Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

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1 Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

2 Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas as restrições são de igualdade Todas as variáveis são não-negativasnegativas Considerar b 0.

3 Partição básica Seja Ax=b, onde A mxn, b mx1, x nx1 (m< n). Se é possível reorganizar as colunas de A de tal modo A=[B,N] e que: B mxm é formada por m colunas linearmente independentes de A dada por: Onde B 1 1, B 2 2,,...,, B m são os índices das colunas escolhidas da matriz A (índices básicos)

4 Partição básica N mx (n-m) - formada pelas n-m colunas restantes de A. N pode ser escrita como: Onde N 1, N 2,..., N m são os índices das colunas da matriz A que pertencem a N (índices não-básicos) Esta reorganização é definida como partição básica

5 Partição básica (partição das variáveis) Consequentemente, a partição de A em [B N] cria uma partição das variáveis: i variáveis básicas variáveis não básicas

6 Solução geral do sistema A última expressão de x B é conhecida como solução geral do sistema.

7 Solução básica Considere uma partição básica A=[B,N]. Uma solução é dita básica quando: ^ Se x B 0 então temos uma solução básica factível. Caso contrário, temos uma solução básica não-factível. Se x B>0 dizemos que a solução básica factível é não degenerada.

8 Voltando ao exemplo Solução básica factível.

9 Voltando ao exemplo Vértice F: Solução básica não-factível.

10 Propriedades Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo Considere a região factível S={x R n tal que Ax=b, x 0}. Um ponto x S é um vértice se e somente se x for uma solução básica factível.

11 Método possível Enumerar todas as soluções básicas factíveis (vértices) x 1, x 2,... x K Escolher aquela com melhor função objetivo. Problema: K pode ser muito grande!

12 Simplex Idéia: Partir de uma solução básica factível Visitar apenas as soluções básicas factíveis melhores que ela. Método Simplex

13 Simplex

14 Perguntas Dada uma solução básica factível (ou seja, um vértice) 1) Esta solução é ótima? 2)Caso não seja ótima, como encontrar uma solução básica factível melhor?

15 Pergunta 1: A solução atual é ótima? Considere uma solução básica factível: E a solução geral do sistema usando a mesma partição : x = x B x N

16 Pergunta 1: A solução atual é ótima? A função objetivo pode ser expressa considerando a partição básica: x = xb x N

17 Pergunta 1: A solução atual é ótima? valor da solução básica associada a esta partição: Então

18 Pergunta 1: A solução atual é ótima? Definição (vetor multiplicador simplex): O vetor λ mx1, dado por: é chamado vetor multiplicador simplex (ou também, vetor de variáveis i duais). O vetor multiplicador simplex pode ser obtido por: λ T T 1 ( 1) T T = c B B λ = B cb B λ = cb

19 Retornando... Pergunta 1: A solução atual é ótima? Vamos expressar por coluna:

20 Custos relativos Definição: Os coeficientes das variáveis não-básicas na função objetivo descrito acima são chamados custos relativos ou custos reduzidos.

21 Exemplo (Arenales et al, 2.22) Considere o problema: reescrito na forma padrão:

22 Resolução gráfica: Intersecção das retas: ç x 1 + x 2 = 4 e x 1 = 3

23 x 1 +x 2 =4 (variável de folga associada: x 3 ) x 1 = 3 (variável de folga associada: x 4 ) Logo, o vértice (solução básica) deve ser obtido com a partição: B = (1,2,5), N = (3,4)

24 Atribuindo zero às variáveis não-básicas: x 3 =x 4 = 0 Todos positivos: solução básica factível.

25 Vamos calcular os custos relativos: n-m variáveis não-básicas B = (B 1,B 2,B 3 ) = (1,2,5), NB = (NB 1,NB 2 ) = (3,4) m variáveis básicas

26 Vamos calcular os custos relativos

27 Vamos calcular os custos relativos outra maneira de calcular l λ T λ T = T B 1 ( 1 ) T T B c B B λ c B c B λ = =

28 Vamos calcular os custos relativos

29 Condição de otimalidade Solução básica factível e custos relativos maiores que zero Solução ótima problema de minimização

30 Resumo Já vimos: Soluções básicas estão associadas a vértices (pontos extremos) Se há uma solução ótima, então há um ponto extremo (solução básica) ótima. Podemos definir os custos relativos de variáveis não básicas como: Se, em um problema de minimização (maximização), para uma dada solução básica, todos os custos relativos são positivos (negativos), a solução é ótima.

31 Perguntas 1) A solução atual é ótima? Respondida (ver último item do slide anterior) 2) Como encontrar uma solução básica factível melhor?

32 A solução não é ótima Existe ao menos uma variável não-básica x Nk para a qual: N k p (Ou a propriedade 2.3 estaria a atendida da e a solução seria ótima). *problema de minimização

33 Exemplo

34 Exemplo (B = B -1 = I)

35 A solução não é ótima

36 Estratégia simplex Vamos perturbar a solução básica factível de modo a diminuir o valor da função objetivo. Definição i (estratégia té simplex). Chamamos de estratégia té simplex a perturbação de uma solução básica factível que consiste em alterar as variáveis não básicas por: isto é escolhemos uma variável com custo relativo isto é, escolhemos uma variável com custo relativo negativo e adicionamos uma pequena perturbação.

37 Estratégia simplex A nova função objetivo vale:

38 Resultado na função objetivo Pergunta: a solução perturbada é factível? Sim, se a perturbação é suficientemente i t pequena e a solução básica original é não degenerada. qual o maior ε?

39 Direção simplex e tamanho do passo Mudando as variáveis não-básicas, obrigatoriamente temos que mudar as variáveis básicas: direção simplex!

40 Direção simplex e tamanho do passo As novas variáveis básicas (perturbadas) devem continuar não-negativas: A rigor d = ( y e k ) é a direção simplex A rigor, d ( y, e k ) é a direção simplex, de modo que a nova solução é x = x^+εd,

41 Direção simplex e tamanho do passo Temos, pois:

42 O que acontece se... Se no momento de calcular o passo máximo, todos os y i são negativos significa que para qualquer valor de ε, a nova solução é factível. Como quanto maior ε, maior o decrescimento da função objetivo, a solução ótima será ilimitada!

43 Exemplo Considere o exemplo anterior: (obtida para x =0) Ni

44 Exemplo A solução é ótima? Não é ótima. (Por quê?)

45 Exemplo A direção simplex indica a maneira como as variáveis básicas se modificam, ao se aumentar uma dada variável não-básica (no caso, N 1 =1)

46 Exemplo

47 No caso geral: Ao resolvermos: determinamos a variável da base que vai se anular (sair da base). Anteriormente, ao escolhermos uma variável não-básica com custo relativo negativo, escolhemos a variável não-básica que vai assumir valor positivo (entrar na base).

48 No caso geral Partição anterior: escolhida para entrar (custo relativo negativo) escolhida para sair (primeira ao se anular ao aumentarmos x Nk )

49 A nova solução Pode-se mostrar que a nova matriz B é invertível. Como os valores das variáveis da nova B são não-negativos, trata-se de uma solução factível. Seu custo é:

50 Graficamente, no exemplo * Índice da variável não-básica escolhida para entrar (N 1 = 1) (escolhemos aquela com menor custo relativo) * Índice da variável básica escolhida para sair (B 2 = 4) (escolhemos aquela que primeiro se anulava ao aumentarmos ε.) ) Nova partição: B = (3,1,5) N=(4,2)

51 Simplex - Fase II

52 Simplex - Fase II

53 Simplex - fase II

54 Introduzindo variáveis de folga, temos:

55 Fácil, pois os coeficientes das variáveis de folga formam uma matriz identidade. 26 Sep :00

56 26 Sep :00

57

58 Exercício: continue até obter a solução ótima

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