UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Curso: Economia Disciplina: Estatística Econômica Professor: Waldemar Araújo de S. Cruz Oliveira Júnior

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1 UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Curso: Economia Disciplina: Estatística Econômica Professor: Waldemar Araújo de S. Cruz Oliveira Júnior TESTE DE HIPÓTESES 1 Introdução Considere a seguinte situação: 1. Existem duas fábricas A e B. 2. Queremos comprar em um leilão lotes de parafusos. 3. Se os parafusos provem da fábrica A, o preço de mercado do lote é dez mil reais, caso contrário o preço é sete mil reais. 4. A tração média dos parafusos fabricados por A é de 145 kg e desvio padrão 12 kg, enquanto os da fábrica B têm tração média de 155 kg e desvio padrão 20kg. 5. Antes do leilão retira-se uma amostra de 25 parafusos e calcula-se a tração média amostral. 6. Com base nessa amostra detremine uma regra para decidir se os parafuso são da fábrica A ou da B. Observe que na prática queremos decidir qual das hipóteses é aceitável como verdadeira: H 0 : H 1 : os parafusos são da fábrica A os parafusos são da fábrica B 1

2 H 0 : é chamada de hipótese nula, enquanto H 1 : é chamada de hipótese alternativa. Podem acontecer dois tipos de erros: Denição 1 Erro do tipo I: Rejeitar que os parafusos são de A, quando na verdade eles de fato são de A. Ou seja, rejeitar H 0, dado que ela é verdadeira. Denição 2 Erro do tipo II: Aceitar que os parafusos são de A, quando na verdade eles são de B. Ou seja, aceitar H 0, dado que H 1 é verdadeira. Exemplo 1 Usando, aproximadamente, a distribuição amostral da média calcule a probabilidade de acontecer cada um dos erros acima. Denição 3 O conjuntos formado pelos X = (X 1,, X n ), tal que, nos leva a rejeitar a hipótese nula H 0 é chamada região crítica RC do teste. Assim RC = {X R n / rejeitamos H 0 } Exemplo 2 No exemplo anterior, determine uma RC de forma que P (erro I) seja α = 0, 05. Denição 4 Podemos dizer que um teste de hipótese é uma regra de decisão, onde a partir de uma amostra iremos escolher como verdadeira uma hipótese H 0, chamada de hipótese nula, ou rejeitá-la em favor da hipótese alternativa H 1. Denição 5 A P (erro I) = α é chamada de nível de signicância do teste e a partir dela determinamos a RC do teste. Este valor α é arbitrado pelo pesquisador, em geral, usamos α = 0, 05, α = 0, 01 ou α = 0,

3 2 Testes para a média de uma população com variância conhecida i.i.d Seja X 1,, X n N(µ, σ 2 ), em que σ 2 é conhecida, então, use a estatística de teste n( X µ) Z = N(0, 1) σ Exemplo 3 (Bussab & Morettin, pg 332, exemplo 12.2) Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com mepdia µ e variância 400g 2. A máquina foi regulada para µ = 500g. Uma amostra de tamanho 16 apresentou uma média amostral de 492g. Com um nível de signicância de 1%, teste se a máquina está regulada e teste se a máquina está enchendo pacotes com peso menor do que a programação. 3 Testes para proporção Use a estatística de teste Z = n( p p) p(1 p) aprox. N(0, 1) Exemplo 4 O gerente de determinada loja arma que 60% dos clientes estão satisfeitos com a loja. Uma pesquisa com 200 clientes revelou que apenas 110 estavam satisfeitos. Com um nível de signicância de 5% teste a armação feita pelo gerente da loja. 3

4 4 Testes para a variância de uma população normal i.i.d a) Quando a média é conhecida: Seja X 1,, X n N(µ, σ 2 ), em que µ é conhecida. Considere o estimador não-viesado da variância σ 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2, então, usaremos a estatística de teste n σ 2 σ 2 χ 2 (n). Exemplo 5 (Morettin L. G., pg 122, exemplo 2) De uma população normal com média 300, levantou-se uma amostra de 26 elementos, obtendo-se: n i=1 (X i µ) 2 = Ao nível de signicância de 5%, teste as hipóteses: H 0 : σ 2 = 3600 H 1 : σ b) Quando a média não é conhecida: Seja X 1,, X n i.i.d N(µ, σ 2 ), em que µ é desconhecida. Considere o estimador não-viesado da variância S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, então, temos a estatística (n 1)S 2 σ 2 χ 2 (n 1). Exemplo 6 (Bussab & Morettin, pg 345, exemplo 12.8) Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchê-los com média de 500g e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote segue uma distribuição N(µ, σ 2 ). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variância de S 2 = 169g 2. Com esse resultado, voce diria, ao nível de signicância de 5%, que a máquina está desregulada com relação à variância? 4

5 5 Testes para a média de uma população normal com variância desconhecida: i.i.d Seja X 1,, X n N(µ, σ 2 ), em que σ 2 é desconhecida, então, n( X µ) t = t (n 1) S Exemplo 7 (Bussab & Morettin, pg 349, exemplo 12.10) Um fabricante arma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. No nível de 5%, os dados refutam ou não a armação do fabricante? 6 Consutrução de um Teste de Hipóteses: 1. Dena a hipótese H 0 a ser testada. Podemos ter três tipos de testes H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 teste bilateral teste unilateral teste unilateral à direita à esquerda 2. Escolha a estatística de teste. 3. Fixe o nível de signicância α do teste. 4. Construa a RC do teste. 5. Com base nas observações calcule o valor da estatística de teste e veri- que se este valor pertence a RC. 6. Aceite ou rejeite H 0 como verdadeira. 5

6 7 Testes para Comparar as Variâncias de Duas Populações Normais Sejam X 1,, X n1 N(µ 1, σ1) 2 e Y 1,, Y n2 N(µ 2, σ2) 2 duas amostras independentes, para testarmos se estas amostras foram obtidas de uma populção normal com mesma variância σ 2, podemos usar o fato de que U = (n 1 1)S 2 1 σ 2 χ (n1 1) e V = (n 2 1)S 2 2 σ 2 χ (n2 1), em que S 2 1 = 1 n 1 1 e S 2 2 = 1 n 2 1 n i=1 (Y i Ȳ )2. Portanto, a estatítistica de teste F = S2 1 S 2 2 F (n 1 1, n 2 1). n i=1 (X i X) 2 Exemplo 8 (Bussab & Morettin, pg 359, exemplo 13.2) Queremos vericar, com um nível de signicância de 10%, se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de cada máquina, e obtivemos as seguintes reistências: Máquina A: Máquina B: Função Poder ou Potência de um Teste Em alguns casos não é possível calcular a P (erro II), então, colocamos esta probabilidade em função do parâmetro θ desconhecido. Exemplo 9 Seja a sequência X 1,, X 16 i.i.d N(µ, 25). Encontre a P (erro II) nos testes abaixo, considerando α = 5%. H 0 : µ = 10 a) H 1 : µ = 15 H 0 : µ = 10 b) H 1 : µ > 10 H 0 : µ = 10 c) H 1 : µ 10 6

7 Observe que nos itens b) e c) não é possível calcular β, pois, a hipótese alternativa não especica qual é o valor do parâmetro quando rejeitamos H 0. Assim, colocamos o valor de β em funão do parâmetro desconhecido. Denição 6 A função característica de um teste é denida como β(θ) = P (aceitar H 0 θ), em que θ é o parâmetro a ser testado. Denição 7 A função poder de um teste ou a potência de um teste é denida como π(θ) = 1 P (aceitar H 0 θ) = P (rejeitar H 0 θ), em que θ é o parâmetro a ser testado. 8.1 Comportamento da Função Poder de um Teste 1. No caso do teste bilateral, temos que quanto mais θ se distancia do valor denido na hipótese nula, mais o Poder do Teste se aproxima de um. Em outras palvras, lim θ = lim θ = 1 Exemplo 10 No teste do Exemplo 9 item c) calcule π(4), π(6), π(8), π(10), π(12), e π(14). O gráco abaixo foi construído com base nesse teste e usando os seguintes comnados no software R : Função Poder Poder Parâmetro n=16 s=5 alpha=0.95 theta0=10 7

8 r1=th0+qnorm(alpha/2)*s/(n^0.5) r2=th0+qnorm(1-alpha/2)*s/(n^0.5) theta=seq(4,16,0.1) poder=1-pnorm((n^0.5)*(r2-theta)/s)+pnorm((n^0.5)*(r1-theta)/s) plot(theta,poder,type="l",xlab="parâmetro",ylab="poder",main="função Poder") Exemplo 11 O que acontece no teste bilateral? Repita o Exemplo 10 para o item b) do Exemplo Quanto maior o tamanho da amostra, mais poderoso é o teste. Exemplo 12 No teste do Exemplo 9 item c) calcule π(8), para n = 25, n = 36 e n = 49. O gráco abaixo foi construído com base nesse teste e usando os seguintes comnados no software R : Função Poder Poder n=16 n=25 n=36 n= Parâmetro #variando o n n=16 #faça isso para n=25, n=36 e n=49 theta=seq(4,16,0.1) r1=th0+qnorm(alpha/2)*s/(n^0.5) r2=th0+qnorm(1-alpha/2)*s/(n^0.5) #cada vez que mudar o n, defina a função poder2, poder3 e poder4 8

9 poder1=1-pnorm((n^0.5)*(r2-theta)/s)+pnorm((n^0.5)*(r1-theta)/s) x=cbind(cbind(theta,theta),cbind(theta,theta)) y=cbind(cbind(poder1,poder2),cbind(poder3,poder4)) matplot(x,y,type="l",lty=1:4,col=1:4,xlab="parâmetro", ylab="poder",main="função Poder") legend(4,0.4,c("n=16","n=25","n=36","n=49"),col=1:4,lty=1:4) Exemplo 13 No teste do Exemplo 9 item b) calcule π(8), para n = 25, n = 36 e n = 49. Esboce o gráco da função poder com base nesse teste. 3. Quanto maior o nível de signicância, mais poderoso é o teste. Exemplo 14 No teste do Exemplo 9 item c) calcule π(8), para α = 0, 010, α = 0, 025 e α = 0, 05. O gráco abaixo foi construído com base nesse teste. Função Poder Poder alpha=0,010 alpha=0,025 alpha=0,050 alpha=0, Parâmetro Exemplo 15 No teste do Exemplo 9 item b) calcule π(8), para α = 0, 010, α = 0, 025 e α = 0, 05. Esboce o gráco da função poder com base nesse teste. 9

10 9 Nível de Signicância de um Teste ou p-valor Na seção 6 vimos que na construção de um teste de hipóteses denimos uma região crítica e depois vericamos se a estimativa calculada com base na amostra está ou não na região crítica. Diferentemente, podemos construir um teste baseado no p-valor. Desta forma, denimos p-valor como a probabilidade da estatística de teste assumir valores extremos em relação ao valor da estatística calculada com base na amostra, sob a hipótese nula. Assim, para p-valores pequenos rejeitamos a hipótese nula como verdadeira. Exemplo 16 Uma amostra de tamanho 25 de uma população normal com variância σ 2 = 49, revelou uma média amostral Xobs = 7. Encontre o p-valor do teste abaixo: H 0 : µ = 9 H 1 : µ 9 Observe na gura abaixo, a qual é uma cópia do site que quanto menor for o p-valor, há mais indícios de rejeitarmos a hipótese nula H 0. 10

11 Outra forma de denir o p-valor é como o menor nível de signicância, tal que, rejeitamos H 0. Notação: p-valor= α. Podemos usar uma escala de evidências sugerida por Fisher (1954) para decidir em aceitar ou rejeitar H 0, ver Bussab pg 343, tabela Escala de signicância de Fisher p-valor 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001 Natureza da marginal moderada substancial forte muito forte fortíssima Evidência 11