UMA HEURISTICA APLICADA AO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE

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1 UMA HEURISTICA APLICADA AO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Flávio Martins Colares Faculdade Lourenço Filho, José Lassance de Castro Silva Universidade Federal do Ceará, José Ramos de Oliveira Silva Faculdade Lourenço Filho, Maria do Socorro de Carvalho Faculdade Lourenço Filho, Resumo Neste trabalho descrevemos uma nova metodologia aplicada na resolução do problema do caixeiro viajante, mais conhecido na literatura como Travelling Salesman Problem (TSP). A metodologia também pode ser aplicada a classe dos Problemas de Otimização Combinatória Permutacional (POCP). O método é simples de programar computacionalmente devido a estrutura usada na modelagem do problema. Ele avalia um conjunto fixo de soluções, construído através de permutações, que diversifica a busca dentro do conjunto de soluções viáveis do problema. O TSP pertence a classe dos problema NP-completo, que justifica o uso de técnicas refinadas aplicadas na resolução do mesmo com o intuito de encontrar boas soluções viáveis a um baixo custo em termos de recursos computacionais. Extensivos experimentos computacionais foram realizados e reportados para instâncias do problema com até 443 cidades, e os resultados são comparados com aqueles encontrados na literatura. Palavras-chave: Problema do Caixeiro Viajante, Otimização Combinatória, Heurística. Abstract The aim of this paper is to present a new method applied to solve the Travelling Salesman Problem (TSP). The method can also be used to solve Combinatorial Optimization Problems that involves permutation, it is a simple program of computer where the solution structure is based on permutation. This technique partitions the set of feasible solutions into small regions to diversify the local search. The technique was applied effectively to the TSP which is an NP-Complete problem and difficult to be solved in the practice. Extensive computational experiments are reported for instances with up to 443 cities and the results are compared with those obtained from the literature. Key words: Travelling Salesman Problem, Combinatorial Optimization, Heuristics. 1. Introdução O Problema do Caixeiro Viajante (PCV) consiste em determinar uma rota para o caixeiro que minimize a distância total percorrida na rota passando por todas as cidades a serem visitadas, somente uma única vez. Existem n cidades para serem visitadas e são conhecidas as distâncias d ij, para 1 i,j n, entre as cidades. Em termos, o PCV, conforme Goldbarg e Luna [1], está presente em vários problemas práticos, tais como: 1. Programação de operações de máquinas e manufatura; 2. Programação de transporte entre células de manufatura; 3. Otimização de movimento de ferramentas de corte; 4. Otimização de perfurações de furos em placas de circuitos impressos; 5. Nos problemas de roteamento de veículos;

2 6. Nos de problemas de seqüenciamento; 7. Nos problemas de programação e distribuição de tarefas em plantas; 8. Trabalhos administrativos; entre outros. A dificuldade de solucionar o PCV de forma exata está no grande número de soluções existentes para as instâncias de médio e grande porte. Sendo classificado na literatura como NP-completo, conforme descreve Garey and Jhonson [2], Lin and Kernighan [3], entre outros. Problemas desta natureza são comumente abordados através de Heurísticas, do idioma grego "heurisikein", que significa "descobrir". Heurísticas são procedimentos que permitem determinar uma ou mais soluções para determinados problemas que muitas vezes se apóiam em uma abordagem intuitiva, na qual a estrutura particular do problema seja considerada e explorada de forma inteligente, para a obtenção de uma boa solução adequada. Conforme Reeves [4], as heurísticas foram desenvolvidas com a finalidade de resolver problemas de elevado nível de complexidade em tempo computacional razoável. Ao se pensar em um problema combinatório complexo, uma opção seria analisar todas as combinações possíveis para conhecer a melhor delas. Whitley et al. [5] fizeram uma boa abordagem da relação do problema de seqüenciamento com o problema do caixeiro viajante, onde constataram que as técnicas utilizadas na resolução de um dos problemas também podem ser aplicadas na resolução do outro, com pequenas modificações. Neste trabalho, nosso principal objetivo é mostrar uma nova abordagem de resolução para o problema do caixeiro viajante, denominada de Heurística Permutacional (HP*), que sem muito sacrifício também pode ser utilizado na resolução dos problemas de otimização combinatória que envolve permutação. Os experimentos realizados com HP* são descritos, onde podemos concluir o desempenho do método. Pretende-se verificar qual a influência na qualidade dos resultados obtidos e nos tempos de processamento, da solução inicialmente submetida à solução final. Este artigo está organizado da seguinte forma: Na Seção 2 detalharemos a Heurística Permutacional. Enquanto que na Seção 3 serão apresentados os experimentos computacionais, assim como sua análise. A Seção 4 apresenta as conclusões, enquanto que na Seção 5 é dada a bibliografia. 2. Heurística Permutacional (HP*) Um Problema de Otimização Combinatória Permutacional (POCP) pode ser definido por um terno (S, g, n), onde S é o conjunto de todas as soluções viáveis (soluções que satisfazem as restrições do problema, com S = n!), g é a função objetivo que aplica a cada solução s S um número real e n é uma instância do problema. O objetivo é encontrar a solução s S que minimize a função objetivo g. Podemos representar s como uma permutação de n elementos distintos, ou seja, s=< a 1 a 2... a n >. N(s) é chamada a vizinhança de s e contém todas as soluções que podem ser alcançadas de s por um simples movimento. Aqui, o significado de um movimento é aquele de um operador que transforma uma solução para uma outra com pequenas modificações. Silva e Soma [6] desenvolveram uma técnica para resolver POCP, denominada Heurística Permutacional (HP). Através desta técnica conseguimos intensificar o processo de diversificação, aumentando o número de soluções a ser avaliada no problema. O procedimento HP consiste basicamente em dividir o conjunto de soluções viáveis S em n vizinhanças N(s i ) distintas entre si, onde para cada 1 i n s i é uma permutação que inicia com o elemento i, e cada uma destas vizinhanças será particionada em quatro subvizinhanças N(s ij ) N(s i ), 1 j 4, com s ij definido adiante. As soluções (permutações) s pertencentes a N(s i ) também iniciam com o elemento i. Desta forma N(s i ) N(s k )=, 1 i,k n, com i k. Exceto s i1 = s i, as quatro permutações s i1, s i2, s i3 e s i4 que produzirão as quatro subvizinhanças N(s i1 ), N(s i2 ), N(s i3 ) e N(s i4 ), respectivamente, são obtidas da troca de posições dos elementos de s i, da seguinte forma: 1 º ) A permutação s i2 mantém a primeira posição de s i e inverte as (n-1) posições restantes de s i ; 2 º ) A permutação s i3 mantém a primeira posição de s i e troca seqüencialmente 2 a 2 as demais posições adjacentes de s i ; 3 º ) A permutação s i4 mantém a primeira posição de s i3 e inverte as (n-1) posições restantes de s i

3 A subvizinhança N(s ij ) é formada por todas as permutações que são obtidas de s ij trocando de posição 2 a 2 todos os elementos de s ij, a partir da segunda posição, e mantendo a ordem dos outros elementos inalterado. Assim, o número de permutações em cada subvizinhança é [ (n-1) (n-2)/2 + 1 ] que implica em [ 4 [(n-1) (n-2)/2 +1] ] permutações em cada vizinhança e um total de [ 2 n (n-1) (n-2) + 4n ] permutações geradas para o problema. Dada uma permutação qualquer s 1, podemos obter os demais s i, 2 i n, trocando somente o elemento da primeira posição de s 1 pelo elemento da i- éssima posição. Sem perdas de generalidades podemos supor s 1 =< n >, então s 2 =< n >, s 3 =< n >,..., s n =< n (n-1) 1 >. Adotamos o seguinte critério para aumentar o número de soluções avaliadas no problema, com HP. Seja s N(s i ), para algum i entre 1 e n, isto implica que s=. Sejam m= (n 1)/2 +2, p= m n/4 1 e q= m + n/4. Construa s 1, s 2, s 3, s 4 e s 5 a partir de s da seguinte forma: Solução α β δ μ s = s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = Desta forma, a permutação s, a partir da segunda posição, é dividida em 4 subconjuntos α, β, δ e μ sendo que: se k é o resto da divisão de n por 4, i. e, k=n módulo 4, então temos que: k 0 α = 1 α = = 2 μ = 3 α = n / 4 1 e β = δ = μ = n / 4 β = δ = μ = n / 4 n / e β = δ = α = n / 4 μ = n / e β = δ = n / 4 A Tabela 1, dada a seguir, mostra um exemplo de s 1, s 2, s 3, s 4 e s 5 para n=18 e s=< >, com m=10, p=5 e q=14. Solução α β δ μ s < > s 1 < > s 2 < > s 3 < > s 4 < > s 5 < > Tabela 1 Construção de s 1, s 2, s 3, s 4 e s 5 para n=18 e s=< >. Assim, com este novo procedimento adicionado a HP, denominado HP *, o número total de permutações a serem avaliadas será de [12 n (n-1) (n-2)+24n], pois para cada permutação gerada em HP foram geradas mais cinco permutações. Implementamos e executamos estes procedimentos 1863

4 recursivamente, sem analisar o desempenho da função objetivo do problema, e constatamos que não houve repetição de permutação para valores de n 10. A Tabela 2, dada abaixo, apresenta o número de permutações geradas por HP e HP *. n HP HP * n HP HP * Tabela 2 Número de permutações avaliadas pelos procedimentos HP e HP * No TSP são dados um conjunto com n cidades a 1, a 2,..., a n e todas as distâncias (ou custo) entre elas, onde d i,j representa a distância (ou custo) para ir da cidade a i até a cidade a j. O objetivo do problema consiste em determinar uma rota, para o caixeiro, que percorra todas as n cidades somente uma vez com a menor distância percorrida. Neste caso, uma rota pode ser definida como sendo uma seqüência s=< a 1 a 2... a n > de cidades a serem visitadas, nesta ordem. Assim, a função g que calcula a distância n 1 = total percorrida nesta rota é dada por g(s) = ( d ) + d. Em outras palavras, o objetivo do a, i ai 1 a, + n a1 i 1 problema é obter uma seqüência s* tal que g(s*) = Min { g(s) } para s S, onde S é o conjunto de todas as seqüências (soluções viáveis) possíveis das n cidades. O TSP pode ser definido como um terno P=(S, g, n), de acordo com a definição de um problema de otimização combinatória permutacional, da seguinte forma: a) Um elemento s do conjunto de soluções viáveis S é representado por uma permutação das n cidades, com a ordem de s determinando a seqüência na qual as cidades serão visitadas; b) A função g(s), dada anteriormente, determina a função que avalia uma solução de S. 3. Experimentos Computacionais As heurísticas HP e HP* foram executadas num micro-computador com processador AMD Atlhon e memória RAM de 256Mb. Os experimentos foram realizados a partir de 19 arquivos de teste obtidos na OR-Library, TSPLIB [7], onde foram utilizadas matrizes D de tamanho n x n previamente definidas. A Tabela 3, abaixo, mostra os resultados obtidos com HP onde estão descritos os arquivos testes utilizados, a dimensão das matrizes (n), o número de permutações por subvizinhança (NPS) e vizinhanças (NPV), o número total de permutações geradas para avaliação (NPP), a solução ótima do problema teste (Ótimo), a solução obtida pela heurística permutacional (HP), o percentual do desvio (dado pela fórmula a seguir) e o tempo de execução de HP (em segundos). (Sol(HP) Ótimo) x 100 Desvio = Ótimo 1864

5 Como já citado na seção 2, um dos nossos objetivos é conseguir diversificar o número de amostras avaliadas de forma a obter uma solução tão próxima da ótima quanto possível, assegurando desta forma, um menor percentual de desvio com um tempo computacional aceitável. Para se ter uma idéia mais clara da dimensão do problema relacionado com o tempo computacional, considere a amostra contida no arquivo br17, onde usamos uma matriz D de tamanho 17x17, a de menor valor para n, em que foram avaliadas apenas 8228 soluções de um total de aproximadamente 355,7 trilhões de soluções distintas possíveis. Sabe-se que para análise de um número de soluções dessa ordem, teríamos um custo de tempo computacional impraticável, ainda que algoritmos exatos possam ser utilizados. Arquivo n NPS NPV NPP Ótimo HP Desvio (%) Tempo br ftv ftv ftv pr ftv ftv ry48p ft ftv ftv ft ftv kro124p ftv rbg rbg rbg rbg Tabela 3 Resultados obtidos por HP. Na Tabela 3, verificamos que para os valores: n 48, n=53 e n=71, o percentual de desvio ficou abaixo de 100% enquanto para os demais valores este percentual foi superior a 100%. Apenas uma amostra (pr43) teve desempenho satisfatório, cujo desvio foi de aproximadamente 4%. O tempo computacional para execução de HP foi considerado bom, com a maior instância (n=443) levando menos de 30 minutos para ser executada, entretanto HP deixou a desejar na qualidade das soluções apresentadas como solução para o problema. Daí surgiu a idéia de aumentarmos o número de soluções a serem avaliadas, para cada problema, sem comprometer o tempo computacional e melhorarmos as soluções dos problemas. A introdução do procedimento HP*, citado na Seção 2, que aumenta o número de soluções avaliadas, em 5 vezes, pôde ser avaliado com os dados apresentados na Tabela 4, dada a seguir, com as mesmas características da Tabela 3. Podemos verificar que houve melhoras na qualidade das soluções apresentadas por HP* quando comparadas com HP, para maioria das instâncias utilizadas. Em apenas duas instâncias, ftv70 e ftv170, não houve melhoras. O tempo de execução da maior instância foi de aproximadamente 5 horas. As médias dos desvios foram 141,89% e 152,79%, respectivamente para HP* e HP. 1865

6 Arquivo n NPS NPV NPP Ótima HP* Desvio (%) Tempo br ftv ftv ftv pr ftv ftv ry48p ft ftv ftv ft ftv kro124p ftv rbg rbg rbg rbg Tabela 5. Resultados obtidos através da heurística HP* Na Figura 1, apresentamos o gráfico comparativo entre os desvio das heurísticas HP e HP*, enquanto na Figura 2, mostramos uma comparação das heurísticas em relação ao tempo computacional. Percentual de Desvio em Relação a Função Objetivo Desvio Cidades Figura 2. Comparação Desvio_HP de Percentuais de Desvio Desvio_HP* entre e HP* Figura 1 Gráfico de comparação dos desvios de HP com HP*. 1866

7 Tempo Computacional para Execução Tempo(s) Cidades Tempo_HP Tempo_HP* Figura 2 - Gráfico da comparação do tempo computacional (em segundos) entre HP e HP* 4. Conclusão Uma maneira de reduzir a complexidade na resolução do problema computacionalmente é através do uso de heurísticas, que embora não garantam a solução exata, estabelece um compromisso entre os resultados obtidos e o custo computacional. Entretanto, nossos experimentos computacionais baseados em problemas da literatura, indicam que tanto HP como HP* não obtiveram sucesso na resolução dos mesmos contradizendo o que muitos pesquisadores descrevem em seus artigos, que nem sempre a diversificação na busca tende a gerar bons resultados. Isto ficou aqui registrado, onde a média do desvio foi muito alta para as duas heurísticas. Porém, não podemos afirmar que HP e HP* são procedimentos inadequados para serem aplicados na resolução dos problemas de otimização combinatória permutacional, pois conforme Silva e Soma [6], HP conseguiu excelentes resultados quando aplicada ao problema de empacotamentos de bins tridimensionais. Escolheu-se o Problema do Caixeiro Viajante, como o representante dos POCP a ser estudado para uma aplicação da nossa técnica. Esta escolha não se deu ao acaso, visto que trata-se de um dos problemas bastante estudado com instâncias já consolidadas na literatura (TSPLIB [7]). A modelagem de um problema de otimização combinatória permutacional, como um TSP, não prejudica em nada a generalidade com que se tratou os POCP e sendo assim HP* pode ser aplicada a essa classe de problemas sem maiores dificuldades Como trabalhos futuros, podemos diminuir o tempo de execução de HP* se utilizarmos processamento paralelo ou distribuído, em vez de processamento seqüencial, conforme sugere Viana [8]. Uma vez que no procedimento é possível que a busca seja feita em diversos processadores, existentes e disponíveis para tal, através da geração das vizinhanças em paralela. Outro trabalho que também pode ser realizado é aplicar HP* em outros problemas da classe dos POCP. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio da Faculdade Lourenço Filho, da Universidade Federal do Ceará e do CNPq (processo /03-9). 5. Bibliografia [1] Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Rio de Janeiro: Editora Campus,

8 [2] Garey, M. R. and Johnson, D. S. Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP- Completeness. W. H. Freeman, San Francisco, [3] Lin, S. and Kernighan, B. W.. An Effective Heuristic Algorithm for the Traveling Salesman Problem. Operations Research, v.21, p , [4] Reeves, C. R. - Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. McGraw-Hill, London, [5] Whitley, D., Starkweather, T. and Shaner, D. The traveling salesman and sequence scheduling: quality solutions using genetic edge recombination. Handbook of Genetic Algorithms. Van Nostrand Reinhold, New York, , [6] Silva, J. L. C. e Soma, N. Y.. Uma heurística para Problemas de Otimização Combinatória Permutacional. Proceedings of the XXXIII SBPO, Campos do Jordão-SP, Brazil, [7] TSPLIB. [8] Viana, G. V. R. Meta-heurísticas e Programação Paralela em Otimização Combinatória. Edições UFC, Fortaleza-CE, Brasil