Um método exato para multiplicadores lagrangeano/surrogate. Marcelo G. Narciso. Luiz A. N. Lorena

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1 U étodo exato para ultiplicadores lagrangeano/surrogate Marcelo G. Narciso Ebrapa Inforática Agropecuária Av. Dr. André tosello, s/n, Unicap Capinas - SP, Brazil narciso@cnptia.ebrapa.br Luiz A. N. Lorena LAC/INPE- Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Caixa Postal São José dos Capos SP, Brazil lorena@lac.inpe.br - Introdução A relaxação lagrangeana/surrogate (lagsur) foi proposta coo ua alternativa à relaxação lagrangeana, substituindo-a co vantagens e diversos probleas de otiização cobinatória. As relaxações lagrangeana [7] e surrogate [6,0] são cobinadas co objetivo de conseguir elhores tepos coputacionais na aplicação de heurísticas baseadas e relaxações que use étodos subgradientes [,3]. Na foração de ua relaxação lagsur, para u dado problea de otiização cobinatória, inicialente é derivada ua relaxação surrogate de u conjunto adequado de restrições. Ua relaxação lagrangeana da restrição surrogate é então obtida. Vale a pena encionar que neste caso o ultiplicador lagrangeano é unidiensional. A relaxação lagsur foi inspirada nos trabalhos de Lorena e Lopes [] e Lorena e Narciso [3], observando-se os resultados da aplicação das relaxações surrogate contínua e lagrangeana para o problea de cobertura de conjuntos (PCC)e o problea generalizado de atribuição (PGA), respectivaente. Foi constatado que na aplicação de u étodo de otiização por subgradientes, usando o eso ultiplicador inicial, sobre os esos dados, a relaxação surrogate contínua proporcionava ua seqüência de liites ais estável que a correspondente da relaxação lagrangeana, convergindo ais rapidaente. Alé

2 disso, os liites obtidos co a aplicação da relaxação surrogate contínua era tão bons quanto os obtidos co a relaxação lagrangeana. Confore pode ser constatado nos resultados relativos às instâncias PGA [5], a relaxação lagsur é apropriada para probleas co u grande núero de variáveis. Quanto aior for o núero de variáveis do problea, elhor será o desepenho da relaxação lagsur e relação à relaxação lagrangeana no que se refere a tepo de execução. A relaxação lagsur é usualente resolvida usando-se ua heurística de subgradientes [5]. E ua dada iteração, para u dado ultiplicador ulti-diensional surrogate, faz-se ua busca para o encontrar o ultiplicador lagrangeano unidiensional. Este processo de busca se coloca coo u desafio ao uso eficiente de ua relaxação lagsur. A relaxação lagrangeana usual considera t fixado no valor (u) e todas as iterações do étodo de otiização por subgradientes. U processo deorado de busca pelo elhor t, pode refletir no tepo geral a ser gasto na solução do dual, e favorecer ao uso da relaxação lagrangeana. Ua ipleentação do lagsur, ostrada nos trabalho de Narciso e Lorena [5], conseguiu bater e tepos coputacionais a correspondente ipleentação lagrangeana para u conjunto de instancias do PGA. Nestas o valor de t é calculado co ua busca abreviada, nas prieiras iterações do étodo subgradientes, e posteriorente é fixado no últio valor obtido nas deais iterações do étodo. Propõe-se neste trabalho uovo algorito para calcular o elhor t de aneira exata, quando aplicado ao PGA, considerando a relaxação das restrições de capacidades. E testes coputacionais verificou-se que este novo algorito proporcionou a ua ipleentação da relaxação lagsur ainda elhor que a do trabalho de Narciso e Lorena [5].. O Problea Generalizado de Atribuição O problea de se axiizar o lucro (benefício, rendiento, etc.) ao se atribuir n tarefas a agentes, n >, tal que cada tarefa seja atribuída a apenas u único agente, levando-se e conta as restrições de capacidade de cada agente, é conhecido na literatura coo problea generalizado de atribuição (PGA). Muitos probleas da vida real pode ser odelados coo u PGA. Podeos citar coo exeplos, probleas de investiento de capitais [4], alocação de espaço de eória [3], projeto de redes de counicação co restrições de capacidades para cada nó da rede [4], atribuição de tarefas de desenvolviento de software a prograadores [], atribuição de tarefas a coputadores e ua rede [3], subprobleas de roteaento de veículos [8], e outros. Este problea é NP-

3 hard [3, 9, 6] e poucas heurísticas existea literatura para a resolução deste problea de fora a encontrar boas soluções viáveis. O PGA é forulado ateaticaente coo: (PGA) v(pga) = Max p x ij ij sujeito a n i j= n wij xij j= b, i M = {,...,} (4.) i x =, j N = {,...,n} (4.) ij x ij {0,}, i M, j N (4.3) As restrições (4.) ipõe que os pesos dos itens escolhidos não deve exceder à capacidade de cada ochila e as restrições (4.) ipõe que cada ite deve ser atribuído a soente ua ochila. Vaos considerar a relaxação das restrições (4.) confore o odo lagsur. Seja λ u vetor de ultiplicadores surrogate λ i 0, i M e u ultiplicador lagsur t, real e não nulo. Mateaticaente, esta relaxação é escrita coo: (L t S λ PGA) v(l t S λ PGA) = Max [ ( pij t. λ iwij ). xij] + t. λ ibi j= sujeito a (4.) e (4.3) O dual local lagsur, e relação ao ultiplicador t, é dado por (DL t S λ cpga ) = Min v(l t 0 t S λ PGA) A figura ostra u coportaento típico da função v(l t S λ PGA ), para u dado λ fixo (linear por partes).

4 v(l t S λ PGA) t* t Figura - Coportaento da função v(l t S λ PGA) versus t 3 Nova proposta de busca para o ultiplicador lagsur Coo a função lagsur é linear por partes [5], no ponto de ínio, tereos dois segentos de reta se encontrando, e o valor de t será o eso para os dois segentos (veja figura ). Entretanto, o valor de x será diferente, be coo os gradientes, para cada u dos segentos de reta. O gradiente à esquerda de t será negativo e à direita, positivo. No ponto de encontro, seja x tal que o gradiente de v(l t S λ PGA) e' negativo e x, tal que o gradiente seja positivo. Desta fora, te-se o seguinte: [ ( pij t. λ iwij ). x ] + t. ij λ ibi = [ ( pij t. λ iwij ). x ] + t. ij λ ibi j= j= Isolando-se t na equação, te-se o seguinte resultado: [ ij ij ij i ij ij ij j= j= t = p ( x x )]/ [ λ w ( x x ), Desta fora, para se obter o valor exato de t, é necessário descobrir os valores de x e x. Para isto, sabendo-se que o gradiente de v(l t S λ PGA), e relação a t, é dado por g(t,x) = λ ( b w x ) i i n j= ij ij

5 para x teriaos g(t, x ) < 0 e para x, g(t, x ) > 0. Para se obter o ponto de ínio da curva. A idéia básica é a seguinte: retirar as variáveis doinadas e cada coluna. Estas variáveis não faze parte da solução, qualquer que seja o valor de t. Para ais detalhes, ver [5] e [4]; dentre as variáveis não doinadas, escolher e cada coluna u ite e assi forar ua solução inicial. E seguida, verificar se g(t,x) é aior ou enor que zero. Se for aior que zero, odificar a escolha dos itens das variáveis não doinadas até que se obtenha o gradiente enor que zero. Feito isto, te-se os valores de x (solução na qual g(t, x ) <0) e x (solução na qual g(t, x ) >0). Os valores de x e x irão diferir e apenas ua posição (coluna). O eso raciocínio vale para o caso do prieiro valor de solução na qual g(t,x) é enor que zero. Para se obter as variáveis não doinadas, procede-se da seguinte aneira: ) Seja i, k, j, s, inteiros. Se w ij w kj e p ij p kj então x kj = 0 ) Se w ij w kj w sj e p ij p kj p sj então x kj = 0 Pelo enos etade das variáveis são eliinadas, facilitando a resolução do problea. No processo de busca do elhor t, procede-se coo descrito acia e obté-se os valores de x e x, e co estes valores, obté-se o elhor ultiplicador lagsur. O algorito para a busca do elhor t seria: - Retirar as variáveis doinadas e cada coluna; - Das variáveis que sobrara, obter ua solução inicial para v(t,x) 3 - Repita enquanto não fi 4 - Se g(t,x) < 0 então Substituir os aiores valores de w ij relativos à solução encontrada por valores enores de tal que o valor de p ij seja o enor possível Se, após ua dada substituição, g(t,x) > 0, então fi Fi_Se 5- Se g(t,x) > 0 então Substituir os enores valores de w ij relativos à solução encontrada por valores aiores de tal que o valor de p ij seja o enor possível Se, após a substituição, g(t,x) > 0, então fi Fi_Se Fi do Repita [ ij ij ij i ij ij ij j= j= 6 - t = p ( x x )]/ [ λ w ( x x ), 7- Fi Nesta nova fora de busca exata, e geral, te-se u enor tepo do que quando o ultiplicador lagsur é calculado de fora aproxiada, considerando o PGA onde fora relaxadas as restrições de capacidades.

6 4 -Resultados Para verificar o coportaento das relaxações lagsur exata e lagsur aproxiada [coo foi descrito e [5]) co o PGA, fora usadas instâncias obtidas da OR-Library []. Os resultados obtidos estão dispostos e tabelas (tabelas e a seguir). Cada tabela conté instâncias consideradas larga escala. Fora utilizados 4 tipos de probleas co diensões diferentes. Estes probleas são conhecidos coo probleas de classes A, B, C, e D. As diensões de cada u destes probleas são: (5 x 00), (5 x 00), (0 x 00), (0 x 00), (0 x 00) e (0 x 00). Estes testes fora executados e ua áquina SUN SPARC 5, co copilador C. A notação e cada coluna é a seguinte: tepo := tepo final, e segundos, obtido pela heurística; iter. := núero de vezes que a relaxação lagrangeana/lagsur foi resolvida; gap := ((solução ótia) elhor solução viável obtoda) / (solução ótia) ; gap := (elhor valor da relaxação lagsur - (solução ótia)) / (solução ótia) ; gap% = 5%,...,0.5% := tepo coputacional gasto para o gap, e porcentage, ser 5%, 4%, 3%, %, % e 0.5%. prob t gap gap n_iter 5% 4% 3% % % 0.5% (0-3 ) (0-3 ) A5x A5x A0x A0x A0x A0x B5x B5x B0x B0x B0x B0x C5x C5x C0x C0x C0x C0x D5x D5x D0x D0x D0x D0x Tabela - Lagsur aproxiado para probleas das classes A, B, C e D. Vale a pena encionar que na relaxação lagsur aproxiada, o valor de t é calculado por ua busca unidiensional aproxiada, e após a busca, quando o valor encontrado for

7 repetido e 5 iterações seguidas, fixa-se o valor de t para as deais iterações [5]. Para o lagsur exato, usaos o eso procediento de fixação. 5 - Coentários sobre os resultados obtidos para o PGA Os testes reflete de ua fora ais intensa o ganho e tepo coputacional da relaxação lagsur co o valor de elhor t exato e coparação aos tepos da relaxação lagsur aproxiada. Isto ocorre devido ao fato de se obter u valor de t de elhor qualidade, o qual faz ais rapidaente a aproxiação dos valores duais aos da solução ótia, do que o pontos obtidos pelo dual lagsur aproxiado. A busca feita neste novo étodo é ais rápida devido ao núero de loops ser enor que o da busca aproxiada do ultiplicador lagsur e tabé pelo fato do núero de instruções aritéticas neste novo étodo ser enor. E sua, o novo étodo, alé de fornecer u valor exato para o ultiplicador t, é enos coplexo. Entretanto, não é possível fazer a busca e todas as iterações do dual, pois eso sendo ais rápido que ao busca aproxiada, cada busca leva ais tepo de ser realizada do que a resolução do lagrangeano tradicional, pois este se resue a u único loop, onde é escolhido o aior valor do lucro/custo e cada coluna. prob t gap gap n_iter 5% 4% 3% % % 0.5% (0-3 ) (0-3 ) A5x A5x A0x A0x A0x A0x B5x B5x B0x B0x B0x B0x C5x C5x C0x C0x C0x C0x D5x D5x D0x D0x D0x D0x Tabela - Lagsur exato para probleas das classes A, B, C e D.

8 Agradecientos O segundo autor agradece o apoio financeiro da FAPESP - Fundação para o Aparo à Pesquisa no Estado de São Paulo (proc. 96/ ), e tabé o apoio recebido do CNPq - Conselho Nacional de Desenvolviento Científico e Tecnológico (proc /9-5). Referencias bibliográficas [] Balachandran, V. An integer generalized transportation odel for optial job assignent in coputers networks. Operations Research, v. 4, n.4, p , 976. [] Beasley, J. E. OR-Library: Distributing test probles by eletronic ail. Journal of Operational Research Society, v. 4,n., p , 990. [3] Catrysse, D. Van Wassenhove, L. N. A survey of algoriths for the Generalized Assignent Proble. European Journal of Operational Research. v. 60, p. 60-7, 99. [4] De Maio, A., Roveda, C. An all zero-one algorith for a certain class of transportation probles. Operations Research. v. 9, p , 97. [5] Dudzinsky, k., Waluckiewicz, S. A fast algorith for the linear ultiple-choice knapsack proble. Operations Research Letters. v. 3, n. 4, p , 984. [6] Dyer, M. E. Calculating surrogate constraints. Matheatical Prograing. v. 9, p , 980. [7] Fisher, M. L. The lagrangian relaxation ethod of solving integer prograing probles. Manageent Science. v. 7, p. -8, 98. [8] Fisher, M. L., Jaikuar, R. A generalized assignent heuristic for vehicle routing. Networks. v., p. 09-4, 98. [9] Fisher, M. L., Jaikuar, R., Wassenhove, L. N. V. A ultiplier adjustent ethod for the generalized assignet proble. Manageent Science. v. 3, p , 986. [0] Greenberg, H. J., Pierskalla, W. P. Surrogate Matheatical Prograing. Operations Research. v. 8, p , 970. [] Lopes, F. B. Nova heurística para o problea de cobertura de conjuntos.(tese de Mestrado e Coputação Aplicada) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. São José dos Capos, 99. (INPE TDI/50). [] Lorena, L. A. N., Lopes, F. B. A surrogate heuristic for set covering probles. European Journal of Operational Research. v. 79, n., p , 994. [3] Lorena, L. A. N., Narciso, M. G. Relaxation heuristics for a generalized assignent proble. European Journal of Operational Research. v. 9, n., p , 996.

9 [4] Narciso, M. G. Novas heurísticas para o problea generalizado de atribuição". INPE, p. Dissertação de Mestrado. [5] Narciso, M. G., Lorena, L. A.N. Lagrangean/surrogate relaxation for generalized assignent proble. European Journal of Operational Research. 4(), 65-77, 999 [6] Ross, G. T., Soland, M. S. A branch and bound algorith for the generalized assignent proble. Matheatical Prograing, v. 8, p. 9-03, 975.