a21 /a 22 0 a23 /a 22 a2n /a an1 /a nn an2 /a nn an3 /a nn 0 b 1/a11 g = b 2/a22. b n/ann 7 / 27

8 Método Iterativo de O método de consiste em, dado x (0), aproximação inicial, obter x (0),..., x (k) através da relação recursiva x (k+1) = Cx (k) + g x (k+1) 1 = 1 ( ) b1 a 12 x (k) a 2 a 13 x (k) 3 a 1n x n (k) 11 x (k+1) 2 = 1 ( ) b2 a 21 x (k) a 1 a 23 x (k) 3 a 2n x n (k) x n (k+1) = 1 ( ) bn a n1 x (k) a 1 a n2 x (k) 2 a n,n 1 x (k) n,n 1 nn 8 / 27

9 Método Iterativo de Exemplo 9 / 27

10 10 / 27

11 11 / 27

12 12 / 27

13 13 / 27

14 Método Iterativo de Teorema - Critério das linhas Seja o sistema linear Ax = b e seja Se α = max 1 k n α k < 1 então o método de gera uma sequência x (k) convergente para a solução do sistema dado, independente da escolha da aproximação inicial x (0). Obs: este teorema é uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de. 14 / 27

15 Método Iterativo de Análise do Exemplo com o teorema do Critério das Linhas 15 / 27

16 Método Iterativo de Da mesma forma que no método de, no método de o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em, sendo x (0) uma aproximação inicial, calcular x (1), x (2),..., x (k),... por: x (k+1) 1 = 1 ( ) b1 a 12 x (k) a 2 a 13 x (k) 3 a 1n x n (k) 11 x (k+1) 2 = 1 ( ) b2 a 21 x (k) a 1 a 23 x (k) 3 a 2n x n (k) x n (k+1) = 1 ( ) bn a n1 x (k) a 1 a n2 x (k) 2 a n,n 1 x (k) n,n 1 nn 16 / 27

17 Método Iterativo de O esquema iterativo de pode ser escrito na forma matricial. Inicialmente escrevemos a matriz A como A = L + D + R, onde: L: matriz triangular inferior com diagonal nula; D: matriz diagonal com d ii 0, i = 1,..., n; R: matriz triangular superior com diagonal nula. Podemos escrever como L = a a 31 a a n1 a n2 a nn, D = a 11 a a 12 a 1n 0 0 a 2n e R = a a nn nn 17 / 27

18 Método Iterativo de 18 / 27

19 Método Iterativo de e L 1 = a 21/a a 31/a33 a 32/a a n1/ann a n2/ann a n3/ann 0 0 a 12/a11 a 13/a11 a 1n/a a 23/a22 a 2n/a22 R 1 = / 27

20 Método Iterativo de 20 / 27

21 Exemplo - 21 / 27

22 Exemplo - 22 / 27

23 Exemplo - 23 / 27

24 Exemplo - 24 / 27

25 Exemplo - 25 / 27

26 Exemplo - 26 / 27

27 Slides e outros materiais serão postados no seguinte site: Obs: em junho colocarei o material no meu site. Mais informações: felipekiesow@gmail.com Thanks! 27 / 27