UM ALGORITMO DE BUSCA LOCAL PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM CARRY-OVER

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1 UM ALGORITMO DE BUSCA LOCAL PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM CARRY-OVER Mariá Cristina Vasconcelos Nascimento (orientadora: Profª Dra. Franklina Maria Bragion de Toledo ) Universidade de São Paulo Av. do Trabalhador São-Carlense, Centro - Cx. Postal 668 São Carlos - São Paulo - Brasil CEP Resumo Neste trabalho estudamos o problema de dimensionamento de lotes envolvendo a produção de múltiplos ens num ambiente produtivo com restrições de capacidade. Nosso objetivo é determinar um planejamento de produção que além de minimizar os custos de preparação, produção e estoque, seja capaz de atender à demanda dos ens sem violar as restrições de capacidade do problema. Também, iremos considerar a economia do custo de preparação quando o último em produzido num período for o primeiro em a ser produzido no período imediatamente posterior (carry-over). Propomos para a solução do problema heurísticas baseadas em busca local pura cujos movimentos foram extraídos da leratura. Embora seus resultados sejam inferiores aos de metaheurísticas, em geral, o tempo computacional é significativamente menor, o que justifica seu estudo. O desempenho computacional dos algormos é analisado e propostas futuras são apresentadas. (Palavras-chave: carry-over, dimensionamento de lotes, busca local). Abstract In this work we study the lot sizing problem involving the production of multiple ems wh capacy constraints. A production plan should be determined in order to meet the forecast demand for the ems, whout exceeding the capacy of the machine and minimize production, setup and inventory costs. We must also consider the economy of setup when the last produced em in a given period is the first em to be produced at the immediately following period (carry-over). To solve the problem we propose heuristics based on a pure local search wh movements taken from lerature. Even if the results were inferior to the meta-heuristics, in general the computational time is much lower, justifying s study. The heuristics performance is analyzed and future proposals are presented. (Keywords: carry-over, lot sizing, local search). 1. Introdução O dimensionamento de lotes é um problema de planejamento da produção que envolve a determinação de quanto produzir de um ou mais ens em cada um dos períodos de um horizonte de planejamento de forma a atender a uma demanda pré-estabelecida. O plano de produção resultante deve minimizar a soma dos custos produção. Segundo Karimi et al. (2003), o problema de dimensionamento de lotes, além de ser um dos mais importantes, é também um dos problemas mais difíceis no planejamento de produção. Na leratura existem muos trabalhos nessa área, pois este problema vem sendo estudado há vários anos. Boas revisões podem ser encontradas em Bahl et al. [1987], Kuik et al. [1994], Wolsey [1995] e Karimi et al.(2003).

2 O problema estudado neste trabalho envolve o planejamento da produção de múltiplos ens em um único estágio, ou seja, os ens são produzidos independentemente. A capacidade de produção é limada e a demanda deve ser atendida sem atraso. São considerados: custos de preparação, produção e estoques. A fim de tornar o problema ainda mais próximo de aplicações reais é também considerada a possibilidade de carry-over. Carry-over consiste em continuar a produção de um dado em em um período no período posterior, economizando, portanto, o custo de preparação. O carry-over ocorre em três suações: - quando o mesmo produto é produzido no final do período t e no início do período t +1; - quando existe tempo suficiente entre o período t e o período t + 1 para efetuar a preparação da máquina; - quando existe tempo suficiente no final do período t para preparar a produção do primeiro em a ser produzido no período t + 1. Mesmo o problema de dimensionamento de lotes sem carry-over pertence à área de otimização combinatória e é, na maioria das vezes, intratável em suações reais. Dentre os trabalhos propostos na leratura, apenas problemas semelhantes com poucas variáveis inteiras foram resolvidos de forma ótima, enquanto os problemas maiores foram resolvidos através de algormos heurísticos. Na leratura, são encontrados poucos trabalhos que consideram carry-over. Em Gopalakrishnan et al. (2001) foi proposto um algormo de Busca Tabu para sua solução. Essa metaheurística também foi testada para problemas onde não era considerado carry-over e bons resultados foram obtidos. Em Porkka et al. (2003), são propostas três formulações distintas para o problema. Neste trabalho apresentamos algumas heurísticas baseadas em busca local pura. Essas heurísticas foram desenvolvidas utilizando os movimentos propostos em Gopalakrishnan et al. (2001). O objetivo de estudar heurísticas de busca local é que, embora apresentem resultados inferiores às meta-heurísticas, elas são muo mais rápidas. Este artigo está organizado da seguinte maneira: na próxima seção, discutimos a modelagem do problema. As soluções iniciais e os movimentos utilizados nas heurísticas são apresentados na seção 3 e 4, respectivamente. As heurísticas de busca local são propostas na seção 5. Os resultados computacionais são relatados na seção 6. As conclusões e as pesquisas futuras são apresentadas na seção O problema de dimensionamento de lotes Apresentamos a seguir uma formulação proposta na leratura para o problema de dimensionamento de lotes com carry over, onde: T - número de períodos do horizonte de planejamento; N número de ens do horizonte de planejamento; d demanda do em i no período t; c custo unário de produção do em i no período t; h custo unário de estoque do em i no final do período t; s custo de preparação cobrado se o em i foi produzido no período t; b tempo unário de processamento do em i no período t; f tempo de preparação para a produção do em i no período t; C t capacidade de produção no período t; X produção do em i no período t (variável); I estoque do em i no período t (variável); Y variável binária que assume os valores 1 se o produto i foi produzido no período t e 0, caso contrário (variável); ζ variável binária que assume o valor 1 se um setup carry-over ocorre para o em i do período t-1 para o período t, e 0, caso contrário (variável). 2365

3 Min t = 1 i= 1 X N i= 1 b T N i= 1 X ( s Y + c X + h I ) ( f Y + b X ) ( Y + ζ ) X N ζ + I i, t 1 { 0,1 }, Y { 0,1} 0, i, t 1 ζ 1 ζ Y ζ + ζ I ζ I i, t 1 Y 0 0 i, t 1 = d C C t + Y t 2 ( I) ( II) ( III) ( IV ) ( V ) ( VI) ( VII) ( VIII) A função objetivo visa minimizar a soma dos custos de produção, preparação e estoque. As restrições (I) representam as equações de balanço de estoque. A limação da capacidade da máquina em cada período é expressa em (II), onde são contabilizados os tempos de preparação e produção dos ens. A restrição (III) garante a incidência do custo e do tempo de preparação caso a variável X seja posiva, exceto para o em que tenha carry-over do período t-1 para o período t. A restrição (IV) garante a produção de no máximo um produto através de carry-over do período t-1 para o t. As restrições (V) e (VI) garantem a sincronização da preparação da máquina ao longo de dois períodos consecutivos. As restrições (VII) garantem que, respectivamente, as variáveis ζ e Y tomem valores 0 e 1. Em (VIII) asseguramos que os estoques e a produção sejam sempre posivos. O problema proposto pertence à área de otimização combinatória e é, na maioria das vezes, intratável em suações reais. Dentre os trabalhos propostos na leratura, apenas problemas semelhantes com poucas variáveis inteiras foram resolvidos na otimalidade, enquanto os problemas maiores foram resolvidos através de algormos heurísticos baseados em relaxação lagrangeana ou heurísticas construtivas. Metaheurísticas, tais como busca tabu e algormos genéticos têm sido aplicadas com sucesso a uma grande variedade de problemas de otimização combinatória. São métodos flexíveis e capazes de produzir soluções de alta qualidade em tempo computacional razoável. 3. Soluções Iniciais Foram estudadas as soluções iniciais propostas em Gopalakrishnan et al. [2001], que são as seguintes: 1. Solução lote por lote (lot for lot): Na geração desta solução inicial, a produção de um em em um dado período é sua demanda, ou seja, produzimos exatamente a demanda de cada em em cada um dos períodos, o que em geral leva à violação de capacidade dos períodos. 2. Solução WW: para obtermos esta solução inicial usamos o algormo de Wagner e Whin [1958], em que cada em é planejado separadamente ao longo do horizonte ignorando a restrição de capacidade da máquina. 3. Solução first: neste caso, a obtenção da solução inicial é fea produzindo a demanda total de cada um dos ens no primeiro período cuja demanda é não nula. 4. Solução half: nesta solução, o horizonte de planejamento é sub-dividido em duas metades e a demanda total de cada em em cada metade é produzida no primeiro período desta em que a demanda não é nula. 5. Solução quarter: neste caso, o horizonte de planejamento é subdividido em quatro partes iguais. É aplicada a mesma idéia utilizada em half. 2366

4 6. Solução two to two: nesta última estratégia de geração de soluções iniciais, a demanda de cada dois períodos adjacentes é produzida no primeiro dos dois períodos. Estas estratégias determinam a quantidade a ser produzida de cada em em cada um dos períodos. A fim de possibilar o carry-over, os autores propuseram duas estratégias, as quais estão baseadas nas seguintes variáveis: alfa[t] em (1,.., N) produzido no início do período t; beta[t] em produzido por no final do período t; gama[t] estado da máquina (tipo do em que a máquina está preparada para produzir) no final do período t. Os dois métodos propostos em Gopalakrishman et al. (2001), consideram a cada período uma lista de ens ordenada em ordem crescente de demanda: a) Método 1 - o primeiro em da lista é o primeiro a ser produzido naquele período e o segundo é o último, ou seja, se considerarmos um dado período t, temos que alfa[t] é o primeiro em da lista, enquanto o beta[t] é o segundo; b) Método 2 - o primeiro em da lista é o primeiro a ser produzido no período e o último da lista é o último, da mesma forma, se considerarmos um período t temos que alfa[t] é o primeiro em da lista e o beta[t] o último. Portanto, podemos gerar doze soluções iniciais com esses dados, pois temos seis estratégias de geração de soluções iniciais e duas maneiras diferentes de atribuirmos valores à seqüência de produção. Além destas soluções iniciais, consideramos uma solução inicial factível gerada por uma simplificação da heurística de transferência baseada em [Toledo, 1998]. O método heurístico é composto de dois estágios: obtenção de uma solução inicial e factibilização. A solução inicial é gerada por Wagner Whin [1958]. Geralmente esta solução inicial não é factível com relação às restrições de capacidade, então aplicamos a fase de factibilização e tentamos construir uma solução factível através da transferência de quantidades de produção de períodos não factíveis para outros períodos. 4. Os movimentos utilizados Para tornar uma solução factível e/ou melhorar os valores das soluções iniciais obtidas foram usados os cinco movimentos propostos em Gopalakrishnan et al. [2001], que são: SWAP - Troca de ens dentro de um mesmo período - este movimento visa reduzir o número de preparações entre dois períodos adjacentes, buscando que o último em produzido num dado período t seja o mesmo produzido no início do período t+1, proporcionando assim a economia da preparação do em no período t+1. Para tanto, tentamos trocar o primeiro em produzido com o último (alfa[t]) com o beta[t]) ou trocar um deles com algum outro em produzido no período. Esse movimento pode ser executado em qualquer período em que sejam produzidos dois ou mais ens. SETUP1 Antecipar a preparação do início de um período para o fim do período anterior este movimento visa utilizar a capacidade ociosa no final de um período para liberar capacidade no período seguinte, portanto, altera a capacidade disponível em dois períodos consecutivos. SETUP2 Transfere a preparação do final de um período para o período seguinte Este terceiro movimento é o inverso do anterior. Ele muda a preparação do final de um período t para o início do período posterior t+1 quando houver capacidade disponível no período posterior t+1 e quando o estado da máquina no final do período t, gama[t], for diferente do último em produzido neste mesmo período, beta[t]. LOT1 - Neste movimento, buscamos transferir uma certa quantidade de produção de um em i do período t para um período anterior s (1 s t 1). Esta quantidade transferida pode ser tanto o lote todo do em quanto uma parte dele. A decisão de quanto transferir dependerá da capacidade disponível no período s, pois se existir capacidade suficiente para produzir o lote todo, este é transferido, caso contrário, é analisado o custo de manter o lote todo do em i no período t e o custo de transferir o mesmo para o período s. Caso o custo em s seja menor, o lote todo é 2367

5 transferido. A avaliação do custo da transferência para o período s depende da penalidade por violar a capacidade no período s e do custo de estoque do em i resultante da transferência. No período t, o custo depende da redução do custo de preparação e da violação de capacidade no período t. Se a transferência não for vantajosa, é transferida apenas a quantidade do em que não violar a capacidade em s. Se o em i ainda não for produzido no período s, também devemos considerar os seguintes casos: 1.1. Se dois ou mais ens já forem produzidos no período s: o em i que se pretende inserir será um em intermediário e uma nova preparação será necessária no período s; 1.2. Se apenas um em for produzido no período s: se s > 1 e beta(s 1) for igual ao em i então alfa(s) recebe o valor de i, caso contrário beta(s) recebe i; se s for 1 e alfa(s+1) for igual ao em i, então beta(s) recebe o valor de i, caso contrário, alfa(s) recebe o valor de i; 1.3. Se nenhum em for produzido no período s: fazemos alfa(s) e beta(s) receberem o valor de i. Para os dois últimos casos, pode ser necessária uma nova preparação do em transferido no período s, exceto no caso de carry-over. Se necessário, os valores dos gamas deverão ser atualizados. LOT2 Esse movimento é o inverso do anterior, pois ao invés de antecipar um lote, ele posterga, obedecendo a demanda, ou seja, ele transfere parte de um lote ou o lote todo de um período t para um período posterior s, onde t+1 s T. Aqui devemos tomar o cuidado de não deixar de atender a demanda, permindo a transferência máxima do menor estoque entre todos os períodos que vão de t a s Descrição geral da heurística Destacamos a seguir algumas características da heurística a fim de facilar seu entendimento. 5.1 Taxa de penalidade É usada quando a solução obtida apresenta violação de capacidade em um ou mais períodos. A taxa de penalidade será adicionada ao valor da solução obtida multiplicando o valor da capacidade violada em cada um dos períodos pelo valor da penalidade. Para verificar se a solução atual é factível, basta verificar o valor da solução sem a penalidade (solução factível) com a solução com a penalidade. Se estes forem iguais, então a solução atual é factível. Da mesma forma que em Gopalakrisnhan et al. (2001), o valor inicial desta penalidade é cinqüenta, e enquanto ocorre a busca ele varia de acordo com o método descro a seguir. Seja n o número de soluções infactíveis obtidas durante h erações. Se n for menor do que h/2, o valor de p é reduzido para (0.5 + n/h) p, pois mais da metade das soluções são factíveis. Agora, se n for maior que h/2, o valor de p aumenta para (2n/h) p. Se n for igual a h/2, mantém-se o valor de p. O valor de h é 10 e os valores mínimo e máximo serão, respectivamente, 0.5 e Heurística de busca local Primeiramente utilizamos os movimentos da mesma forma proposta no artigo, que se resume a cada eração escolher o melhor movimento dentre SETUP1, SETUP2, LOT1, LOT2, e a cada três erações ou quando nenhum dos movimentos anteriores gera uma solução melhor, consideramos também o movimento de SWAP. Fazemos isso até que não haja mais economia ou que o número de erações k seja superior a 1.5( N). Dentre as demais combinações de vizinhanças utilizadas e testadas, a que apresentou melhor resultado foi quando usamos um mesmo movimento até que este não fosse capaz de gerar uma solução de melhor qualidade. Então passamos ao próximo e assim sucessivamente conforme a seqüência: SWAP, LOT1, LOT2, SETUP1, LOT1, LOT2, SETUP2, LOT1, LOT2 e voltamos para o início da seqüência. O crério de parada é o mesmo do anterior, assim como a atualização da penalidade. 2368

6 6. Testes computacionais Os algormos descros na seção anterior foram implementados em linguagem C e os testes foram realizados em um microcomputador AMD Athlon Processor com 512 KB de RAM com sistema operacional Windows. Os testes computacionais envolveram dois experimentos. No primeiro experimento, as heurísticas foram testadas e seus resultados foram comparados aos gerados pela heurística proposta em Trigeiro et al. (1989) para as instâncias apresentadas pelos autores. Nesta etapa foi analisada a melhoria dos custos quando consideramos a possibilidade de carry-over nos problemas. Na segunda etapa de testes, as heurísticas propostas foram comparadas aos resultados apresentados em Gopalakrishnan et al. (2001), neste caso foi considerado o limante inferior proposto por estes autores e os resultados foram comparados com os dados apresentados pelos autores em seu artigo. Nas Tabelas 1 e 2 apresentamos os resultados das heurísticas propostas quando comparadas aos resultados de Trigeiro et al. (1989) para problemas onde o carry-over não é considerado. Desta forma, podemos avaliar a economia gerada ao considerarmos mais esta característica durante a solução do problema. Os problemas utilizados nos testes foram propostos por Trigeiro et al. (1989) e estão divididos em três grupos, Grupo 1 composto por 70 problemas que os autores utilizaram para ajustar os parâmetros de sua heurística, Grupo 2 composto por 141 problemas com 6, 12 e 24 ens e 15 e 30 períodos; Grupo 3 com 540 problemas com 10, 20 e 30 ens e 20 períodos. Os valores apresentados representam a diferença percentual entre o valor obtido pela heurística e a solução gerada por Trigeiro et al. (1989) [(Solução do Trigeiro Heurística)/Solução do Trigeiro*100]. Tabela 1 Heurísticas de Busca Local. Heur_G Heur_P Grupo 1 7,47 7,02 Grupo 2 0,42-2,53 Grupo 3-6,55-9,48 Na Tabela 1, Heur_G e Heur_P são, respectivamente, a heurística de busca local utilizando os movimentos como descro em Gopalakrishnan et al. (2001) e segundo a proposta deste trabalho. Foram utilizadas todas as soluções iniciais propostas pelos autores e as que apresentaram melhores resultados foram a política lote por lote e a solução gerada por WW. Os resultados mostraram que, neste caso, a heurística proposta sempre apresentou resultados piores quando comparada a proposta por Gopalakrishnan et al. (2001), e para os dois últimos grupos de problemas, os resultados foram inferiores aos de Trigeiro et al. (1989). Tabela 2 Heurísticas de Busca Local solução inicial factível. Swap Heur_Gfac Heur_PFac Grupo 1 2,99 5,89 7,67 Grupo 2 0,06 2,52 2,40 Grupo 3-1,78 0,31 0,39 Partindo da solução factível apresentada anteriormente, fizemos três testes: uma busca local baseada somente no movimento de Swap (Swap), busca local conforme proposto em Gopalakrishnan et al. (2001) (Heur_Gfac) e busca local conforme proposto neste trabalho (Heur_Pfac). Devemos destacar que para estas heurísticas os movimentos foram adaptados a fim de que só fossem permidos movimentos factíveis. Como podemos observar os melhores resultados foram obtidos quando utilizamos a busca local proposta, exceto para o Grupo 2. Estes resultados também são superiores aos apresentados na Tabela 1. Conforme sugerido em Gopalakrishnan et al. (2001), o desempenho das heurísticas foi comparado a um limante inferior, que foi calculado a partir do limante inferior de Trigeiro et al. (1989) subtraindo-se o maior custo de preparação dos ens multiplicado pelo número de períodos, o que representa a economia máxima possível quando aplicamos carry-over. Estes resultados são resumidos na Tabela

7 Tabela 3 Análise da qualidade dos algormos. N T Heur_G Heur_P Heur_Gfac Heur_PFac Gopalakrishnan et al. (2001) Grupo 1 56,4 57,7 62,5 66,6 Não reportado ,8 70,3 68,6 66,4 27, ,5 78,7 77,4 76,5 23,2 Grupo ,5 39,6 26,1 28,3 11, ,5 35,7 27,7 27,7 9, ,3 12,8 11,1 11,0 5, ,4 39,4 11,1 11,0 4, ,1 52,7 41,5 40,9 14,6 Grupo ,6 25,7 18,3 18,3 5, ,6 22,4 12,1 12,2 3,4 Tabela 4 Análise dos tempos dos algormos (em segundos). Heur_G Heur_P Heur_Gfac Heur_Pfac Gopalakrishnan et al. (2001) Grupo 1 0,05 0,01 0,05 0,1 Não reportado Grupo 2 1,11 0,8 0,45 0,65 20,76 Grupo 3 5,23 2,1 0,73 3,1 81,66 Tabela 5 Análise da porcentagem de problemas factíveis. Heur_G Heur_P Heur_Gfac Heur_Pfac Gopalakrishnan et al. (2001) Grupo Não reportado Grupo Grupo Como mostramos nas tabelas acima, a busca local apresentou resultado inferior a Busca Tabu proposta em Gopalakrishnan et al. (2001), no entanto, o tempo computacional necessário para executar a busca local é muo inferior (Tabela 4), o que justifica sua aplicação em casos onde é necessário obter uma solução rapidamente. A partir dos diversos algormos de busca local podemos concluir que os melhores resultados são obtidos quando partimos de uma solução factível, pois o número de soluções factíveis é consideravelmente superior (ver Tabela 5). A Busca Tabu encontrou solução factível para todos os problemas, enquanto os algormos de Busca Local encontraram solução factível para a maioria deles. 7. Conclusões e Pesquisas Futuras Como podemos observar pelos resultados obtidos, a nova estratégia utilizada no algormo de busca local é promissora e novos estudos poderão trazer resultados bastante interessantes. Além disso, no decorrer deste trabalho pudemos observar que, em especial para parte dos problemas do Grupo 3, os gaps em relação ao limante inferior são muo grandes, o que além de distorcer a média global, nos guia a investigar se os movimentos da busca local estão sendo efetivos para estes problemas. A comparação dos resultados da busca local com a busca tabu ocorreu conforme já era esperado, pois com relação à qualidade, a busca local é inferior à busca tabu e, em relação ao tempo computacional gasto, a busca local é mais rápida. Outro ponto que nos motiva a continuar este estudo é implementar um método baseado em GRASP (Feo e Resende,1995) para gerar um grande número de soluções iniciais alternativas, isto propiciaria que a busca local fosse aplicada a uma grande variedade de pontos iniciais. Desta forma buscamos melhorar significativamente seus resultados. 2370

8 8. Referências Bibliográficas Bahl, H. C., L. P. Rzman e J. N. D. Gupta (1987). Determining lot sizes and resource requirements: a review. Operations Research, 35, Feo T.A. e Resende M.G.C. (1995), Greedy randomized adaptive search procedures, Journal of Global Optimization, 6, Gopalakrishnan, M., Ding, K., Bourjolly, J.M. e Mohan, S. (2001) A tabu-search heuristic for the capacated lot-sizing problem wh set-up carryover, Management Science 47, Karimi, B., S.M.T Fatemi Ghomi, J.M. Wilson (2003).The capacated lot sizing problem: a review of models and algorhms. Omega International Journal of Management Science,31, Kuik, R., M. Salomon e L. N. van Wassenhove (1994). Batching decisions: structure and models. European Journal of Operational Research, 75, Toledo, F.M.B. (1998).Dimensionamento de lotes em máquinas paralelas. Tese de Doutorado, FEEC UNICAMP. Trigeiro, W.W., L. J. Thomas e J. O. McClain (1989). Capacated lot sizing wh setup times. Management Science 35, Wagner, H. M. e T. M. Whin (1958). Dynamic version of the economic lot size model. Management Science 5, Wolsey, L. A. (1995). Progress wh single-em lot-sizing. European Journal of Operational Research, 86,