Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

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1 Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana

2 Revisão Método Simplex Solução básica factível: xˆ xˆ, xˆ N em que xˆ N 0 1 xˆ b 0 Solução geral usando a partição básica: x x x N

3 Revisão x x x N A função objetivo f(x)=c T x considerando a partição básica: T T T x T T f ( x) c x c c c x c x x N N N N f (x) c T 1 ( b x Nx 1 N ) c T N x N c T 1 b c T 1 Nx N c T N x N valor da solução básica associada a partição f ( xˆ )

4 Revisão Definição (vetor multiplicador simplex) é o vetor (m 1), também chamado de vetor das variáveis duais dado por: T c T 1 T c Vetor multiplicador simplex na expressão de f(x): f (x) f (x) ˆ c Nx c x f (x) ˆ Nx c x f ( ˆ) ( ) T -1 T T T T N N N T N N N x cn λ N xn T T f ( x) f ( xˆ ) ( c λ a ) x ( c λ a ) x N N N N N 1 1 N1 nm nm nm T cˆ ( c λa ) N N N j j j Custos relativos ou custos reduzidos f ( x) f ( xˆ ) cˆ x cˆ x cˆ x N N N N N 1 N1 2 2 nm nm

5 Revisão Propriedade: (condição de otimalidade) Considere uma partição básica factível A Ncom solução básica factível 1 T T 1 associada xˆ e seja c b 0 vetor multiplicador simplex. Se (c N j λ T a N j ) 0, j1,,n m, então a solução básica é ótima. Se a condição de otimalidade for verificada, então a solução básica é ótima. Caso não seja ótima ( cˆ N k c N k T λ a 0), perturbamos essa solução básica factível de modo a diminuir o valor da função objetivo. N k

6 Revisão Estratégia Simplex: perturbar soluções básicas factíveis consiste em alterar as variáveis não-básicas por: que x x N N k j ε 0, 0, (variávelcom custo relativo negativo) j 1,2,..., n m, i k. A função objetivo passa a valer: f ( x) f (ˆ) x cˆ 0 cˆ N k ε ˆ nm 0 N c 1 N x N1 f x ˆ) cˆ ε f (xˆ ) ( N k x Nk x Nnm

7 Revisão Alteração nas variáveis não-básicas: k x x x N N m n k N 0 ε 0 1 N x ε ε N N k y xˆ a xˆ Nx b x y Alteração nas variáveis básicas: Direção Simplex Fornece os coeficientes de como as variáveis básicas são alteradas na estratégia simplex.

8 Revisão Tamanho do passo? Equação vetorial: x xˆ y ε Como: x i xˆ i y i ε 0 y i 0 i y i 0 como x xˆ y 0 Menor valor de : então x 0 para todo ε 0 i i i devemos ter ε ˆ x i y i εˆ xˆ xˆ mínimo i tal que yi 0, i 1 m y y,..., i Tamanho do passo

9 Revisão Ao resolvermos xˆ xˆ i ˆ min / yi 0 y yi A variável básica xˆ se anula (sair da base) A variável não-básica xˆ N k torna-se positiva (entrar na base) Nova partição: N k [a 1,,a,, a m ] [a,,a,, a 1 N k m ] N [a N,,a N,, a N 1 k nm ] N [a,,a,, a N N 1 nm ]

10 Método Simplex - comentários Há uma versão do método usando tabelas, conhecida como Tableau. Estratégias para determinar partição inicial (Fase I). Algoritmo é finito, porém pode ocorrer ciclagem. Na análise de pior caso (complexidade de algoritmo) é um algoritmo simplex pode ter um número exponencial de iterações. Na prática, têm obtido sucesso na resolução de problemas de programação linear. Utiliza três sistemas lineares que devem ser resolvidos de forma eficiente (LU).

11 Método Simplex Exemplo Considere o problema de otimização linear: Introduzindo variáveis de folga, temos:

12 Exemplo Fase I: Os coeficientes das variáveis de folga formam uma matriz identidade: Fase II:

13 Exemplo

14 Exemplo N

15 Exemplo Exercício: continue até obter a solução ótima.

16 Método Simplex em Tabelas Maneira prática de se trabalhar Interessante para a compreensão do método Não é eficiente computacionalmente Simplex revisado

17 Método Simplex em Tabelas Os parâmetros necessários para resolução aparecem na tabela abaixo:

18 Exemplo Se todos os valores forem positivo A solução é ótima, cc, a variável mais negativa é candidata a entrar na base Na forma padrão, temos: Matriz básica. No método por tabelas, será sempre a matriz identidade Variável básica: custo relativo é zero! Se não for, então temos q torna-lo nulo.

19 Exemplo Sabemos que podemos escrever cada variável básica em função das demais variáveis (no caso, das variáveis não-básicas, x 1 e x 2 ). Como = I, isso é feito muito facilmente: asta atribuir valores às variáveis não-básicas x 1 e x 2 para obter uma solução que satisfaça Ax = b.

20 Exemplo Se fixarmos as variáveis não-básicas x 1 e x 2 em seus limites, x 1 = 0 e x 2 = 0, então as demais variáveis têm como valores x 3 = 6, x 4 = 4, x 5 = 4 e produzem uma solução factível para o problema que corresponde a um vértice da região factível. Em uma tabela simplex, a função objetivo é sempre escrita em termos das variáveis não-básicas: f = x 1 2x 2

21 Exemplo Aumentando x 1 ou x 2, a função objetivo diminui. Portanto, a solução básica: não é ótima. (x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 6, x 4 = 4 e x 5 = 4 ) Aumentar x 2 e mantendo x 1 = 0, a função objetivo diminui com uma taxa de variação 2 e quanto maior o valor de x 2, menor será o valor de f. Ao aumentar x 2, o que acontece com as variáveis básicas?

22 Exemplo Se x 2 cresce e x 1 = 0 os valores das variáveis básicas podem aumentar ou diminuir, entretanto, deve-se preservar a não-negatividade das variáveis: Devemos nos preocupar apenas com x 3 e x 5

23 Exemplo Solução ilimitada Se no caso anterior tivéssemos: Solução ilimitada!!

24 Exemplo Aumentando o valor de x 2 e mantendo x 1 = 0 os valores das variáveis básicas podem aumentar ou diminuir. Para preservar a não-negatividade das variáveis: x 2 6 x 2 4 Para x 2 = 4, x 5 se anula. Temos uma nova solução: variáveis não-básicas: x 1 = 0, x 2 = 4 variáveis básicas: x 3 = 2, x 4 = 8 e x 5 = 0 Valor da f.o.: f = 0 2 x 2 = - 8. entra na base sai da base Partição anterior: = [3, 4, 5] N = [1, 2] Nova partição: = [3, 4, 2] N = [1, 5]

25 Exemplo Nova base: = [3, 4, 2] N = [1, 5] As colunas da base devem formar uma identidade entra na base sai da base Efetuar um pivotamento!!!

26 Exemplo Nova base: = [3, 4, 2] N = [1, 5] As colunas da base devem formar uma identidade entra na base sai da base pivô Restrição atingida

27 Exemplo Tabela simplex iteração 1. Variáveis básicas: x 3, x 4, x 2 Os coeficientes das variáveis não básicas x 1 e x 5 são chamados de custos relativos

28 Exemplo Aumentando o valor da variável x 1 e x 5 = 0 diminui o valor da f. o. diminui com uma taxa de variação 3. Equações do sistema com x 5 = 0 x 1 1

29 Exemplo Enquanto a variável não-básica x 1 = 1, a variável x 3 se anula. Temos uma nova solução básica : variáveis não-básicas: x 1 = 1, x 5 = 0 variáveis básicas: x 3 = 0, x 4 = 8 e x 2 = 5 entra na base sai da base Redefinindo as variáveis: variáveis não-básicas: x 3 = 0, x 5 = 0 variáveis básicas: x 1 = 1, x 4 = 8 e x 2 = 5 Partição anterior: = [3, 4, 2] N = [1, 5] Nova partição: = [1, 4, 2] N = [3, 5]

30 Exemplo Nova base: = [1, 4, 2] N = [3, 5] As colunas da base devem formar uma identidade entra na base sai da base

31 Exemplo Nova base: = [1, 4, 2] N = [3, 5] As colunas da base devem formar uma identidade entra na base sai da base pivô Efetuar um pivotamento!!!

32 Exemplo 1 2 Com essa tabela:

33 Exemplo Como essa tabela: (x 3, x 5 ) = (0, 0), (x 1, x 4,x 2 ) = (1, 8, 5) (solução básica) e f = -11. Atribuindo-se valores positivos a x 3 ou x 5 ) a função objetivo cresce, ou seja, f(x) -11 para qualquer solução factível x, o que significa que a solução atual é ótima. Todos os custos relativos são não-negativos condição de otimalidade foi verificada!!

34 Representação gráfica

35 Algoritmo Simplex (em tabelas)

36 ase Inicial Para que o método simplex possa ser aplicado, precisamos de uma solução básica factível inicial (Fase I) Até agora supomos que sabemos facilmente encontrar uma base factível inicial. Isso é verdade, quando todas as restrições forem de. Por exemplo: Após a introdução das variáveis de folga:

37 ase Inicial A matriz dos coeficientes das restrições agora é dada por [A I] e uma partição básica factível é dada por:

38 ase Inicial Suponha agora que as restrições são, originalmente, de igualdade: Precisamos encontrar uma partição básica factível de A, isto é, uma partição da forma A = [ N] tal que existe -1 e x = -1 b 0

39 Quantas partições existem? Seja A 10 x 20 Precisamos identificar dez colunas L.I. de A para formar, e a solução do sistema x = b, deve satisfazer x 0. Procedimento possível: 1. Escolher dez (m) colunas e resolver o sistema. 2. Verificar se x Se não, escolher outras dez colunas e retornar ao passo 2.

40 Quantas partições existem? Se formos testar partição a partição, quantos testes temos que fazer? Impraticável para problemas grandes!

41 Método das duas fases As variáveis de folga foram úteis para a classe de problemas: equivalente a: uma partição [I N] em que as variáveis de folga começam como as variáveis básicas. Se não for o caso, podemos introduzir novas variáveis como se fossem de folga:

42 Fase I Variáveis artificiais. Não fazem parte do problema original e devem ser eliminadas Obviamente, essas variáveis não podem aparecer na solução final (pois elas não existem - são variáveis artificiais). Método duas-fases: resolvemos primeiro um problema:

43 Fase I Se conseguimos uma solução de custo zero para o problema acima (fase I), a base final não contém nenhuma variável artificial (por quê?) Neste caso, a base final do problema da fase I é uma base inicial para o problema real (fase II).

44 Fase I E se não conseguimos uma solução de custo zero? (Isto é, na solução ótima da fase I, existe uma variável artificial na base). (Não existe solução factível para o nosso problema)

45 Exemplo Forma padrão

46 Qual o problema da Fase I a resolver? Caso A: introduzimos uma variável artificial pra cada restrição: e minimizamos o custo destas variáveis.

47 Qual o problema da Fase I a resolver? Caso : note que x 4 já fornece uma coluna da matriz identidade. Assim, a rigor, precisamos apenas de uma variável artificial e minimizamos o custo destas variáveis.

48 Fase I Uma vez encontrada uma solução básica em que todas as variáveis artificiais são não-básicas, temos uma base formada por colunas originais e, portanto, podemos aplicar o método simplex para resolver o problema original a partir dessa base. Método Simplex duas fases: Fase I resolve o problema artificial. Fase II resolve o problema original, a partir da base factível obtida na Fase I.

49 Exemplo Considere o problema: E o problema artificial definido no caso em que apenas uma variável artificial é introduzida:

50 Exemplo Para resolver o problema artificial, aplicamos o método simplex:

51 Exemplo

52 Exemplo

53 Exemplo ase formada pro variáveis originais do problema. A variável artificial x 5 torna-se não básica. Fim da Fase I. Fase II: Aplicar o método simplex a partir da base obtida na Fase I. A variável artificial é descartada e os índices não-básicos são redefinidos: N 1 = 4, N 2 = 3.

54 Método M-grande Em vez de resolver um problema auxiliar (Fase I) para encontrar a base, simplesmente penalizamos as variáveis artificiais no problema original (Fase II), de modo a garantir que elas sejam nulas na solução ótima. Um objetivo alternativo para o problema artificial é:

55 Método M-grande Valor suficientemente grande para garantir que x 5 não aparece na solução ótima.