Otimização energética em redes urbanas de armazenamento e distribuição de água

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1 Otimização energética em redes urbanas de armazenamento e distribuição de água Edilaine Martins Soler Depto de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, USP , São Carlos, SP edilaine@icmc.usp.br Marcos Nereu Arenales Depto de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, USP , São Carlos, SP arenales@icmc.usp.br Introdução A água é um recurso natural indispensável à saúde e ao bem-estar da população. Os sistemas de abastecimento de água têm a função de levar água em quantidade e qualidade adequadas à população de modo que atenda as suas necessidades. Nas décadas de 70 e 80, buscando atender a demanda decorrente do crescimento populacional urbano e da industrialização, as obras de saneamento, especialmente de sistemas de abastecimento de água às populações urbanas foram intensificadas. O Brasil apresenta atualmente elevados índices de abastecimento urbano de água potável. Segundo a Pesquisa Nacional de Saneamento Básico realizada em 2000, pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), 97,9% dos municípios do país contam com serviço de abastecimento de água prestado por alguma empresa pública ou privada ( Segundo Tsutiya (2006) as despesas com energia elétrica entre 1993 e 1996 variaram entre 4,8% e 36,3 % nos diversos estados brasileiros, o que significa que as despesas com energia elétrica nas empresas de saneamento básico são o segundo ou terceiro item mais importante no orçamento das despesas de exploração. Deste modo, as empresas de saneamento necessitam cada vez mais diminuir seus gastos com energia elétrica sem preuízo no abastecimento. Este trabalho tem como obetivo minimizar o custo da energia elétrica usada na operação de bombas hidráulicas. Na maioria dos sistemas de abastecimento de água há necessidade de utilizar Estações Elevatórias para recalcar água em reservatórios de distribuição, para isso bombas hidráulicas são utilizadas para captar água de poços (ou estações de tratamento) para abastecer reservatórios distribuídos por bairros de uma cidade, de onde a população será atendida. As bombas hidráulicas são acionadas quando o nível mínimo do reservatório é atingido e essas são mantidas ligadas até que o nível máximo do reservatório sea atingido. Uma vez que as tarifas de energia elétrica variam ao longo das horas do dia, faz-se necessário um planeamento do funcionamento das bombas e conseqüentemente do nível dos reservatórios a fim de evitar o funcionamento destas nos horários de alto custo de energia elétrica e respeitando a restrição de atender a demanda. O trabalho foi motivado num estudo sobre o sistema de abastecimento de água de um bairro isolado da cidade de São Carlos, desenvolvido em Seleghim (2004). Nesse trabalho foi proposta uma política de acionamento das bombas hidráulicas que reduziu consideravelmente o custo com energia elétrica. Tal solução, entretanto, é limitada a um número pequeno de reservatórios e não analisa a interdependência dos reservatórios. Isto revela a importância deste trabalho, o qual pode proporcionar tanto uma economia significativa aos cofres públicos, como também um melhor uso do sistema elétrico nacional. Sistemas de abastecimento de água Segundo Tsutiya (2006) a concepção dos sistemas de abastecimento de água é extremamente variável em função do porte da

2 cidade, topografia, sua posição em relação aos mananciais. De um modo geral os sistemas são constituídos das seguintes partes: Manancial: corpo de água superficial ou subterrâneo, de onde é retirada a água para o abastecimento populacional; Captação: conunto de estruturas e dispositivos, construídos ou montados unto ao manancial, para a retirada de água destinada ao sistema de abastecimento; Estação Elevatória: conunto de obras e equipamentos destinados a recalcar a água para a unidade seguinte; Adutora: canalizações que se destinam a conduzir água entre unidades que precedem a rede de distribuição; Estação de Tratamento de Água (ETA): unidade onde a água é tratada para atender as normas e padrões de potabilidade vigentes no país; Reservatório: unidade do sistema onde a água tratada é armazenada para ser distribuída aos consumidores; Rede de Distribuição: parte do sistema de abastecimento de água formada de tubulações e acessórios, destinada a colocar água potável à disposição dos consumidores. Nas Figuras 1 e 2 são apresentadas algumas concepções de sistemas de abastecimento de água. Figura 1: Sistema simples de abastecimento de água. Fonte: Tsutiya (2006) Figura 2: Sistema de abastecimento de água com captação superficial e subterrâneo. Fonte: Tsutiya (2006) Basicamente, o funcionamento de um sistema de abastecimento de água consiste de captação da água do manancial, tratamento da água na Estação de Tratamento de Água, reservação e distribuição ao consumidor. Há casos em que a água captada não necessita de tratamento, como podemos ver na Figura 2, em parte do sistema, a água é captada do poço, armazenada no reservatório e distribuída para a população. Modelo Proposto Em Toledo et al. (2006) é proposto um modelo de otimização linear inteiro misto, o qual tem como obetivo minimizar o custo da energia elétrica necessária para o funcionamento das bombas hidráulicas que captam água dos poços artesianos ou de estações de tratamento de água e abastecem os reservatórios distribuídos por bairros de uma cidade. Devido ao grande consumo de energia elétrica no horário compreendido entre 18h e 21h (período crítico) as empresas de energia elétrica elevam o custo da energia nesta faixa horária para tentar equilibrar a demanda por energia ao longo do dia. Como o custo da energia varia ao longo do dia torna-se necessário um planeamento do horário de funcionamento das bombas e conseqüentemente dos níveis dos reservatórios em um horizonte de planeamento, que pode ser 1 dia, 2 dias, 1 semana, 1 mês, etc. O horizonte de planeamento é dividido em períodos, os quais podem ser 1 hora, meia hora, 5 minutos, etc. O problema de planeamento de estoque de água em reservatórios (PPEAR) consiste em decidir em quais períodos ou frações dos períodos do horizonte de planeamento as bombas hidráulicas que abastecem os reservatórios devem permanecer ligadas e, em quais períodos ou frações dos períodos deve haver transporte de água entre os reservatórios de modo que a demanda de cada reservatório sea atendida em cada período e seam respeitados os níveis mínimos e máximos de água nos reservatórios. Além disso, é considerado um custo de acionamento das bombas hidráulicas, de modo a minimizar o número de vezes que as bombas são acionadas, facilitando a implantação da solução na prática. Na Figura 3 ilustramos o problema considerando três reservatórios. Nesta figura os círculos representam os poços ou estações de tratamento de água; os cilindros são os reservatórios; os triângulos são as bombas; os

3 retângulos são os centros consumidores e os arcos são as adutoras: entre os poços/eta e os reservatórios, entre os reservatórios e entre os reservatórios e os centros consumidores. reservatório, maior é a quantidade de água perdida. O modelo proposto considera as perdas de água no sistema. A seguir apresentamos o modelo matemático de programação inteira mista proposto. Índices: =1...R; reservatórios; k=1...b; centros consumidores; t=1...t; períodos (horizonte de planeamento); Figura 3: Esquema simplificado de uma rede de abastecimento. Fonte: Toledo et al. (2006) Na Figura 4 ilustramos o que ocorre em cada reservatório em dois períodos consecutivos. Nesta figura, os arcos que ligam um mesmo reservatório de um período ao próximo, digamos período t ao período t+1 representam o estoque (reservação) de água no reservatório, ao final do período t. Figura 4: Balanço de água em dois períodos consecutivos. Fonte: Toledo et al. (2006) Em sistemas reais de abastecimento de água é muito comum perdas de água devido aos vazamentos na rede de distribuição, essas perdas são proporcionais a pressão na rede, e portanto são proporcionais ao volume de água nos reservatórios, assim, quanto maior o volume de água armazenada em um Dados: d kt = demanda (m 3 ) do centro consumidor (bairro) k durante o período t; c = custo de manter ligada a bomba durante todo o período t; sc = custo de acionamento da bomba no período t; v = vazão (m 3 ) da bomba no período t (varia de acordo com o tamanho do período); w lt = vazão (m 3 ) da bomba para transportar água do reservatório para o reservatório l no período t (varia de acordo com o tamanho do período); h min = volume (m 3 ) mínimo do reservatório ; h max = volume (m 3 ) máximo do reservatório ; h 0 = volume (m 3 ) do reservatório no início do horizonte de planeamento (t = 0); S = {k, tal que o centro consumidor k é abastecido pelo reservatório }; R = {l, tal que o reservatório l pode receber água do reservatório }; P = {l, tal que o reservatório l pode enviar água para o reservatório }; γ lt = custo de transferir água do reservatório para o reservatório l durante todo o período t. θ = fração da água no reservatório perdida por vazamento durante o período t; 0 x 0 = estado inicial da bomba (0 se a bomba estava desligada e 1 caso contrário); Variáveis de decisão: I = volume de água (m 3 ) no reservatório, estocada ao final do período t; x = fração do período t em que a bomba permanece ligada (o produto x pelo tamanho do período em horas, fornece o tempo que a bomba permaneceu ligada, em horas); y = 1, se x >0 (isto é, há captação de água no período t); 0, caso contrário; α = 1, se a bomba é acionada no período t; 0, caso contrário;

4 z lt = fração do período t na qual existe transporte de água do reservatório para o reservatório l. Min O modelo matemático: T R ( c x + sc α ) t= 1 = 1 I = (1 θ ) I, t 1 + v x w lt z lt + l R wl zl dkt, = 1,...,R,t = 1,...,T;(1) l P k S x y, = 1,...,R,t = 1,...,T;(2) α y x, t 1, = 1,...,R,t = 1,...,T;(3) min max h I h, = 1,...,R,t = 1,...,T;(4) 0 zl 1,,l = 1,...,R,t = 1,...,T;(5) x 0, = 1,...,R; (6) 0 0 x 0 = x 0, I 0 = h, = 1,...,R,t = 1,...,T;(7) y {0,1}, α {0,1}, = 1,...,R,t = 1,...,T;(8) + T t= 1 = 1 l R A função obetivo representa o custo total de energia elétrica necessária para o funcionamento das bombas hidráulicas de um sistema de abastecimento de água. Este custo é dado pelo custo de acionar as bombas mais o custo de mantê-las ligadas, somados aos custos de manter ligadas as bombas de transferência de água entre os reservatórios (os custos de ligar as bombas de transferência não são considerados, pois as bombas tendem a serem acionadas somente durante os períodos críticos, não dificultando a implantação da solução na prática). As equações (1) representam o estoque de água em cada período e em cada reservatório, nestas equações são consideradas as perdas de água em cada período. As restrições (2) obrigam as variáveis y assumirem o valor 1 se x >0. Nas restrições (3) garantimos que se a bomba estiver ligada durante todo o período t-1 para utilizá-la no período t não haverá custo de acionamento neste período. As restrições (4) garantem que os volumes de cada reservatório em cada período esteam entre os limites mínimo e máximo pré-estabelecidos. As restrições (5) asseguram que as bombas para transferência de água podem permanecer desligadas durante todo o período (z l =0) ou R γ lt z lt permanecerem ligadas em parte dos períodos (0<z l <1) ou ligadas durante todo o período (z l =1). As restrições (6) untamente com as restrições (2) asseguram que as bombas de captação podem permanecer desligadas durante todo o período (x =0) ou permanecerem ligadas em parte do período (0<x <y, para x >0 a variável y assume o valor 1) ou ligadas durante todo o período (x = y, com y =1). Em (7) as bombas podem ser austadas para desligadas no início do horizonte de planeamento com x 0 0 =0 ou ligadas com x 0 0 =1 e o volume inicial de água nos reservatórios é atribuído. Em (8) as variáveis α e y são definidas como binárias. O modelo proposto não prevê reações a eventos aleatórios como aumento não previsto de demanda provocado por eventos aleatórios (como calor intenso, por exemplo) ou perdas de água não previstas ocasionadas por problemas de infra-estrutura no sistema de abastecimento de água. Porém, são apresentadas três estratégias para estas situações. Na primeira, o volume mínimo de água pré-estabelecido nos reservatórios deve ser capaz de atender a demanda de imediato no caso de ocorrer aumento brusco da demanda. Na segunda estratégia, o planeamento proposto pelo modelo pode ser aplicado sob a ótica de horizonte rolante, ou sea, resolve-se o problema considerando um horizonte de T períodos, aplica-se apenas as decisões do primeiro período, inclui-se um novo período no final do horizonte, atualiza-se as demandas e os níveis de água nos reservatórios e o problema é novamente otimizado. A ocorrência de algum evento aleatório importante é captada pelo novo planeamento. Finalmente, existe um procedimento padrão adotado nos sistemas de abastecimento de água que, na eventualidade de uma falha do modelo ou no surgimento de evento extraordinário, é automaticamente acionado, garantindo o suprimento de água. Testes Realizados Foram testados 5 exemplares do problema propostos em Toledo et al. (2006) para o PPEAR. Os dados foram baseados em três reservatórios da cidade de São Carlos, com volume mínimo de 270 m 3 e volume máximo igual a 2000 m 3 para o reservatório 1 e 1000 m 3 para os reservatórios 2 e 3. Foram considerados três poços, cada um associado a

5 um reservatório e a uma bomba. Foi considerado o horizonte de planeamento de 2 dias divididos em períodos de 1 hora. O custo de manter ligada cada bomba durante cada um dos períodos é igual a 30 unidades monetárias, exceto às 18h, 19h e 20h, quando o custo é de 60 unidades monetárias, pois nesta faixa horária a tarifa de energia elétrica é mais elevada. O custo de acionar cada bomba foi arbitrado igual a 1 unidade monetária, em todos os períodos, o que é suficiente para evitar uma solução excessivamente intermitente. As demandas nos reservatórios 2 e 3 foram geradas uniformemente distribuídas em intervalos que representam estimativas máximas e mínimas em cada período, apresentados na Tabela 1, o que se aproxima do comportamento real do consumo em uma cidade típica de porte médio. Hora Min Max 0h-6h h-7h h-8h h-9h h-10h h-11h h-12h h-13h h-14h h-15h h-16h h-17h h-19h h-20h h-21h h-22h h-23h h-24h 5 20 Tabela 1 A demanda do reservatório 1 foi gerada de forma totalmente aleatória no intervalo [0,270] (a demanda gerada aleatoriamente tem por obetivo verificar se o modelo responde bem a situações adversas). Pode haver transferência de água entre os reservatórios: de 1 para 2, 2 para 1, 2 para 3 e 3 para 2 com custo de 3 unidades monetárias por período. Este valor foi definido considerando haver um pequeno desnível entre esses reservatórios de forma que a energia gasta pela bomba destina-se a vencer maoritariamente a dissipação viscosa. Não é permitida a transferência direta entre os reservatórios 1 e 3. Consideramos que as perdas de água são de 10%. Os testes foram divididos em duas etapas. Na primeira etapa os 5 exemplares foram resolvidos usando a configuração padrão do CPLEX 7.5 com tempo máximo de execução de 300 segundos para cada exemplar. Os gaps obtidos para cada exemplar variaram entre 0,19% e 0,46 %. O gap médio foi de 0,26%. Na segunda etapa de testes foi alterada a configuração do CPLEX 7.5. Alterou-se o método de seleção dos nós e três planos de corte foram testados. Foram testadas duas estratégias de seleção de nós: 0 Busca em profundidade 1 Busca pelo menor limitante. E dois obetivos na escolha dos nós: 0 Otimalidade 1 Factibilidade. Os planos de corte testados foram: Gomory, Cliques e Mircut, um de cada vez, enquanto os demais cortes foram desativados. Foram combinadas as opções de seleção de nós e de planos de cortes, e estas combinações foram testadas para os 5 exemplares. Assim o CPLEX foi executado com 2x2x3=12 configurações diferentes para cada exemplar. O gap obtido para cada um dos exemplares testados seguiu um padrão de comportamento, conforme Tabela 2, em que é apresentada a média dos o gaps obtidos para cada um dos testes. Cortes Obetivo Estratégia Gap Gomory 0 0 0,50% Gomory 0 1 0,21% Gomory 1 0 0,69% Gomory 1 1 0,47% Cliques 0 0 2,28% Cliques 0 1 1,70% Cliques 1 0 4,71% Cliques 1 1 2,53% Mircut 0 0 0,44% Mircut 0 1 0,13% Mircut 1 0 0,52% Mircut 1 1 0,20% Tabela 2 Concluímos que os cortes Gomory e Mircut funcionam bem para a classe de problemas testados. Ao usarmos somente o

6 corte Mircut e como critério de seleção de nós a estratégia de busca pelo melhor limitante com ênfase em otimalidade, o gap obtido foi significativamente menor do que o gap obtido na primeira etapa, onde o CPLEX foi executado com a sua configuração padrão. O mesmo ocorreu ao usarmos somente o corte Gomory e como critério de seleção de nós a estratégia de busca pelo melhor limitante com ênfase em otimalidade. Os resultados obtidos com os testes realizados mostram a dificuldade de se obter soluções ótimas para problemas reais em tempo computacional pequeno, devido a isso propomos o uso de heurísticas para resolvermos o PPEAR. Propostas de Solução 1ª Proposta: Heurística Gulosa Inspirado em Seleghim (2004) e Tsutiya (2006) propomos uma heurística gulosa para o PPEAR. Para diminuir os custos de energia elétrica com bombas hidráulicas ligadas em horários críticos, adotamos a seguinte estratégia: Para períodos compreendidos entre 21h e 18h As bombas hidráulicas devem ser acionadas quando for atingido o volume mínimo de água nos reservatórios e devem permanecer ligadas até que o volume máximo sea atingido. Afim de evitar ligar as bombas hidráulicas durante o horário crítico estas devem ser acionadas nos períodos precedentes as 18h para manter os reservatórios com o volume máximo de água no início do horário crítico. Para períodos compreendidos entre 18h e 21h Se algum reservatório atingir o volume mínimo nesta faixa horária deve-se tentar satisfazer a demanda deste reservatório por transferência de água de outros reservatórios. Caso isso não sea possível devido à capacidade e demanda dos reservatórios que podem enviar água para o reservatório em questão, deve-se então acionar a bomba hidráulica e mantê-la ligada o mínimo de tempo possível, suficiente para satisfazer a demanda no restante desta faixa horária. Esta heurística foi implementada em linguagem C, nos testes preliminares concluiuse que, para o PPEAR sem perdas de água (θ =0), esta heurística obtém soluções de boa qualidade em tempo computacional baixo. 2ª Proposta: Meta-heurística GRASP Devido a semelhança do PPEAR como o problema de dimensionamento de lotes com múltiplas plantas, inspirado em Nascimento (2007) sugerimos usar a metaheurística GRASP para a resolução do problema. O GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) é uma metaheurística composta por múltiplos inícios, usada para resolver problemas de otimização combinatória. Nesta meta-heurística cada iteração consiste de duas fases: construção de uma solução inicial e busca local. Na fase construtiva uma solução factível é gerada e na fase da busca local a vizinhança da solução factível é investigada com o obetivo de encontrar uma solução factível de melhor qualidade. O algoritmo GRASP é limitado por um número máximo de iterações, que corresponde ao número de soluções factíveis construídas nas quais foi aplicada a busca local. Entre estas soluções geradas é escolhida a de melhor valor. Conclusões e perspectivas futuras A resolução do modelo computacional proposto para o PPEAR com perdas de água depende do pacote de otimização CPLEX, de alto custo. Isto nos motiva a desenvolver métodos para obter soluções de boa qualidade para o PPEAR que possam ser adotados pelas prefeituras municipais, para que estas reduzam seus gastos com energia elétrica no abastecimento de água, proporcionando grande economia aos cofres públicos. A implementação do GRASP para o PPEAR está em fase de desenvolvimento. Posteriormente será realizado um estudo sobre previsão de demanda de água.

7 Referências [1] Nascimento, M. C. V., Uma heurística GRASP para o problema de dimensionamento de lotes com múltiplas plantas. Tese de Mestrado, USP, [2] Seleghim, P., Estudo operacional da estação do Douradinho São Carlos. Relatório Técnico, [3] Toledo, F. M. B.; Santos, M. O.; Arenales, M. N.; Seleghim, P., Otimização e Racionalização Energética em Redes Urbanas de Armazenamento e distribuição de Água. XIII Congreso Latino- Iberoamericano de Investigación Operativa, 2006, Montevideo. Anales del XIII Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación Operativa. Montevideo: ALIO, v. 1. pp. 1-6, [4] Tsutiya, M. T., Redução do custo de energia elétrica em sistemas de abastecimento de água. ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental, primeira edição, 2006.