O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE MULTI-PERÍODOS

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1 O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE MULTI-PERÍODOS Kelly Cristina Poldi Marcos Nereu Arenales Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC Universidade de São Paulo USP Av. Trabalhador São-carlense, Caixa Postal São Carlos SP RESUMO O problema de corte de estoque multi-períodos surge imerso no planejamento e programação da produção em indústrias que têm estágios de produção caracterizados pelo corte de peças. As demandas dos itens ocorrem em períodos diversos do horizonte de planejamento finito e é possível antecipar ou não a produção de itens. Os objetos não utilizados em um período ficam disponíveis no próximo, juntamente com possíveis novos objetos adquiridos. Um modelo de otimização linear inteira de grande porte é proposto, cujo objetivo pondera as perdas nos cortes, os custos de estocagem de objetos e itens. O método simplex com geração de colunas foi especializado para resolver a relaxação linear. Experiências computacionais preliminares mostram que ganhos efetivos podem ser obtidos, quando comparado com a solução lote-por-lote, tipicamente utilizada. Palavras-chave: problema de corte de estoque, geração de colunas. ABSTRACT The multiple periods cutting stock problem arises in the production planning and programming in some industries. Such industries have their cutting processes done by stages, so, demanded items are required in different periods of a finite planning horizon. It is possible to anticipate or not the production of items. Unused inventory in a certain period becomes available to the next period, all together with new inventory which may be acquired. An integer linear optimization model of large scale is proposed. Its objective considers the waste in the cutting process, inventory costs and costs for holding final items. Simplex method with column generation was specialized to solve the linear relaxation. Preliminary computational experiments showed that effective gains can be obtained when compared with the lot-for-lot solution, which is typically used. Key-words: cutting stock problem, column generation.. Introdução Com os recentes avanços computacionais e também por motivos econômicos, as indústrias têm se estimulado a tornar seus processos produtivos mais eficientes, o que estimula, por sua vez, pesquisas acadêmicas de modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos. Surge, então, uma tendência em analisar o processo produtivo industrial de forma integrada. Neste contexto, o problema de corte estoque deve ser considerado como um subproblema a ser resolvido junto com outros problemas de otimização no ambiente industrial. Um exemplo muito comum encontrado na prática são problemas de corte de estoque acoplados a problemas de dimensionamento de lotes. Tipicamente, lotes são definidos e um problema de corte é resolvido para cada lote, sem que as perdas no processo de corte interfiram na formação dos lotes. Modelos acoplando os problemas de dimensionamento de lotes e de corte foram estudados por Gramani [7] e Poltronieri et.al. [4]. Nesses trabalhos, surge um subproblema que consiste o problema de corte de estoque multi-períodos.

2 O problema de corte de estoque multi-períodos consiste basicamente em resolver, a cada período em um horizonte de planejamento finito, um problema de corte de estoque, para atender a uma demanda de itens nos diversos períodos do horizonte de planejamento, porém podendo antecipar ou não a produção de itens. Isto permite que novas combinações sejam consideradas, pois um item de comprimento l i que não é demandado em um período, pode ser antecipado se sua combinação com os demais itens faz diminuir a perda de material. O estoque de objetos (peças a serem cortadas) não utilizados em um período fica disponível no próximo, juntamente com os novos objetos adquiridos (ou fabricados, como no caso da indústria de papel, Poltroniere et.al.[4]) por um planejamento global que envolve outras decisões. As quantidades dos novos objetos adquiridos ou produzidos são consideradas aqui como dados do problema. A função objetivo a ser minimizada, combina a perda de material, os custos de estocar itens que foram antecipados e, também, os custo de estocar os objetos. Gramani [7], em 200, estudou uma combinação dos problemas de dimensionamento de lotes e de corte de estoque em uma indústria de móveis. Esse problema combinado consiste em decidir a quantidade de produtos finais (móveis) a serem produzidos em cada período do horizonte de planejamento, tal que minimize não somente os custos de produção, preparação e estocagem (problema de dimensionamento de lotes), mas também a quantidade de placas (objetos) a serem cortadas em itens a fim de compor os produtos finais demandados (problema de corte de estoque). O problema de corte estudado por Gramani [7] é bidimensional, ou seja, duas dimensões são relevantes no processo de corte. Para modelar e resolver o problema, Gramani formulou um modelo matemático inteiro-misto o qual analisa o compromisso entre antecipar a produção de certos lotes de produtos finais a fim de minimizar os custos no processo de corte e preparação e o aumento dos custos de estocagem e, desenvolveu métodos heurísticos que investigam o compromisso existente quando resolvemos o problema de corte de estoque levando em consideração o planejamento da produção para vários períodos. Uma solução ótima para o problema combinado provavelmente contém soluções nãoótimas para os problemas de corte de estoque e dimensionamento de lotes considerados separadamente. Ainda, considerando os problemas de dimensionamento de lotes e corte de estoque de forma acoplada, Poltroniere et.al.[4] propõem um estudo com aplicação prática em indústrias de papel. A indústria produz bobinas-mestre de vários tamanhos que, posteriormente, serão cortadas em bobinas intermediárias (problema de corte unidimensional, ou seja, apenas uma dimensão é relevante no processo de corte). Uma parte dessas bobinas intermediárias é embalada para atender uma demanda e o restante é utilizado no processo de corte, produzindo diferentes tipos de itens finais. Pode haver estoque de bobinas intermediárias. Observe que a disponibilidade de bobinas-mestre no problema de corte é uma variável de decisão. Portanto, as decisões de planejamento consistem em escolher quais bobinas-mestre (definidas pelo seu comprimento e sua gramatura) e em que quantidades (tamanhos dos lotes) devem ser produzidas em cada período, de forma a atender a carteira de pedidos, evitar atrasos e estoque, minimizando a perda de material durante o processo de corte. Para isso, Poltroniere et. al. formularam um modelo matemático e desenvolveram métodos heurísticos de solução. 2. O problema de corte de estoque Na década de 60 vários trabalhos importantes foram publicados na área. As modelagens e métodos de resolução de maior repercussão na literatura foram os publicados por Gilmore e Gomory [4], [5] e [6] (ver [] e [] para uma revisão). Em 96, Gilmore e Gomory apresentaram o método simplex com geração de colunas para um modelo de otimização linear (uma aproximação para o problema) que, pela primeira vez, resolveu problemas de grande porte de corte unidimensional. Em Gilmore e Gomory [5], um novo método para solução do problema da mochila foi apresentado e realizado um estudo de caso no corte de papel. Em 965, Gilmore e Gomory [6] apresentaram um método para resolução do problema de corte de estoque bidimensional. Foram impostas algumas restrições, tais como o corte guilhotinado, estagiado e irrestrito. O problema de corte de estoque unidimensional com múltiplos tipos de objetos (vários comprimentos) disponíveis em estoque foi tratado por Gilmore e Gomory [5]. Mais recentemente, em 2002, esse problema foi abordado por Belov e Scheithauer [2] com o objetivo de minimizar a perda de material. Os autores apresentaram uma técnica de plano de corte que combina planos de corte de Chvatal-Gomory com geração de colunas que é generalizada para o caso de múltiplos tipos de objetos 73

3 em estoque no problema de corte de estoque unidimensional. São propostas modificações no procedimento de geração de colunas e um procedimento heurístico de arredondamento da solução contínua. É feita uma comparação com o método branch-and-price para o problema com um tipo de objeto em estoque. O modelo matemático para o problema de corte de estoque com vários tipos de objetos em estoque (diferentes comprimentos) guarda certa similaridade com o problema de corte em múltiplos períodos, já que permite combinar melhor os itens a serem cortados nos objetos em estoque, o que faz reduzir a perda. Em caso de múltiplos períodos, a combinação de itens também pode ser melhorada por permitir que itens possam ser cortados antes do período demandado. Embora o problema com vários tipos de objetos em estoque seja bem conhecido, encontra-se relativamente poucos trabalhos na literatura; já o problema de corte com múltiplos períodos não é encontrado na literatura. Na seção 3 propomos um modelo matemático, baseado no modelo proposto por Gilmore e Gomory [6], bem como um método de solução também estendendo a técnica clássica de geração de colunas (seção 5), ilustrado com um exemplo (seção 4). Testes computacionais preliminares são apresentados na seção 6 e finalmente, na seção 7, comentamos algumas propostas de continuidade do trabalho. 3. Definição e formulação matemática O modelo matemático apresentado pode ser aplicado tanto a problemas de corte unidimensionais quanto a problemas de corte bidimensionais. Neste estudo inicial, apresentamos o problema de corte de estoque multi-períodos unidimensional. O problema de corte de estoque multi-períodos pode ser definido da seguinte forma. Considere que temos um horizonte de planejamento finito, dividido em t períodos, t =,..., T. Esses períodos podem significar turnos de trabalho (horas), dias, ou semanas. Considere também que temos disponível em estoque K tipos de objetos (barras, bobinas etc.) de comprimento L k, k =,..., K, cada tipo disponível na quantidade e kt, k =,..., K para cada um dos períodos do horizonte de planejamento, t =,..., T. A cada período t, um conjunto de itens de comprimentos l i, i =,..., m, devem ser cortados, nas quantidades d it, i =,..., m, t =,..., T. O problema de corte de estoque multiperíodos consiste em produzir os itens demandados a partir do corte dos objetos disponíveis em estoque em cada período do horizonte de planejamento de modo a atender a demanda sem atrasos, otimizando uma certa função, por exemplo, minimizando a perda de material e custos de estocagem. Definição 3.: Chamamos de padrão de corte a maneira como um objeto em estoque é cortado para a produção dos itens demandados. A um padrão de corte associamos um vetor m-dimensional que contabiliza os itens produzidos: a kt = ( α kt, α 2kt,..., α mkt ) T em que α ikt é a quantidade de itens do tipo i, no padrão de corte do objeto k, no período t. No caso unidimensional, um padrão de corte a kt deve satisfazer a restrição física de capacidade de uma mochila (problemas da mochila com mais restrições são encontrados na prática, Marques [9]): l α kt + l 2 α 2kt l m α mkt L k (.) 0 α i d i, i =,..., m e inteiros, k =,..., K, t =,..., T. (.2) 3.. Modelo matemático para o problema de corte multi-períodos O modelo matemático para o problema de corte de estoque multi-períodos é dado a seguir. Índices: t =,..., T : número de períodos no horizonte de planejamento; k =,..., K : número de tipos (comprimentos) de objetos disponíveis em estoque; j =,..., N k : N k é o número de padrões de corte para o objeto k, k =,..., K; i =,..., m : número de tipos de itens a serem cortados. 74

4 Dados: L k : comprimento do objeto k, k =,..., K; e kt : disponibilidade em estoque do objeto k no período t, k =,..., K, t =,..., T; l i : comprimento do item i, i =,..., m; d it : demanda do item i no período t, i =,..., m, t =,..., T (d t : vetor cujas componentes são d it ). Parâmetros: c jk : custo de cortar o objeto k segundo o j-ésimo padrão de corte, j =,..., N k, k =,..., K; cr it : custo de estocar o item i no período t, i =,..., m, t =,..., T; cs kt : custo de estocar o objeto k no período t, k =,..., K, t =,..., T. Variáveis de decisão: x jk t : número de objetos cortados pelo padrão de corte j do objeto k no período t; r it : número itens do tipo i que são antecipados para o período t (r t : vetor cujas componentes são r it ); s kt : número de objetos do tipo k que sobram ao final do período t. Modelo matemático: minimizar T t = N ( j= N c j x t 2 j + j= N K c j2 x j2 t + + = j m c jk x jk t + i = K cr it r it k = cs kt s kt ) (2.) sujeito a: N j = N 2 a j x j t + j = N K a j2 x j2 t + + j = a jk x jk t + r t- - r t = d t (2.2) N j= x j t s (t ) + s t = e t N 2 j= x j2 t t =,...,T s 2(t ) + s 2t = e 2t (2.3) O M N K j = x jk t s K(t ) + s Kt = e Kt x jk t 0, e inteiro, rit 0, s kt 0, j =,, N k, k =,..., K, t =,..., T. (2.4) Observações:. O parâmetro custo de uma coluna que representa um padrão de corte é a perda em tal padrão: c jk = m L k i = l i α ijk, ou seja, é a perda do j-ésimo padrão de corte do objeto tipo k. 2. O parâmetro custo de adiantar a produção de tens de um período para outro é definido por: cr it = α l i. 3. O parâmetro custo de estocar objetos de um período para outro é definido por: cs kt = β L k. 4. Os parâmetros α e β foram definidos desta forma para estudar o impacto dos custos de estocagem. Pode-se atribuir valores livres para cr it e cs kt. A função objetivo minimiza a soma das perdas de material de todos os objetos, em todos os períodos e, a soma dos custos de estocar itens demandados e objetos. A antecipação do corte de alguns itens pode aumentar custos de estoque de itens (cr it ), mas por outro lado, pode permitir uma melhor combinação dos itens, o que minimiza a perda de material. As restrições no modelo asseguram que a demanda original seja cumprida e a disponibilidade de objetos em estoque em cada período não seja ultrapassada. Os objetos disponíveis em estoque em um dado 75

5 período t não utilizados, são somados aos objetos que estarão disponíveis no próximo período, pagando-se o custo de estoque cs kt, na função objetivo. Ao considerarmos os custos de estocagem todos nulos, a tendência é de que a produção de itens seja antecipada, que, por sua vez, é limitada pela disponibilidade dos objetos em estoque no período. Os custos cr e cs são parâmetros a serem calibrados pelo usuário, de acordo com a realidade de sua empresa. A estrutura matricial deste modelo é apresentada a seguir, com 3 períodos e 2 tipos de objetos disponíveis em estoque. em que: x k t : vetor cuja componente j é o número de vezes que o padrão de corte j é utilizado para o objeto k, no período t; A kt : matriz cujas colunas são os vetores associados aos padrões de corte do objeto k, no período t; u T = (,,..., ) T : a dimensão deste vetor é igual ao número de colunas de A kt. 4. Exemplo Primeiramente apresentamos um exemplo pequeno de problema de corte de estoque multiperíodos, juntamente com a solução lote-por-lote e a solução multi-períodos. Na próxima seção explicamos detalhes do método multi-períodos desenvolvido. Suponha que temos T = 3 períodos de tempo e, para cada um deles, temos K = 2 tipos de objetos em estoque cujos dados (comprimentos e disponibilidade em estoque) são dados na Tabela e m = 3 tipos de itens a serem produzidos cujos dados (comprimentos e demandas) são dados na Tabela 2 a seguir. Os custos de estocar itens (cr) e os custos de estocar objetos (cs) foram considerados nulos neste exemplo. Tabela : Dados dos objetos disponíveis em estoque. Id Comprimento Estoque período período 2 Período 3 L = 6 e = 0 e 2 = 5 e 3 = 4 2 L 2 = 234 e 2 = 7 e 22 = 3 e 23 = 3 Tabela 2: Dados dos itens a serem produzidos. Item Comprimento Demanda período período 2 período 3 l = 3 d = 35 d 2 = 20 d 3 = 2 l 3 = 42 d 2 = 20 d 22 = 0 d 23 = 0 3 l 2 = 57 d 3 = 20 d 32 = 5 d 33 = 0 Solução lote-por-lote: Esta é a solução do problema quando cada período é tratado independentemente, ou seja, a cada período é resolvido um problema de corte de estoque. 76

6 Tabela 3: Solução lote-por-lote: Primeiro período. Objeto x Padrão de corte 8,9090 ( 2 ) 2 5,5454 ( 3 2 ) 2,88 ( ) 2 0,2727 ( ) Perda total de material = 7,3636 Tabela 4: Solução lote-por-lote: Segundo período. Objeto x Padrão de corte 0,6666 ( 3 0 ) 2,0000 ( 2 ),2666 ( ) 2 3,0000 ( 3 2 ) Perda total de material = 0,2666 Tabela 5: Solução lote-por-lote: Terceiro período. Objeto x Padrão de corte,0000 ( 3 0 ),88 ( 0 2 ) 2,4545 ( 0 4 ) 2,5454 ( ) Perda total de material = 32,2727 A perda total de material na solução lote-por-lote é: 7, , ,2727 = 49,9029. Solução multi-períodos: Esta é a solução do problema (2.)-(2.4). Tabela 6: Solução multi-períodos: Primeiro período. Objeto X Padrão de corte 9,88 ( 2 ) 2 5,7272 ( 3 2 ) 2,2727 ( ) Perda total de material = 7,6363 São utilizados 9,88 objetos do tipo e a sua disponibilidade em estoque é 0, assim, a sobra de 0,882 é somada à disponibilidade de objetos tipo no período 2. A disponibilidade total de objetos do tipo 2 (que é igual a 7) foi totalmente utilizada no período, assim, não há sobra do objeto tipo 2 para o período 2. A produção dos itens tipo e 2 foram adiantadas em 0,5454 unidades do tipo e 0,6363 unidades do tipo 2. Tabela 7: Solução multi-períodos: Segundo período. Objeto x Padrão de corte 5,7272 ( 2 ) 2 3,0000 ( 3 2 ) Perda total de material = 0 No segundo período, cuja solução é dada na Tabela 7, a disponibilidade em estoque do objeto tipo é e 2 = 5 mais o que sobrou do período anterior 0,882, ou seja, e 2 = 5 + 0,882 = 5,882. A disponibilidade do objeto tipo 2 é e 22 = 3, pois não houve sobra deste tipo de objeto do período anterior. A produção de itens do tipo adiantou uma unidade, a produção do item tipo 2 adiantou em 77

7 2,3636 unidades e a produção do item tipo 3 adiantou em 3,7272 unidades, do período 3 para o período 2. Tabela 8: Solução multi-períodos: Terceiro período. Objeto x Padrão de corte 2,9090 ( 0 4 ) 2,0909 ( ) Perda total de material = 23,7272 No período 3, a disponibilidade em estoque do objeto tipo é alterada (soma-se a quantidade que sobrou no período anterior) para e 3 = 4 + 0,09 = 4,09. A disponibilidade do objeto tipo 2 não é alterada, pois não houve sobra deste tipo de objeto no período anterior. A produção de todos os itens demandados é cumprida. A sobra de objetos são: 4,09 unidades do objeto tipo e zero do objeto tipo 2. A perda total de material na solução multi-períodos é: 7, ,7272 = 3,3636. Comparando as soluções lote-por-lote e multi-períodos, nota-se a solução multi-períodos foi muito melhor, apresentando perda de material 37,5% menor que a solução desacoplada para este exemplo. 5. Método para solução A condição de integralidade no modelo (2.)-(2.4) é comumente encontrada em problemas de corte na prática e ela torna esses problemas difíceis, senão impossíveis, de serem resolvidos computacionalmente, até mesmo para exemplos de médio porte. Para contornar esta dificuldade, relaxamos a condição de integralidade sobre as variáveis x jk t e resolvemos o problema de otimização linear resultante pelo método simplex com geração de colunas, o que fornece uma solução ótima contínua para o problema de corte de estoque multi-períodos. A técnica de geração de colunas foi proposta por Gilmore e Gomory [5], [6] e consiste em, a cada iteração do método simplex, substituir um dos padrões básicos (coluna) por um novo padrão de corte (coluna) que melhora a solução básica atual. Tal padrão de corte (coluna) é determinado resolvendo-se um problema da mochila (.)-(.2) (no caso unidimensional), respeitando-se a demanda. Esta restrição no problema da mochila (.)-(.2) se faz necessária para baixas demandas, caso contrário um padrão de corte pode ser gerado sem que possa ser utilizado uma única vez (no exemplo da seção 4, o fato da freqüência de um padrão de corte ser menor que um, veja Tabela 4, decorre de satisfazer a demanda com os demais, mas trata-se de um padrão de corte que pode ser utilizado pelo menos um vez). A partir da solução ótima do problema relaxado, que geralmente não é inteira, determina-se uma solução inteira para o problema de corte de estoque original. Esta solução inteira é determinada por procedimentos heurísticos que vêm sendo desenvolvidos por vários pesquisadores na área para o caso estático: Poldi [2],[3], Wäscher e Gau [6], Hinxman [8], etc. Adaptá-las para este caso (dinâmico) é uma das propostas de continuidade do trabalho. Implementamos o método simplex revisado com a técnica de geração de colunas para resolver o problema de corte multi-períodos. A seguir, daremos algumas idéias usadas na implementação. Usamos o exemplo da seção Matriz básica inicial A solução inicial adotada consiste de padrões de corte homogêneos para o objeto maior e a solução lote-por-lote (estoques de itens nulos, r it = 0). Assim, além das colunas associadas aos padrões de corte homogêneos, a base é completada com as colunas associadas aos estoques dos objetos (variáveis s kt ), as quais são facilmente construídas. Os padrões de corte homogêneos são tais que a demanda não seja excedida: L bii = min, di, bij = 0, j i, i =, K, m, li 78

8 em que x é o maior inteiro menor ou igual a x; e, L = max {L k, k =,..., K}. No exemplo considerado (seção 4), L = L 2 = 234. A dimensão da matriz básica inicial quadrada é T(m + K) x T(m + K), em que T é o número de períodos, m é o número de itens e K é o número de tipos de objetos em estoque. No exemplo considerado, temos, T = 3, m = 3 e K = 2, então a dimensão da matriz é 3(3+2) = 5. Assim, a matriz básica inicial, de dimensão (5 x 5) é a seguinte: s s 2 s 3 (d, e) a 2 a 22 a 32 s 2 a a 2 2 a 22 2 a 32 2 em que: t a jk é o j-ésimo padrão de corte, correspondente ao objeto tipo k, no período t. Por exemplo, a primeira coluna da matriz: a 2 é o primeiro padrão de corte, correspondente ao objeto tipo 2, no período. s kt é a sobra de objetos tipo k, no período t, que ficará disponível no período t+. Por exemplo, a quarta coluna: s é a sobra de objetos tipo do período, que será somando à disponibilidade do objeto no período 2. As variáveis x jk t são determinadas diretamente (por exemplo, x 2 = 35/7), bem como as folgas dos objetos maiores, os quais não são utilizados (por exemplo, s = 0). As folgas do objeto maior, para cada período, são conseqüentemente calculadas (por exemplo, s 2 = 7 x 2 x 22 x 32 + s 20 = 7 ). Caso alguma seja negativa (i.e., a solução lote-por-lote com os padrões homogêneos é infactível), criamos uma variável artificial cuja coluna é o negativo da coluna da variável de folga com valor negativo (isto corresponde a transportar objetos do período t + para o período t). Desta forma temos uma base factível, possivelmente completada com variáveis artificiais. As variáveis artificiais são penalizadas na função objetivo de modo a se anularem na solução ótima. Foram necessárias variáveis artificiais em todos os períodos (colunas 5, 0 e 5), pois as quantidades utilizadas de objetos tipo 2 ultrapassam as suas disponibilidades em cada período Vetor multiplicador simplex: π O vetor custo inicial é dado como segue: (a) colunas que representam padrões de corte: é a perda no padrão; (b) colunas que representam sobra de objetos: é o custo de estocar objetos, que no exemplo apresentado consideramos zero; (c) colunas que representam variáveis artificiais: o custo é M-grande. s 22 a Assim, o vetor custo básico inicial do exemplo é dado por: a 2 3 a 22 3 a 32 3 s 23 a 79

9 c = [ M M M ] T (a) (b) (c) (a) (b) (c) (a) (b) (c) Agora, com o vetor custo básico definido, basta calcular o vetor multiplicador simplex π, B T π = c, que pode ser calculado analiticamente para a base inicial, como a solução básica Cálculo dos custos relativos Temos vários tipos de colunas a entrar na base, são elas:. colunas que representam estoque de itens; 2. colunas que representam estoque de objetos; 3. colunas que representam variáveis de folga dos objetos no último período; 4. colunas que representam um padrão de corte. Na implementação calculamos o custo relativo dos três primeiros tipos de colunas, pois são mais baratos, e escolhemos o menor deles para entrar na base. Caso ele seja não negativo (problema de minimização), então calculamos os custos relativos referentes aos padrões de corte, para todos os objetos disponíveis em estoque e para todos os períodos do horizonte de planejamento, pois este cálculo é mais caro, dado que envolve a resolução de TK problemas da mochila. Assim, o menor custo relativo é o escolhido para entrar na base. A partir daqui procedimentos do método simplex com geração de colunas não sofrem alterações; calcula-se a direção simplex, escolhe-se a variável a sair da base e faz-se as atualizações das variáveis. A matriz de restrições é bastante esparsa e bem estruturada, de modo que a eficiência do método pode ser melhorada. 6. Experimentos computacionais Realizamos alguns testes computacionais para comparar os resultados lote-por-lote e os resultados do modelo multi-períodos (2.)-(2.4), proposto na seção (3). Os algoritmos foram implementados em Delphi 5 e os testes foram executados em um micro-computador Pentium IV com 52Mb de RAM. Gau e Wäscher [3] propuseram um gerador de problemas-teste para o problema de corte de estoque unidimensional: o CUTGEN. Porém, este não pode ser usado pois gera exemplos para apenas um tipo de objeto disponível em estoque e, no nosso caso, temos vários tipos de objetos disponíveis em estoque. Construímos um gerador com base no CUTGEN. Os experimentos estão divididos em 8 classes de problemas e para cada classe foram gerados 20 problemas-teste. A seguir, mostramos em detalhes os critérios usados para gerar os dados e os resultados obtidos. 6.. O gerador aleatório Para execução dos testes computacionais, fixamos alguns parâmetros, que estão listados a seguir: número de períodos: T = 3 e 6; número de tipos de objetos em estoque: K = 3 e 5; número de tipos de itens demandados: m = 0 e 20; custo de estocar objetos: α L k, consideramos α = 0; 0, e 0,0; custo de estocar itens: β l i, consideramos β = 0; 0, e 0,0. Outros parâmetros necessários para os testes foram gerados aleatoriamente nos seguintes intervalos: comprimento dos objetos em estoque: L k [ ]; K L k k comprimento dos itens demandados: l i [0, 0,4] = ; K m l i = i d it estoque do objeto tipo k, no período de tempo t: e kt [ a t 2a t ], onde a t = ; K L k = k 720

10 demanda dos itens: d it [ 50] Resultados Foram geradas 8 classes, cada uma dela com 20 problemas-teste. Estas classes estão especificadas a seguir, na Tabela 9. Tabela 9: Parâmetros de definição das classes de exemplos. Classe Número de Número de Número períodos objetos de itens Os resultados apresentados na Tabela 0, foram obtidos considerando-se os parâmetros: custo de estocar objetos α = 0 e custo de estocar itens β = 0. Assim, a função objetivo apresentada na Tabela 0 é a perda total obtida, já que os custos (de estocagem de objetos e itens) são nulos. Tabela 0: Função objetivo (média dos 20 exemplos em cada classe) α = β = 0. Classe Lote-por-lote Multi-períodos Diferença Ganho % 34,53 2,9 2,62 6,07 % 2 48,44 30,6 7,83 36,8 % 3 94,69 76,0 8,68 9,73 % 4 20,57 9,59 0,98 53,38 % 5 390,56 255,70 34,86 34,53 % 6 95,39 54,39 4,00 42,98 % 7 307,8 99,02 08,79 35,34 % 8 07,38 94,83 2,55,68 % Tabela : Média dos 60 problemas-teste para cada parâmetro α e β. Parâmetros Lote-por-lote Multi-períodos Perda Custo Função Custo Função Perda estocagem objetivo estocagem objetivo α = 0,0 β = 0, 50, , ,63 23, , ,08 α = 0, β = 0,0 49, , ,22 254, , ,20 Pela Tabela 0 pudemos observar que, sem considerarmos custos, ou seja, o método está livre para adiantar itens, caso eles melhor se combinem, realmente gera soluções com perdas menores. Na Tabela pode-se perceber que o modelo do problema de corte de estoque proposto (2.)-(2.4) é bastante sensível aos parâmetros custo de estocar objetos e custo de estocar itens. Por isso, exibimos as perdas separadas dos custos de estocagem (custo de estocar objetos mais custo de estocar itens). Observe que a solução encontrada pelo método multi-períodos pode até apresentar perda maior, mas quando analisados os custos de estocagem, o valor da função objetivo é menor. Os custos aqui analisados são fictícios, mas em situações práticas eles devem ser cuidadosamente ajustados para que o modelo de corte multi-períodos forneça soluções adequadas à realidade da empresa. 72

11 Quanto ao tempo computacional, a média dos 480 exemplos testados é de 3,85 segundos para resolver cada problema de corte de estoque. Não houve variação no tempo computacional entre os dois métodos comparados. 7. Conclusões e perspectivas Neste trabalho definimos um problema de corte de estoque cuja demanda ocorre ao longo de um horizonte de planejamento, tipicamente em problemas de programação da produção. Um modelo matemático foi proposto, estendendo os modelos clássicos de Gilmore e Gomory, bem como o método de geração de colunas. Experimentos computacionais mostram que o problema de corte de estoque multi-períodos apresentou grande potencial para obtenção de melhores soluções que a abordagem lotepor-lote (tipicamente utilizada na prática). Porém a conclusão definitiva de sua superioridade depende de heurísticas de arredondamento para obtenção de soluções inteiras. Assim, o próximo passo é o desenvolvimento de heurísticas para obtenção de soluções inteiras (Wäscher e Gau [6] e Poldi [2],[3]). Outra perspectiva é a extensão para o caso bidimensional, com todas suas variações (Vianna [5] e Morabito [0]). 8. Agradecimento O trabalho contou com o apoio financeiro da FAPESP e CNPq. Bibliografia [] ARENALES, M. N., MORABITO, R., (editores), O problema de corte e empacotamento e aplicações industriais, Livro-texto de mini curso, XX CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Gramado - RS, (997). [2] BELOV, G., SCHEITHAUER, G., A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths, Disponível em: < Acesso em 3 de abril de [3] GAU, T., WÄSCHER, G., CUTGEN: A problem generator for the standard one-dimensional cutting stock problem. European Journal of Operational Research, 84: (995). [4] GILMORE, P. C., GOMORY, R. E., A linear programming approach to the cutting stock problem. Operations Research, 9: (96). [5] GILMORY, P. C., GOMORY, R. E., A linear programming approach to the cutting stock problem - Part II. Operations Research, : (963). [6] GILMORY, P. C., GOMORY, R. E., Multi-stage cutting stock problems of two and more dimensions. Operations Research, 3: (965). [7] GRAMANI, M. C. N., Otimização do processo de cortagem acoplado ao planejamento da produção. Tese de Doutorado, FEEC - UNICAMP, (200). [8] HINXMAN, A., The trim-loss and assortment problems: a survey. European Journal of Operational Research, 5: 8-8 (980). [9] MARQUES, F. P., ARENALES, M. N., The constrained compartimentalised knapsack problem. Computers and Operations Research (a aparecer). (2005). [0] MORABITO, R., Uma abordagem em grafo-e-ou para o problema de empacotamento: Aplicação ao carregamento de paletes e contêineres. Tese de Doutorado, EESC - USP, (992). 722

12 [] MORABITO, R., ARENALES, M. N., Um exame dos problemas de corte e empacotamento. Pesquisa Operacional, V. 2, nº, pp. -20 (992). [2] POLDI, K. C., Algumas extensões do problema de corte de estoque. Dissertação de Mestrado, ICMC - USP, (2003). [3] POLDI, K. C., ARENALES, M. N., Dealing with small demand in integer cutting stock problems with limited different stock lengths. Notas de Computação n o 85 - ICMC - USP, (2005). [4] POLTRONIERE, S. C., ARENALES, M. N., TOLEDO, F. M. B., POLDI, K. C., Coupling Cutting Stock and Lot Sizing Problems in the Paper Industry. submetido a Annals of Operations Research, (2005). [5] VIANNA, A. C. G., Problemas de corte e empacotamento: uma abordagem em grafo E/OU. Tese de Doutorado, ICMC - USP, (2000). [6] WÄSCHER, G., GAU, T., Heuristics for the integer one-dimensional cutting stock problem: a computational study. OR Spektrum, 8: 3-44 (996). 723