TÉCNICAS DE ATUALIZAÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO LU DA BASE NO MÉTODO SIMPLEX

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1 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO TÉCNICAS DE ATUALIZAÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO LU DA BASE NO MÉTODO SIMPLEX Daniela Renata Cantane Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC), UNICAMP Av. Albert Einstein, 400, CEP: , Campinas, SP, Brasil dcantane@densis.fee.unicamp.br Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira Instituto de Matemática, Estatística e de Ciência da Computação (IMECC), UNICAMP Praça Sérgio Buarque de Holanda, 65, CEP: , Campinas, SP, Brasil. aurelio@ime.unicamp.br RESUMO O objetivo deste trabalho é comparar a atualização da decomposição desenvolvida com os resultados obtidos pelo. Esta técnica utiliza um reordenamento estático das colunas da matriz, nas quais são reordenadas de acordo com o número de elementos não nulos, obtendo uma decomposição esparsa da matriz sem nenhum esforço computacional para reordenar as colunas. Somente nas colunas realmente afetadas pela troca de base é realizada a decomposição devido à estrutura esparsa da matriz. Uma simulação das iterações do Simplex é realizada de acordo com uma seqüência de bases geradas pelo. Resultados computacionais em Matlab para problemas da Netlib mostram que esta idéia é muito promissora, uma vez que não é necessário refatorar a matriz nos problemas utilizados. PALAVRAS CHAVE. Otimização linear. Matriz esparsa. Atualização da decomposição. Área de classificação principal. PM Programação Matemática. ABSTRT The objective of this work is to compare the developed decomposition update with results from. This technique use a matrix columns static reordering and they are rearranged in accordance with the increasing number of nonzero entries, leading to sparse basis decomposition without computational effort to reorder the columns. Only the columns decompositions actually modified by the change of basis are carried through due to matrix sparse structure. A simulation of the Simplex iterations is carried through according to the base sequence obtained from. Computational results in Matlab for problems from the Netlib collection show that this is a very promising idea, since there is no need to refactorize the matrix in the tested problems. KEYWORDS. Linear Optimization. Sparse Matrix. Decomposition Update. Main Area. MP Mathematical Programming. [ 966 ]

2 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO. Introdução A solução eficiente de sistemas lineares de grande porte é de importância fundamental na resolução de problemas de otimização. A solução destes sistemas pode ser obtida através de métodos genéricos como, por exemplo, via a decomposição LU das matrizes que formam a base e sua atualização, ou através da exploração da estrutura da classe de problemas a ser resolvida, como no problema de fluxo em redes Kennington (980). Em Bressan (003) e Bressan (004) o reordenamento das colunas no problema combinado de dimensionamento de lotes e de corte de estoque Nonas (000) é feito de modo que a matriz resultante adquire formato bloco diagonal, facilitando a decomposição das bases, diminuindo assim o preenchimento da matriz no problema de corte e empacotamento. Através do reordenamento das colunas, é possível obter uma decomposição esparsa para qualquer base sem nenhum esforço computacional para obter a ordem das colunas, pois o reordenamento da matriz de restrições é estático, e o das colunas da base obedece esta ordem. Na atualização, as operações de ponto flutuante causadas pela coluna que sai da base são desfeitas. Para tanto, as operações são efetuadas na ordem inversa da decomposição, sempre considerando a esparsidade. As operações para decomposição da coluna que entra na base são então realizadas. Finalmente, é necessário efetuar as operações da decomposição LU das colunas localizadas após a coluna que entra na base, sempre considerando a esparsidade. Para o problema de lotes e cortes, os resultados obtidos em Bressan (003) mostram que esta abordagem além de computacionalmente barata, também é robusta introduzindo erros de arredondamento insignificantes em situações de pior caso, após milhares de iterações.. Métodos de Atualização da Decomposição LU A técnica de atualização da decomposição LU da matriz básica com pivoteamento parcial foi proposta por Bartels (969). Duas variantes deste algoritmo propostas em Reid (98) procuram manter tanto a esparsidade existente na decomposição quanto a estabilidade numérica. A segunda variante é um aperfeiçoamento da primeira. Com o objetivo de manter a esparsidade original dos dados, algumas formas de decomposição LU da matriz básica foram implementadas em Silva (00), concluindo-se que o número de atualizações da decomposição LU realizadas nas iterações seguintes influencia consideravelmente no tempo de resolução dos problemas, nos preenchimentos ocorridos e até mesmo nos números de iterações do método simplex. Em Maros (003), a atualização da decomposição LU e sua aplicação na atualização da base no método simplex proposta por Markowitz (957) são descritas em detalhe. Além disso, são apresentadas idéias de uma implementação eficiente proposta por Suhl (993), que é uma combinação de uma decomposição simbólica e numérica e apresenta um bom compromisso entre esparsidade e estabilidade numérica. Outras técnicas de atualização são descritas em Duff (986). 3. Detalhes da Implementação O objetivo da implementação é simular as iterações do método Simplex usando reordenamento estático e a atualização da decomposição LU que considera a estrutura esparsa da matriz adotados em Bressan (003) para problemas de otimização linear em geral. A simulação é realizada com as seqüências de bases geradas pelo ( Modular In-Core Nonlinear Optimizations System"). Inicialmente, foi implementada uma função para encontrar a base inicial, as bases Crash" descrita em Maros (003) e as colunas que entram e saem da base do arquivo de saída gerado pelo. A matriz é da forma bloco diagonal e suas colunas são reordenadas de acordo com o número de elementos não nulos, em ordem crescente, e uma decomposição esparsa [ 967 ]

3 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO para a base sem esforço computacional para obter a ordem das colunas é realizada, pois o reordenamento da matriz é estático e as colunas da base obedecem esta ordem. Duas formas de atualizações das colunas foram utilizadas na implementação e o número de elementos não nulos de cada uma delas é comparado. Quando a coluna que entra e na base respeita a ordem crescente de números de elementos não nulos, a forma de atualização é denominada. Na segunda forma de atualização,, a coluna entra e na base na posição da coluna que sai s da base. A notação é utilizada para os resultados obtidos pelo. Em ambas as formas de atualizações, a decomposição LU da base é feita considerando sua esparsidade. A operação é realizada somente nas colunas realmente afetadas pela troca de base devido à estrutura esparsa da matriz. Observe que pode-se não ter alteração na coluna k situada após a coluna que entra e/ou a que sai da base se LU ( k, e) = 0 ou LU ( k, s) = 0 devido à estrutura esparsa das colunas envolvidas. Na decomposição LU, se s < e, as operações que foram causadas pela coluna que saiu da base s são desfeitas, efetuando as operações na ordem inversa da decomposição, das colunas de s + até e, considerando a esparsidade. O próximo passo é verificar quais as colunas a partir de e + são afetadas pela entrada da coluna e na base. A decomposição será feita apenas nestas colunas, após a decomposição da própria coluna e. Finalmente, as últimas colunas da base são decompostas, a partir de max( e, s) até a última coluna da base. Com o objetivo de verificar a robustez do método de decomposição LU considerando a estrutura esparsa, é calculada a estimativa do erro introduzido pela decomposição. Todas as operações de decomposição são completamente desfeitas em todas as iterações do método Simplex. Assim, efetuando as operações na ordem inversa da decomposição LU, obtém-se uma matriz que simulará a atualização da decomposição da base ao ser decomposta desde a primeira coluna. Dessa forma, a base original é obtida com algum erro numérico e simula-se o pior caso em termos do erro de arredondamento, após cada iteração. 4. Experimentos Numéricos Foram realizados experimentos numéricos para verificar a eficiência das formas de atualização das colunas na base apresentadas na seção anterior. A Tabela mostra o número de iterações (fase ) e o número decomposições para alguns problemas de otimização linear da Netlib. Nas Tabelas e 3 encontram-se os números de elementos não nulos da decomposição da base para os mesmos problemas de otimização linear, utilizando e não utilizando as bases Crash, respectivamente. Problemas de Atualizações Iterações OL Com Crash Sem Crash kb adlittle sc israel scsd bandm scfxm beaconfd 6 7 scsd Tabela : Dados dos problemas de otimização linear. [ 968 ]

4 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO Não Nulos Máximo Mínimo Média kb adlittle sc israel scsd bandm scfxm beaconfd scsd Tabela : Número de elementos não nulos utilizando base crash. Não Nulos Máximo Mínimo Média kb adlittle sc israel scsd bandm scfxm beaconfd scsd Tabela 3: Número de elementos não nulos não utilizando base crash. A forma de atualização de colunas obtém uma base mais esparsa em relação à forma em todas as simulações realizadas, onde a matriz da base chega a ser 5 % mais esparsa para o problema scfxm e 78 % para o problema bandm nas Tabelas e 3 respectivamente. A forma de atualização de colunas é utilizada para realizar a decomposição LU proposta neste trabalho. A atualização é um pouco mais densa que a atualização, mas pode-se verificar que ela não refatoriza a base, então provavelmente deve ser mais rápida que outras atualizações. Na Tabela 4, verifica-se a estimativa do erro introduzido por estas operações calculando a norma entre a base obtida a partir da função que desfaz as operações da decomposição e a base reordenada obtida diretamente da matriz de restrições. Erro Máximo Mínimo Média kb.7e-4 0.0e-4 adlittle 3.4e-6.e-6.5e-6 sc05 3.5e-6 0.e-6 israel 4.6e- 0.4e-3 scsd 7.3e-6.4e-6 3.3e-6 bandm.9e-3 5.7e-4.e-4 scfxm.e-4.e-5 7.5e-5 beaconfd.4e-6.8e-7 7.0e-7 scsd6.0e-5.4e-6 3.e-6 Tabela 4: Estimativa do erro da atualização da base não utilizando a base crash. [ 969 ]

5 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO Pode-se concluir que o método proposto de atualização da base é extremamente robusto, pois o erro absoluto da base acumulado é da ordem de 0 no pior caso em relação às colunas originais, isto é, nesta atualização não é preciso decompor periodicamente a base como é geralmente feito nos métodos tradicionais devido à robustez e à esparsidade considerada. 5. Conclusões Neste trabalho, é proposto um reodenamento estático das colunas básicas, obtendo uma base Simplex com decomposição LU esparsa sem nenhum esforço computacional para obter a ordem das colunas. O reordenamento não possui custo de inicialização ou atualização, pois não é necessário reordenar as colunas na decomposição. A robustez do método de atualização da base é verificada através dos resultados apresentados na Tabela 4, pois a estimativa do erro introduzido por estas operações calculando a norma entre a base obtida a partir da função que desfaz as operações da decomposição e a base reordenada obtida diretamente da matriz é, na média, 0 no pior caso. Assim, para estes problemas não é preciso decompor periodicamente a base como nos métodos tradicionais Bartels (969). Apesar de obter uma base um pouco mais densa que a atualização, a atualização não faz redecomposição, então provavelmente terá melhor tempo computacional. Integrar a atualização da decomposição LU esparsa a outros códigos computacionais existentes, como e GLPK é uma proposta para o próximo trabalho. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pela FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo e pelo CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. Referências Bartels, R. (969), A stabilization of the simplex method, Numer. Math., 6, Bressan, G. e Oliveira, A. L. (003), Fast iterations for the combined cutting-stock and lotsizing problems, Anais da IX International Conference on Industrial Enginnering and Operations Management, Arq. TI060, 8. Bressan, G. e Oliveira, A. L. (004), Reordenamento eficiente das colunas básicas na programação de lotes e cortes, Pesquisa Operacional, 4, Duff, I., Erisman, A. e Reid, J., Direct methods for sparse matrices, Clarendon Press, Oxford, 986. Kennington, J. L. e Helgason, R. V., Algorithms for Network Programming, Wiley, New York, 980. Markowitz, H. (957), The elimination form of the inverse and its applications to linear programming, Management Science, 3, Maros, I., Computational Techniques of the Simplex Method, Kluwer Academic Publishers, 003. [ 970 ]

6 XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERIONAL a 5/09/06 Goiânia, GO Nonas, S. L. e Thorstenson, A. (000), A combined cutting-stock and lot-sizing problem, Operations Research, 0, Reid, J. (98), A sparsity-exploiting variant of the Bartels-Golub decomposition for linear programming bases, Mathematical Programming, 4, Silva, C. T. L., Problemas de Otimização Linear Canalizados e Esparsos, Dissertação de Mestrado, ICMC - USP, 00. Suhl, U. e Suhl, L. (993), A fast LU update for linear programming, Annals of Operations Research, 43, [ 97 ]