Um método exato de busca para se calcular o multiplicador lagrangeana/surrogate (lagsur) para o Problema Generalizado de Atribuição

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1 Um método exato de busca para se calcular o multiplicador lagrangeana/surrogate (lagsur) para o Problema Generalizado de Atribuição Marcelo Gonçalves Narciso Embrapa Informática Agropecuária Luiz Antônio Nogueira Lorena INPE narciso@cnptia.embrapa.br, lorena@lac.inpe.br 1 - Introdução A relaxação lagrangeana tem sido empregada em uma série de problemas da Otimização combinatória para se obter limites (inferior ou superior) à solução ótima de um dados problema (Problema Generalizado de Atribuição, obertura de onjuntos, aminho mais urto, aixeiro Viajante, etc.) (FISHER, 1981). Os resultados obtidos por esta relaxação são considerados satisfatórios ou muito bons. A relaxação surrogate também tem sido empregada em problemas da Otimização combinatória e os resultados também são muito bons (YER, 1980; GREENERG, 1970). Entretanto, ela é complexa de se implementar (LOPES, 1992; NARISO, 1994). Recentemente, resultados bons foram obtidos para o Problema Generalizado de atribuição (NARISO, 1994; LORENA, 1996), obertura de onjuntos (LOPES, 1992), mas nem sempre é vantajoso empregar esta relaxação devido à complexidade de se implementar o algoritmo e o tempo necessário para a execução deste pode ser maior que o tempo gasto para se resolver a relaxação lagrangeana, conforme o problema e instâncias deste. A relaxação lagrangeana/surrogate (lagsur) foi proposta como uma alternativa à relaxação lagrangeana, substituindo-a com vantagens em diversos problemas de otimização combinatória (Problema Generalizado de atribuição, obertura de onjuntos, aminho mais urto, aixeiro Viajante P-medianas, etc). As relaxações lagrangeana (FISHER, 1981) e surrogate (YER, 1980; GREENERG, 1970) são combinadas com objetivo de conseguir melhores tempos computacionais na aplicação de heurísticas baseadas em relaxações que usem métodos subgradientes (LOPES, 1992; LORENA, 1994). Além disso, os valores obtidos são tão bons quanto os obtidos pelas relaxações lagrangeana e surrogate, além de ser de fácil resolução, tal como a relaxação lagrangeana. Na formação de uma relaxação lagsur, para um dado problema de otimização combinatória, inicialmente é derivada uma relaxação surrogate de um conjunto adequado de restrições. Uma relaxação lagrangeana da restrição surrogate é então obtida. Vale a pena mencionar que neste caso o multiplicador lagrangeano é unidimensional.

2 A relaxação lagsur é usualmente resolvida usando-se uma heurística de subgradientes (NARISO, 1998). Em uma dada iteração, para um dado multiplicador multi-dimensional surrogate, faz-se uma busca para o encontrar o multiplicador lagrangeano unidimensional. Este processo de busca se coloca como um desafio ao uso eficiente de uma relaxação lagsur. A relaxação lagrangeana usual considera t fixado no valor 1 (um) em todas as iterações do método de otimização por subgradientes. Um processo demorado de busca pelo melhor t, pode refletir no tempo geral a ser gasto na solução do dual, e favorecer ao uso da relaxação lagrangeana. Uma implementação do lagsur, mostrada nos trabalho de Narciso e Lorena (NARISO, 1998), conseguiu bater em tempos computacionais a correspondente implementação lagrangeana para um conjunto de instancias do PGA. Nestas o valor de t é calculado com uma busca abreviada, nas primeiras iterações do método subgradientes, e posteriormente é fixado no último valor obtido nas demais iterações do método. Propõe-se neste trabalho um novo algoritmo para calcular o multiplicador lagsur t de maneira exata. Em testes computacionais feitos com o Problema Generalizado de Atribuição verificou-se que esta nova proposta proporcionou a uma implementação da relaxação lagsur ainda melhor que a do trabalho de Narciso e Lorena (NARISO, 1998) e pode ser extendida a uma série de problemas da Otimização ombinatória. 2. Um exemplo de Aplicação: O Problema Generalizado de Atribuição O problema de se maximizar produção, ou benefício, ou rendimento, etc. ao se atribuir n tarefas a m agentes, n > m, tal que cada tarefa seja atribuída a apenas um único agente, levando-se em conta as restrições de capacidade de cada agente, é conhecido na literatura como problema generalizado de atribuição (PGA). Muitos problemas da vida real podem ser modelados como um (PGA). Podemos citar como exemplos, problemas de investimento de capitais (e Maio, 1971), alocação de espaço de memória (ATRISSE, 1992), projeto de redes de comunicação com restrições de capacidades para cada nó da rede (e Maio, 1971), atribuição de tarefas de desenvolvimento de software a programadores (ALAHANRAN, 1976), atribuição de tarefas a computadores em uma rede (ATRISSE, 1992), subproblemas de roteamento de veículos (FISHER, 1981), e outros. A formulação matemática do (PGA) é a seguinte: (PGA) m n v(pga) = max p ij.x ij i = 1 j = 1 n sujeito a w ij.x ij b i, i M = {1,...,m} (2.1) j = 1 m x ij = 1, j N = {1,...,n} (2.2) i = 1 x ij {0,1}, i M, j N (2.3)

3 As restrições (2.1) impõem que os pesos dos itens escolhidos não devem exceder à capacidade de cada mochila e as restrições (2.2) impõem que cada item deve ser atribuído a somente uma mochila. Vamos considerar a relaxação das restrições (2.1) conforme o modo lagsur. Seja λ um vetor de multiplicadores λ i 0, i M e t pertencente aos reais, não nulo. Matematicamente, esta relaxação é dada da seguinte maneira: (L t S λ cpga) m n m v(l t S λ cpga) = max {(p ij - t.λ i. w ij ).x ij } + t.λ i.b i i = 1 j = 1 i = 1 sujeito a (2.2) e (2.3) O dual lagsur, para o (PGA), é dado por ( L t S λ cpga) = min v (L t S λ cpga) sujeito a (2..2) e (2.3) Para resolver o dual lagsur, é usada uma heurística geral de subgradientes (LOPES, 1992; LORENA, 1996). asicamente, esta heurística visa a obter o menor valor de v(l t S λ cpga). Inicialmente, é arbitrado um valor para λ. om este valor inicial, resolve-se v(l t S λ cpga) e determina-se um novo valor para λ. Torna-se a fazer o mesmo processo até que o valor de λ se mantenha constante ou um outro critério de parada seja atendido. No procedimento acima, quando da resolução de v(l t S λ cpga) para um dado valor de λ, tem-se uma busca para se obter o melhor valor de t possível. A figura 1 abaixo ilustra o comportamento de v(l t S λ cpga) versus t v(l t S PGA) t* t Figura 1- omportamento da função v(l t S λ cpga) versus t

4 Observe que a função v(l t S λ cpga) é linear por partes. Em princípio, não se conhece nenhum valor desta função. Para se determinar um ponto da função v(l t S λ cpga), é necessário resolver o problema (L t S λ cpga), visto anteriormente. Para se obter o melhor t existe uma maneira. Atribui-se um valor inicial para t. Após resolvido (L t S λ cpga), observa-se se a inclinação (gradiente) para o valor corrente de t é positiva ou negativa. Se for positiva, diminui-se o valor de t e resolve-se novamente (L t S λ cpga). Se for negativa a inclinação, incrementa-se o valor de t de uma determinada unidade e resolve-se novamente (L t S λ cpga). Este processo deverá parar após um número determinado de iterações, o qual não deve ser muito grande pois pode comprometer o tempo de execução da Heurística Geral de Subgradientes LORENA, 1996). Após o término desta busca, é obtido o melhor t, embora não necessariamente seja o ótimo, o qual é responsável pelo menor valor de v(l t S λ cpga) dentro do número de iterações permitidas. 3 Nova proposta de busca do multiplicador Lagrangeano/surrogate ótimo onforme visto, no ponto em que se obtém o valor de t tal que v(l t S λ cpga) tem o valor mínimo (ou máximo), o valor do gradiente à esquerda de t é negativo e o valor à direita de t é positivo. Além disto, estas duas retas se encontram no ponto t ótimo. Seja x1 a solução para a qual se obtém o gradiente negativo e x2, o gradiente positivo. No ponto de encontro, temos: v(t,x1) = v(t,x2), onde v(x,t) = v(l t S λ ) de um dado problema. Além disso, o gradiente de v(t,x1) é menor que zero e o gradiente de v(t,x2) é maior que zero. om estas informações, é possível determinar o valor de t ótimo. omo exemplo, vamos ver como seria esta proposta para o PGA, com relaxação das restrições das capacidades. Seja v(l t S λ cpga) a função objetivo do lagsur para o PGA, quando a relaxação é a restrição das capacidades. Observe que v(l t S λ cpga) é função de t e x ij. Seja v(x,t) = v(l t S λ cpga). No ponto de encontro, seja x1 tal que o gradiente de v(t,x) e' negativo e x2, tal que o gradiente de v(t,x) seja positivo. esta forma, tem-se o seguinte: v(t,x1) = v(t,x2) => m n m m n m {(p ij - t.λ i. w ij ).x1 ij } + t.λ i.b i = {(p ij - t.λ i. w ij ).x2 ij } + t.λ i.b i i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 i=1 omo t é comum, então podemos cancelar o somatório de t.λ i.b i, i={1,...,m}. Isolando-se t na equação, tem-se o seguinte resultado: m n m n t = {p ij.(x2 ij -.x1 ij )}/ {.λ i.w ij.(x2 ij -.x1 ij )} i=1 j=1 i=1 j=1 esta forma, para se obter o valor exato de t, é necessário descobrir os valores de x1 e x2. Para isto, sabendo-se que o gradiente de v(t,x), em relação a t, é dado por m m n

5 g(t,x) = max λ i.b i {(-.λ i.w ij ).x ij } i=1 i = 1 j = 1 para x1 teriamos g(t,x1) < 0 e para x2, g(t,x2) > 0. ada problema tem suas propriedades específicas. Analisando-se o problema, algumas variáveis podem ser eliminadas, conforme algum critério. Eliminando-se algumas variáveis, o problema torna-se mais fácil de se resolver e obter x1 e x2. esta forma, vamos ver como seria um exemplo disto usando-se o PGA. Para se obter o ponto de mínimo da curva, a idéia básica é a seguinte: retirar as variáveis dominadas em cada coluna. Estas variáveis não fazem parte da solução, qualquer que seja o valor de t. Para mais detalhes (como obter a variáveis dominadas) ver (UZINSKY, 1987; NARISO, 1994); dentre as variáveis não dominadas, escolher em cada coluna um item e assim formar uma solução inicial. Em seguida, verificar se g(t,x) é maior ou menor que zero. Se for maior que zero, modificar a escolha dos itens das variáveis não dominadas até que se obtenha o gradiente menor que zero. Feito isto, tem-se os valores de x1 (solução na qual g(t,x1) <0) e x2 (solução na qual g(t,x2) >0). Os valores de x1 e x2 irão diferir em apenas uma posição (coluna). O mesmo raciocínio vale para o caso do primeiro valor de solução na qual g(t,x) ser menor que zero. Para se obter as variáveis não dominadas, procede-se da seguinte maneira: 1) Sejam i,k,j,s, inteiros. Se w ij <=.w kj e. p ij <=.p kj então x kj = 0 2) Se Se w ij <=.w kj <= w sj e p ij <=.p kj <= p sj então x kj = 0 Pelo menos metade das variáveis são eliminadas, facilitando a resolução do problema. No processo de busca do melhor t, procede-se como descrito acima e obtém-se os valores de x1 e x2. om estes valores, obtém-se de fato o melhor t. O algoritmo para a busca do melhor t seria: 1 - Retirar as variáveis dominadas em cada coluna; 2 as variáveis que sobraram, obter uma solução inicial para v(t,x) 3 Repita enquanto não fim 4 Se g(t,x) < 0 então Substituir os maiores valores de w ij relativos à solução encontrada por valores menores de tal que o valor de p ij seja o menor possível Se, após uma dada substituição, g(t,x) > 0, então fim Fim_Se 5 - Se g(t,x) > 0 então Substituir os menores valores de w ij relativos à solução encontrada por valores maiores de tal que o valor de p ij seja o menor possível Se, após a substituição, g(t,x) > 0, então fim Fim_Se Fim do Repita m n m n 6 t = {p ij.(x2 ij -.x1 ij )}/ {.λ i.w ij.(x2 ij -.x1 ij )} i=1 j=1 i=1 j=1 7- Fim

6 Nesta nova forma de busca, tem-se um tempo mais rápido do que o lagsur atual para a relaxação das capacidades além de fornecer o melhor t de forma exata. 4 -Resultados Para verificar o comportamento das relaxações lagsur tradicional e nova proposta do lagsur, será usado o PGA para exemplificar. Foram usadas instâncias obtidas da OR-Library (EASLEY, 1990). Os resultados obtidos estão dispostos em tabelas. ada tabela contém instâncias consideradas larga escala. Foram utilizados 12 tipos de problemas com dimensões diferentes. Estes problemas são conhecidos como problemas de classes A,,, e. As dimensões de cada um destes problemas são: (5 x 200), (10 x 200), e (20 x 200). Estes testes foram executados em uma máquina SUN SPAR 5, com compilador. A notação em cada coluna é a seguinte: tempo := tempo final, em segundos, obtido pela heurística; iter. := número de vezes que a relaxação lagrangeana/lagsur foi resolvida; gap1 := ((solução ótima) melhor solução viável obtoda) / (solução ótima) ; gap2 := (melhor valor da relaxação lagsur - (solução ótima)) / (solução ótima) ; gap2% = 5%,...,0.5% := tempo computacional gasto para o gap2, em porcentagem, ser 5%, 4%, 3%, 2%, 1% e 0.5%. prob t gap1 gap2 gap3 n_iter 5% 4% 3% 2% 1% 0.5% (10-3 ) (10-3 ) (10-3 ) A A A Tabela A1 - Lagsur para problemas das classes A,, e com solução ótima não conhecida. Número máximo de iterações é igual a 600.

7 prob t gap1 gap2 gap3 n_iter 5% 4% 3% 2% 1% 0.5% (10-3 ) (10-3 ) (10-3 ) A A A Tabela A2 - Lagsur com t exato para problemas das classes A,, e com solução ótima não conhecida. Número máximo de iterações é igual a onclusões e omentários A busca pelo multiplicador lagrangeano/surrogate ótimo é um campo aberto para pesquisas. Até o momento, não se tem procedido em buscar o t ótimo, mas um valor de t que dê um rendimento ao lagsur melhor que o lagrangeano. Embora o exemplo apresentado aqui seja o do PGA, relativo à relaxação da restrição de capacidades, este método de busca pode ser extendido a vários outros tipos de problemas. A busca feita neste novo método é mais rápida devido às características de sua implementação. O número de loops desta nova proposta é menor que o número de loops da busca do lagsur tradicional. Além disso, o número de instruções aritméticas neste novo método também é menor que o lagsur tradicional. Em suma, o método, além de dar o valor de t exato, é menos complexo. 6 - REFERÊNIAS ILIOGRÁFIAS [1] alachandran, V. An integer generalized transportation model for optimal job assignment in computers networks. Operations Research, v. 24, n.4, p , [2] easley, J. E. OR-Library: istributing test problems by eletronic mail. Journal of Operational Research Society, v. 41,n. 11, p ,

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