PROBLEMA DE BALANCEAMENTO DE LINHAS: MODELAGEM E ABORDAGENS DE RESOLUÇÃO

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1 PROBLEMA DE BALANCEAMENTO DE LINHAS: MODELAGEM E ABORDAGENS DE RESOLUÇÃO Maria Cristina N. Gramani Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia Curso de Engenharia de Produção Rua da Consolação, 896 Prédio Consolação São Paulo SP Brasil gramani@mackenzie.com.br Miguel Cezar Santoro Universidade de São Paulo Escola Politécnica Departamento de Engenharia de Produção Av. Prof. Almeida Prado, Trav. 2, n o Cidade Universitária São Paulo SP Brasil santoro@usp.br Resumo Este trabalho analisa modelos para balanceamento de linhas de montagem e/ou produção. O objetivo de um balanceamento é designar um determinado número de tarefas a estações de trabalho, minimizando a folga existente nessas estações, respeitando as restrições de precedência entre as tarefas e o tempo de ciclo da linha. Para isso, implementou-se métodos para o modelo otimizante de programação inteira mista e para o modelo heurístico probabilístico. Apresentam-se os resultados de 240 testes computacionais para a análise da eficiência desses métodos. Palavras-Chaves: balanceamento de linhas, heurísticas e modelo otimizante. Abstract This paper analyses the Simple Model of the Assembly Lines Balancing Problem that occurs in production/assembly lines projects. The goal of this problem consists in designing a number of tasks to be performed in stations, minimizing the idle time, respecting the precedence constraints given the cycle time of the line. We implemented methods for an optimization integer-mixed model and for a probabilistic heuristic model. In order to show the efficiency of these methods we present the results of a set of 240 computational tests. Keywords: line balancing, heuristics and optimization model.. Introdução Considere o projeto de configuração de uma linha de produção e/ou montagem em empresas dos ramos automobilístico, eletroeletrônico, entre outros, composta por um conjunto de tarefas a serem executadas, atendendo determinadas restrições. Considera-se neste artigo o problema de designar cada tarefa a uma estação de trabalho, de modo que: Todas as tarefas sejam designadas; As relações de precedência entre as tarefas sejam respeitadas; A soma das durações dos tempos das tarefas em cada estação não ultrapasse o tempo total disponível chamado tempo do ciclo; O número de estações de trabalho seja minimizado. Este é o problema clássico de Balanceamento de Linhas Simples ou Monoproduto Determinístico e se encontra exposto em Erel (998) e Rekiek (2002). [ 658 ]

2 A Figura mostra um exemplo. Nela representa-se uma linha de produção com 7 tarefas (identificadas pelos nós a,b,c,d,e,f,g), suas relações de precedência (identificadas pelas flechas), e suas durações (representadas pelo número acima de cada nó). Por exemplo, a tarefa a precede as tarefas b, c e d, e tem duração de 3 unidades de tempo. Caso o tempo de ciclo seja 0 (tempo disponível para cada estação de trabalho), uma solução viável e que minimiza o número de estações de trabalho é mostrada na Figura (as estações estão designadas por elipses pontilhadas): Na estação são executadas as tarefas a-c (duração de tempos das tarefas: 3+7=0), na estação 2 as tarefas b-e (duração de tempos das tarefas: 6+4=0), na estação 3, as tarefas d-f (duração de tempos das tarefas: 5+5=0) e finalmente, na estação 4 é executada a tarefa g (duração de tempos das tarefas: 5). Como observamos, esta solução satisfaz as restrições de precedência, pois as tarefas a e c (executadas na primeira estação de trabalho) são as únicas que precedem as tarefas b e e (a serem executadas na segunda estação de trabalho). Após executadas as tarefas a, b, c e e, pode-se executar as tarefas d e f, e após pode-se executar a última tarefa g. Também observamos que as restrições referentes ao tempo de ciclo estão totalmente satisfeitas e que todas as tarefas foram designadas às estações. Essa solução poderia ser colocada sob a forma de seqüência e corresponderia à seqüência a-c-b-e-d-f-g. 6 b 4 e 3 a 7 c 5 g 5 d 5 f Figura : Problema de Balanceamento de Linhas. Este problema é combinatorial, e para se ter idéia de sua complexidade, se considerarmos uma rede com n nós sem restrições de precedência, o número de possíveis seqüências é dado por n!. Um problema com 0 nós possui possíveis seqüências. A Figura 2 mostra uma classificação para o problema de balanceamento de linhas apresentada por Ghosh e Gagnon (989). Para os autores o problema pode ser classificado em quatro categorias: Modelo Simples Determinístico, Modelo Simples Estocástico, Modelo Múltiplo/Misto Determinístico e Modelo Múltiplo/Misto Estocástico. O Modelo Simples Determinístico assume o modelo de balanceamento de linhas com um único produto e tempos de duração das tarefas conhecidos determinísticamente. O problema Estocástico considera os tempos das tarefas variáveis probabilísticas e o Modelo Múltiplo/Misto trata de linhas de produção com múltiplos produtos. Todos estes modelos podem ainda ser classificados como Caso Simples e Caso Geral, que diferem conforme a complexidade das restrições consideradas. [ 659 ]

3 Modelo de balanceamento de Linhas Modelo Simples Modelo Misto/Múltiplo Determinístico Estocástico Determinístico Estocástico Caso Simples Caso Simples Caso Simples Caso Simples Caso Geral Caso Geral Caso Geral Caso Geral Figura 2: Classificação do Problema de Balanceamento de Linhas (Ghosh e Gagnon, 989). Neste trabalho trataremos do Caso Simples do Modelo Simples Determinístico. Ainda assim, este é um problema NP-hard. O primeiro modelo matemático linear para este problema foi desenvolvido por Salveson (955) com um problema de programação linear, entretanto este modelo permitia a quebra de tarefas quando alocadas nas estações, o que poderia gerar soluções infactíveis. Em seguida, Jackson (956) foi o primeiro a utilizar a notação de árvore para este problema, onde cada caminho denota uma solução factível e cada arco representa uma estação. O Método de Jackson não requer a geração de todas as seqüências factíveis, mas ainda assim utiliza uma busca exaustiva para as possibilidades analisadas de acordo com Rekiek et al. (2002). Bowman (960) foi o primeiro a formular um problema de programação inteira com variáveis binárias, fornecendo uma restrição de não-divisibilidade para as tarefas. Desde então, diversas abordagens de resolução vêm sendo desenvolvidas. Tais estudos para tratar o problema incluem métodos exatos, para problemas relativamente pequenos, e métodos heurísticos, determinísticos e probabilísticos. Devido à complexidade deste problema, heurísticas vêm sendo propostas para a resolução do mesmo. Wee e Magazine (982) propuseram resolver o problema de forma análoga ao problema de empacotamento, utilizando o Método Branch and Bound. Arcus (966) propôs a heurística COMSOAL (Computer Method for Sequencing Operations for Assembly Lines), onde a idéia básica consiste em gerar um número grande de soluções factíveis e selecionar como melhor aquela que possui o menor número de estações. Neste artigo, detalharemos mais esta heurística. Outras heurísticas foram propostas por Hoffman (963), Falkenauer e Delchambre (992), entre outros. Além destes, alguns artigos apresentando grandes revisões dos procedimentos de resolução do problema de balanceamento de linhas são encontrados na literatura, tais como, Ghosh e Gagnon (989), Baybars (986), Scholl e Becker (2003), Rekiek ate al (2002), Erel e Sarin (998), entre outros. Segundo Rekiek (2002), embora existam diversos softwares comerciais de balanceamento, menos de 0% das companhias utilizam tais ferramentas. A razão se deve ao fato que os problemas de balanceamento encontrados na indústria, apresentam, na maioria das vezes, particularidades que não são consideradas nos softwares-padrão. [ 660 ]

4 2. Modelagem Matemática Neste trabalho estamos interessados em, dado o tempo do ciclo, encontrar o balanceamento que minimiza o número de estações de trabalho, ou, minimiza a folga de balanceamento nas estações de trabalho. A quantidade de tarefas, suas durações em tempo e suas precedências são conhecidas. Sejam os seguintes parâmetros do problema: J, J 2,..., J N : conjunto de tarefas t, t 2,..., t N : tempos de execução das tarefas J j, j=,...,n. M: número de estações. Tc: tempo de ciclo, ou, o tempo máximo das operações nas estações de trabalho. (deve ser maior ou igual que o maior t j, j=,...,n) Para modelar este problema consideramos as seguintes variáveis de decisão: se a tarefa J j for designada para a estação Ai, i =,...,M xij = 0 caso contrário E as seguintes restrições: 2.. Restrições que asseguram que cada tarefa será realizada em uma única estação: M xij =, j =,..., N i= Estas restrições também garantem que todas as tarefas serão realizadas Restrições que garantem a relação de precedência entre as tarefas. Sem perda de generalidade podemos supor que as tarefas estão numeradas em ordem crescente obedecendo suas precedências de forma que se J p precede J q então p<q. Logo, as equações a seguir garantem que a solução obedeça às relações de precedência. onde R = / k xqk x pi, k =,..., M e i= o elemento J precede imediatamente o elemento ( p,q) R, {( p,q) } p J q 2.3. Restrições que garantem que os tempos totais de cada estação não superam o Tempo do Ciclo N xij * t j Tc, i =,..., M j= [ 66 ]

5 Esta restrição nos fornece um limitante inferior para o número de estações de trabalho: O tempo de N execução total das tarefas é dado por t j e tendo como Tempo de Ciclo, Tc, o número mínimo de j= estações de trabalho pode ser expresso por: 2.4. Função Objetivo M min N t j = = Tc O objetivo do problema tratado é minimizar a folga das estações. A folga de uma estação i é dada por: j. N folga i = Tc - xij * t j, para j i j= A folga total de um balanceamento com M estações será M N ij i= j = Folga Total = M. Tc - x * t j considerando-se a soma com todas as tarefas j da rede Dessa forma, minimizar o número de estações equivale a minimizar a folga total e o objetivo do problema pode ser formulado como: Min M i = fo lg a i M x ij =, j =,..., N i = k x qk x pi, k =,..., M e i = N s.a. : x ij * t j Tc, i =,..., M j = x ij { 0, } R = ( p, q) ( p,q ) R { / o elemento J precede imediatame nte o elemento } p J q O modelo de otimização combinatorial resultante faz parte da classe de problemas NP-Hard (Gosh, 989), sendo impraticável para problemas de grande porte. [ 662 ]

6 3. Métodos de Resolução Nesse artigo serão analisados três métodos de resolução para o problema de balanceamento de linhas. O primeiro é otimizante e os outros dois heurísticos baseados no método de Arcus (996). A seguir detalhamos os três métodos. 3. Método Otimizante O Método Otimizante que resolve o modelo matemático apresentado utiliza o software de programação matemática inteira mista. Como o modelo matemático considera o número de estações fixo, foi utilizado um procedimento iterativo que parte do número mínimo teórico de estações. Caso a solução não seja viável, aumenta-se esse número gradativamente até se conseguir a primeira solução viável, que corresponde ao ótimo do problema. Essa abordagem utilizou o software WHAT S BEST (versão 7). 3.2 Método Heurístico Probabilístico por Tempo O Método Heurístico Probabilístico por Tempo utilizado baseou-se no método heurístico de Arcus (966), onde a idéia principal consiste em gerar balanceamentos viáveis alocando as operações às estações através de sorteio. No software utilizado, o sorteio é viesado em função de uma medida de tempo que pode ser: Tempo de operação de cada tarefa; Soma (Tempo de Operação de cada tarefa + Tempo dos Sucessores Imediatos desta tarefa). Na pesquisa utilizou-se somente o tempo de operação da tarefa como elemento para o viés. Mais especificamente, este método consiste em alocar uma nova tarefa à estação em formação através de sorteio, sendo que a tarefa candidata viável de ser incorporada à estação em formação com maior tempo tem maior probabilidade de ser alocada primeiro. Quando o tempo do ciclo for atingido, ou, o tempo restante na estação for menor que o menor tempo das tarefas sucessoras, uma outra estação é aberta e assim sucessivamente até que todas as tarefas tenham sido alocadas e, consequentemente tenha sido obtido um balanceamento viável. Balanceamentos são gerados seguidamente até que algum critério de parada seja atingido. No trabalho considerou-se dois critérios simultâneos parando-se quando o primeiro tiver sido atingido: Tempo de processamento do computador; Número máximo de soluções geradas (ou número máximo de iterações); 3.3 Método Heurístico Probabilístico Equiprovável O Método Heurístico Probabilístico Equiprovável difere do anterior apenas no procedimento de escolha da tarefa a ser alocada na estação em formação. Nesse caso a escolha se dá através de sorteio aleatório, ou seja, todas as tarefas viáveis de se incorporar à estação têm a mesma probabilidade de serem escolhidas [ 663 ]

7 4. Resultados Computacionais Foi desenvolvido um software, em VBA para Excel, que contém o modelo otimizante resolvido via o software WHAT S BEST (versão 7), e os Modelos Heurísticos Probabilísticos por tempo e equiprovável, segundo Arcus (966). Abaixo, na Figura 3, ilustramos o Menu principal do software desenvolvido, onde o usuário tem a opção de utilizar uma rede já cadastrada ou gerar uma nova rede. Figura 3: Página inicial do software desenvolvido. O software permite gerar massas de testes (instâncias de redes) para pesquisa a partir de parâmetros de geração fornecidos. A tabela ilustra, através de exemplo numérico, a flexibilidade para geração. A seguir colocamos algumas definições necessárias para o entendimento da tabela: n(n ) i. Número de Precedências Máximo: Número máximo de ligações (teórico) =. 2 Número de Precedências da Rede ii. Densidade da Rede =. Número de Precedências Máximo Tempo iii. Fator de Acomodação do Balanceamento = Médio de Execução das Tarefas Tempo do Ciclo. OPERAÇÕES DA REDE Número de Operações 20 Passo 0 Número de Passos 2 DENSIDADE DA REDE Densidade 0,5 Passo 0, Número de Passos 2 TEMPO MÍNIMO 2 TEMPO MÁXIMO 8 Serão geradas redes com 20 e 30 operações Serão geradas redes com densidades 0,5 e 0,25 As tarefas terão duração entre 2 e 8 unidades de tempo Nº DE REPETIÇÕES 0 Serão geradas 0 redes aleatoriamente a partir de cada conjunto de parâmetros anterior Tabela : Exemplo numérico de geração das redes. As instâncias de rede podem ser executadas utilizando-se diferentes tempos de ciclo e os até 3 métodos de balanceamento. Definido o tempo do ciclo pode-se calcular o que chamou-se de Fator de [ 664 ]

8 Acomodação do Balanceamento cujo cálculo já foi definido anteriormente e que dá uma idéia preliminar da dificuldade de acomodação das operações nas estações. Para o artigo, utilizou-se 240 instâncias geradas com os parâmetros colocados na Tabela 2: OPERAÇÕES DA REDE Número de Operações 20 Passo 20 Número de Passos 2 Foram geradas 40 redes (com 20 e 40 operações) DENSIDADE DA REDE Densidade 0,5 Passo 0,0 Número de Passos 2 As redes têm densidades 0,5 e 0,25 Nº DE REPETIÇÕES 0 Foram geradas 0 repetições de cada rede 40 redes 80 problemas 240 instâncias TEMPO MÍNIMO TEMPO MÁXIMO 20 As tarefas têm duração entre e 20 Nº DE TEMPOS DE CICLO 40 e 60 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 3 Tabela 2: Parâmetros utilizados nos Resultados Computacionais. Os critérios de parada utilizados para os método foram: Otimizante: ilimitado. Heurístico por Tempo: máximo de 300 iterações e tempo máximo de 20 segundos. Heurístico Equiprovável: máximo de 300 iterações e tempo máximo de 20 segundos. Uma primeira análise pode ser feita a partir dos resultados dos 80 problemas com o Método Otimizante colocados no Gráfico Fator de Acomodacão Fator de Acomodacão Instâncias por tempo de processamento decrescente Gráfico : Relação Fator Acomodação X Tempo de Processamento Percebemos pela Figura que, de maneira geral, quanto menor é o Fator de Acomodação menor é o Tempo de Processamento, pois o gráfico nos mostra claramente uma tendência de decréscimo do fator de acomodação, conforme o tempo de processamento da instância diminui. [ 665 ]

9 A Tabela 3 nos mostra os resultados de tempo computacional de cada um dos modelos para os 80 problemas. Tempo Médio de Processamento (seg) Média Desvio Padrão Tempo de Processamento Número de Número de Estações MODELO Relativo (%) Estações Relativo (%) Otimizante 04,66 34,5 00, ,0 Heurístico por 8,34 0,3 8, ,9 Tempo Heurístico Equiprovável 8,7 0,3 7, ,3 Tabela 3: Comparação entre os Métodos de Resolução. Os resultados indicam que os modelos heurísticos probabilísticos são muito mais rápidos, gerando soluções com um pequeno percentual de número de estações de trabalho adicionais. Este ganho do Modelo Otimizante pode ser interpretado pelo critério de parada dos modelos heurísticos probabilísticos. Se for fornecido maior tempo de execução e maior número de iterações, este percentual deve diminuir. Para o entendimento das análises posteriores colocamos a codificação utilizada. Cada instância foi identificada por 6 dígitos significativos com os significados seguintes: Dígito 2 3 e identifica: nº operações densidade nºda repetição código do modelo tempo do ciclo Alternativas = 20 2=40 =0,5 2=0,25 =40 2=60 0 a 0 =Otim 2=Heur Tempo 3=Heur Equipr caracteriza a rede caracteriza a instância Por exemplo, o código 2209 representa a instância com 40 Operações, Densidade 0,25, nona repetição, resolvida pelo Método Otimizante com Tempo de Ciclo de 40. Os gráficos 2, 3, 4 e 5 a seguir, mostram a relação do número de estações de trabalho para cada instância utilizando os três métodos de resolução implementados. Como definido anteriormente, as instâncias estão denotadas pela classificação: Número de Operações / Densidade / Repetição / Modelo / Tempo de Ciclo. Número de Operações = 20 Número de Estações de Trabalho X Densidade 0X2 02X 02X2 03X 03X2 04X 04X2 05X 05X2 06X 06X2 07X 07X2 08X 08X2 09X 09X2 0X 0X2 Instâncias Modelo Otimizante (X=) Modelo Heurístico Probabilístico por Tempo (X=2) Modelo Heurístico Probabilístico Equiprovável (X=3) Gráfico 2: Relação Número de Estações de Trabalho X Instâncias para Número de Operações 20 e Densidade. [ 666 ]

10 Número de Estações de Trabalho Densidade 2 Modelo Otimizante (X=) Modelo Heurístico Probabilístico por Tempo (X=2) Modelo Heurístico Probabilístico Equiprovável (X=3) 0 20X 20X2 202X 202X2 203X 203X2 204X 204X2 205X 205X2 206X 206X2 207X 207X2 208X 208X2 209X 209X2 20X 20X2 Instâncias Gráfico 3: Relação Número de Estações de Trabalho X Instâncias para Número de Operações 20 e Densidade 2. Número de Operações =40 Número de Estações de Trabalho X Densidade 20X2 202X 202X2 203X 203X2 204X 204X2 205X 205X2 206X 206X2 207X 207X2 208X 208X2 209X 209X2 20X 20X2 Instâncias M odelo Otimizante (X=) M odelo Heurístico Probabilístico por Tempo (X=2) M odelo Heurístico Probabilístico Equiprovável (X=3) Gráfico 4: Relação Número de Estações de Trabalho X Instâncias para Número de Operações 40 e Densidade. 2 Densidade 2 M odelo Otimizante (X=) Número de Estações de Trabalho M odelo Heurístico Probabilístico por Tempo (X=2) M odelo Heurístico Probabilístico Equiprovável (X=3) 0 220X 220X2 2202X 2202X2 2203X 2203X2 2204X 2204X2 2205X 2205X2 2206X 2206X2 2207X 2207X2 2208X 2208X2 2209X 2209X2 220X 220X2 Instâncias Gráfico 5: Relação Número de Estações de Trabalho X Instâncias para Número de Operações 40 e Densidade 2. Observamos nos gráficos 2, 3, 4 e 5 que os métodos heurísticos conseguem em grande parte encontrar a solução ótima. Percebemos também que para problemas com densidade maior, os métodos heurísticos têm maior dificuldade. Todos os resultados apresentados anteriormente utilizam, nos métodos iterativos, 300 iterações. Aumentando este número para 3.000, e iterações, obtemos os resultados a seguir. Definimos: Mod 2-: número de estações de trabalho adicional do Modelo Heurístico Probabilístico por Tempo (MHPT) em relação ao Otimizante (484). Mod 3-: número de estações de trabalho adicional do Modelo Heurístico Probabilístico Equiprovável (MHPE) em relação ao Otimizante (484). [ 667 ]

11 Tempo Médio de Processamento Mod 2- Mod 3- MHPT MHPE ,34 s 8,7 s iterações ,72 s 54,09 s iterações ,72 s 06,58 s iterações iterações ,27 s 6,27 s Tabela 4: Número de estações de trabalho adicionais comparando os três métodos. Observando-se as duas primeiras linhas da Tabela 4 vemos que o resultado com 300 iterações pode ser melhorado com um tempo de execução ainda relativamente baixo. Aumentando-se ainda mais o número de iterações (para e 9.000) o tempo aproximadamente triplica sem melhorias significativas nos resultados. A Tabela 5 a seguir, nos mostra o percentual de soluções em que os Métodos Heurísticos Probabilísticos, por Tempo e Equiprovável, encontraram a solução ótima, com 300 iterações e iterações no critério de parada. 5. Comentários Finais Método 300 iterações iterações Heurístico por Tempo 94,2% 95,8% Heurístico Equiprovável 95,4% 96,7% Tabela 5: Percentual de soluções em que os métodos heurísticos encontram a solução ótima. Esse trabalho consistiu de uma experiência exploratória com heurísticas probabilísticas aplicadas ao Problema de Balanceamento de Linhas. Apresentou-se a formulação matemática do problema, investigou-se a literatura e implementou-se três métodos de resolução, o Otimizante, o Heurístico Probabilístico por Tempo e o Heurístico Probabilístico Equiprovável. Gerou-se 240 testes computacionais e fez-se comparações considerando-se número de estações de trabalho, tempo médio de execução, fator de acomodação, entre outros. Observou-se que os métodos heurísticos probabilísticos encontram facilmente a solução ótima na maior parte dos problemas considerados com um tempo computacional baixo. 6. Referências Bibliográficas Arcus A.L. (966). COMSOAL: A computer method of sequencing operations for assembly lines. International Journal of Production Research 4, Baybars, I. (986). A survey of exact algorithms for the simple assembly line balancing problem. Management Science 32, 8. Bowman, E.H. (960). Assembly line balancing by linear programming, Operations Research, 8 (3), Erel, E., Sarin, S.C., (998). A survey of the assembly line balancing procedures. Production Planning & Control, vol. 9, no. 5, [ 668 ]

12 Falkenauer, E. e A. Delchambre (992). A genetic algorithm for bin packing and line balancing. In:Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp , IEEE Computer Society Press. Gosh, S., Gagnon R.J. (989). A comprehensive literature review and analysis of the design, balancing and scheduling of assembly systems. Introduction Journal of Production Research, Vol. 27, No. 04, Hoffman, T.R. (963). Assembly line balancing with a precedence matrix. Management Science 9, Jackson, J.R. (956). A computing procedure for the line balancing problem. Management Science, 2, Johnson, R.V. (98). Assembly line balancing algorithms: computation comparisons. International Journal of Production Research 9, Rekiek, B., Dolgui, A., Delchambre, A. e Bratcu, A. (2002). State of Art of Optimization Methods for Assembly Line Design. Annual Reviews in Control, 26, Salveson, M.E. (955). The Assembly Line Balancing Problem. Journal of Industrial Engineering, vol 6, n o 3. Scholl, A., Klein, R. (999). Balancing assembly lines effectively A computational comparison. European Journal of Operational Research 4, Scholl, A., Becker, C. (2003). Sate-of-the-art exact and heuristic solution procedures for simple line balancing. Janaer Schriften zur Wirtschaftswissenschaft 20/2003, Universität Jena. Santoro, M. C. ; Fonseca, R. S. C. (2005). Software para Balanceamento de Linhas. Anais do Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Porto Alegre. ENEGEP. Wee, T.S. e M.J. Magazine (982). Assembly line balancing as generalized bin packing, Operations Research Letters,, [ 669 ]