USANDO UM MÉTODO INDUTIVO PARA RESOLVER PROBLEMAS. Bruno Maffeo Departamento de Informática PUC-Rio

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1 USANDO UM MÉTODO INDUTIVO PARA RESOLVER PROBLEMAS Bruno Maffeo Departamento de Informática PUC-Rio

2 MÉTODO INDUTIVO O método indutivo para resolver problemas aqui empregado inspira-se na formulação mais simples de uma prova de teoremas por indução. A estrutura do método é análoga à utilizada nesse tipo de prova e compreende duas seções, a saber: a seção denominada caso base, relativa a versões do problema que dispõem de solução imediata. Um caso base refere-se a uma versão específica do problema proposto, para a qual se propõe uma solução imediata. Exemplos: quando o problema proposto for calcular o fatorial de um natural n, o caso base a ser empregado corresponde à versão do problema em que n é igual a zero; a solução para esse problema, conforme a própria definição de fatorial é 1 quando o problema proposto for calcular a soma dos itens de uma seqüência de números reais, um caso base possível a ser empregado corresponde à versão do problema em que a seqüência é vazia; a solução para esse problema é 0, pois este é o elemento neutro da operação de soma quando o problema proposto for calcular número de itens de um conjunto, o caso base a ser empregado corresponde à versão do problema em que o conjunto é vazio; a solução para esse problema, obviamente, é 0; a seção denominada passo indutivo, que apresenta uma solução para o problema proposto utilizando a solução, supostamente disponível, para uma versão de menor porte do problema. Pode-se imaginar o passo indutivo como sendo um degrau, situado abaixo do nível do problema proposto originalmente, em direção a um caso base. Talvez a maior dificuldade na utilização desse método para resolver problemas esteja em ter confiança na solidez desse degrau. O passo indutivo deve ser estabelecido confiando-se totalmente na validade de adotarse a hipótese indutiva, que corresponde a supor resolvida a versão de menor porte do problema proposto. Esse procedimento é análogo ao usado em outras situações, em Matemática e em Física, onde só se avança na direção da solução quando é possível apoiar-se em uma hipótese bem formulada e válida. Na presente situação, a validade da hipótese indutiva é um pressuposto do próprio método de solução e, por isso, dispensa qualquer outra forma de comprovação. Os exemplos a seguir ilustram o passo indutivo referente à solução de problemas cujo caso base foi abordado precedentemente: quando o problema proposto for calcular o fatorial de um natural n, o passo indutivo utilizará a hipótese indutiva fat (n-1) que, supostamente, resolve o problema de menor porte que é calcular o fatorial de n-1 ; assumindo-se como válida essa hipótese, constróise o passo indutivo por meio da expressão n x fat (n-1) a qual, conforme a própria definição de fatorial, garantidamente resolve o problema proposto originalmente Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 2 de 38

3 quando o problema proposto for calcular a soma dos itens de uma seqüência de números reais, o passo indutivo utilizará a hipótese indutiva soma-seq ( cauda (seq) ) que, supostamente, resolve o seguinte problema de menor porte: calcular a soma dos itens da cauda da seqüência (onde, por definição, a função cauda (seq) retorna a seqüência obtida ao suprimir-se o primeiro item da seqüência seq); assumindo-se como válida essa hipótese, constrói-se o passo indutivo por meio da expressão cabeça (seq) + somaseq ( cauda (seq) )) (onde, por definição, a função cabeça (seq) retorna o primeiro item da seqüência seq). Essa expressão, garantidamente, resolve o problema proposto originalmente. Nessas condições, a solução do problema proposto deverá ser apresentada da seguinte forma: Seção correspondente ao(s) caso(s) base Aqui, resolve-se o problema em um ou mais casos simples, de ordem zero, que possam ser alcançado reduzindo-se sucessivamente a ordem do problema proposto, considerado de ordem n. Cada caso simples é denominado caso base e caracteriza-se por possuir uma solução imediata, direta. Seção correspondente ao(s) passo(s) indutivo(s) Aqui, a solução do problema proposto, de ordem n, é formulada admitindo-se que se conhece a solução para uma versão de menor porte, de ordem n-1. Ou seja, o raciocínio a ser empregado para a solução do problema proposto deve abranger: a hipótese indutiva: supõe-se resolvido o problema de ordem n-1 uma proposta de solução para o problema de ordem n com base na solução do problema menor. Resumindo, a solução de um problema com base nesse método deve possuir a seguinte estrutura: Seção de declaração de caso(s) base: em um caso base, o porte do problema não precisa ser reduzido e sua solução, imediata, é conhecida. Deve-se poder alcançar um caso base por meio da redução sistemática do porte do problema proposto originalmente Seção de declaração de passo(s) indutivo(s): em um passo indutivo, a solução de um problema de menor porte é suposta conhecida hipótese indutiva e deve ser usada isoladamente ou em uma expressão que permita gerar a solução do problema proposto. Agora, é necessário demonstrar que o método indutivo descrito precedentemente fundamenta, de fato, um processo para gerar soluções de problemas. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 3 de 38

4 Sejam: O PROCESSO INDUTIVO P n o problema proposto, dito de ordem n, e S (P n ) a solução desejada P 0 uma versão simples problema proposto, dita de ordem 0, e S (P o ) a solução imediata correspondente exp ( S (P n-1 ) ) a expressão associada ao passo indutivo, envolvendo a solução S (P n-1 ) supostamente conhecida para o problema de ordem n-1, que garantidamente proporciona a solução do problema de ordem n, obedecendo à formulação S (P n ) = exp ( S (P n-1 ) ). Assim sendo, se a hipótese indutiva for verdadeira, ou seja, se S (P n-1 ) for conhecida, o problema proposto está resolvido. E se a hipótese indutiva não for verdadeira? Nesse caso, como P n e P n-1 são dois problemas de mesma natureza diferindo apenas no porte, pode-se usar novamente o passo indutivo do método e escrever: S (P n-1 ) = exp ( S (P n-2 ) ). Se, agora, a hipótese indutiva for verdadeira, obtém-se a solução S (P n-1 ) a qual, em seguida, poderá ser usada em S (P n ) = exp ( S (P n-1 ) ) para gerar a solução do problema proposto. Se a hipótese indutiva ainda não for verdadeira, procede-se sucessivamente a redução do porte do problema até que o caso base, expresso pela versão P 0 do problema, seja atingido. Nessa situação, obtém-se: S (P 1 ) = exp ( S (P 0 ) ). Agora, por definição de caso base, S (P 0 ) é conhecida. Então, pode-se calcular, sucessivamente, S (P 1 ), S (P 2 ),, S (P n-2 ), S (P n-1 ) e, finalmente, S (P n ), que é a solução do problema proposto. Resumindo o processo de solução baseado no método indutivo apresentado, verifica-se que ese processo requer: a definição de pelo menos um caso base a especificação de pelo menos um passo indutivo, no qual formula-se a expressão envolvendo a solução, supostamente conhecida, de uma versão de menor porte do problema proposto; essa expressão deverá, garantidamente, resolver o problema proposto a possibilidade de atingir-se o caso base por meio da redução sucessiva do problema proposto. Com o objetivo de sintetizar os aspectos básicos do processo acima descrito, são apresentadas a seguir duas visões esquemáticas das relações principais nele envolvidas. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 4 de 38

5 VISÕES ESQUEMÁTICAS DO PROCESSO INDUTIVO o encadeamento das diferentes versões do mesmo problema P 0 P 1... P n-1 P n Nesta primeira visão, procura-se evidenciar a relação entre as diferentes versões do problema proposto. Ou seja, o esquema indica que a versão de ordem n, para ser resolvida, necessita ser reduzida em porte até atingir o caso base, versão de ordem 0. Essa indicação é sugerida pelo uso de setas em linha pontilhada. Indica-se também que, a partir do caso base, deve m ser geradas as soluções sucessivas das versões de ordem superior até atingir a versão proposta originalmente. Essa indicação é sugerida pelo uso de setas em linha cheia. o encadeamento das soluções associadas às diferentes versões do problema S (P n ) = exp ( S (P n-i ) ) S (P n-1 ) = exp ( S (P n-2 ) ) S (P 1 ) = exp ( S (P 0 ) ) Nesta segunda visão, procura-se evidenciar a relação entre as soluções das diferentes versões do problema proposto. Ou seja, esquema indica que a solução da versão de ordem n requer a solução da versão de ordem n-1; por sua vez, a solução da versão de ordem n-1 requer a solução da versão de ordem n-2; e assim sucessivamente, até ser atingido o caso base, versão de ordem 0, para o qual dispõe-se de uma solução imediata. Essa indicação é sugerida pelo uso de setas em linha pontilhada. Indica-se também que, a partir da solução do caso base, são geradas as soluções sucessivas das versões de ordem superior até atingir a versão proposta originalmente. Essa indicação é sugerida pelo uso de setas em linha cheia. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 5 de 38

6 FUNÇÃO FATORIAL Definição da função fat (n), onde n fat (n) = n x (n-1) x (n-2) x x 2 x 1 extensão de domínio: fat (0) = 1. Problema: calcular o fatorial de n. CASO BASE n = 0, cuja solução é 1, ou seja, fat (0) = 1 PASSO INDUTIVO n x fat (n-1) VERIFICAÇÃO para n = 3 fat (3) passo indutivo 3 x fat (2) passo indutivo 3 x 2 x fat (1) passo indutivo 3 x 2 x 1 x fat (0) caso base 3 x 2 x 1 x 1 operações pendentes 6 (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 6 de 38

7 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS Definição de SEQÜÊNCIA SOMA DOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA estrutura matemática linear de itens que mantêm um posicionamento relativo bem definido extensão de domínio: a inexistência de itens é também considerada uma seqüência, denominada seqüência vazia e representada pelo símbolo seq-vazia. Consideremos predefinidas as funções cabeça, cauda e insere-seq, tais que: cabeça (seq) retorna o item, denominado cabeça, situado na primeira posição da seqüência seq cauda (seq) retorna a seqüência, denominada cauda, constituída pela seqüência seq da qual é retirado o cabeça insere-seq (item, seq) retorna a seqüência constituída pelo valor de seq no qual estará inserido o valor de item na primeira posição. Problema: definir a função soma-seqüência (seq). CASO BASE seq = seq-vazia, cuja solução é 0; ou seja, soma-seqüência (seq-vazia) = 0 PASSO INDUTIVO cabeça (seq) + soma-seqüência (cauda (seq)) VERIFICAÇÃO para a seqüência (1, 2, 3) soma-seqüência ( (1, 2, 3) ) passo indutivo 1 + soma-seqüência ( (2, 3) ) passo indutivo soma-seqüência ( (3) ) passo indutivo soma-seqüência ( seq-vazia ) caso base operações pendentes 6 (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 7 de 38

8 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS SOMAR 1 AOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função soma-um (seq) que constrói uma seqüência contendo, na mesma ordem, os números de uma seqüência seq incrementados de 1. CASO BASE seq = seq-vazia, cuja solução é seq-vazia; ou seja, soma-um (seq-vazia) = seq-vazia PASSO INDUTIVO insere-seq ( ( cabeça (seq) + 1 ), soma-um (cauda (seq)) ) VERIFICAÇÃO para a seqüência (1, 2, 3) soma-um ( (1, 2, 3) ) passo indutivo insere-seq ( ( ), soma-um ( (2, 3) ) ) soma + passo indutivo insere-seq ( 2, insere-seq ( ( ), soma-um ( (3) ) ) ) soma + passo indutivo insere-seq ( 2, insere-seq ( 3, insere-seq ( ( ), soma-um ( seq-vazia ) ) ) ) soma + caso base insere-seq ( 2, insere-seq ( 3, insere-seq ( 4, seq-vazia ) ) ) operação pendente insere-seq ( 2, insere-seq ( 3, (4) ) ) operação pendente insere-seq ( 2, (3, 4) ) ) operação pendente (2, 3, 4) (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 8 de 38

9 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS VERIFICAR SE UM ITEM ESTÁ CONTIDO EM UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função pertence-seq? (item, seq) que verifica se o valor de item está contido na seqüência seq. CASOS BASE 1) seq = seq-vazia, cuja solução é false; ou seja, pertence-seq? (item, seq-vazia) = false 2) cabeça (seq) = item, cuja solução é true; ou seja, neste caso, pertence-seq? (item, seq) = true PASSO INDUTIVO pertence-seq? (item, cauda(seq)) VERIFICAÇÃO para item = 3 e seq = (1, 2, 3) pertence-seq? ( 3, (1, 2, 3) ) passo indutivo pertence-seq? ( 3, (2, 3) ) passo indutivo pertence-seq? ( 3, (3) ) caso base 2 true (resultado) VERIFICAÇÃO para item = 3 e seq = (1, 2) pertence-seq? ( 3, (1, 2) ) passo indutivo pertence-seq? ( 3, (2) ) passo indutivo pertence-seq? ( 3, seq-vazia ) caso base 1 false (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 9 de 38

10 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS VERIFICAR SE UM CONJUNTO É SUBCONJUNTO IMPRÓPRIO DE OUTRO ( todo elemento de um está contido no outro ) Problema: definir a função subconjunto? (conj1, conj2) que verifica se todo elemento de conj1 pertence a conj2. Consideremos predefinidas as funções prim-el e restante, tais que: prim-el (conj) retorna o primeiro elemento de conjunto conj restante (conj) retorna o conjunto constituído pelos elementos de conj da qual é retirado o primeiro insere-conj (elem, conj) retorna o conjunto constituído pelos elementos de conj no qual estará inserido o valor de elem na primeira posição. CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é true ou seja, subconjunto? (conj-vazio, conj2) = true 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é false ou seja, subconjunto? (conj1, conj-vazio) = false 3) prim-el (conj1) conj2, cuja solução é false ou seja, neste caso, subconjunto? (conj1, conj2) = false PASSO INDUTIVO subconjunto? (restante (conj1), conj2) VERIFICAÇÃO para conj1 = { 1, 2 } e conj2 = { 1, 2, 3 } subconjunto? ( { 1, 2 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo subconjunto? ( { 2 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo subconjunto? ( conj-vazio, { 1, 2, 3 } ) caso base 1 true (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 10 de 38

11 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um ou a outro conjunto ) Problema: definir a função união (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 ou a conj2. CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj2 ou seja, união (conj-vazio, conj2) = conj2 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj1 ou seja, união (conj1, conj-vazio) = conj1 PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então união (restante (conj1), conj2) 2) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), união (restante (conj1), conj2) ) VERIFICAÇÃO para conj1 = { 1, 4 } e conj2 = { 1, 2, 3 } união ( { 1, 4 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo 1 união ( { 4 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo 2 insere-conj ( 4, união ( conj-vazio, { 1, 2, 3 } ) ) caso base 1 insere-conj ( 4, { 1, 2, 3 } ) insere 4 (operação pendente) {4, 1, 2, 3} (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 11 de 38

12 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um e a outro conjunto ) Problema: definir a função interseção (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 e a conj2. CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, interseção (conj-vazio, conj2) = conj-vazio 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, interseção (conj1, conj-vazio) = conj-vazio PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), interseção (restante (conj1), conj2) ) 2) se prim-el (conj1) conj2 então interseção (restante (conj1), conj2) VERIFICAÇÃO para conj1 = { 1, 2 } e conj2 = { 1, 2, 3 } interseção ( { 1, 2 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo 1 insere-conj ( 1, interseção ( { 2 }, { 1, 2, 3 } ) ) passo indutivo 1 insere-conj ( 1, (insere-conj ( 2, interseção ( conj-vazio, { 1, 2, 3 } ) ) ) ) caso base 1 insere-conj ( 1, (insere-conj ( 2, conj-vazio ) ) ) insere 2 (operação pendente) insere-conj ( 1, {2} ) insere 1 { 1, 2 } (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 12 de 38

13 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS ( elementos de um conjunto que não pertencem ao outro conjunto ) Problema: definir a função diferença (conj1, conj2) que constrói um conjunto contendo os elementos de conj1 que não pertencem a conj2. CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, diferença (conj-vazio, conj2) = conj-vazio 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj1 ou seja, diferença (conj1, conj-vazio) = conj1 PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então diferença (restante (conj1), conj2) 2) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), diferença (restante (conj1), conj2) ) VERIFICAÇÃO para conj1 = { 1, 2 } e conj2 = { 1, 2, 3 } diferença ( { 1, 2 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo 1 diferença ( { 2 }, { 1, 2, 3 } ) passo indutivo 1 diferença ( conj-vazio, { 1, 2, 3 } ) caso base 1 conj-vazio (resultado) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 13 de 38

14 PROCESSAMENTO DE ÁRVORES BINÁRIAS CALCULAR QUANTOS NODOS NÃO POSSUEM FILHO À ESQUERDA Problema: utilizando versões matemáticas para as operações básicas do TAD Árvore Binária, definir a função conta-nodos-sfe (ab) que calcula quantos nodos de ab não possuem filho à esquerda. CASOS BASE 1) ab = arv-bin-vazia, cuja solução é 0 ou seja, conta-nodos-sfe (ab) = 0 2) folha? (ab) = true, cuja solução é 1 ou seja, conta-nodos-sfe (ab) = 1 PASSOS INDUTIVOS 1) se ( arv-bin-vazia? (esquerda (ab)) and (not folha? (ab)) ) = true então 1 + conta-nodos-sfe (direita (ab)) 2) se ( arv-bin-vazia? (direita (ab)) and (not folha? (ab)) ) = true então conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) 3) se (not ( arv-bin-vazia? (esquerda (ab)) or arv-bin-vazia? (direita (ab)) ) ) = true então conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) + conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 14 de 38

15 USANDO RECURSÃO PARA RESOLVER PROBLEMAS Desejando-se resolver o problema proposto por meio de um programa de computador, pode ser buscada uma solução computacional que se fundamente na solução ( abstrata, ou conceitual, na medida em que não indica qualquer forma específica para ser implementada) obtida com base no método indutivo apresentado precedentemente. Nesse caso, o programa deverá refletir o problema de ordem zero ( caso base, no qual a solução é conhecida ) e o passo indutivo ( usar a solução do problema de ordem n-1 para, garantidamente, obter a solução do problema de ordem n ). Assim sendo, esse programa deve permitir que: a ordem do problema proposto quando este não constituir um caso base seja reduzida sucessivamente até que um caso base seja atingido durante esse processo de redução, seja mantida pendente cada instância da operação, se houver alguma, especificada no passo indutivo. Nessas condições, a implementação desejada deverá empregar uma linguagem de programação que permita a construção de estruturas de código que possam chamar-se a si mesmas e, a cada chamada, reduzir sistematicamente o porte do problema proposto inicialmente. E, também, que, ao final de cada passo do processamento, seja mantida pendente cada instância da operação, se houver alguma, especificada no passo indutivo da solução conceitual. Uma solução implementada com essas características denomina-se solução recursiva. Muitas vezes, é conveniente especificar essa alternativa de implementação em dois passos: 1. correspondente ao nível de design, onde ainda não se utilizam as características de uma linguagem de programação específica 2. correspondente ao nível de implementação, onde se constrói o programa desejado em termos da linguagem de programação escolhida. Em problemas de complexidade reduzida, é possível omitir-se o passo correspondente ao nível de design e passar diretamente do nível conceitual para a implementação. A seguir será considerado o caso de soluções baseadas em funções recursivas e serão apresentados um roteiro para o design e dois templates para a implementação ( em Scheme ) desse tipo de função. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 15 de 38

16 FUNÇÃO RECURSIVA ROTEIRO PARA O DESIGN IDENTIFICAR no caso de qualquer função 1. domínio 2. contra-domínio (imagem) 3. precondição no caso de função recursiva 4. caso(s) base 5. valor da função no(s) caso(s) base 6. teste de término no(s) caso(s) base 7. chamada(s) recursiva(s) 8. o que deve ser feito para, usando o(s) valor(es) produzido(s) pela(s) chamada(s) recursiva(s), gerar o valor a ser retornado pela função. CASO BASE Considera-se como caso base, não "o mais simples", mas qualquer caso em que a recursão termine. Ou seja, é um caso que não exige chamada recursiva para ser resolvido. VALOR PRODUZIDO PELA CHAMADA RECURSIVA Por hipótese, é o resultado que se espera obter pelo uso da função para resolver o problema de ordem n-1. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 16 de 38

17 FUNÇÃO FATORIAL Problema: calcular o fatorial de n. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASO BASE n = 0, cuja solução é 1, ou seja, fat (0) = 1 PASSO INDUTIVO n x fat (n-1) DESIGN 1. domínio: 2. contra-domínio: 3. precondição: argumento ( n ) deve pertencer a 4. caso base: n=0 5. valor da função no caso base: 1 6. teste de término no caso base: n=0? 7. chamada recursiva: sobre n-1 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: multiplicar por n o valor (um número) produzido pela chamada recursiva. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 17 de 38

18 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS SOMA DOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função soma-seqüência (seq). SOLUÇÃO CONCEITUAL CASO BASE seq = seq-vazia, cuja solução é 0; ou seja, soma-seqüência (seq-vazia) = 0 PASSO INDUTIVO cabeça (seq) + soma-seqüência (cauda (seq)) DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas 2. contra-domínio: R 3. precondição: argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas e seus itens devem ser números reais 4. caso base: argumento é lista-vazia 5. valor da função no caso base: 0 6. teste de término no caso base: argumento é lista-vazia? 7. chamada recursiva: sobre a cauda do argumento 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: somar, ao valor (um número) produzido pela chamada recursiva, o cabeça do argumento. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 18 de 38

19 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS SOMAR 1 AOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função soma-um (seq) que constrói uma seqüência contendo, na mesma ordem, os números de uma seqüência seq incrementados de 1. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASO BASE seq = seq-vazia, cuja solução é seq-vazia; ou seja, soma-um (seq-vazia) = seq-vazia PASSO INDUTIVO insere-seq ( ( cabeça (seq) + 1 ), soma-um (cauda (seq)) ) DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas e seus itens devem ser números reais 4. caso base: argumento é lista-vazia 5. valor da função no caso base: lista-vazia 6. teste de término no caso base: argumento é lista-vazia? 7. chamada recursiva: sobre a cauda do argumento 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o valor do cabeça do argumento incrementado de uma unidade. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 19 de 38

20 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS VERIFICAR SE UM ITEM ESTÁ CONTIDO EM UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função pertence-seq? (item, seq) que verifica se o valor de item está contido na seqüência seq. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) seq = seq-vazia, cuja solução é false; ou seja, pertence-seq? (item, seq-vazia) = false 2) cabeça (seq) = item, cuja solução é true; ou seja, neste caso, pertence-seq? (item, seq) = true PASSO INDUTIVO pertence-seq? (item, cauda(seq)) DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-itens x C-listas 2. contra-domínio: { true, false } 3. precondição: primeiro argumento ( item ) deve pertencer a C-itens e segundo argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas 4. casos base: a) lista é lista-vazia b) cabeça de lista é igual a item 5. valor da função nos casos base: a) false b) true 6. teste de término no caso base: a) lista é lista-vazia? b) ( (cabeça de lista) = item )? 7. chamada recursiva: sobre item e a cauda de lista 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 20 de 38

21 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS VERIFICAR SE UM CONJUNTO É SUBCONJUNTO IMPRÓPRIO DE OUTRO ( todo elemento de um está contido no outro ) Problema: definir a função subconjunto? (conj1, conj2) que verifica se todo elemento de conj1 pertence a conj2. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é true ou seja, subconjunto? (conj-vazio, conj2) = true 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é false ou seja, subconjunto? (conj1, conj-vazio) = false 3) prim-el (conj1) conj2, cuja solução é false ou seja, neste caso, subconjunto? (conj1, conj2) = false PASSO INDUTIVO subconjunto? (restante (conj1), conj2) DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: { true, false } 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia c) cabeça de conj1 não está contido em conj2 5. valor da função nos casos base: a) true b) false c) false 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? c) not ( (cabeça de conj1) pertence a conj2 )? 7. chamada recursiva: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 21 de 38

22 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um ou a outro conjunto ) Problema: definir a função união (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 ou a conj2. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj2 ou seja, união (conj-vazio, conj2) = conj2 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj1 ou seja, união (conj1, conj-vazio) = conj1 PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então união (restante (conj1), conj2) 2) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), união (restante (conj1), conj2) ) DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) conj2 b) conj1 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 22 de 38

23 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um e a outro conjunto ) Problema: definir a função interseção (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 e a conj2. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, interseção (conj-vazio, conj2) = conj-vazio 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, interseção (conj1, conj-vazio) = conj-vazio PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), interseção (restante (conj1), conj2) ) 2) se prim-el (conj1) conj2 então interseção (restante (conj1), conj2) DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) lista-vazia b) lista-vazia 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 não pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 23 de 38

24 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS ( elementos de um conjunto que não pertencem ao outro conjunto ) Problema: definir a função diferença (conj1, conj2) que constrói um conjunto contendo os elementos de conj1 que não pertencem a conj2. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) conj1 = conj-vazio, cuja solução é conj-vazio ou seja, diferença (conj-vazio, conj2) = conj-vazio 2) conj2 = conj-vazio, cuja solução é conj1 ou seja, diferença (conj1, conj-vazio) = conj1 PASSOS INDUTIVOS 1) se prim-el (conj1) conj2 então diferença (restante (conj1), conj2) 2) se prim-el (conj1) conj2 então insere-conj ( prim-el (conj1), diferença (restante (conj1), conj2) ) DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) lista-vazia b) valor de conj1 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 24 de 38

25 PROCESSAMENTO DE ÁRVORES BINÁRIAS CALCULAR QUANTOS NODOS NÃO POSSUEM FILHO À ESQUERDA Problema: definir a função conta-nodos-sfe (ab) que calcula quantos nodos de ab não possuem filho à esquerda. SOLUÇÃO CONCEITUAL CASOS BASE 1) ab = arv-bin-vazia, cuja solução é 0 ou seja, conta-nodos-sfe (ab) = 0 2) folha? (ab) = true, cuja solução é 1 ou seja, conta-nodos-sfe (ab) = 1 PASSOS INDUTIVOS 1) se ( arv-bin-vazia? (esquerda (ab)) and (not folha? (ab)) ) = true então 1 + conta-nodos-sfe (direita (ab)) 2) se ( arv-bin-vazia? (direita (ab)) and (not folha? (ab)) ) = true então conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) 3) se (not ( arv-bin-vazia? (esquerda (ab)) or arv-bin-vazia? (direita (ab)) ) ) = true então conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) + conta-nodos-sfe (esquerda (ab)) DESIGN ( empregando listas-ternárias aninhadas e notação prefixada como modelo de dados, sendo que um nodo-folha é representado pelo átomo a ele associado ) 1. domínio: união ( C-átomos, C-listas-ternárias ) 2. contra-domínio: 3. precondição: argumento ( ab ) deve pertencer a C-átomos ou a C-listas-ternárias 4. casos base: a) ab é árvore-vazia b) ab é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) 0 b) 1 6. teste de término no caso base: a) ab é lista-vazia? b) ab é átomo? 7. chamadas recursivas: sobre sub-árvore-esquerda (SAE) e/ou sub-árvore-direita (SAD) 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: se ab não for folha e SAE for árvore vazia, soma-se 1 ao valor produzido pela chamada recursiva sobre SAD; se ab não for folha e SAD for árvore vazia, nada deve ser feito com o valor produzido pela chamada recursiva sobre SAE; se as duas sub-árvores de ab não forem vazias, devem ser somados os valores produzidos pelas chamadas recursivas sobre SAE e SAD. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 25 de 38

26 FUNÇÕES RECURSIVAS TEMPLATE PARA IMPLEMENTAÇÃO EM SCHEME USO DO ROTEIRO PARA O DESIGN para tratar de problemas simples, usar a expressão if ( um caso base e uma chamada recursiva) (define func-rec (lambda (domínio) (if expressão para testar CASO BASE expressão para gerar o valor da função no CASO BASE ( o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função chamada recursiva ) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 26 de 38

27 FUNÇÕES RECURSIVAS TEMPLATE PARA IMPLEMENTAÇÃO EM SCHEME USO DO ROTEIRO PARA O DESIGN (em Scheme) para tratar de problemas complexos, usar a expressão cond ( mais de um caso base e/ou mais de uma chamada recursiva) (define func-rec (lambda (domínio) (cond ( teste-cb1 expressão para valor da função no CB1 ) ( teste-cb2 expressão para valor da função no CB2 ) ) )) ( teste ( o que deve ser feito... chamada recursiva ) ) ( else ( o que deve ser feito... chamada recursiva ) ) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 27 de 38

28 FUNÇÃO FATORIAL Problema: calcular o fatorial de n. DESIGN 1. domínio: 2. contra-domínio: 3. precondição: argumento ( n ) deve pertencer a 4. caso base: n=0 5. valor da função no caso base: 1 6. teste de término no caso base: n=0? 7. chamada recursiva: sobre n-1 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: multiplicar por n o valor (um número) produzido pela chamada recursiva. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme ) (define fat (lambda (n) (if (zero? n) 1 (* n (fat (- n 1))) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 28 de 38

29 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS SOMA DOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função soma-seqüência (seq). DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas 2. contra-domínio: R 3. precondição: argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas e seus itens devem ser números reais 4. caso base: argumento é lista-vazia 5. valor da função no caso base: 0 6. teste de término no caso base: argumento é lista-vazia? 7. chamada recursiva: sobre a cauda do argumento 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: somar, ao valor (um número) produzido pela chamada recursiva, o cabeça do argumento. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme ) (define soma-lista (lambda (lista) (if (null? lista) 0 (+ (car lista) (soma-lista (cdr lista))) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 29 de 38

30 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS SOMAR 1 AOS NÚMEROS DE UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função soma-um (seq) que constrói uma seqüência contendo, na mesma ordem, os números de uma seqüência seq incrementados de 1. DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas e seus itens devem ser números reais 4. caso base: argumento é lista-vazia 5. valor da função no caso base: lista-vazia 6. teste de término no caso base: argumento é lista-vazia? 7. chamada recursiva: sobre a cauda do argumento 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o valor do cabeça do argumento incrementado de uma unidade. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme ) (define soma-um (lambda (lista) (if (null? lista) ( ) (cons (+ (car lista) 1) (soma-um (cdr lista)))) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 30 de 38

31 PROCESSAMENTO DE SEQÜÊNCIAS VERIFICAR SE UM ITEM ESTÁ CONTIDO EM UMA SEQÜÊNCIA Problema: definir a função pertence-seq? (item, seq) que verifica se o valor de item está contido na seqüência seq. DESIGN ( empregando lista como modelo de dados ) 1. domínio: C-itens x C-listas 2. contra-domínio: { true, false } 3. precondição: primeiro argumento ( item ) deve pertencer a C-itens e segundo argumento ( lista ) deve pertencer a C-listas 4. casos base: a) lista é lista-vazia b) cabeça de lista é igual a item 5. valor da função nos casos base: a) false b) true 6. teste de término no caso base: a) lista é lista-vazia? b) ( (cabeça de lista) = item )? 7. chamada recursiva: sobre item e a cauda de lista 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme ) (define pertence-lista? (lambda (item, lista) (cond ( (null? lista) #f) ( (equal? (car lista) item) #t) (else (pertence-lista? item (cdr lista))) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 31 de 38

32 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS VERIFICAR SE UM CONJUNTO É SUBCONJUNTO IMPRÓPRIO DE OUTRO ( todo elemento de um está contido no outro ) Problema: definir a função subconjunto? (conj1, conj2) que verifica se todo elemento de conj1 pertence a conj2. DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: { true, false } 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia c) cabeça de conj1 não está contido em conj2 5. valor da função nos casos base: a) true b) false c) false 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? c) not ( (cabeça de conj1) pertence a conj2 )? 7. chamada recursiva: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme, usando operações básicas do TAD CONJUNTO ) (define subconjunto? (lambda (conj1 conj2) (cond ( (conj-vazio? conj1) #t) ( (conj-vazio? conj2) #f) ( (not (pertence-conj? (car conj1) conj2)) #f) (else (subconjunto? (cdr conj1) conj2)) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 32 de 38

33 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um ou a outro conjunto ) Problema: definir a função união (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 ou a conj2. DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) conj2 b) conj1 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme, usando operações básicas do TAD CONJUNTO ) (define uniao (lambda (conj1 conj2) (cond ( (conj-vazio? conj1) conj2) ( (conj-vazio? conj2) conj1) ( (pertence-conj? (car conj1) conj2) (uniao (cdr conj1) conj2)) (else (cons (car conj1) (uniao (cdr conj1) conj2))) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 33 de 38

34 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A INTERSEÇÃO DE DOIS CONJUNTOS ( elementos pertencentes a um e a outro conjunto ) Problema: definir a função interseção (conj1, conj2) que constrói um conjunto onde cada elemento pertence a conj1 e a conj2. DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) lista-vazia b) lista-vazia 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 não pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme, usando operações básicas do TAD CONJUNTO ) (define intersecao (lambda (conj1 conj2) (cond ( (conj-vazio? conj1) conj-vazio) ( (conj-vazio? conj2) conj-vazio) ( (pertence-conj? (car conj1) conj2) (cons (car conj1) (intersecao (cdr conj1) conj2)) ) (else (intersecao (cdr conj1) conj2)) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 34 de 38

35 PROCESSAMENTO DE CONJUNTOS CONSTRUIR A DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS ( elementos de um conjunto que não pertencem ao outro conjunto ) Problema: definir a função diferença (conj1, conj2) que constrói um conjunto contendo os elementos de conj1 que não pertencem a conj2. DESIGN ( empregando lista sem itens repetidos como modelo de dados ) 1. domínio: C-listas x C-listas 2. contra-domínio: C-listas 3. precondição: primeiro e segundo argumentos ( conj1 e conj2 ) devem pertencer a C-listas e seus valores não devem conter repetição de itens 4. casos base: a) conj1 é lista-vazia b) conj2 é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) lista-vazia b) valor de conj1 6. teste de término no caso base: a) conj1 é lista-vazia? b) conj2 é lista-vazia? 7. chamadas recursivas: sobre a cauda de conj1 e conj2 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: nada, se o cabeça de conj1 pertencer a conj2; no caso contrário, acrescentar, na primeira posição do valor (uma lista) produzido pela chamada recursiva, o cabeça de conj1. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme, usando operações básicas do TAD CONJUNTO ) (define diferenca (lambda (conj1 conj2) (cond ( (conj-vazio? conj1) conj-vazio) ( (conj-vazio? conj2) conj1) ( (not (pertence-conj? (car conj1) conj2)) (cons (car conj1) (diferenca (cdr conj1) conj2)) ) (else (diferenca (cdr conj1) conj2)) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 35 de 38

36 PROCESSAMENTO DE ÁRVORES BINÁRIAS CALCULAR QUANTOS NODOS NÃO POSSUEM FILHO À ESQUERDA Problema: definir a função conta-nodos-sfe (ab) que calcula quantos nodos de ab não possuem filho à esquerda. DESIGN ( empregando listas-ternárias aninhadas e notação prefixada como modelo de dados, sendo que um nodo-folha é representado pelo átomo a ele associado ) 1. domínio: união ( C-átomos, C-listas-ternárias ) 2. contra-domínio: 3. precondição: argumento ( ab ) deve pertencer a C-átomos ou a C-listas-ternárias 4. casos base: a) ab é árvore-vazia b) ab é lista-vazia 5. valor da função nos casos base: a) 0 b) 1 6. teste de término no caso base: a) ab é lista-vazia? b) ab é átomo? 7. chamadas recursivas: sobre sub-árvore-esquerda (SAE) e/ou sub-árvore-direita (SAD) 8. o que deve ser feito para, usando o valor produzido pela chamada recursiva, gerar o valor a ser retornado pela função: se ab não for folha e SAE for árvore vazia, soma-se 1 ao valor produzido pela chamada recursiva sobre SAD; se ab não for folha e SAD for árvore vazia, nada deve ser feito com o valor produzido pela chamada recursiva sobre SAE; se as duas sub-árvores de ab não forem vazias, devem ser somados os valores produzidos pelas chamadas recursivas sobre SAE e SAD. IMPLEMENTAÇÃO ( em Scheme, usando operações básicas do TAD ÁRVORE BINÁRIA ) (define conta-nodos-sfe (lambda (ab) (cond ( (arv-bin-vazia? ab) 0) ( (folha? ab) 1) ( (and (arv-bin-vazia? (esquerda ab)) (not (folha? ab))) (+ 1 (conta-nodos-sfe (direita ab))) ) ( (and (arv-bin-vazia? (direita ab)) (not (folha? ab))) (conta-nodos-sfe (esquerda ab)) ) (else (+ (conta-nodos-sfe (esquerda ab)) (conta-nodos-sfe (direita ab)) )) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 36 de 38

37 Analisando-se o código em Scheme, percebe-se que, tendo em vista a semântica da expressão cond, é possível simplificar a solução proposta pois: o teste não-folha? (ab) das cláusula 3 e 4 pode ser omitido, pois o teste folha? (ab) da cláusula 2 garante que seu resultado será sempre true a cláusula 4 pode ser omitida pois a mesma chamada recursiva sobre SAE está sendo também realizada na cláusula 5. Assim, uma versão mais simples será: (define conta-nodos-sfe (lambda (ab) (cond ( (arv-bin-vazia? ab) 0) ( (folha? ab) 1) ( (arv-bin-vazia? (esquerda ab)) (+ 1 (conta-nodos-sfe (direita ab))) ) (else (+ (conta-nodos-sfe (esquerda ab)) (conta-nodos-sfe (direita ab)) )) ) )) Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 37 de 38

38 Agradecimento Ao professor Bruno Feijó, pelas inúmeras sugestões que contribuíram significativamente para a primeira seção deste texto, intitulada Método Indutivo. Método Indutivo para Resolver Problemas B. Maffeo página 38 de 38