O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES EM MÁQUINAS PARALELAS COM RESTRIÇÕES DE CAPACIDADE EM SISTEMAS MULTIESTÁGIOS

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1 O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES EM MÁQUINAS PARALELAS COM RESTRIÇÕES DE CAPACIDADE EM SISTEMAS MULTIESTÁGIOS Maristela Oliveira dos Santos Instuto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo CP 668, CEP , São Carlos, SP, Brasil Vinícius Amaral Armentano Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas CP 60, CEP , Campinas, SP, Brazil vinicius@densis.fee.unicamp.br Resumo: Este trabalho considera o problema de dimensionamento de lotes em um sistema de produção multiestágio, onde cada estágio é composto por máquinas paralelas com capacidades limadas. O problema consiste em determinar um plano de produção que atenda a demanda dos ens finais e de seus componentes em cada período de um horizonte fino de planejamento. Um tempo de preparação é considerado para começar a produção em qualquer máquina e período. O objetivo é determinar um plano de produção que minimize os custos de produção, preparação e de estoque. O problema é formulado como um programa inteiro misto e um método heurístico básico é proposto. A partir deste método básico, algumas heurísticas variantes foram desenvolvidas sendo que, algumas incorporam estratégias de Busca Tabu. A análise computacional foi fea com vários exemplos gerados aleatoriamente. Para os exemplos de dimensões pequenas, as soluções heurísticas foram comparadas com as soluções ótimas obtidas pelo pacote CPLEX 4.0. Para os exemplos maiores, os resultados obtidos foram analisados considerando o limante inferior obtido através da técnica da Relaxação Lagrangiana e do método do subgradiente. Palavras-chave. Planejamento da Produção, Dimensionamento de Lotes, Heurística. Abstract: This work addresses the lot-sizing problem in a multistage production system, each stage consisting of parallel machines wh fine capacy. This problem lies in the determination of a production plan for the end ems and their components in order to satisfy the demand in each period of a fine horizon. A setup time is considered to start production on any machine in a given period. The solution should minimize production, setup and inventory costs. The problem is formulated as a mixed integer programming model and a basic heuristic method is proposed. From this basic method, a few heuristic approaches were developed, and some of them encompass a short-term memory tabu search. The computational analysis was done wh thousands of examples randomly generated. For small instances, the heuristic solutions are compared wh optimal solutions obtained by CPLEX 4.0. For larger instances, the qualy of the solution is evaluated using a lower bound provided by Lagrangean relaxation. Keywords. Production Planning, Lot Sizing, Heuristic.

2 . Introdução Neste trabalho é considerado o problema de dimensionamento de lotes em um ambiente multiestágio de produção, onde cada estágio é composto por máquinas paralelas com capacidade limada. O problema de dimensionamento de lotes multiestágio consiste em determinar o plano de produção que atenda a demanda dos ens finais e seus componentes, minimizando os custos envolvidos e, ainda, não exceda a capacidade de produção disponível. Um tempo de preparação (setup) é considerado para começar a produção em qualquer máquina em um determinado período. Na leratura existem boas revisões, como as encontradas em Billington et al. (983), Bahl et al. (987) e Kuik et al. (994). No trabalho de Drexel e Kimms (997) são apresentados diversos modelos para problemas de dimensionamento de lotes e seqüenciamento. Do ponto de vista computacional, quando os recursos são limados, a consideração de custos das preparações das máquinas (setup cost) faz com que o problema seja NP-Hard (Florian, 980). Maes et al. (99) mostraram que o problema de identificar a existência de uma solução factível é NP- Completo quando se considera consumo de recursos para preparações das máquinas (setup time). Devido à complexidade de resolução, mesmo para encontrar uma solução factível, a pesquisa envolve, em sua grande maioria, métodos heurísticos. Dentre os trabalhos que abordam o problema de dimensionamento de lotes multiestágio, podemos car, Billington et al. (986), Tempelmeier e Helber (994), Tempelmeier e Derstroff (996), França et al. (997), e Katok et al. (998) mas, estes não consideram o ambiente de produção com máquinas paralelas. Dentre os trabalhos que abordam o problema com máquinas paralelas, podemos car Lasdon e Terjung (97), Sabbag (993) e Toledo (998), mas tais trabalhos consideram o problema monoestágio A seguir é apresentada a formulação para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio e máquinas paralelas e, em seguida, é descro o procedimento heurístico proposto para resolução do problema. Os resultados computacionais são apresentados na seção 4 e, as conclusões e perspectivas futuras na seção Formulação do Problema O problema consiste em determinar o tamanho do lote de produção de cada em em cada período em um horizonte de tempo fino. Os custos considerados são de produção, estoque e preparação, sendo este último um custo fixo caso ocorra produção. É suposto que os recursos são gastos com produção e preparação. A seguinte notação é considerada: Índices t =,...,T Número de períodos. k =,...,K Número de máquinas. i =,...,N Número de ens. Conjuntos S(i) - Conjunto dos sucessores imediatos do em i. P(i) - Conjunto dos predecessores imediatos do em i. Dados a ij - Quantidade do em i requerida para a produção de uma unidade do em j. d - Demanda do em i no período t. h - Custo unário de estoque do em i no período t. c k - Custo unário de produção do em i no período t na máquina k. cs ik - Custo de preparação do em i na maquina k. b ik - Quantidade unária de recurso usado na produção do em i na máquina k. ts ik - Tempo de preparação do em i na máquina k. CAP tk - Capacidade disponível no período t na máquina k (em unidades de tempo). M - Número grande. Variáveis X k - Quantidade do em i a ser produzida no período t na máquina k. I - Estoque do em i no final do período t., se i é produzido no período t na máquina k Y k = 0, caso contrário. 2005

3 O Modelo pode ser escro como Sujeo a: N T K Min Z = ( c i X k + csikyk ) + K i= t= k= N T tk h I () i= t= X + I X, i,t (2) ( t ) I = d + ai j k i k= j S ( i) k= N ( bik X k + tsikyk ) i= k k CAP tk K jtk, k,t (3) X M Y i,k,t (4) I 0, X 0, Y k = 0 ou i,k,t (5) k A função objetivo () minimiza os custos de produção, estoque, e preparação. As restrições (2) representam as equações de balanço de estoque e produção. As restrições (3) são as restrições de limação de capacidade e, (4) asseguram que X k =0, se Y k =0. Os estoques inicias ( I i0, i ) e finais ( I it, i ) de todos os ens são considerados nulos. 3. Método Heurístico de Resolução O método heurístico consiste de quatro procedimentos. O primeiro constrói soluções iniciais que geralmente são infactíveis em relação às restrições de capacidade. A seguir, caso a solução inicial considerada seja infactível, um procedimento de factibilização tenta encontrar uma solução factível a partir desta. Se uma solução factível for encontrada, um procedimento de melhoria tenta obter uma de menor custo. No entanto, o procedimento de factibilização pode falhar, ou seja, após um certo número de erações nenhuma solução factível é encontrada. Se ocorrer a falha do procedimento de factibilização, aplica-se um procedimento de alteração, o qual tenta obter uma nova solução de partida. O procedimento de factibilização será reaplicado considerando esta nova solução. Se após a reaplicação do procedimento de factibilização não for obtida uma solução factível, então uma solução factível não existe ou o procedimento heurístico falha. 3.. Solução Inicial Neste trabalho são desenvolvidos dois procedimentos para determinar soluções iniciais. Tais procedimentos são baseados no trabalho de Armentano e Toledo (997) que estenderam o algormo de Wagner e Whin (958) para o problema com máquinas paralelas. O algormo de Wagner e Whin (958) resolve o problema com um único em, sem restrições de capacidade para uma única máquina, sendo baseado na representação do problema como um problema do caminho mínimo em um grafo direcionado. Os procedimentos desenvolvidos são denominados de WW-Paralelo e WW- Paralelo Penalizado. O procedimento WW-Paralelo considera a aplicação seqüencial do algormo de Armentano e Toledo (997), e o procedimento WW-Paralelo Penalizado consistiu numa simples extensão do primeiro algormo considerando a estrutura do problema. Como o procedimento de Armentano e Toledo (997) ignora restrições de capacidade, na modificação do algormo, foi proposta uma redefinição dos pesos dos arcos do grafo. Essa modificação visa, de um certo modo, que máquinas sobrecarregadas sejam inibidas de produção, objetivando atenuar as violações. Tais procedimentos podem ser aplicados ao problema estudado nesse trabalho para cada em separadamente, da maneira descra a seguir. Inicialmente, as restrições de capacidade, restrições(3), são abandonadas, tornando-o um problema multiestágio com máquinas paralelas sem limações de capacidade. A seguir, os procedimentos são aplicados para cada em separadamente, determinando a sua produção. A produção dos ens finais é determinada inicialmente e independentemente dos demais (note que S(i)= ), de modo que o termo do lado direo da equação de balanço de estoque (2) reduz-se à demanda 2006

4 independente). Descendo na estrutura do produto e fixando-se o nível de produção encontrado dos ens sucessores, a produção dos demais ens é determinada. Observe que N problemas com único em e máquinas paralelas são resolvidos e quando reunidos formam uma solução para o problema original. Tal solução pode ser infactível em relação às restrições de capacidade (3). Se esse for o caso, uma heurística de factibilização, descra a seguir, é aplicada. Caso a solução seja factível, a heurística de melhoria, descra na seção 3.3. é aplicada Heurística de Factibilização Nesta seção é descro um procedimento baseado em transferências de produção de um único em e múltiplos ens entre períodos e entre máquinas na tentativa de factibilizar soluções infactíveis, como por exemplo, a solução obtida pelo procedimento da seção 3., caso esta seja infactível.o procedimento de factibilização é semelhante aos de França et al. (997) e Tempelmeier e Derstroff (996), Sabbag (993) e Toledo (998), sendo composto de dois passos principais: regressivo e progressivo no tempo. N Seja Δ kt = ( bik X k + tsikyk ) CAPtk i= a variável de folga da restrição de capacidade (3). O excedente de recursos utilizado na máquina k no período t é dado por excesso( k, t) = max{ 0, Δkt }. Para eliminar o excedente realiza-se a transferência de uma quantidade q de algum em i produzido no par (k,t) (máquina k, período t) para (k,t ) com k k ou t t. A quantidade q a ser transferida pode ser escolhida como: { Z t' k ' q = min t k, Q k } i onde: t'k ' i t k Z é quantidade máxima do em i produzida na máquina k que pode ser transferida do período t para o período t e para máquina k sem violar as restrições de balanço de estoque. excesso( k, t) Qk = é quantidade do em i que elimina o excesso da máquina k e período t. bik t k A seguir será descro como obter os valores de Z nos passos progressivo e regressivo do procedimento de factibilização. Passo Regressivo no tempo No passo regressivo, são analisados os períodos T,...,2 e as máquinas k=,...,k, nessa ordem. O período destino pode ser escolhido dentre τ t t onde τ = máximo {, último período em que há produção de i antes do período t}. Ou seja, se X k = 0 para todo t <t, considera-se τ=. Ao transferir-se uma quantidade de produção do em i para o período t ', t < t, segue das equações de balanço de estoque que os estoques dos ens predecessores imediatos do em i serão reduzidos entre os períodos t e t-, enquanto que os estoques do em i serão acrescidos desta quantidade entre estes períodos. Assim, a quantidade máxima que pode ser transferida do em i do período t e máquina k para o período t e máquina k é dada por: ' ' t k I jτ Zi t k = min Xi tk, min para t <t (6) j ( ) P i a ji t τ t t k Se Z =0 para todos os ens produzidos no par (k,t), então tenta-se executar uma transferência i t k de múltiplos ens na tentativa de possibilar a transferência de algum em produzido neste par. Para isto, todos os ens predecessores imediatos ou não do em i são analisados. As transferências de múltiplos ens são interrompidas assim que se consegue transferir o primeiro em predecessor imediato ou não, do em i. Caso t=t, executa-se somente transferência entre máquinas, então t ' k ' i t k Z = X k. Isto é válido também no passo progressivo. i t k 2007

5 Passo Progressivo no tempo Neste passo, as transferências de produção são analisadas do período t= até T- e as máquinas de k= até K. Os períodos destino a serem analisados estão no intervalo t t τ, onde τ = min{ T, primeiro período em que existe produção do em i após o período t}. Neste caso a transferência de uma quantidade de produção do em i acarreta uma diminuição do estoque deste em desta quantidade do período t até o período t -, enquanto que, o estoque dos ens predecessores imediatos terá um aumento neste mesmo intervalo. Dessa forma, a quantidade máxima a ser transferida do em i do período t e máquina k para o período t e máquina k é dada por: t ' k' Z = { } i t k min X k, min Iiτ para t >t (7) t τ t t k Se =0 então tenta-se executar uma transferência de múltiplos ens, como no passo Z i t k regressivo. Neste caso, todos os ens sucessores imediatos ou não do em i são analisados e as transferências de destes ens são interrompidas assim que se consegue transferir o primeiro em sucessor imediato ou não, do em i, que não está sendo produzido no par (k,t). Sabendo qual é a quantidade a ser transferida de qualquer em, precisa-se determinar qual deve ser a quádrupla (i,q,k,t ) escolhida para transferência do par (k,t) violado. Esta escolha é baseada na alteração nos custos que a transferência causa e no excesso de utilização de recursos nos pares envolvidos. Escolha da Transferência (i,q,t,k ) Sabendo qual é a quantidade a ser transferida de qualquer em, precisa-se determinar qual deve ser a quádrupla (i,q,k,t ) escolhida para transferência do par (k,t) violado. Esta escolha é baseada na alteração nos custos que a transferência causa e no excesso de utilização de recursos nos pares envolvidos. Assim, escolhe-se (i,q,k,t ) que minimiza a seguinte razão: Δcusto + FP. Penalidade razão = (8) Δredução A variação dos custos (Δcusto) causada pela transferência da quantidade q do em i de (k,t) para (k,t ) pode ser expressa como q c c passo hˆ ( k k ) iτ + su su2 custo τ Δ = custo _ solução _ atual onde, hˆ iτ = hiτ a h jτ (9) ji j P( i) t, K,t se passo regressivo τ = t, K,t se passo progressivo se t > t ( regressivo) passo = 0 se t = t se t < t ( progressivo) csi, k se X i, t, k = 0 csik se q = X k su = su2 = 0 se X i, t, k > 0 0 se q < X k A Penalidade é um termo não-negativo que pode ser interpretado como um custo pelo excesso em (k,t) e (k,t ), que é dado por: Exckt Exc k't' - max{0, Δ kt } Penalidade = + CAPkt CAPk t onde, max 0, q. b + ts ν max 0, Δ + (. b ts ν Exc k,t = { ( Δ ( ))} Exc k,t = { ( )} kt ik ik k t q ik + ik

6 se q = X k ν = 0 se q < X k se X k = 0 ν 2 = 0 se X k > 0 FP em (8) representa um peso dado à penalidade que é aumentado de acordo com a dificuldade de obter uma solução factível. FP=n no n-ésimo passo regressivo e progressivo. Finalmente, Δredução é dado por qbik + tsikν Δ redução =. CAPtk Implementação de estratégias da Busca Tabu Durante os experimentos computacionais foi detectada a ciclagem de transferência entre máquinas num mesmo período e, entre os passos progressivos e regressivos no tempo. A ciclagem de transferências entre duas máquinas ocorre quando uma mesma quantidade q de um dado em é transferida indefinidamente entre duas máquinas. A ciclagem entre os passos regressivos e progressivos ocorre quando um passo regressivo desfaz a transferência executada por um passo progressivo e vice-versa. Para impedir que ocorra estas ciclagens foi necessário utilizar estratégias da meta-heurística Busca Tabu baseadas na memória de curto prazo (Glover, 989 e 990). Assim, as estratégias da busca tabus foram utilizadas para evar que os movimentos executados em movimentos recentes fossem executados novamente. Um movimento é uma transferência de uma quantidade de produção de um em i de uma máquina k e de um período t para uma máquina k e período t. Após executar esta transferência é proibida qualquer quantidade de produção do em i sair de (k, t ) (ou de qualquer outro par (k, t )) e voltar para (k, t) ou, produção de i sair de (k,t) (ou de qualquer outro par (k,t )) para (k, t ) novamente uma vez que, este movimento já foi efetuado em um passado recente. O número de erações que os movimentos são proibidos de serem executados foi gerado aleatoriamente no intervalo [;5] Procedimento para Reconfiguração da Solução Caso o número máximo de erações preestabelecido para executar o procedimento de factibilização for atingido e nenhuma solução factível foi obtida, tenta-se reconfigurar a solução atual de modo a obter um novo ponto de partida. Neste procedimento são feas transferências considerando-se somente os dois períodos iniciais, pois durante os experimentos computacionais notou-se que a maioria das soluções infactível apresentava violações somente no primeiro período. Primeiramente as máquinas no primeiro período são ordenadas em ordem decrescente de utilização de capacidade. Com as máquinas ordenadas e iniciando-se com a máquina com maior excesso de produção, tenta-se primeiramente executar transferências de produção entre os períodos. A transferência de produção entre períodos de um em i somente é executada se houver produção do em em alguma máquina no período t=2. Caso haja mais de uma máquina que produza o em i no período t=2, escolhe-se a máquina com maior folga.se após esta primeira tentativa, a máquina analisada ainda apresentar violação, tenta-se transferir produção entre máquinas em t=. As transferências entre máquinas em t= são feas seqüencialmente, ou seja, das máquinas com maior excesso para as máquinas com menor excesso Heurística de Melhoria O procedimento de melhoria parte da solução factível obtida no passo de factibilização e tenta encontrar outra de menor custo. Isto é feo também baseado em transferências de partes da produção progressivamente e regressivamente no tempo. É similar aos passos regressivos e progressivos do procedimento de factibilização, porém respeando-se a factibilidade da solução. Passo Progressivo Inicialmente escolhe-se um par destino (k,t ) que tenha folga de capacidade, dada por -Δ k t >0. Os pares são analisados para as máquinas k =,...,K e para os períodos t =2,...,T, nesta ordem. 2009

7 Uma vez determinado o par destino (k,t ), são considerados os pares de origem (k,t), tal que, k=,...,k e os períodos t=,...,t. Para todos os ens com produção em t<t, considera-se a seguinte quantidade q do em i a ser transferida de t para t max{ 0, ( Δ k t + ν 2. tsik )} k t q = min, Zk bi, k O primeiro termo na expressão acima representa a quantidade máxima do em i que pode ser transferida sem violar a capacidade em (k,t ). O segundo termo representa a limação de estoque, conforme a heurística de factibilização. Para cada par destino (k,t ) com folga de capacidade, escolhe-se para transferência o par origem que proporcione a maior redução no custo total da solução, dada por Δcusto. Se o custo de transferência for negativo, então a transferência será efetuada, garantindo assim uma melhoria no valor da solução atual. Depois da transferência, caso ainda exista folga em (k,t ) busca-se outro par origem capaz de diminuir o custo da solução corrente. Se não houver tal par, toma-se o próximo par destino. O passo prossegue até o fim do horizonte de planejamento. Passo Regressivo Analogamente ao passo progressivo, escolhe-se um par destino (k,t ) que tenha folga de capacidade. Os pares são analisados para as máquinas k =,...,K e para os períodos t =T-,...,, nesta ordem. Uma vez determinado um par destino (k,t ), são consideradas os pares origens (k,t) que envolvam as máquinas k=,...,k e os períodos t=t,...,t. Para todos os ens com produção em t<t, quantidade q do em i a ser transferida de t para t é análoga ao passo progressivo: max{0, Δ( k' t' ) ν. tsik } k t q = min 2, Zk bik Como no caso anterior, o primeiro termo na expressão acima representa a quantidade máxima do em i que pode ser transferida sem violar a capacidade em (k,t ). O segundo termo garante que os estoques serão não-negativos, conforme o procedimento de factibilização. Para cada par destino (k,t ) com folga de capacidade escolhe-se para transferência a dupla origem que proporcione a maior diminuição do custo total da solução corrente, dado por Δcusto. Os passos da heurística de melhoria são aplicados sucessivamente até que um passo regressivo e progressivo seja efetuado sem que nenhuma transferência seja executada Limante Inferior O modelo ()-(5) pode ser rescro com a mudança de variável estoque de escalão. Seu respectivo custo é dado por ĥ ( h ˆ = h E = I + a E chamada a ji j P( i) h jt ij j S(i) ). Assim, as restrições de balanço de estoque (2) podem ser rescras em termos de estoque de escalão do seguinte modo: K k + Ei, t k= X E = D onde, j D = d + a D. Como I 0 então, ij j S(i) jt E a E (0) S i ij A relaxação Lagrangiana é aplicada nesta última restrição (0), bem como na restrição de capacidade (3) restando um problema com múltiplas máquinas para cada em independente, o qual é resolvido por programação dinâmica (Armentano e Toledo, 997) para cada multiplicador Lagrangiano. Os multiplicadores Lagragianos são atualizados utilizando o método do subgradiente (Camarini et al. 975) aplicado durante 200 erações. 4. Resultados Computacionais Foram gerados aleatoriamente dois grupos de problemas denominados, G e G2. O grupo G é composto por 240 exemplos de dimensão pequena e, para alguns deles o pacote CPLEX

8 conseguiu encontrar a solução ótima. Os exemplos de dimensão média estão no grupo G2, o qual é composto por 080 exemplos. As características destes grupos estão descras na Tabela. Os intervalos de valores utilizados para gerar estes exemplos, os quais foram baseados nos trabalhos de França et al. (997) e Toledo (998), encontra-se na Tabela 2. As heurísticas foram implementadas em linguagem C e os testes computacionais executados numa estação de trabalho SUN Ultra-. Tabela. Características dos exemplos Grupo G Grupo G2 Estrutura Serial e geral Serial e geral N 5 0, 7,40 T 4 6,2,8 K 2,3,4 2,3,4 Custo de Baixo e alto Baixo e alto preparação Capacidade Folgada Normal Sementes 20 0 Total Tabela 2. Parâmetros utilizados para geração Parâmetros Intervalo c k U[.5,2] cs ik para preparação U[5,95] baixo cs ik para alto custo U[50,950] preparação U[0.2,0.4] ĥ b ik ts ik d para ens finais d para ens componentes U[2,3] U[50,250] U[0,80] U[0,8] (notação: x U[ a, b] significa que x foi gerado aleatoriamente segundo uma distribuição uniforme no intervalo [a,b].) Os custos de estoque convencional foram calculados utilizando-se a expressão h = hˆ + a h, onde ĥ é o custo de estoque de escalão. O parâmetro a ij foi considerado ji j P ( i) jt constante com valor. O valor da capacidade por período foi calculado de forma que estivesse relacionado com os tempos das preparações e os valores das demandas geradas. Foi aplicado um procedimento semelhante ao utilizado por Toledo (998), para determinar a capacidade nos períodos t 2, adaptado para o problema de dimensionamento de lotes mutiestágio com máquinas paralelas. A demanda de cada em em cada período ( t 2 ) é dividida igualmente entre máquinas. A política lote-por-lote é aplicada a cada uma das máquinas e, a seguir, toma-se à média sobre o número de períodos e máquinas. Cap = T K N t= 2 j= i= D b K K( T ) ik + ts ik, onde D = d + aij D jt () j S(i) A capacidade foi então calculada, para t 2, da seguinte maneira: CAP tk = (( 0 K ) 0. )Cap t 2 (2) As capacidades para os períodos t 2 foram ajustadas utilizando a expressão (2), enquanto que, as capacidades das máquinas em t = foram determinadas de modo a sempre existir uma solução factível neste período. O procedimento para a determinação das capacidades para t= consiste em produzir cada em que tenha demanda em t= na máquina que possua o maior tempo de preparação, com o objetivo de gerar capacidades maiores neste período. Com a atribuição dos ens para máquinas que tenham maiores tempos de preparação, pode ser que algumas máquinas deixem de produzir neste 20

9 período. Para evar que estas capacidades sejam nulas, ou seja, se existe alguma máquina k ', em t=, que CAP 0, faz-se CAP CAP K k = k' = k. k Foram consideradas 00 erações para o procedimento de factibilização durante a primeira tentativa de factibilização, ou seja, durante 00 erações são aplicados os passos regressivos e progressivos no tempo. Se este número de erações for alcançado e nenhuma solução factível foi encontrada, aplica-se o procedimento de alteração. Após a aplicação do procedimento de alteração, o procedimento de factibilização é novamente executado durante 50 erações. As heurísticas são denominadas HT e, sendo que a diferença entre elas, encontra-se no procedimento de determinação da solução inicial. A heurística HT considera o procedimento WW- Paralelo que aplica sequenciamente o algormo de Armentano e Toledo (997) para determinação da solução inicial. Já a heurística utiliza o procedimento WW-Paralelo Paralizado, o qual é uma extensão do algormo de Armentano e Toledo (997), para a determinação da solução inicial. Análise dos resultados para os problemas do Grupo G Neste grupo, as capacidades foram geradas 20 % mais folgadas do que, as capacidades para os exemplos do grupo G2 para possibilar o CPLEX 4.0 a obter soluções ótimas. Primeiramente, observa-se que as heurísticas e o CPLEX 4.0 determinaram soluções factíveis para todos os exemplos gerados. As Tabelas 3 e 4 mostram as porcentagens de exemplos para os quais o CPLEX 4.0 encontrou uma solução ótima (OTM) e as porcentagens médias de uso da capacidade gerada por máquina para as soluções obtidas pelas heurísticas. Esta é definida como: T K N ( ) b X + ts Y Uso _ cap = 00 ik k ik k KT CAP t= k= i= tk. As Tabelas 3 e 4 mostram também os valores dos GapO, GapL e GapFac. O GapO é somente calculado se o CPLEX 4.0 encontrar uma solução ótima, o GapL foi calculado apenas para os exemplos onde foi possível obter o GapO e, GapFac é calculado para os exemplos que o CPLEX 4.0 não determinou uma solução ótima. GapL, GapO e GapFac são definidos da seguinte forma: GapO Z H Zotm = 00 Z GapL Z otm = H ZLB Z 00 Z LB H ZFC GapFac = 00 Z FC onde: Z H - é o valor da função objetivo dada por () calculado no ponto retornado pela heurística. Zotm - é o valor ótimo da função objetivo (). Z LB - é o valor do limante inferior gerado pela relaxação Lagrangiana. Z FC - é o valor da função objetivo avaliada na melhor solução factível (não ótima) produzida pelo CPLEX 4.0. Observe, na tabela 3, que o CPLEX 4.0 não determinou soluções ótimas para os exemplos com custo baixo de setup, estruturas serial e geral e, 4 máquinas. No entanto, para os exemplos com custo alto de setup, estrutura serial e geral e, 4 máquinas, o CPLEX 4.0 foi capaz de determinar soluções ótimas, tabela 4. Isto pode ter ocorrido porque, a produção é mais dividida entre as máquinas para os exemplos com custo baixo de setup, o que possivelmente dificulta o trabalho do CPLEX

10 Tabela 3. OTM, GapO-HT, GapO-, GapL-HT, GapL-, GapFac-HT, GapFac-, Uso-cap_HT e Uso_cap-HT para as soluções heurísticas com custo baixo de preparação. Custo baixo de preparação Estrutura K OTM GapO- HT GapO- GapL- HT GapL- GapFac- HT GapFac- Uso_cap- HT Uso_cap Serial *** *** *** *** Média Geral *** *** *** *** Média Tabela 4. OTM, GapO-HT, GapO-, GapL-HT, GapL-, GapFac-HT, GapFac-, Uso-cap_HT e Uso_cap-HT para as soluções heurísticas com custo alto de preparação. Custo alto de preparação Estrutura K OTM GapO- HT GapO- GapL- HT GapL- GapFac- HT GapFac- Uso_cap- HT Uso_cap Serial Média Geral Média A Tabela 4 mostra também que o limante inferior para os exemplos com alto custo de setup é ruim e, isto pode levar a falsas conclusões em relação à eficiência das heurísticas. Por exemplo, o GapL- para estrutura serial e alto custo de setup é 20., enquanto que o GapO é 7.7. Existem resultados na leratura que chegam à mesma conclusão [Billington et al., 986] e [Clark e Armentano, 995]. Observe também nesta tabela, que para alguns exemplos, as heurísticas apresentam soluções de melhor qualidade do que, as soluções factíveis obtidas pelo CPLEX 4.0. Por exemplo, para estrutura serial e custo baixo de setup, a heurística HT apresenta soluções 0.2 % melhores. Nas tabelas seguintes estão os resultados para os exemplos do grupo G2, onde apresentamos os valores de GapL e, a porcentagem de soluções factíveis (FAC) obtida pelas heurísticas HT e. Tabela 6. FAC para o grupo G2. Estrutura Custo baixo de preparação Custo alto de preparação K FAC-HT FAC- FAC-HT FAC Serial Média Geral Média Os resultados apresentados na Tabela 6 demonstram que as heurísticas têm uma boa performance na obtenção de soluções factíveis, tanto para os exemplos com custo baixo de preparação, quanto para os exemplos com custo alto de preparação. No entanto, as heurísticas obtiveram uma porcentagem maior de soluções factíveis para os exemplos com custo baixo de preparação. Uma razão é que as soluções iniciais obtidas para estes exemplos têm suas produções mais "divididas" entre períodos e máquinas, porque o custo de preparação é baixo. Por exemplo, considere os exemplos com estrutura geral de produtos com 40 ens e custo alto de preparação, a heurística HT foi capaz de encontrar somente 5.% de soluções factíveis e 65.6%, enquanto que, para os exemplos com custo baixo de preparação, as heurísticas HT e obtiveram 75.6% de soluções factíveis. 203

11 Tabela 7. GapL para o grupo G2. Estrutura Custo baixo de preparação Custo alto de preparação K GapL -HT GapL - GapL -HT GapL Serial Média Geral Média Observamos na Tabela 7, que os exemplos com custo alto de preparação possuem maiores valores de GapL. Uma razão é que as soluções iniciais são obtidas através de procedimentos que usa a informação dos custos de preparação, e não considera as limações de capacidade, apesar de que o algormo de obtenção da solução inicial da heurística levar algumas informações sobre a utilização da capacidade. Assim, o esforço da heurística de factibilização provavelmente é mais difícil com esta solução, apesar do procedimento de factibilização usar informações dos custos envolvidos. Observamos também que a heurística HT apresenta soluções de melhor qualidade que a heurística para os exemplos com custo baixo de preparação e estrutura seriais, isto considerando o GapL como uma medida de qualidade. A heurística HT fornece soluções de melhor qualidade para os exemplos com custo baixo de preparação e estruturas gerais. No entanto, para os exemplos com estruturas gerais de produtos, em geral, esta quantidade é inferior do que para os exemplos com estruturas seriais e custo baixo de preparação. Para os exemplos com custo alto de preparação, a heurística obteve, em média, soluções melhores para 0 e 40 ens. Para os exemplos com 7 ens e custo alto de preparação, a heurística HT apresentou melhor desempenho do que. Como pode ser visto, as duas heurísticas HT e diferem apenas no procedimento da determinação das soluções iniciais. A heurística pode ser considerada a heurística mais indicada para resolução do problema considerado, apesar de não ter conseguido, em média, soluções de melhor qualidade do que HT para algumas dimensões dos exemplos gerados. Os fatores que levaram a considerar a heurística, como a heurística mais indicada, foram: em média, apresenta maior porcentagem de soluções factíveis; utiliza um número menor de erações para obtenção de soluções factíveis; utiliza menos tempo computacional; utiliza um número menor de transferências de vários ens e isto provavelmente influenciou no tempo computacional; solica menos chamadas do procedimento de alteração, pois obtém uma solução factível nas primeiras 00 erações; apresenta soluções iniciais com menores excessos da capacidade, pois o procedimento de obtenção da solução inicial leva informações da utilização da capacidade. 5. Conclusões e Perspectivas Futuras Neste artigo foram apresentadas heurísticas para resolver um problema de dimensionamento de lotes em ambiente multiestágio de produção, onde cada estágio é composto por máquinas paralelas com recursos limados, e analisadas seus desempenhos computacionais. No modelo matemático foram incluídos custos e tempos de preparações, o que torna o problema extremamente complexo do ponto de vista computacional, justificando o emprego de heurísticas especializadas. As heurísticas desenvolvidas são variantes de um procedimento, o qual é uma extensão dos trabalhos de Berretta (997) e Toledo (998). No trabalho de Berretta (997) foi considerado o problema de dimensionamento de lotes multiestágio, no entanto, não considera máquinas paralelas. Já no trabalho de Toledo (998), foi desenvolvido uma heurística para o problema de dimensionamento de lotes considerando máquinas paralelas, mas para o ambiente monoestágio. Assim, o problema estudado difere desses dois trabalhos por considerar o problema multiestágio onde cada estágio é composto por máquinas paralelas. Para verificar a qualidade das soluções heurísticas, foram feas comparações com as soluções ótimas obtidas pelo CPLEX 4.0 para um grupo de problemas de dimensões pequenas. Para os problemas maiores, o tempo de execução do CPLEX 4.0 tornou-se insuportável e os valores obtidos 204

12 pelas heurísticas foram comparados com limantes inferiores obtidos através da aplicação de Relaxação Lagrangiana. Foi possível observar nos problemas menores, onde as soluções ótimas foram determinadas, que tal limante era pobre, produzindo gaps bem maiores do que os reais (diferença entre a solução heurística e a ótima). Entretanto, há evidencias numéricas de que estas diferenças são melhores para exemplos maiores. Os resultados obtidos permiram concluir que a heurística mais indicada para a resolução do problema é a heurística, pelos motivos discutidos na seção anterior. Esta heurística foi capaz de obter soluções factíveis para 97.6% dos exemplos gerados com estruturas seriais e 83.9% dos exemplos com estruturas gerais. No entanto, a heurística HT obteve também um bom desempenho da obtenção de soluções factíveis. O tempo computacional médio utilizado pelas heurísticas HT e para resolução dos exemplos de porte médio foi razoável, sendo que o tempo médio foi inferior a 20 segundos. Convém observar também que, este é um resultado médio para 0, 7 e 40 ens, mas o tempo computacional máximo utilizado para as heurísticas HT e resolverem um exemplo foram de 03.8 segundos e 53.3 segundos, respectivamente. O objetivo inicial deste trabalho foi de desenvolver uma heurística para encontrar soluções factíveis para os exemplos gerados com boa qualidade, porém as soluções obtidas pela heurística apresentam altos valores de GapL, principalmente para os problemas com custo alto de preparação. Um dos passos na continuação deste trabalho é o desenvolvimento de novas estratégias para melhorar é o desenvolvimento de novas estratégias para melhorar a qualidade das soluções obtidas pelas heurísticas, principalmente em exemplos com custo alto de preparação. Estas estratégias devem ser adicionadas aos procedimentos factibilização, melhoria e alteração do método heurístico. Agradecimentos Este trabalho teve apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). 6. Bibliografia Armentano, V. A. and Toledo, F. M. B., (997), Dynamic Programming Algorhms for the Parallel Machine Lot Sizing Problem, Pesquisa Operacional, 7: Bahl, H. C., Rzman, L. P., Gupta, J. N. D., (987), Determining Lot Sizes and Resource Requirements : A Review, Operations Research, v.35, n.3, Berretta, R. E. (997), Heurísticas para Otimização do Planejamento da Produção em Sistemas MRP, Tese de Doutorado, FEEC-UNICAMP. Billington, P. J., McClain, J. O. and Thomas, L. J. (983), Mathematical Programming Approaches to Capacy MRP Systems: Review, Formulation and Problem Reduction, Management Science, 29 (0): 26-4.,,, Heuristics for Multilevel Lot-Sizing wh a Bottleneck (986), Management Science, 32 (8): Camarini, P. M., L. Fratta e F. Maffioli, (975), On Improving relation methods by modified Gradient Techniques, Mathematical Programming Study 3, Clark, A. R. and V. A. Armentano (995), A Heuristic Resource-Capacated Multi-Stage Lot-Sizing Problem wh Lead Times, Journal of the Operational Research Society, 46, 0, Drexel A. e Kimms, A. (997), Lot sizing and Scheduling Survey and Extension, European Journal of Operation Research, 99, Florian, M., J. K. Lenstra, and Rinnoy Kan A. H. G., (980), Deterministic Production Planning Algorhms and Complexy, Management Science, 26 (7): França, P. M., Armentano, V. A., Berretta, R. E. e Clark, A. (997), A Heuristic Method for Lot- Sizing in Multi-Stage Systems, Computers & Operations Research, 24 (9): Glover, F. (989), Tabu Search Part I, Orsa Journal on Computing, (3): Glover, F. (990), Tabu Search Part II, Orsa Journal on Computing, 2 (): Katok, E., Lewis, S. H. and Harrison, T. P. (998), Lot-Sizing in General Assembly Systems wh Setup Costs, Setup Times and Multiple Constrained Resources, Management Science, 44 (6): Kuik, R., Salomon, M. e Van Wassenhove, L. N. (994), Batching Decisions: Structure and Models, European Journal of Operation Research, 75:

13 Lasdon, L. S. e R. C. Terjung (97), An Efficient Algorm for Multi-Item Scheduling, Operations Research, 9: Maes, J., McClain, J. O. e Van Wassenhove, L. N. (99), Multilevel Capacated LotSizing Complexy and LP based Heuristics, European Journal of Operational Research, 53: Tempelmeier, H. and Derstroff, M. (996), A Lagrangean-based Heuristic for Dynamic Multilevel Multiem Constrained Lotsizing wh Setup Times, Management Science, 42 (5): Tempelmeier, H. e Helber, S. (994), A Heuristic for Dynamic Multi-em Multi-level Constrained Lotsizing for General Product Structures, European Journal of Operation Research, 75: 296:3. Toledo, F. M. B. (998), Dimensionamento de Lotes em Máquinas Paralelas, Tese de Doutorado, FEEC-UNICAMP. Wagner, H. M. and Whin, T. M. (958), Dynamic Version of the Economic Lot Size Model, Management Science, 5 (): Sabbag, Z. (993), Planejamento da Produção em Máquinas Paralelas Sob Restrições de Capacidade, Tese de Mestrado, FEE-UNICAMP. 206