META-HEURÍSTICA SIMULATED ANNEALING APLICADA AO PROBLEMA DO ROTEAMENTO DE VEÍCULOS CAPACITADOS COM RESTRIÇÕES DE CARREGAMENTO BIDIMENSIONAL

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1 META-HEURÍSTICA SIMULATED ANNEALING APLICADA AO PROBLEMA DO ROTEAMENTO DE VEÍCULOS CAPACITADOS COM RESTRIÇÕES DE CARREGAMENTO BIDIMENSIONAL Andre Renato Sales Amaral (UFES) Roger Senna Rosa (UFES) Esse trabalho apresenta o uso da meta-heurística Simulated Annealing para a solução do problema do Roteamento de Veículos Capacitados com Restrições de Carregamento Bidimensional, com um formato de vizinhança que incorpora a organização dos itens com a busca da solução vizinha de menor custo gerada a partir de trocas aleatórias de clientes entre rotas. Palavras-chave: Simulated Annealing, 2L-CVRP, Logística.

2 1. Introdução O problema do roteamento de veículos capacitados (Capacitated Vehicle Routing Problem - CVRP) é um problema logístico importante, que consiste em construir rotas para uma frota de veículos de mesma capacidade, partindo de um depósito central, de forma a atender às demandas de um conjunto de clientes, respeitando as capacidades dos veículos que irão atender a esses clientes, enquanto minimizando as distâncias percorridas por esse veículos. Para o transporte de cargas, é frequentemente necessário realizar o carregamento de um conjunto de itens retangulares que não podem ser empilhados, por causa ou de seu peso ou fragilidade. Nesses casos, o CVRP precisa incluir restrições adicionais que refletem a característica do carregamento bidimensional relevante ao problema (IORI et al., 2005). A resolução de um problema de carregamento bidimensional, traz um custo computacional maior para o CVRP, pois há a necessidade de se verificar se existe uma disposição viável dos itens dentro da área de carga do veículo, o que não é trivial. O CVRP com restrições de carregamento bidimensional é denominado 2L-CVRP. É comum também, ainda devido ao peso ou à fragilidade, que a carga de um cliente não possa ser reposicionada dentro do veículo antes do momento de sua entrega, o que torna necessário que os itens de cada cliente sejam dispostos de acordo com a ordem em que devem ser entregues. Esse requerimento é denominado restrição de sequenciamento e o problema envolvendo essa restrição é denominado 2L-CVRP sequencial. Iori et al. (2007) propuseram o 2L-CVRP e o resolveram utilizando um algoritmo branch-andcut para lidar com as características de roteamento e um algoritmo branch-and-bound para obter carregamentos viáveis dos itens nos veículos. Outro algoritmo Branch-and-Cut foi proposto por Azevedo et al. (2009), o qual difere do algoritmo anterior por fazer uso de diferentes familias de desigualdades para o CVRP e de diferentes estratégias de inserção de plano de cortes. Tanto o problema do empacotamento quanto o do roteamento de veículos são NP-difíceis. Por esse motivo, instâncias maiores do 2L-CVRP requerem o uso de heurísticas e meta-heurísticas capazes de guiar a busca até uma boa solução em tempo computacional razoável. Gendreau et al. (2008) propuseram um algoritmo meta-heurístico baseado em busca tabu para o 2L-CVRP. Outros algoritmos baseados em busca local evolutiva multi-início (DUHAMEL 2

3 et al., 2011), busca tabu guiada (ZACHARIADIS et al., 2009) e colônia de formigas (FUELLERER et al., 2009) também foram apresentados por outros pesquisadores. Neste artigo propomos o uso da meta-heurística Simulated Annealing (SA) para a solução do 2L-CVRP sequencial. Na seção 2 descrevemos o problema e discutimos as restrições. Na seção 3, descrevemos o algoritmo SA proposto, e na seção 4 discutimos os resultados do experimentos computacionais. 2. Descrição geral do problema Considere um grafo completo G=(V, E), onde V é um conjunto de n+1 vértices, em que o vértice 0 corresponde ao depósito e os vértices numerados (1,2,3,..., n) correspondem aos clientes; e E é o conjunto de arestas, havendo um custo c ij para se trafegar através da aresta (i, j). A demanda de cada cliente i ( i=1,..., n) consiste em m i itens com peso total d i : cada item I l (l=1,...,m i ) tem dimensões w il e h il. Há v veículos disponíveis, cada um com capacidade de carga D e uma área de carga de dimensões W por H, sendo A = W. H a área de carga do veículo. A área demandada por cada cliente é definida como (IORI et al., 2007): m i a i = l=1 h il w il A cada veículo k é atribuída uma rota, com início e fim no depósito, e que inclui um subconjunto de clientes S( k ) ( 1,2,...,n) ordenados de acordo com a ordem de atendimento. Para uma rota ser viável para o 2L-CVRP ela deve atender as duas restrições impostas: a de capacidade máxima de peso suportada pelo veículo e a de empacotamento bidimensional. Precisamente, a restrição de peso determina que a soma dos pesos d i dos itens de cada cliente i na rota não deve ultrapassar a capacidade D do veículo; e a restrição de empacotamento bidimensional determina que o arranjo dos itens dos clientes da rota não deve ultrapassar as dimensões da área de carga do veículo e que não deve haver sobreposição desses itens. Outras duas restrições serão consideradas no presente estudo: a restrição sequencial e de orientação. A restrição sequencial determina que o arranjo dos itens na superfície de carga do veículo deve respeitar a ordem em que os itens serão entregues ( i.e. Se o cliente A será 3

4 visitado antes do cliente B, os itens do cliente B não podem obstruir o descarregamento dos itens do cliente A). A restrição de orientação exige que a largura w e a altura h do item empacotado sejam paralelas à largura W e a altura H da área de carga do veículo, respectivamente. O objetivo é encontrar uma solução viável cuja soma de todas as arestas de todas as rotas seja a menor possível. Figura 1: Exemplo de solução viável Para determinar se uma rota atende as restrições de empacotamento, usamos a heurística Touch Perimeter (Perímetro de Contato) de Lodi et al. (1999), aplicada ao problema 2-SP 4

5 (Two Dimensional Strip Packing) por Iori et al. (2003). A heurística TP considera que existe uma faixa de largura fixa, com comprimento infinito. A heurística então insere os itens, respeitando a largura da faixa, a restrição de orientação e a restrição sequencial, retornando a altura h k do arranjo dos itens da rota. O custo c(k) de uma rota é dado por: c ( k) = r k + [ 0,hk H ] ( h H ) [a,b] + =max {a,b} k + β Onde r k é a soma das distâncias euclidianas entre os clientes consecutivos de cada rota, e do primeiro e último clientes ao depósito; β é uma constante; e [ 0,hk H ] ( h H ) k + β é uma penalidade que é somada à distância r k quando o arranjo dos itens da rota ultrapassa a altura da área de carga do veículo. O custo C(s) de uma solução é igual à soma dos custos c(k) de cada rota, acrescido de uma penalidade q( s) α caso alguma rota não satisfaça a restrição de peso. C V ( s) = c( k) +α q( s) k= 1 q(s)=max[ 0, ( d k D) ], 1 k V d k D 3. Simulated annealing A meta-heurística simulated annealing (SA), ou arrefecimento simulado, é uma metaheuristica de busca que varre aleatoriamente um espaço de soluções. Dado uma solução atual e uma estrutura de vizinhança N, cada solução vizinha da solução atual tem uma probabilidade P de ser avaliada. Se a solução vizinha avaliada representar uma melhora no custo em relação à solução atual, a solução vizinha substitui imediatamente a solução atual. Caso a solução vizinha represente um aumento no custo, a probabilidade de ela substituir a solução atual é dada por: 5

6 C /T X= e C= C (s') C (s) Portanto, o procedimento geral SA é: procedimento SA (C(.), N(.), α, maxiter, T 0, Tmin, s) s * s { s * : melhor solução obtida até o momento} itert 0 { itert: número de iterações na temperatura T} T T 0 { T : temperatura corrente} enquanto (T > Tmin) enquanto (itert < maxiter ) Gerar um vizinho s' aleatório na vizinhança N(s) C = C(s') C(s) se ( C < 0 ) então s s' se ( C(s') < C(s * )) então s * s senão Tome x [ 0,1] se ( x < e C / T fim-se itert= itert+1 fim-enquanto T T. α itert 0 fim-enquanto retorne s * fim-procedimento ) então s s' 3.1 Solução Inicial Nossa solução inicial é gerada de forma a garantir que todos os veículos atendam a restrição de peso. Não há qualquer consideração se as rotas atendem as restrições de empacotamento. 6

7 3.2 Vizinhança Dois tipos de movimentos são utilizados para definir a estrutura de vizinhança: Troca: Sorteia-se um cliente aleatório dentre os existentes, e uma rota aleatória dentre as existentes. O cliente é então retirado da rota em que se encontra e inserido na rota sorteada. Troca dupla: Sorteiam-se dois clientes aleatórios e diferentes. O segundo cliente sorteado é inserido no início da rota do primeiro cliente sorteado, e o primeiro cliente sorteado toma o lugar do segundo cliente sorteado em sua respectiva rota. Um desses dois movimentos é escolhido aleatoriamente a cada iteração. O primeiro movimento visa garantir que haja variação na quantidade de clientes nas rotas, e que haja uma redução na quantidade de rotas, quando possível. O segundo movimento aumenta a probabilidade de encontrar uma solução vizinha que respeite a restrição de peso. Com a troca simples, é bem provável que ao inserir o cliente em uma rota aleatória, a demanda total dos clientes dessa rota ultrapasse a capacidade do veículo. 3.4 Correção Observamos nos testes que nem sempre a minimização do número de veículos leva ao menor custo total da solução em termos de distância total percorrida pelos veículos. E que não é possível prever quantos veículos são necessários para se obter uma boa solução. Portanto, monitoramos o número de iterações em que a solução permaneceu inalterada. Se esse número de iterações sem mudança passar de um certo limite, introduzimos uma correção que consiste em voltar a aumentar a quantidade de veículos na solução. Esse aumento pode ocorrer de duas formas. Caso a restrição de empacotamento não seja respeitada em uma ou mais rotas, cada uma delas é dividida em duas, sendo atribuídas a dois veículos, até a quantidade total de veículos ser igual à (quantidade máxima de veículos) + 1 ou até que não haja mais rotas onde a restrição de empacotamento seja desrespeitada, o que ocorrer primeiro. 7

8 Caso não haja mais rotas onde a restrição de empacotamento seja desrespeitada, o procedimento anterior é repetido a partir da primeira rota, até que se atinja a quantidade máxima de veículos. Por último, temos uma última adaptação. Se a solução permanece inalterada por um tempo ainda maior, n*(número de iterações decorridas), o sistema retorna para a solução inicial e continua a busca com a temperatura atual. Na eventualidade de se chegar a um mínimo local do qual não foi possível sair nem mesmo com a primeira correção, a busca retorna à solução inicial para encontrar outro caminho para percorrer, agora com a temperatura menor que a inicial. Isso faz com que haja menos transições com aumento do custo da solução, intensificando a busca por vizinhos com custo menor que a solução atual. 4. Experimentos computacionais O algoritmo SA foi implementado na linguagem computacional C, utilizando o compilador GCC, no sistema operacional LINUX UBUNTU bit com processador Intel i de 3.1GHz. As instâncias de teste usadas aqui estão disponíveis em e são as mesmas instâncias usadas para testar a Busca Tabu por Gendreau et al. (2007). As instâncias estão subdivididas nas classes 1 a 5. A classe 1 compreende instâncias do CVRP puro, onde cada cliente tem apenas 1 item na sua carga, com altura e largura unitários. As classes 2 a 5 são instâncias do 2L-CVRP de dificuldade variável, que têm como base os clientes e as demandas do CVRP original, criadas usando o método descrito em Iori et al. (2007). Essas instâncias possuem até 32 clientes e até 102 itens no total (soma dos itens de todos os clientes). Para cada instância o algoritmo SA foi executado 10 vezes. A Tabela 1 mostra os resultados, por instância, de 10 execuções algoritmo SA. São apresentadas a melhor solução obtida, a média e o desvio padrão; seguidos da média e do desvio padrão dos tempos de execução. A Tabela 2 apresenta os resultados do algoritmo SA comparados com aqueles encontrados pela Busca Tabu de Gendreau et al. (2007). Para as instâncias 2L-CVRP, tiramos a média dos 8

9 resultados das classes de 2 a 5, que é a forma como foram apresentados os resultados da Busca Tabu. Tabela 1: Resultados do algoritmo SA proposto 9

10 Simulated Annealing Instância solução tempo(s) Número Classe min média desv. padrão média desv. padrão ,73 278,93 0,23 7,800 0, ,90 304,77 9,44 53,530 0, ,31 322,19 8,92 91,090 0, ,95 287,92 6,49 136,400 1, ,60 283,82 2,42 266,510 3, ,96 334,96 0,00 2,200 0, ,47 347,7 0,08 10,830 0, ,92 354,56 2,43 24,200 0, ,96 335,12 0,49 30,380 0, ,96 334,96 0,00 36,380 0, ,4 365,596 4,83 5,010 0, ,00 396,22 4,52 5,071 0, ,71 399,941 5,89 103,260 1, ,23 380,411 7,48 124,380 0, ,40 361,314 5,26 118,670 1, ,88 432,89 4,24 4,020 0, ,02 458,00 5,84 6,810 0, ,68 450,98 6,69 39,460 0, ,37 455,77 4,83 56,250 0, ,88 434,42 2,44 147,390 1, ,28 376,96 3,55 9,520 0, ,21 403,52 13,73 39,150 0, ,69 401,64 9,65 59,110 0, ,36 442,66 49,53 121,930 1, ,28 375,28 0,00 104,050 0, ,07 497,21 1,21 5,840 0, ,16 499,99 1,91 41,080 0, ,95 510,77 5,38 47,120 0, ,89 516,67 10,92 108,400 0, ,85 496,08 0,73 163,840 1, ,56 568,56 0,00 28,100 1, ,62 744,01 8,44 91,590 1, ,72 723,77 7,19 148,990 2, ,83 712,36 9,51 253,200 3, ,29 720,66 11,20 436,650 6, ,56 580,49 16,06 6,880 0, ,09 697,56 21,75 96,820 1, ,84 758,72 10,00 235,270 4, ,66 721,85 9,97 403,840 8, ,00 692,06 19,30 704,380 16, ,65 610,60 5,26 6,210 0, ,72 623,64 5,46 18,020 0, ,35 637,70 13,93 73,610 0, ,33 642,18 15,06 63,560 0, ,65 607,65 0,00 181,420 1, ,80 539,98 4,73 91,450 1, ,72 716,95 7,92 153,850 2, ,12 679,54 8,13 216,500 3, ,50 781,39 15,72 348,460 3, ,45 744,87 14,70 546,233 3,572 10

11 Simulated Annealing Instância solução tempo(s) Número Classe min média desv. padrão média desv. padrão ,01 505,23 0,68 51,300 1, ,84 711,90 13,40 146,260 2, ,47 778,41 8,31 148,880 1, ,58 840,82 6,43 436,960 8, ,29 694,70 26, ,180 26, ,89 628,69 6,22 15,700 0, ,53 752,82 75,37 62,480 0, ,00 621,05 8,06 108,380 0, ,63 740,72 75,47 200,000 0, ,23 620,64 8,24 502,690 0, , ,65 0,97 201,900 11, , ,14 30,19 43,400 0, , ,67 45,07 229,600 3, , ,12 44,56 202,500 3, , ,56 23, ,800 33, ,67 840,12 2,92 121,600 0, , ,15 8,10 185,630 0, , ,12 25,39 607,820 0, , ,81 24, ,100 10, , ,53 42, ,020 8,94 Tabela 2: Comparação dos resultados do algoritmo SA com os da Busca Tabu de Gendreau et al. (2007). INSTÂNCIA Simulated Annealing Média Custo CVRP (Classe 1) T[s] 2L-CVRP SEQUENCIAL (Classes 2-5) Tabu Search Simulated Annealing Tabu Search Média Custo T [s] Média Custo T[s] Média Custo 1 - E016-03m 278,93 7,8 278,73 2,2 299,68 136,8 299,09 5,2 2 - E016-05m 334,96 2,2 334,96 1,4 343,09 25,5 345,23 3,5 3 - E021-04m 365,60 5,0 359,77 8,4 384,47 96,0 385,30 18,9 4 - E021-06m 432,90 4,0 430,88 5,7 449,79 62,5 443,42 17,0 5 - E022-04g 376,96 9,5 375,28 12,8 405,77 81,05 384,06 27,6 6 - E022-06m 497,22 5,8 495,85 8,7 505,88 90,1 502,78 19,5 7 - E023-03g 568,56 28,1 568,56 22,6 725,22 232,6 721,90 53,0 8 - E023-05s 580,49 6,9 568,56 36,2 717,55 360,1 722,73 83,7 9 - E026-08m 610,59 6,2 607,65 13,5 627,79 84,15 624,06 40, E030-03g 539,98 91,5 538,79 81,7 730,69 316,2 714,90 179, E030-04s 505,23 51,3 505,01 98,9 756,46 507,6 773,45 199, E031-09h 628,69 15,7 610,57 32,5 683,81 218,4 631,85 99, E033-03n 2006,65 201,9 2006,34 161,6 2671,12 417,3 2687,03 312, E033-04g 840,12 121,6 837,67 152,1 1249,65 778,4 1101,49 439,5 T[s] 11

12 Na Tabela 2, vemos que o algoritmo SA se saiu bem em relação à média de custo das classes 2 a 5 (2L-CVRP). Em 5 das 13 instâncias testadas, houve melhora na média de custos obtida. Porém, para as instâncias em que o algoritmo SA não alcançou uma melhora houve, em geral, apenas uma pequena diferença em relação à Busca Tabu. Nas instâncias CVRP puras o SA empatou com a Busca Tabu em 2 das 13 instâncias. Nesse caso, a maior diferença de média de custos entre os dois algoritmos foi de cerca de 3%. Como os algoritmos foram executados em computadores diferentes, os tempos não podem ser diretamente comparados. O maior tempo médio de busca do algoritmo SA foi de 201,9 s para as instâncias CVPR e 778, 4 s para as instâncias do 2L-CVRP, o que é razoável para aplicações práticas. 5. Conclusões Consideramos o problema do Roteamento de Veículos Capacitados com Restrições de Carregamento Bidimensional. Uma implementação da meta-heurística simulated annealing (SA) foi proposta. A estrutura de vizinhança utiliza dois tipos de movimentos, escolhidos aleatoriamente. As inovação do algoritmo SA é uma outra rotina que monitora o número de iterações em que a solução permaneceu inalterada e aplica um procedimento de correção do rumo da busca se necessário. Os experimentos computacionais mostraram que o algoritmo SA é competitivo, conseguindo melhorar alguns resultados (a média de custos) para 5 de 14 instâncias. Pretende-se como pesquisa futura experimentar outras estratégias para melhorar a qualidade da solução do algoritmo SA. REFERÊNCIAS AZEVEDO, Bruno L. P. de, HOKAMA, Pedro H., MIYAZAWA, Flávio K., XAVIER, Eduardo. A Branch-and-Cut Approach for the Vehicle Routing Problem with Twodimensional Loading Constraints. XLI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, DUHAMEL, C., LACOMME, P., QUILLIOT, A., TOUSSAINT, H., A multi-start evolutionary local search for the two-dimensional loading capacitated vehicle routing problem. Computers & Operations Research 38(3), ,

13 FUELLERER, G., DOERNER, K. F., HARTL, R. F., IORI, M., Ant Colony optimization for the two-dimensional loading Vehicle Routing Problem. Computers & Operations Research 36(3), , GENDREAU, M., IORI, M., LAPORTE, G., MARTELLO, S., A tabu search heuristic for the vehicle routing problem with two-dimensional loading constraints. Networks, 51(1):4 18, IORI, M., MARTELLO, S., MONACI, M., Metaheuristic algorithms for the strip packing roblem. In P. Pardalos and V. Korotkich, editors, Optimization and Industry: New Frontiers, pages Kluwer, Boston, IORI, M., SALAZAR-GONZÁLEZ, J., VIGO, D., An exact approach for the vehicle routing problem with two-dimensional loading constrains. Transportation Science, 41(2): , LODI, A., MARTELLO, S., VIGO, D.,Heuristic and metaheuristic approaches for a class of twodimensional bin packing problems. INFORMS Journal on Computing, 11: , ZACHARIADIS, E. E., TARANTILIS, C. D., KIRANOUDIS, C. T., A Guided Tabu Search for the Vehicle Routing Problem with Two-Dimensional Loading Constraints. European Journal of Operational Research 195(3), ,

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