Problema de Roteamento com Janelas de Tempo: Uma Abordagem via Geração de Colunas

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1 Problema de Roteamento com Janelas de Tempo: Uma Abordagem via Geração de Colunas Rúbia M. Oliveira Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS Departamento de Matemática - DMT Campo Grande-MS, Brasil - rubia@dmt.ufms.br Ricardo R. Santos Universidade Católica Dom Bosco - UCDB Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCET Campo Grande-MS, Brasil - ricr.santos@acad.ucdb.br Resumo Um método para o Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT) é apresentado neste artigo. O método proposto é baseado no Algoritmo Simplex com Geração de Colunas. A abordagem aqui proposta utiliza um algoritmo de Caminho Mínimo com Janela de Tempo (CMJT) baseado na generalização de Ford-Bellman-Moore. Esse algoritmo surge como sub-problema no algoritmo Primal Simplex para resolver a relaxação linear do problema de partição de conjuntos utilizado na modelagem do roteamento com janelas de tempo. O desempenho do algoritmo foi avaliado considerando entradas baseadas nas instâncias de Solomon (R, C e RC) com até 100 nós. O método proposto obtém tempos de execução comparáveis com soluções heurísticas para o mesmo problema. Palavras Chave. Problema de Roteamento de Veículos, Geração de Colunas, Problema de Caminho Mínimo com Janelas de Tempo. Área principal (Otimização Combinatória, Programação Matemática, Metaheurística) Abstract In this work we present a method for the Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW). The method is based on the Simplex algorithm with Column Generation. We have implemented a shortest path algorithm with time windows based on the generalization of the classical Ford-Bellman-Moore algorithm. The algorithm arises as a sub-problem in the Primal Simplex to solve the linear relaxation of the set partitioning problem. The set partitioning problem is used to model the routing problem with time windows. The performance of our method has been evaluated considering Solomon s instances (R, C, and RC) up to 100 nodes. The proposed method has an execution time comparable to heuristic solutions for the same problem. Keywords. Vehicle Routing Problem, Column Generation, Shortest Path Problem with Time Windows. Main area (Combinatorial Optimization, Mathematical Programming, Metaheuristics) 1802

2 1 Introdução Problemas de roteamento de veículos desempenham um papel central no gerenciamento da distribuição de bens e serviços. Sua importância é refletida na grande variedade de aplicações, as quais incluem o roteamento de ônibus urbano, sistemas de coleta de lixo, entrega de periódicos a assinantes, entre outros (Oliveira, 2001). Dependendo da aplicação, há necessidade de alterar as restrições do problema. Algumas restrições bem conhecidas para o problema de roteamento de veículos são (Cunha, 2000; Oliveira, 2001): restrições de horário de atendimento (conhecidas na literatura como janelas de tempo ou janelas horárias), capacidades dos veículos, frota de veículos de diferentes tamanhos, duração máxima dos roteiros dos veículos (tempo ou distância) e restrições de veículos que podem atender determinados clientes. Problemas de roteirização de veículos são muitas vezes definidos como problemas de múltiplos caixeiros viajantes com restrições adicionais de capacidade (Cunha, 1997). Sob a ótica da otimização, os problemas de roteirização de veículos, incluindo o caso particular do caixeiro viajante, pertencem à classe de complexidade computacional denominada NP-completo (Garey and Johnson, 1979). Dessa forma, diversas soluções para o problema de roteamento de veículos são baseadas em heurísticas de tempo polinomial (Solomon, 1986). Nesse sentido, uma grande quantidade de trabalhos focados no problema de roteamento de veículos com janelas de tempo têm sido desenvolvidos aplicando diferentes técnicas (Boldin and Golden, 1981; Fisher and Jaikumar, 1981; Fisher et al., 1987; Desrochers et al., 1992; Desrosiers et al., 1986; Cunha, 2000; Caramuru, 2006). No entanto, as dificuldades inerentes à definição de algoritmos eficientes para o problema têm limitado a aplicabilidade dessas soluções a partir de determinado tamanho do conjunto de instâncias de entrada. Este artigo apresenta um método para resolução do Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo (PRVJT) baseado no trabalho de (Desrosiers et al., 1983). O algoritmo Simplex com Geração de Colunas é utilizado em conjunto com o algoritmo de Caminho Mínimo com Janelas de Tempo (CMJT) baseado na generalização do algoritmo clássico de Ford-Bellman-Moore (Tarjan, 1983; Cormen et al., 1990). A utilização do algoritmo CMJT permite resolver o problema de partição de conjuntos, utilizado na modelagem do problema de roteamento com janelas de tempo. A adoção da técnica de Geração de Colunas possibilita obter subproblemas que permanecem com características combinatórias semelhantes ao problema original. Os resultados obtidos com os experimentos computacionais demonstram a aplicação do método sob instâncias conhecidas para o PRVJT. O desempenho obtido com a aplicação do método em instâncias de Solomon (Solomon, 1987) com até 100 nós se mostra atrativo, além de apontar para possibilidades de melhoria quando técnicas de paralelização de código são adotadas. O restante do texto está organizado conforme segue: A Seção 2 apresenta a modelagem do problema resolvido utilizando a técnica de Geração de Coluna. A generalização do algoritmo de Ford-Bellman-Moore e o algoritmo de Caminho Mínimo com Janela de Tempo é abordado na Seção 3. Os experimentos computacionais e resultados obtidos com a execução do algoritmo sob instâncias bem conhecidas para o PRVJT são apresentados na Seção 4. Por fim, a Seção 5 apresenta as conclusões e considerações finais do artigo assim como sugestões para serem desenvolvidas como trabalhos futuros. 1803

3 2 Descrição do Problema Considere um conjunto de viagens onde cada viagem i é especificada por um intervalo de tempo [a i, b i ], no qual a viagem deve ser iniciada. Uma viagem é chamada uma jornada produtiva. Define-se inter-viagem ou viagem de conexão como sendo uma jornada nãoprodutiva conduzida por um veículo. Assim, uma inter-viagem é representada pelo arco (i, j) que vai do final da viagem i para o início da viagem j. A cada inter-viagem (i, j) associamos um tempo de duração dado por t ij e um custo dado por c ij. Uma rota é uma seqüência de viagens e inter-viagens conduzida pelo mesmo veículo. Considere P como sendo o conjunto das viagens, I o conjunto das inter-viagens, A o conjunto de arcos (arestas), A = I ({s} P ) (P {t}), e N o conjunto de nós, N = P {s, t}. Uma interviagem é considerada se e somente se for possível realizar a viagem j depois da viagem i, onde a restrição de intervalo de tempo (a i + t ij b j ) é respeitada (Desrosiers et al., 1983; Desrochers and Soumis, 1988; Oliveira, 2001). A formulação para a definição de rotas ótimas para viagens pode ser definida a partir das seguintes variáveis: { 1 se o arco (i, j) for usado por um veículo x ij =, onde (i, j) A 0 caso contrário t i : variável que representa o tempo associado ao início de cada viagem i, com i P. As rotas ótimas que respeitam as restrições de horários são as soluções para o seguinte problema: Minimizar sujeito a c ij x ij (i,j) A x ij = 1, i P (1) j N x ik = 1, i P (2) k N x ij 0, (i, j) A x ij > 0 t i + t ij t j (i, j) N (3) a i t i b i, i P (4) x ij = {0, 1}, (i, j) A A restrição (1) informa que de algum nó j o veículo chegará ao nó i e a restrição (2) indica que o veículo que chegou ao nó i terá que partir para algum nó j. A restrição (3) descreve a compatibilidade requerida entre as rotas e os horários e a restrição (4) estabelece o intervalo de tempo no qual a viagem deve ser iniciada. 2.1 Formulação por Partição de Conjuntos A notação usada para a formulação do problema de Partição de Conjunto é apresentada nesta Seção. Além disso, discute-se a relaxação feita por programação linear que será resolvida utilizando o método de geração de colunas. Considere as seguintes variáveis : Ω: conjunto das rotas com os horários satisfazendo as restrições 3 e 4; 1804

4 { 1, se a rota r é usada y ir = 0, caso contrário. { 1, se a rota r inclui a viagem i δ ri = 0, caso contrário. c r : custo da rota r (a soma dos custos dos arcos percorridos pela rota mais o custo fixo por veículo). O processo de solução consiste em construir um conjunto de rotas com o menor custo, satisfazendo as restrições de horários e incluindo cada viagem exatamente uma vez. O problema-mestre que define o conjunto ótimo de rotas é formulado como um problema de partição de conjuntos dado por: Minimizar r Ω c r y r (5) sujeito a: r Ω δ ri y r = 1, i P (6) y r = {0, 1} (7) Devido ao grande número de rotas em Ω, a relaxação por Programação Linear do problema de partição de conjuntos é resolvido por geração de coluna. Uma nova coluna com o menor custo relativo é gerada e, a partir daí, resolve-se o problema de caminho mínimo com restrição de horário. Observe que esse é um sub-problema do problema original. 2.2 Solução do Sub-Problema A rota de custo mínimo satisfazendo as restrições de horário, chamada de Caminho Mínimo com Janela de Tempo (CMJT), é encontrada usando uma adaptação do algoritmo clássico de Ford-Bellman-Moore. O algoritmo de Ford-Bellman-Moore determina para cada nó uma etiqueta θ i representando o custo do caminho de ir da origem s para o destino i. Para problemas de caminho mínimo com restrição de horário, as rotas têm de ser comparadas em termos de seu tempo de chegada até os nós. Desta forma, o algoritmo CMJT requer um par de etiquetas para cada nó (tempo de chegada ao nó i, custo da rota). 2.3 Solução do Problema-Mestre O algoritmo simplex é usado para solucionar a relaxação linear do problema-mestre. Este método fornece os multiplicadores simplex π i necessários para geração de cada coluna e possibilita uma reotimização das novas colunas cada vez que são solicitadas. As rotas alternativas com custos relativos negativos são disjuntas, isto é, nós (viagens) inclusos em rotas anteriores serão desconsiderados na determinação de novas rotas. A construção de rotas disjuntas favorece o aparecimento de soluções inteiras. A construção de rotas disjuntas reduz o número de iterações de modo que o tempo computacional também é reduzido significativamente. A solução adotada neste trabalho para obtenção de soluções inteiras consiste na verificação de rotas disjuntas. Além disso, foram adotadas de estruturas de dados para acesso e armazenamento rápido aos nós visando determinar rapidamente rotas disjuntas e, com isso, minimizar o tempo de execução total do algoritmo. 1805

5 3 Descrição do Algoritmo Proposto para Resolução do Sub- Problema Destaca-se a seguir o algoritmo de Ford-Bellman-Moore para o problema de caminho mínimo (sem janela de tempo). Esse algoritmo determina para cada nó uma etiqueta c i a qual representa o custo de ir da origem s para o nó i utilizando a rota de custo mínimo. Os rótulos são melhorados recursivamente até que os valores ótimos sejam obtidos. 3.1 Algoritmo de Ford-Bellman-Moore Seja F (i) = {j : (i, j) A, j N} o conjunto de sucessores do nó i e L o conjunto de nós que ainda não foram explorados. A árvore de caminho mínimo saindo da origem s para todos os outros nós da rede é obtida associando-se a cada nó uma etiqueta que é melhorada a cada iteração do algoritmo. O método das etiquetas consiste na escolha de um nó i pertencente ao conjunto L, em seguida retira-se o nó i do conjunto L e tenta-se melhorar todos os sucessores do nó i. O novo nó melhorado é inserido no conjunto L. Assim, quando o conjunto L for vazio, a etiqueta c i associada ao nó i representará o caminho de comprimento mínimo saindo da origem s e terminando no nó i. O Algoritmo 1 apresenta os passos principais do Algoritmo de Ford-Bellman-Moore. Algoritmo 1 Algoritmo de Ford-Bellman-Moore Passo 0: Inicialização - o custo na origem s : c s = 0 - o custo nos demais nós: c i =, i s - L = {s} Passo 1: Exploração de F (i) - Escolha um nó i L - j F (i) tal que: c j > c i + c ij sendo c j = c i + c ij L = L {i} Passo 2: Resolução do conjunto L - L = L {i} - Se L = então FIM. - Senão, retorne ao Passo Natureza das Etiquetas Para resolver o problema de caminho mínimo com janela de tempo, as rotas têm outro atributo importante: o tempo de chegada até o nó i. Então, para tratar simultaneamente as variáveis de tempo t i e as variáveis de custo c i associadas a cada nó i, utiliza-se uma etiqueta formada por (t i, c i ), para rotular cada nó i. Uma etiqueta (t i, c i ) é atribuída ao nó i se e somente se existir um caminho possível de custo c i, saído da origem s e chegando ao nó i no menor tempo t i. Qualquer caminho saindo da origem s e chegando ao nó i com custo c i e com o tempo pertencente ao intervalo [t i, b i ] não tem custo de espera. 1806

6 O algoritmo de Ford-Bellman-Moore associa a cada nó uma única etiqueta que é progressivamente melhorada. Quando as restrições de horários (janela de tempo) são adicionadas ao problema, não é mais possível conservar unicamente a etiqueta melhorada para cada nó pois o par (t i, c i ) não tem ordem total no R 2. Então, faz-se necessário preservar um conjunto de etiquetas (t α i, cα i ), α 1. Esse conjunto determina um número finito de caminhos possíveis saindo da origem s e chegando ao nó i, e cada caminho produz uma etiqueta. Essas etiquetas formam, para cada nó i, uma lista Q i. A lista Q i é atualizada seqüencialmente a partir das informações em Q i, mais as informações encontradas ao considerar os caminhos de s e j, compostas do caminho de s e i do arco (i, j). 3.3 Relação de Ordem das Etiquetas O conjunto de etiquetas Q i, para cada nó i, guarda as menores distâncias referentes aos diferentes tempos localizados no intervalo [a i, b i ]. Define-se então a relação de ordem parcial para o nó i: (t 1 i, c1 i ) (t2 i, c2 i ) (t1 i t2 i ) e (c1 i c2 i ). Uma etiqueta pertencente ao conjunto Q i é denominada etiqueta mínima se não existir um outra etiqueta inferior a ela segundo uma relação de ordem. Assim, as etiquetas mínimas guardam o comprimento do caminho ótimo da origem s ao destino i. Um conjunto de etiquetas é dito irredutível se todas as etiquetas são mínimas. Uma etiqueta mínima é ótima (t i, c i ) se, quando o princípio de otimalidade (se os caminhos mínimos de todos os predecessores de j são conhecidos, então, pode-se determinar o caminho mínimo até j) é aplicado a esta etiqueta, a mesma continua com o menor caminho satisfazendo as restrições de horário em relação as outras etiquetas do conjunto. O resultado desta aplicação permite reduzir o conjunto de etiquetas de cada nó retirando aquelas que não são mínimas e conservando o conjunto das etiquetas irredutíveis dentro do tempo de atendimento permitido. O conjunto irredutível associado ao nó i é ordenado em função da variável de tempo que é estritamente crescente, observando que os comprimentos c i estão em ordem decrescente. O conjunto irredutível associado ao nó i contém α(i) pares de etiquetas: (t α i, cα i ), α = 1, 2,..., α(i), com a i t 1 i < t2 i < < tα(i) i b i e c 1 i > c2 i > cα(i) i. 3.4 Algoritmo de Caminho Mínimo com Janela de Tempo Apresenta-se a seguir o algoritmo de caminho mínimo com as restrições de janela de tempo nos nós, de modo similar ao algoritmo de Ford-Bellman-Moore. O algoritmo armazena em cada nó pares de etiqueta (t i, c i ), ou seja, uma rota de custo mínimo chegando ao nó i, no tempo t i. Seja Q i = (t α i, cα i ), α = 1, 2,..., α(i), um conjunto irredutível de etiquetas associadas ao nó i. Assim, unindo o arco (i, j) aos caminhos que saem da origem s e chegam em i, obtem-se o conjunto Q j associado ao nó j através da seguinte aplicação: onde F ij (Q i ) = α f ij {(t α i, cα i )} { f ij {(t α i, c α (max{[a j, t α i i )} = + t ij]}, c α i + c ij), se t α i + t ij b j, caso contrário 1807

7 A definição de f ij permite um tempo de espera no nó j, quando o tempo de chegada for menor que o limitante inferior da janela de tempo. O novo conjunto F ij (Q i ) não é necessariamente irredutível, pois etiquetas que não sejam mínimas podem ser geradas. Denota-se por F ij (Q j ) Q i a redução de F ij (Q i ) Q j conservando apenas as etiquetas mínimas. As etiquetas associadas a um nó estão localizadas dentro de uma lista com os tempos em ordem crescente. Os passos principais do etiquetamento para Problemas de Caminho Mínimo com Janela de Tempo são apresentados de acordo com o Algoritmo 2. Algoritmo 2 Algoritmo de Caminho Mínimo com Janela de Tempo - ACMJT Passo 0: Inicialização - Q s = {(t 1 s = a s, c 1 s = 0)} - Q i = {(t 1 i = a i, c 1 i = )} para i s - L = {s} Passo 1: Explorando F (i) - Escolha i L - j F (i) tal que F ij (Q j ) Q i Q j - Q i = F ij (Q j ) Q i - atualização: L = L {j} Passo 2: Redução de L - L = L {i} - se L = então FIM - senão, retorna ao passo 1. 4 Resultados Computacionais Os resultados apresentados nesta seção correspondem aos experimentos realizados com a execução do método proposto sob vários conjuntos de entradas baseados nas instâncias de Solomon (Solomon, 1987). Nesses conjuntos de entradas, foi considerado a mesma quantidade e ordem de nós das instâncias de Solomon assim como a janela de tempo (READY TIME e DUE DATE). A distância entre nós foi calculada a partir da distância euclidiana tomando-se como base a posição (XCOORD e YCOORD) de cada nó. Além disso, a formulação adotada utiliza apenas um veículo e não considera a capacidade dos veículos. O algoritmo que implementa o método proposto espera que os conjuntos de entradas estejam organizados como um grafo onde o nó fonte possui uma aresta para todos os demais nós, assim como todos os nós possuem arestas para esse nó fonte. A Figura 1 apresenta um exemplo de um grafo de rotas. Neste exemplo, há cinco nós distintos (os dois nós S representam o nó de entrada/fonte do grafo) e dez arestas. 1808

8 Figura 1: Exemplo de grafo de rotas adotado pelo método. Os experimentos apresentam resultados da solução e tempo computacional obtidos após a execução do método proposto considerando instâncias com 50 nós (Tabelas 1 e 2), 100 nós (Tabela 3) e com uma implementação paralela do método proposto também considerando instâncias com 50 nós (Tabela 4). Os experimentos apresentados nas Tabelas 1, 2 e 3 foram executados sob uma plataforma computacional composta por um Processador Pentium IV 2.80GHz, 512MB de memória RAM, 60GB de disco e sistema operacional Linux Fedora Core 6. Nessas tabelas, as colunas I, D e T, representam respectivamente, a instância de Solomon que está sendo utilizada, a distância obtida pelo método e o tempo de execução (em segundos) do método. Os experimentos apresentando os resultados com a versão paralela do método (Tabela 4) foram executados em uma plataforma formada por Processador Intel Xeon Quad-Core, 4 GB RAM, 160GB disco e sistema operacional Linux Fedora Core 6. As Tabelas 1 e 2 apresentam os valores correspondentes à distância do caminho mínimo (coluna Distância) e o tempo computacional (coluna Tempo) de 36 instâncias separadas em 6 classes, cada uma com 6 instâncias, obtidos pela execução do método proposto. A coluna Tempo apresenta os valores em segundos. Tabela 1: Resultados com instâncias de 50 nós para as classes R1, C1 e RC1. R1 C1 RC1 I D T I D T I D T r ,17 3 c ,37 10 rc ,36 25 r ,81 10 c ,11 34 rc ,29 29 r ,28 46 c ,25 14 rc ,46 66 r ,44 13 c ,26 6 rc ,53 37 r ,25 20 c ,24 17 rc ,61 36 r ,13 19 c ,18 31 rc , Tabela 2: Resultados com instâncias de 50 nós para as classes R2, C2 e RC2. R2 C2 RC2 I D T I D T I D T r ,95 65 c ,71 10 rc ,21 19 r ,13 81 c ,96 38 rc ,79 40 r ,31 30 c ,54 16 rc , r , c ,43 36 rc ,11 40 r , c , rc ,35 92 r , c ,94 30 rc ,

9 No experimento apresentado nas Tabelas 1 e 2 é interessante observar o desempenho do algoritmo sob a maior parte das instâncias. Deve-se destacar aqui que a discrepância para resultados ótimos, referentes à distância percorrida, encontrados na literatura (Sintef, 2005) é devida ao tratamento dado ao número de veículos, apenas um veículo é utilizado no método proposto, e as suas capacidades. A Tabela 3 apresenta os resultados considerando um conjunto de instâncias (sub-conjunto com melhor tempo de execução em cada grupo das Tabelas 1 e 2) com 100 nós. Tabela 3: Resultados com instâncias de 100 nós. Classes I D T r , r , R1 r , r , r , R2 r , c , C1 c , c , c , C2 c , c , RC2 rc , Os resultados apresentados nas Tabelas 1, 2 e 3 demonstram que o método apresentado neste trabalho pode obter soluções para problemas de roteamento de grande porte em tempo de execução aceitável. A Tabela 4 apresenta os valores correspondentes ao tempo de execução computacional (em segundos) da versão seqüencial (coluna Tempo Seqüencial) e paralela (Tempo Paralelo) do método proposto. A execução das duas versões do método ocorreram sob o mesmo ambiente computacional (computador com quatro núcleos de processamento). A implementação da versão paralela consiste, basicamente, na paralelização de laços existentes no código do algoritmo através da utilização da biblioteca OpenMP (Chandra et al., 2001) para programação paralela. Para este experimento, foram escolhidas 6 instâncias do grupo R2, cada uma com 50 nós. Tabela 4: Comparação entre a Execução Seqüêncial e a Execução Paralela do Método. Instâncias Tempo Seqüencial Tempo Paralelo r r r r r r Os resultados apresentados na Tabela 4 mostram que a paralelização do algoritmo que implementa o método proposto gera ganhos significativos com relação ao tempo de execução. A melhoria no desempenho entre a versão paralela e a sequencial variou entre , o que indica um ganho máximo de 36% sob a versão seqüencial. 1810

10 5 Conclusões Este artigo apresentou um método para o Problema de Roteamento de Veículos com Janela de Tempo (PRVJT). A construção do método é baseada no algoritmo Simplex com a técnica de Geração de Colunas. Além disso, foi implementado um algoritmo de Caminho Mínimo com Janela de Tempo que surge como sub-problema no algoritmo Simplex para resolver o problema de partição de conjuntos. Esse problema é utilizado na modelagem do problema de roteamento com janelas de tempo. Experimentos foram executados utilizandos conjuntos de entradas baseados em 36 instâncias de Solomon com até 100 nós. Os resultados obtidos revelam que o método proposto pode ser adotado (quanto ao tempo de processamento) para resolução de problemas de roteamento com restrições de janelas de tempo de considerável complexidade. Isso se deve ao fato de obter soluções em tempo computacional (variação de segundos entre as 36 instâncias) comparável com heurísticas existentes na literatura da área. Além disso, uma implementação paralela do algoritmo se mostrou atrativa pois gerou ganhos de desempenho de 36% sobre a versão seqüencial. Alguns trabalhos trabalhos futuros devem focar o aprimoramento da formulação a fim de melhor comparar as soluções obtidas pelo método proposta com soluções da literatura. Há também a possibilidade de aprofundar os estudos em torno da paralelização do algoritmo. Devido à natureza iterativa do algoritmo Simplex, espera-se que estudos mais aprofundados sobre as possibilidades de paralelização possam gerar ganhos de desempenho ainda mais significativos. Outras possibilidades de trabalhos futuros voltam-se para a formulação do problema (e implementação do algoritmo) considerando múltiplos veículos e um estudo detalhado sobre as possibilidades de arredondamento a fim de obter soluções inteiras. 6 Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pelo apoio financeiro e ao Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales pelas sugestões dadas a este trabalho. Referências L. D. Boldin and B. L. Golden. Classification in Vehicle Routing and Scheduling. Networks, 11:97 108, M. P. F. Caramuru. Uma Metodologia Híbrida Colônia de Formigas-Busca Tabu-Reconexão por Caminhos para Resolução do Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo. Master s thesis, CEFET-MG, Belo Horizonte, R. Chandra, L. Dagum, D. Kohr, D. Maygan, J. Mcdonald, and R. Menon. Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufman Publishers Inc., T. H. Cormen, C. E. Leiserson, and R. L. Rivest. Introduction to Algorithms. MIT Press, C. B. Cunha. Uma Contribuição para o Problema de Roteirização de Veículos com Restrições Operacionais. PhD thesis, Departamento de Engenharia de Transportes - EP/USP, São Paulo, C. B. Cunha. Aspectos Práticos da Aplicação de Modelos de Roteirização de Veículos a Problemas Reais. Transportes, 8(2),

11 M. Desrochers, J. Desrosiers, and M. Solomon. A New Optimization Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. Operation Research, 40: , M. Desrochers and F. Soumis. A Generalized Permanent Labelling Algorithm for the Shortest Path Problem with Time Windows. INFOR, 26, J. Desrosiers, P. Pelletier, and F. Soumis. Plus Court Chemin Avec Constraintes d Horaires. RAIRO, 17: , J. Desrosiers, F. Soumis, M. Desrochers, and M. Sauvé. Methods for Routing with Time Windows. European Journal of Operational Research, 23: , M. Fisher and R. Jaikumar. A Generalized Assignment Heuristics for Vehicle Routing. Networks, 23: , M. L. Fisher, K. O. Jörnsten, and O. B. G. Madsen. Vehicle Routing with Time Windows: Two Optimization Algorithms. Operations Research, 45: , M. R. Garey and D. S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Company, R. M. Oliveira. A Técnica de Geração de Colunas Aplicada a Problemas de Roteamento. Master s thesis, ICMC-USP, São Carlos, Sintef. Best Known Solutions Identified by Heuristics for Solomon s (1987) Benchmarks Problems M. M. Solomon. On the Worst-Case Performance of Some Heuristics for the Vehicle Routing and Scheduling with Time Windows Constraints. Networks, 16: , M. M. Solomon. Algorithms for Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Windows Constraints. European Journal of Operational Research, 35: , R. E. Tarjan. Data Structures and Network Algorithms. Conference Series in Applied Mathemathics,