Precondicionadores baseados na aproximação da inversa da matriz de coeficientes

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1 Precondicionadores baseados na aproximação da inversa da matriz de coeficientes João Paulo K. Zanardi, Italo C. N. Lima, Programa de Pós Graduação em Eneganharia Mecânica, FEN, UERJ , Rio de Janeiro, RJ Luiz Mariano Paes de Carvalho Filho, Departamento de Matemática Aplicada, IME, UERJ , Rio de Janeiro, RJ Michael Ferreira Souza, Departamento de Matemática Aplicada, IME, UFC , Fortleza, CE Resumo: Este trabalho apresenta técnicas de precondicionamento para sistemas lineares esparsos de grande porte, baseadas numa aproximação esparsa da inversa da matrix de coeficientes. Serão apresentados duas classes de métodos, os quais serão mostrados resultados de testes. Aspectos como convergência, implementação e esparsidade do precondicionador também serão discutidos. Palavras-chave: Sistemas lineares, Matrizes esparsas, Precondicionadores,Técnicas de precondicionamento, Inversa aproximada. Exposição do problema Um dos mais importantes problemas em computação científica é o desenvolvimento de métodos de precondicionamento paralelizáveis e efecientes para sistemas lineares grandes e esparsos Ax = b. A maioria dos precondicionadores mais populares, inclusive os baseados na fatoração LU incompleta de A, são bastantes robustos e e resultam em boa convergência, mas são altamente sequenciais e isso dificulta a implementação em paralelo. Devido a esta grande necessidade, diversos métodos para cálculo de precondicionadores paralelizáveis surgiram baseados na aproximação da inversa de A. Os métodos mais conhecidos dessa classe de precondicionadores são os baseados na minimização da norma de Frobenius e os baseados na aproximação do inverso dos fatores LU de A sem calcular os fatores. No primeiro o precondicionador M é computado como a solução do seguinte problema de minimização (1) min M S I AM F, onde S é o conjunto de matrizes com um determinado padrão de esparsidade e. F denota a norma de Frobenius. Das propriedades da norma de Frobenius temos que (1) pode ser visto 243

2 como (2) min mj n e j Am j. j=1 Em (2) e j e m j representam a j-ésima coluna da identidade e da matriz M, respectivamente. Então computar M se reduz a resolver n problemas de mínimos quadrados independentes, note que este tipo de método é altamente paralelizável. Já o segundo método computa as matrizes W e Z tais que W T AZ = D, onde D é uma matriz diagonal não singular. Como queremos obter um precondicionador esparso, utilizamos um padrão de esparsidade (um padrão de esparsidade pode ser interpretado como um conjunto de indíces G, onde se (i, j) G a entrada correspondente a esses índices no precondicionador é não nula) para a construção do precondicionador ou retiramos do precondicionador as entradas pequenas em módulo (numerical dropping). Obter um bom padrão de esparsidade para uma matriz genérica A é geralmente bem difícil, por isso um modelo adaptativo foi proposto em [5]. Neste modelo inicia-se o cálculo do precondicionador com um padrão de esparsidade bem simples, por exemplo diagonal, e a cada iteração são adicionadas novos indíces. Esse tipo de precondicionadores tem ganhado importância nos últimos anos tornando maior a necessidade de serem estudos mais profundamente. Desenvolvimento A proposta foi o estudo dos métodos de inversa aproximada já conhecidos e implementação em MATLAB e incorporação dos códigos desenvolvidos a plataforma JinSol, uma interface que está sendo desenvolvido para auxílio na resolução de vários sistemas lineares. Foram estudados e implementados os algoritmos SPAI proposto em [5], MR proposto em [4], ambos baseados na minimização da norma de Frobenius e o método de aproximação da inversa fatorada AINV proposto em [2]. Os códigos fizeram proveito da esparsidade de A e foram implementadas variações dos códigos, como padrão de esparsidade adaptativo e estático para o SPAI e redimensionamento da matriz para o MR e AINV, isto é, a matriz e o lado direito foram divididos pela maior entrada da matriz em módulo. Vários testes foram feitos e comparados com as técnicas mais conhecidas de precondionamento. Experimentos Numéricos Foram efetuados testes com o SPAI usando padrões de esparsidade estático e adaptativo, e com MR e AINV baseados em uma tolerância para preservar a esparsidade. Foram efetuados também testes sem precondicionamento e com precondicionadores baseados na fatoração LU incompleta. As matrizes usadas nos testes são oriundas da simulação de reservatório de óleo e foram retiradas da coleção Harwell-Boeing no Matrix Market ( um repositório de matrizes para estudos comparativos de algoritmos de algebra linear numérica. Na Tabela 1 são dados, para cada matriz, a ordem n da matriz e o número nnz de entradas não nulas da mesma. Os testes foram realizados usando o solver GMRES [6] com no máximo 1000 iterações, o lado direito foi tal que o vetor cujo todas as entradas são iguais a 1 fosse a solução exata do sistema e o critério de parada foi que a norma do resíduo relativo fosse menor que A Tabela 2 mostra o resultado para o GMRES sem precondicionamento, nela * significa que o método ultrapassou o número máximo de iterações. 244

3 Matriz n nnz ORSIRR ORSIRR ORSREG SHERMAN SHERMAN SHERMAN SAYLR PORES Tabela 1: Problemas Testados Matriz Iterações ORSIRR 1 * ORSIRR 2 * ORSREG SHERMAN1 * SHERMAN3 * SHERMAN4 * SAYLR 3 * PORES 1 27 Tabela 2: Resultados sem precondicionamento A Tabela 2 mostra os resultados para resolução do sistema usando os precondicionadores baseados na fatoração LU incompleta, sem preenchimento e baseada em tolerância denominadas por LU(0) e LU-D, respectivamente. O valor ratio é razão entre o número de não zeros do precondicionador e da matriz de coeficientes, respectivamente, its é o número de iterações usadas para resolução do sistema. LUINC (0) LUINC-D Matriz ratio/its ratio/its ORSIRR / /44 ORSIRR / /43 ORSREG / /45 SHERMAN1 1.27/* 1.58/12 SHERMAN3 1.25/ /100 SHERMAN4 1.29/ /15 SAYLR /* 1.58/* PORES /* 0.78/* Tabela 3: Resultados preliminares Na Tabela 4 são apresentados resultados usando os precondicionadores baseados na aproximação da inversa, nela SPAI-A e SPAI-S referem-se ao SPAI com padrão de esparsidade adaptativo e estático, respectivamente. O padrão de esparsidade usado no SPAI-S foi o mesmo da matriz A e isso justifica o ratio sempre igual a 1. Os sistemas testados e os critériso de parada adotados foram os mesmos usados anteriormente. Conclusão Os primeiros resultados da inversa aproximada como precondicionador mostram que estes 245

4 Precondicionador SPAI-S SPAI-A MR AINV Matriz ratio/ its ratio/ its ratio/ its ratio/ its ORSIRR 1 1/ / / /47 ORSIRR 2 1/ / / /46 ORSREG 1 1/ / / /45 SHERMAN1 1/ / / /134 SHERMAN3 1/ / / /539 SHERMAN4 1/ / / /45 SAYLR 3 1/* 1.17/ /* 1.09/490 PORES 1 1/ / /7 2.69/18 Tabela 4: Resultados obtidos precondicionadores ainda são menos eficientes que os precondicionadores baseados na fatoração LU incompleta, porém o estudo deles se faz justificado devido ao alto grau de paralelismo nos mesmos, principalmente nos métodos baseados na minimização da norma de Frobenius (SPAI e MR). Devemos ressaltar que a inversa aproximada conseguiu obter convergência nos testes realizados com as matrizes SAYLR 3 e PORES 1, matrizes as quais os LU(0) e LU-D não foram capazes de resolver o sistema com os critérios utilizados, o que pode sinalizar uma certa robustez desde tipo de método e que sempre é possível conseguir uma aproximação da inversa bem esparsa como mostra a Figura (1), mesmo quando a inversa for densa. Figura 1: Matriz ORSIRR 2 à esquerda e sua inversa aproximada pelo SPAI-A à direita Futuras Implementações O objetivo a longo prazo é estudar a fundo os métodos apresentados e suas variações, além de outros métodos existentes. Pretende-se implementar e testar as variações e os novos métodos, fazer uma análise da robustez dos métodos e a complexidade dos algoritmos. Também pretendese implementar os códigos em outras linguagens de programação. 246

5 Além disso, tem-se como ideia comparar os resultados com vários tipos de preconcionadores já conhecido não somente com os métodos baseados na fatoração LU incompleta. Outro ponto que deve ser estudado é achar um bom padrão de esparsidade para uma matriz A, pois com isso os métodos estáticos seriam bem mais eficazes. E novas técnicas de numerical dropping nos métodos que fazem uso do mesmo. Agradecimentos Agradeço ao CAPES pelo por fornecer fomento que permitiu a realização desta pesquisa. Referências [1] M. Benzi, M. Tuma, A sparse approximate inverse preconditioner for the conjugate gradient method, SIAM J. Sci. Comput, 17 (1996) [2] M. Benzi, M. Tuma, A sparse approximate inverse preconditioner for nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Comput, 19 (1998) [3] M. Benzi, M. Tuma, A comparative Study of sparse approximate inverse preconditioners, Applied Numerical Mathematics, 30 (1999) [4] E. Chow, Y. Saad, Approximate inverse preconditioners via sparse-sparse iterations SIAM J. Sci. Comput, 19 (1998) [5] M.J. Grote, T. Huckle, Parallel preconditioner with sparse approximate inverses, SIAM J. Sci. Comput, 18 (1997) [6] G. Meurant, Computer Solution of Large Linear Systems. Elsevier, North-Rolland,