Planejamento para fundições: uma aplicação do método das K-melhores mochilas. 1 Introdução

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1 Planejamento para fundições: uma aplicação do método das K-melhores mochilas Murilo S. Pinheiro, Franklina M.B. Toledo, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Av. do Trabalhador São-carlense, 400, CP. 668, São Carlos, SP , Brazil Resumo: O problema de planejamento de produção em fundições busca encontrar um plano de produção que atenda aos pedidos dos clientes respeitando as restrições de fusão do ambiente produtivo. Podemos resumir o planejamento a duas questões: denir as ligas a serem fundidas e a partir destas quais peças serão vazadas. Neste trabalho propomos uma metaheurística GRASP para tratar o problema. O método proposto foi desenvolvido com base na decomposição do problema em dois subproblemas mais simples, no primeiro determinamos as ligas a serem fundidas, no segundo as peças a serem vazadas. As peças a serem fundidas são determinadas com base no método das K-melhores mochilas. Testes computacionais com dados da literatura serão realizados para avaliar o desempenho do método proposto. Palavras-chave: Otimização, metaheurística, k-mochilas, fundições. 1 Introdução De forma geral, o planejamento de produção pode ser descrito como a procura pela forma mais adequada de gerenciar o uso dos recursos e da infraestrutura disponíveis com o objetivo de que, quando possível, a demanda da indústria seja atingida da forma mais eciente possível. Com esta perspectiva, tratamos nesta iniciação cientica de um problema de planejamento de produção inspirado numa fundição de pequeno porte do estado de São Paulo. Nosso objetivo é encontrar um plano de produção que possibilite reduzir os custos de produção, armazenamento e atraso ao atender aos pedidos dos clientes da fundição. Por se tratar de uma fundição de pequeno porte, este problema tem duas características relevantes. A primeira está relacionada à carteira de pedidos que é composta por uma grande variedade de clientes, o que resulta numa carteira de pedidos com grande variedade de itens e de ligas. A variedade dos itens nos leva a encontrar na carteira itens com peso variando desde 250 gramas até 320 quilos, distribuídos em 19 ligas diferentes. A segunda característica importante é o constante atraso ao atender aos pedidos dos clientes, prática que é desfavorável num ambiente competitivo como o atual. Este problema pode ser modelado como um problema de otimização inteira mista como proposto em Araújo et al. (2008). No entanto, por ser um problema de difícil solução e devido a sua grande variedade de itens e de ligas, sua resolução exata é inviável em tempo computacional aceitável. Logo, para tratar o problema estudado propomos uma metaheurística GRASP baseada na decomposição hierárquica do problema proposta em Tonaki e Toledo (2010). Este trabalho está orgazizado da seguinte forma: o problema é detalhado na Seção 2; na Seção 3, descrevemos o método heurístico proposto para abordar o problema estudado, e na Seção 4 discutimos as considerações nais sobre o trabalho. 1 81

2 2 Modelo para o planejamento de produção em fundições de pequeno porte Este modelo trata de uma fábrica com uma única fornalha e cujo principal objetivo é reduzir os atrasos de sua carteira de pedidos. Além disto, existem outros dois fatores cujo custo deve ser reduzido: o custo de estoque e o de setup (preparação) entre ligas. Isto é, o custo de se preparar a fornalha para fundir outro tipo de liga. O horizonte de planejamento é nito, e cada período é dividido em sub-períodos relativos às quantidades de fornadas que cada período suporta. O modelo proposto por Araujo et al. (2008) para representar o problema é dado por: Índices: k = 1,..., K tipos de ligas, i = 1,..., N tipos de itens, t = 1,..., T períodos (dias, por exemplo), n = 1,..., η sub-períodos (fornadas), F t = 1 + t 1 j=1 η t primeiro sub-período do período t (F 1 = 1), L t = F t + η t 1 último sub-períodos do período t, η = T t=1 η t número total de sub-períodos, Parâmetros: η t número de sub-períodos do período t, Cap capacidade da fornalha (kg), em cada sub-período ρ i peso (kg) do item i, d it demanda o item i no período t, S(k) conjunto dos índices dos itens que são produzidos a partir da liga k (cada item usa uma única liga), Hit custo por atrasar a entrega de uma unidade do item i no período t, H it + custo por estocar uma unidade do item i no período t, s k custo de setup para a liga k, Variáveis X ij número de itens i produzidos no sub-período n, Iit número de itens i atrasados ao m do periodo t, I it + número de itens i estocados ao m do periodo t, Yn k variável binária. Yn k = 1 indica que a fornalha esta pronta para produzir a liga k no sub-periodo n, caso contrário Yn k = 0, Zn k variável binária, caso Zn k = 1, então houve um setup (uma mudança) para a liga k no sub-periodo n. Minimizar subject to T t=1 i=1 N K (Hit I it + H+ it I+ it ) + L t I i,t 1 + I i,t 1 + k=1 n=1 η S k Zn, k (1) n=f t X in I + it + I it = d it, i = 1,..., N, (2) t = 1,..., T, 82

3 i S(k) ρ i X in CapYn k, k = 1,..., K (3) Zn k Yn k Yn 1 k, k = 1,..., K, (4) K Yn k = 1, (5) k=1 Y k n, Z k n {0, 1} with Y k 0 = 0, k = 1,..., K (6) X in 0 inteiro, i = 1,..., N (7) I + it, I it 0, i = 1,..., N, (8) t = 1,..., T. O objetivo da fábrica é expresso em (1) e se traduz basicamente na redução dos atrasos ao atender os clientes. Ainda na função objetivo são adicionados custos de armazenamento e à mudança na liga a ser fundida, pois estes claramente inuenciam o custo da produção. As equações (2) representam o balanceamento da produção, isto é, a demanda é atendida levandose em conta o atraso e o estoque. São as restrições (3) que impõem o limite da capacidade da fornalha e determinam que em certo sub-período são produzidos apenas itens que usam a liga fundida neste sub-período. A mudança do tipo de liga na fornalha é representada por (4) e as restrição (5) impõem que apenas uma liga é fundida em cada sub-período. Por m, as restrições (6) (8) determinam a natureza das variáveis. 3 Método de Solução Proposto A metaheurística proposta neste trabalho está baseada na decomposição hierárquica do problema estudado apresentada em Tonaki e Toledo (2010). As autoras propuseram a decomposição do problema em dois subproblemas mais simples. No primeiro problema, é tomada a decisão de quais ligas serão fundidas. No segundo, uma vez determinadas as ligas que serão fundidas, são planejados os itens que serão produzidos. Uma metaheurística GRASP pode ser resumida de maneira geral como apresentado no Algoritmo 1. Basicamente, ela pode ser dividida em duas fases: construtiva e busca local. Na fase construtiva o objetivo é obter a cada iteração do método uma solução inicial distinta. Esta solução é obtida com base em um método pseudoaleatório guloso apropriado para o problema a ser resolvido. Na fase seguinte, Busca Local, a solução obtida é aprimorada utilizando uma busca local. Para o problema estudado na Fase Construtiva propomos obter uma solução inicial, primeiramente determinando as ligas a serem fundidas resolvendo de forma exata o modelo inteiro misto proposto em Tonaki e Toledo (2010). Uma vez denidas as ligas, os itens a serem fundidos serão escolhidos utilizando o método das L melhores mochilas, ou seja, para cada liga a ser fundida, com base na demanda das peças para esta liga resolvemos o método das L melhores mochilas. A partir das L mochilas elaboramos uma lista restrita de candidatos e dentre eles sorteamos uma mochila. A mochila escolhida determina as peças a serem fundidas, que são retiradas da demanda pendente. Para a próxima liga a ser fundida o processo é repetido e assim sucessivamente até que uma solução completa seja obtida. Os Algoritmos 2 e 3 ilustram está fase da metaheurística. 83

4 Alg. 1 Metaheurística GRASP 1 Repita: 2 Fase construtiva; 3 Busca local; 4 Atualize a melhor solução; 5 até um dado limite de iterações ser atingido. 6 retorne a melhor solução. m GRASP Destacamos que os valores de utilidade das peças são denidos como proposto em Camargo et al. (2012). Alg. 2 Fase construtiva entrada: Solução para as K ligas. 1 para k = 1 até K faça: 2 para p = 1 até Período_nal faça: 3 para cada fornada do período p faça: 4 dena as peças a serem fundidas utilizando PALM; 5 retorne a melhor obtida; m da Fase construtiva. Alg. 3 Método pseudo-guloso L-Mochilas (PALM) entrada: Lista de peças a serem fundidas com a liga k. 1 Dena um valor para cada uma das peças da lista; 2 Obtenha L mochilas utilizando os valor de utilidade proposto em Camargo et al. (2012); 3 Escolha uma das L melhores mochilas; 4 Retire da lista de peças a serem fundidas as peças dessa mochila; m Método pseudo-guloso L-Mochilas. Para a Busca Local escolhemos uma fornada de um tipo de liga para trocar por outro tipo de liga. E para esta nova fornada denimos as peças a serem fundidas utilizando o método da mochila. 4 Considerações Finais Atualmente o método proposto está em fase de implementação. Utilizando apenas a fase construtiva da metaheurística GRASP obtivemos uma solução que está a 26.57% da solução encontrada por Camargo et al. (2012) para o mesmo problema. A implementação da busca local permitirá melhorar esta solução e também concluir a metaheurística GRASP. Os resultados nais do projeto serão comparados com resultados da literatura e apresentados no congresso. 84

5 Agradecimentos Os autores agradecem a FAPESP e ao CNPq pelo apoio nanceiro para o desenvolvimento deste trabalho. Referências [1] Araujo, S. A., M.N. Arenales e A.R. Clark (2008) Lot-sizing and furnace scheduling in small foundries, Computers and Operations Research, 35, [2] Camargo, V.C.B., L. Mattiolli e F.M.B. Toledo (2012) A knapsack problem as a tool to solve the production planning problem in small foundries, Computers and Operations Research, 39, [3] Tonaki, V. S. e F.M.B. Toledo (2010) An approach to solve the lotsizing and scheduling problem in market-driven foundries, Journal of Operational Research Society, 200,