Avaliação de Heurísticas de Melhoramento e da Metaheurística Busca Tabu para Solução de PRV

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1 Avaliação de Heurísticas de Melhoramento e da Metaheurística Busca Tabu para Solução de PRV Eliseu Celestino Schopf 1, Claudio Schepke 1, Marcus Lucas da Silva 1, Pablo Furlan da Silva 1 1 Centro de Eletrônica e Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) Faixa de Camobi, km 9 - Santa Maria - RS - Brasil {eliseu, schepke, marc, pablof}@inf.ufsm.br Resumo. O roteamento de veículos é um problema de otimização combinatória, que consiste em arranjar o conjunto ótimo de rotas para determinada frota de veículos, de maneira a servir a um dado conjunto de clientes. O interesse no problema de roteamento de veículos é motivado pela sua relevância prática e pela sua considerável dificuldade. Na resolução desse problema, tratada neste artigo, são feitas comparações entre as heurísticas construtivas do Vizinho Mais Próximo, do Vizinho Mais Próximo Dá Chance e do de Savings. Também, as heurísticas de Melhoramento 2-OPT Intra-rotas, 2-OPT Inter-rotas e algoritmo de Swap, bem como a metaheurística Busca Tabu são comparadas a partir da execução sobre as soluções resultantes da melhor heurística construtiva. Dessa forma, conseguiu-se quantificar, neste estudo de caso, as melhorias definidas por cada heurística. 1. Introdução Uma classe de problemas que desperta interesse, por parte de pesquisadores, devido a sua complexidade, são os problemas não determinísticos em tempo polinomial (NP). Esses problemas não apresentam soluções viáveis através de algoritmos tradicionais, devido à alta exigência de tempo para a sua resolução. Uma alternativa normalmente adotada, é fazer uso de métodos heurísticos. Os métodos heurísticos visam encontrar uma solução, não necessariamente a melhor, em um tempo computacional aceitável. Estes são aplicados a problemas cuja obtenção da solução ótima é computacionalmente dispendiosa quando calculada por métodos exatos. As heurísticas analisadas neste artigo podem ser subdivididas em: Heurísticas Construtivas: Utilizam técnicas de adição na construção da solução do problema. A cada iteração vão sendo agregados pontos as rotas parciais. Esta construção é um processo contínuo e gradativo; Heurísticas de Melhoramento: A partir de uma solução inicial, são feitas trocas com o objetivo de melhorá-la. A cada passo são feitas trocas a fim de diminuir o custo original da rota. Estas tentativas de troca são feitas até um critério de parada, pré-estabelecidos, como o tempo, um determinado número de iterações ou a não existência de soluções aprimorantes no espaço de trocas definido. Outra definição utilizada que visa buscar um resultado viável para problemas da classe NP, em um tempo computacional, aceitável é a de metaheurística. Esta consiste em uma forma de controlar técnicas heurísticas a fim de permitir a inserção de pioras, buscando evitar encontrar soluções ótimas locais. Desta forma, é possível obter uma melhor

2 solução geral para o problema. A metaheurística de Busca Tabu é analisada neste artigo. Um dos problemas da classe NP é Problema do Roteamento de Veículos (PRV). O PRV é o nome genérico dado a uma classe de problemas, no qual é preciso determinar as rotas que minimizem o custo das mesmas de todos os pontos em uma dispersão geográfica. Ele pode ser utilizado em uma série de situações práticas tanto em âmbito local (centros distribuidores de produtos), quanto nacional (indústria automotiva) [GALBIER,2004]. O presente artigo tem como principal objetivo quantificar, conforme os estudos realizados e apresentados ao longo deste, as melhorias definidas pelas heurísticas de melhoramento e metaheurística Busca Tabu no Problema de Roteamento de Veículos. A seção 2 descreve as heurísticas codificadas e aplicadas. A seção 3 apresenta a análise das heurísticas de melhoramento e da metaheurística Busca Tabu sobre o construtivo de melhor resultado, e a seção seguinte conclui o presente trabalho. 2. Descrição das Heurísticas Aplicadas Para resolução do Problema de Roteamento de Veículos, foram empregadas heurísticas construtivas, de melhoramento e metaheurística, que seguem abaixo descritas. 2.1 Heurísticas Construtivas Algoritmo Vizinho Mais Próximo A heurística do Vizinho Mais Próximo, descrita por Solomon [SOLOMON,1987], utiliza uma matriz para definir a distância entre os pontos. O percurso é construído com base na distância entre estes pontos, sendo o ponto mais próximo da origem adicionado primeiro e os demais pontos adicionados posteriormente conforme a necessidade da criação de novas rotas. Um ponto é adicionado a uma rota, segundo a sua proximidade em relação ao último ponto adicionado. Este processo se repete enquanto o limite da capacidade da rota é respeitado. Algoritmo Vizinho Mais Próximo Dá Chance Este método é semelhante ao método de busca do Mais Próximo, porém, em vez de encerrar a rota quando a demanda é extrapolada, ele escolhe o ponto mais próximo seguinte ao atual. Porém, se a demanda deste for maior que o espaço ainda existente para a rota, repete-se este passo sucessivamente, até encontrar um elemento que respeite a demanda ainda disponível da rota. Caso não for encontrado nenhum, encerra-se rota. O objetivo desta modificação sobre o Vizinho Mais Próximo é diminuir o número total de rotas. Algoritmo de Savings O Algoritmo de Savings, ou Algoritmos das Economias, proposto por Clarke e Wright [CLARKE,1964], baseia-se na noção de economias, que pode ser definido como o custo da combinação, ou união, de duas sub-rotas existentes. Trata-se de uma heurística iterativa de construção baseada numa função gulosa de inserção. Um algoritmo de Savings inicia com um processo iterativo que visa percorrer todas as cidades duas a duas, de maneira a calcular as economias, ou seja, sendo i e j cidades distintas, C ij o custo entre as duas cidades, e 0 o depósito, tem-se as economias S ij : S ij = C 0i + C j0 - C ij

3 Esta fórmula permite, então, ter o conhecimento das cidades com distâncias mais próximas. Em segunda instância, um outro processo iterativo busca o maior Savings, toma as duas cidades mais próximas e as roteia em relação à cidade-base. Segundo a definição de [LIU, 1999], duas rotas contendo os clientes i e j podem ser combinadas, desde que i e j estejam ou na primeira ou na última posição de suas respectivas rotas e que a demanda total das rotas combinadas não ultrapasse a capacidade do veículo. Por ser sempre escolhida a maior economia dentre as possíveis, a função de escolha é dita gulosa. 2.2 Heurísticas de Melhoramento Heurística 2-OPT Intra-rotas O método de melhoramento 2-OPT intra-rotas proposto por [LINS,1973], consiste na possível troca de dois arcos, não consecutivos, de uma rota e refazer as conexões, criando uma nova rota. Se o custo da nova rota for menor que o custo da rota original, a nova é mantida. O processo termina através de um critério de parada. Como pode ocorrer inversão de sentido em parte da rota, pressupõe-se simetria de distâncias. Heurística 2-OPT Inter-rotas O método de melhoramento 2-OPT inter-rotas proposto por [LINS,1973], consiste na possível troca de dois arcos de duas rotas diferentes, um de cada rota e refazer as conexões, criando duas rotas novas. As novas rotas serão mantidas se o custo delas forem menores que o custo das rotas originais e se a capacidade dos veículos não for ultrapassada. O processo termina através de um critério de parada. Como pode ocorrer inversão de sentido em parte da rota, pressupõe-se simetria de distâncias. Swap O algoritmo de Swap, descrito em [CORBERAN,2000], consiste de trocas simples entre cidades das rotas. Duas cidades diferentes são escolhidas aleatoriamente e, se a troca delas diminui o custo total das rotas, essas cidades são trocadas de posição. O processo termina através de um critério de parada podendo este ser um número de iterações pré-estabelecido. 2.3 Metaheurística Busca Tabu O método de Busca Tabu, proposto por Glover e Laguna [GLOVER,1997], consiste num procedimento adaptativo que guia um algoritmo de busca local na exploração contínua do espaço de busca, sem ser confundido pela ausência de vizinhos aprimorantes, retornando a um ótimo local previamente visitado (condição desejada, mas não necessária). O método de Busca Tabu parte de uma solução inicial e, a cada iteração, move-se para a melhor solução na vizinhança, não aceitando movimentos que levem a soluções já visitadas armazenadas em uma lista tabu. Esta lista permanece na memória guardando as soluções já visitadas (tabu) durante um espaço de tempo ou durante um certo número de iterações (prazo tabu). Ao contrário de algoritmos como o GRASP [FEO,1995], que não usa memória para armazenar conhecimento sobre os espaços percorridos, a Busca Tabu utiliza estruturas flexíveis de memória para esta finalidade. Graças ao uso intensivo de memória adaptativa, o método de Busca Tabu consegue ter boas soluções. Além disso, a solução final tem pouca dependência com a inicial pelo fato de os mecanismos que o método implementa fugir de ótimos locais.

4 3. Análise dos Algoritmos de Melhoramento Implementados e da Metaheurística Busca Tabu Neste trabalho, foram efetuados estudos relacionados à aplicação e combinação de heurísticas e metaheurística Busca Tabu para resolução do Problema de Roteamento de Veículos. Os algoritmos foram implementados na linguagem Java, utilizando o pacote JDK 1.4.1_02. As execuções foram feitas em um computador com processador Pentium 4 de 2.4 Ghz de freqüência, 512 MB de memória física e 512 KB de memória cache. A ordem dos testes efetuados é descrita conforme a estrutura exposta na figura 1. Primeiramente, há um módulo de entrada, responsável pela aquisição das instâncias 1 em um arquivo com formato específico. Este arquivo possui o número total de cidades a serem percorridas pelos veículos, as capacidades máximas dos veículos, a localização do ponto de origem, bem como a localização das demais pontos e de suas demandas. Todas as estruturas de dados são representadas através de inteiros, sendo que a matriz de distâncias é obtida através do truncamento dos números. Além da matriz de distâncias, o módulo inicial também disponibiliza o vetor de demandas e outras informações úteis, como o número de cidades e a capacidade dos veículos. Figura 1: Passos adotados para análise das heurísticas de melhoramento e da metaheurística. Em um segundo momento, as informações de entrada são oferecidas às três heurísticas construtivas. Este bloco de processamento fornece o custo e as rotas formadas por cada um dos algoritmos. Essas informações são analisadas e apenas o melhor resultado gerado é passado como entrada às heurísticas de melhoramento a metaheurística de Busca Tabu. Esta última, conforme avaliações prévias realizadas, foi definida com uma lista tabu de tamanho 11 e efetua iterações em busca de uma melhor solução. 1 Foram analisadas três instâncias, intituladas 'DGRVB7XUPD, e, as quais podem ser baixadas em htttp://

5 Os resultados gerados, como o número total de rotas, pontos pertencentes a cada rota, bem como o custo e demanda para cada uma delas, além do custo, demanda e tempo de execução total, são gravados em um arquivo de saída. Para este artigo serão analisados somente os custos de formação das rotas. 3.1 Comparação e análise dos custos das Heurísticas Construtivas Com base na execução sobre diversas instâncias, pode-se concluir que o algoritmo de Savings é superior em todos os casos analisados. Isto se deve ao ordenamento inicial das economias, informação utilizada no algoritmo para que cidades muito distantes da origem sejam ligadas entre si, a fim de diminuir o custo da formação de uma rota. Já o método do Vizinho Mais Próximo Dá Chance apresentou-se superior ao Vizinho Mais Próximo somente em um dos casos. A tabela 1 apresenta o resultado dos custos, enquanto que a tabela 2 mostra a porcentagem média de melhoria dos métodos Vizinho Mais Próximo e Savings em relação ao Vizinho Mais Próximo Dá Chance, o qual apresentou o pior caso. Tabela 1: Heurísticas construtivas para as quatro instâncias propostas. Savings VMP VMPDC Dados_Turma Tabela 2: Porcentagem de melhoria do método Vizinho Mais Próximo e de Savings em relação ao Vizinho Mais Próximo Dá Chance. Heurística Melhoria (porcentagem) Vizinho Mais Próximo 4.04 Savings Comparação e análise das Heurísticas de Melhoramento e Busca Tabu As heurísticas de melhoramento e as metaheurísticas sofrem grande influência das soluções iniciais. Em geral uma solução inicial de boa qualidade apresenta um processo de busca mais rápido e de melhor qualidade. Por este motivo é que estas execuções foram feitas com base nos resultados fornecidos pelo Savings. As comparações de custo entre as heurísticas de melhoramento 2-OPT Intra-rotas, 2-OPT Inter-rotas, de Swap e da metaheurística Busca Tabu, realizadas sobre as instâncias Dados_Turma, 51 e 101 podem ser visualizadas através das figuras 2, 3 e 4, respectivamente. Na instância Dados_Turma a metaheurística Busca Tabu obteve o melhor resultado, sendo 1.78% melhor do que o segundo colocado, assumido pelo 2-OPT Interrotas. Já na instância 51, a Busca Tabu obteve uma melhora de 4.5% sobre o 2-OPT Interrotas enquanto que na instância 101 a melhora foi de 0.82%. A tabela 3 mostra os custos e a porcentagem de melhora para cada uma das heurísticas de melhoramento e a Busca Tabu, sobre o método de Savings. Os melhores resultados estão enfatizados em itálico. De uma forma geral, a Busca Tabu obteve uma significativa melhora em relação aos demais métodos. Entre os de melhoramento o método 2-OPT Inter-rotas obteve os melhores resultados, seguido pelo Swap e o 2-OPT Intra-rotas, lembrando que o último não se concentra somente no custo da rota.

6 Custos de Melhoramento e Tabu - Dados_Turma Intr a Rotas Inter Rotas Swap T abu Figura 2: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na instância Dados_Turma Intra Rotas Inter Rotas Sw ap Tabu Figura 3: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na instância 51. "!#%$'&(*)+(-,./$-01"23(4"#%$5(' :<;8: Intra Rotas Inter Rotas S wap T abu Figura 4: Comparação entre os custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e Busca Tabu na instância 101.

7 Tabela 3: Custos obtidos pelas heurísticas de melhoramento e metaheurística de lista Tabu e porcentagem de melhora, a partir do algoritmo de Savings. Dados_Turma Gerado pelo Savings 9788 Melhora 575 Melhora 855 Melhora 2-OPT Intra-rotas % % % 2-OPT Inter-rotas % % % Swap % % % Tabu ( iterações) % % % 4. Conclusão A solução de problemas de grande porte pode fazer uso da combinação de diversas técnicas heurísticas. A escolha correta para esta combinação é um fator decisivo para a obtenção de bons resultados. Desta forma é possível fazer a combinação das características positivas oferecidas por cada método. Para este trabalho, a implementação do Savings se apresentou mais eficiente entre as heurísticas construtivas. A estrutura deste algoritmo busca evitar que os pontos que ficam longe da origem sejam ligados diretamente a ela. Nas heurísticas de melhoramento, o número de trocas possíveis interfere na possibilidade de formação de rotas com custos menores. Como resultado geral a Busca Tabu conseguiu obter a melhor solução em relação às demais implementações. A estratégia utilizada em sua implementação foi a de descida mais rápida, a qual converge rapidamente para ótimos locais. Uma melhoria que poderia ser incorporada em um trabalho futuro é a implementação da Busca Tabu de forma híbrida com outras heurísticas de melhoramento. Referências Bibliográficas [CLARKE,1964] CLARKE, G. & WRIGHT, J., "Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points", Operations Research, 12 #4, , [CORBERAN,2000] CORBERÁN, A. & FERNÁNDEZ, E. & LAGUNA, M. & MARTÍ, R. Heuristic Solutions to the Problem of Routing School Buses with Multiple Objectives. Departament d Estadística i Investigació Operativa, Universitat de València, Burjassot 46100, Spain.August 7, [GALBIER,2004] GALBIER, F & LORENA, L. A. N. Uma Heurística Construtiva aplicada a Problemas de Roteamento de Veículos [LINS,1973] LINS, S. & B. W. Kernigham. An Effective Heuristic Algorithm for the Traveling Salesman Problem, Operations Research, v.21, p , [LIU,1999] LIU, Fuh-Hwa & SHEN, Sheng-Yuan, A Metohd for Vehicle Routing Problem with Multiple Vehicle Types ad Time Windows, Department of Industrial Enginnering and

8 Management National Chiao Tung University, Hsinchu, Taiwan, Proc. Natl. Sci. Counc., vol 23, n. 4, p , [SOLOMON,1987] SOLOMON, M.M. Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints. Operations Research, 35(2): p