UM MÉTODO HEURÍSTICO PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO E SEQUENCIAMENTO DE LOTES COM CUSTOS E TEMPO DAS PREPRARAÇÕES SEQUÊNCIA-DEPENDENTES.

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1 UM MÉTODO HEURÍSTICO PARA O PROBLEMA DE DIMESIOAMETO E SEQUECIAMETO DE LOTES COM CUSTOS E TEMPO DAS PREPRARAÇÕES SEQUÊCIA-DEPEDETES. Maristela Oliveira dos Santos Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo - Campus de São Carlos São Carlos, SP - Brasil CP 668 mari@icmc.usp.br Sadao Massago Departamento de Matemática Universidade Federal de São Carlos sadao@dm.ufscar.br RESUMO este artigo apresentaremos um método heurístico para o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes monoestágio com custo e tempo dependentes da seqüência, onde em cada período do planejamento vários itens podem ser produzidos. O problema tem como objetivo determinar a melhor seqüência de produção para cada período, de modo a minimizar os custos de produção, de preparação e de estoque. Os resultados obtidos pelo procedimento heurístico são comparados com as soluções ótimas do problema determinadas pelo solver CPLEX 7.5. Os resultados são analisados e novas abordagens são propostas. PALAVRAS CHAVE. Programação inteira, dimensionamento e sequenciamento de lotes, heurísticas. ABSTRACT We present a heuristic method for a single stage, multi-item capacitated lot-sizing and scheduling problem, with sequence-dependent setup cost and times. In each period, several items can be produced. This problem determines simultaneously the size and the sequence of lots that minimize setup cost, production cost and holding cost. The setup may be carried over from one period to the next one and it is preserved over the periods in which the machine is idle. The numerical results are compared with optimal solutions obtained using the solver CPLEX 7.5. Finally, the results are analyzed and, based on this analysis, other heuristics are proposed. KEYWORDS. Linear Integer Optimization, Lot scheduling problem. Heuristics. Main área: Combinatorial optimization [2013]

2 1. Introdução O problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes tem como objetivo determinar a melhor seqüência de produção para cada período e máquina, que minimize os custos de produção, de preparação e de estoque. Este problema integra o problema de dimensionamento de lotes e o problema de sequenciamento da produção. Existem vários trabalhos na literatura que tratam o problema de dimensionamento de lotes, como por exemplo, Billington et al. (1983), Bahl et al. (1987), Kuik et al. (1994) e Drexl e Kimms (1997), Tempelmeier e Derstroff (1996) e França et al. (1997), Santos e Armentano (2005) e Suerie e Stadtler (2003). O problema de sequenciamento é outro problema amplamente estudado na literatura e de difícil resolução. Revisões bibliográficas podem ser encontradas em: Potts e van Wassenhove (1992), Potts e Kovalyov (2000) e Allahverdi et al. (1999). o problema de dimensionamento de lotes, as decisões de sequenciamento não são tomadas. Já o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes, visa determinar um plano de produção que atenda as demandas dos itens e a seqüência em que devem ser produzidos. Uma abordagem usual no tratamento do problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes consiste na determinação dos lotes e, a seguir, na resolução do problema de sequenciamento em cada período separadamente (Sikonora et al. 1996). Podemos encontrar trabalhos que integram ambos os problemas em Fleischmann (1990), Fleischmann (1994), Drexl e Haase (1995), Kimms (1996a), Kimms (1996b), Kimms (1997), Haase (1998), Haase e Kimms (2000), Gupta e Magnusson (2005) e Almada-Lobo et al. (2007). Uma boa revisão bibliográfica pode ser encontrada em Drexl e Kimms (1997). o entanto, a maioria dos trabalhos sobre o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes encontrados na literatura considera o problema com algumas condições especiais, como por exemplo a produção de somente um item por período. A grande maioria divide os macro períodos (dias, semanas) do problema de dimensionamento de lotes em vários micro períodos (horas ou transferências), como é o caso do problema de dimensionamento e sequenciamento discreto (DLSP). o DLSP as seqüências são determinadas e caso ocorra produção em um período, esta produção ocupa toda a capacidade existente, ou seja, é utilizada a suposição da produção tudo-ou-nada. Entre os trabalhos que tratam o problema DLSP destacamos Fleischmann (1990), que propõe um algoritmo do tipo branch-and-bound que usa a técnica da relaxação Lagrangeana para determinar limitantes inferiores e soluções factíveis. Fleischmann (1994) considera o problema com custo de preparação dependente da seqüência como Fleischmann (1990), no entanto, reformula o problema como um problema do caixeiro viajante com janelas de tempo e apresenta uma heurística de melhoria. Salomon et al. (1997) consideram tempo e custo de preparação na formulação do problema e generalizam a reformulação apresentada em Fleischmann (1994). O novo problema é resolvido pelo método proposto por Dumas et at. (1995). Brüggemann e Jahnke (2000) apresentam um estudo sobre a complexidade do problema e um procedimento de solução baseado na meta-heurística Simulated Annealing. Jans e Degraeve (2004) consideram o problema com múltiplas máquinas, backlogging e start up simultaneamente, o que deixa o problema mais difícil.o algoritmo proposto é baseado na geração de colunas, o que permitiu resolver problemas grandes e construir bons limitantes. um outro problema, o de dimensionamento e sequenciamento de lotes continuo (CLSP), a suposição tudo-ou-nada é abandonada, mas, somente um item pode ser produzido por período. O problema CLSP tem vantagens sobre o DSLP, pois preserva as preparações entre os períodos ociosos mas, apesar desta vantagem, a quantidade de trabalhos relativos ao CSLP é bem menor quando comparado ao DLSP. A suposição que somente um item é produzido por período implica que, se a capacidade em um período não for usada completamente, o restante ficará ociosa. Uma tentativa de evitar que isto ocorra é considerar o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes proporcional (PLSP), estudado por Drexl e Haase (1995). A idéia básica deste problema é de usar a capacidade restante para produzir um segundo item num determinado período. Assim, no problema PLSP pode ocorrer produção de até dois itens no período, o que não ocorre nos dois problemas anteriores. Alguns trabalhos que tratam o [2014]

3 problema PLSP são: Kimms (1996a), Kimms (1996b), Kimms (1997), Kimms e Drexl (1998a) e Kimms e Drexl (1998b). Uma crítica que se pode fazer aos modelos que consideram que apenas um ou poucos itens pode ser produzidos por período é que, em problemas práticos, o número de períodos pode ser proibitivamente grande. Entretanto, quando se trabalha com heurísticas, pode-se resolver problemas com centenas de períodos e itens num tempo computacional relativamente baixo. Para tratar o problema de produzir mais de um item por períodos surgiu o problema de dimensionamento e sequenciamento generalizado proposto por Fleischmann e Meyr (1997), o qual foi estendido em Meyr (2000) para considerar tempos de preparação dependentes da seqüência de produção. Meyr (2002) considera a existência de vários itens que devem ser produzidos em diversas linhas de produção paralelas. Porém, mesmo com a vantagem destes modelos serem mais gerais, eles ainda consideram a divisão dos macro-períodos em microperíodos, ou seja, utilizam uma certa quantidade de sub-conjuntos de micro-períodos para cada período grande, o que traz de volta as dificuldades anteriores. Em 2005, Gupta e Magnusson (2005) propõe um modelo que considera vários itens produzidos no período, custo e tempo das preparações dependentes da seqüência, preservação das preparações entre períodos, maquina única e sistema de produção monoestágio. O modelo não considera a divisão dos macro-períodos em micro-períodos como no problema geral, porém, mas mesmo assim, apresenta um grande número de variáveis e apesar disso, não é uma formulação completa. A formulação completa foi apresentada em uma nota por Almada-Lobo et al. (2006). Os mesmos autores propõem um modelo mais simplificado para este mesmo problema em Almada-Lobo et al. (2007). este artigo, estudamos o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes tendo como objetivo determinar a melhor seqüência de produção para cada período e máquina, que minimize os custos de produção, de preparação e de estoque, tal como proposto em Gupta e Magnusson (2005) e Almada-Lobo et al. (2007). ossa motivação para estudar este problema é que, além de ser um problema de difícil resolução, o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes é importante em meios industriais. o trabalho de Gupta e Magnusson (2005) é proposto um modelo que considera tempo e custo das preparações dependentes da seqüência; no entanto, eles desenvolvem uma heurística considerando que os tempos de preparação são fixos para todos os itens. A heurística proposta neste artigo considera que os tempos de preparação são distintos para todos os itens, porém para comparação com o trabalho de Gupta e Magnusson (2005), consideramos algumas instâncias com o tempo fixo. Os resultados obtidos para todas as instâncias geradas são apresentados e analisados na seção 4. As conclusões e perspectivas futuras são apresentadas na seção 5. A seguir, na seção 2, apresentaremos o problema a ser estudado e na seção 3, o procedimento heurístico proposto. 2. O Problema O problema consiste em determinar o plano e a seqüência de produção que satisfaça uma demanda ( d it ) conhecida para os itens (i=1,...,) por período (t=1,...,t) e as limitações de capacidade ( Cap t = 1, t ). A capacidade deve ser usada para a produção e a preparação das máquinas, sendo estas dependentes da seqüência de produção. Durante o texto utilizaremos também o termo setup para designar a preparação da máquina. O modelo a seguir foi proposto por Almada-Lobo et. al. (2007). o modelo matemático é considerado que: vários itens são produzidos no período, o sistema de produção é monoestágio, o custo ( c ) e o tempo ( s ) de setup dependem da seqüência e as preparações são preservadas entre os períodos. o modelo, também é permitido utilizar os períodos de folga para executar um setup. Os custos/tempos de setup atendem a desigualdade triangular c c + c (i,j,k=1,...,) e supomos que a máquina esteja inicialmente preparada para algum produto i 0. A quantidade de produção ( x it ) é definida como uma fração da capacidade disponível. Os outros dados consistem em: ik kj [2015]

4 h i Custo de estocar uma unidade do item i no final do período t; s Tempo necessário para preparar a máquina do item i para o item j, c Custo necessário para preparar a máquina do item i para o item j; As variáveis são: setup i j t T t ; 1 se o ocorre do produto para no período = 0 caso contrário. 1 se a máquina está preparada para o produto i é no inicio do período t αit = ; 0 caso contrário. I it Estoque do item i no final do período t; V it Representa o estado da máquina em qualquer seqüência de produto (associa o produto i ao período t). A formulação matemática do problema é: (Almada-Lobo et. al., 2007) Sujeito a: T Min h I i= 1 t= 1 i I i t τ + t= 1 i= 1 j= 1 c (1) T i jt = I x - d i=1,..., t=1,...,t (2) it i (t-1) + i x i t + it i= 1 j= 1 it s T 1 t=1,..., T (3) t x it M it + α T jit it j i=1,..., t=1,...,t (4) α it = 1 t=1,...,t (5) i α it + jit = α i( t+ 1 ) j + T T i=1,..., t=1,...,t (6) j t Vit + Tt ( 1). α it V jt i=1,..., t=1,...,t (7) x,i, α,v ) 0 e T t { 0,1} i=1,..., t=1,...,t (8) ( it it it it T onde M it = min 1, d iu. u= t A função objetivo (1) minimiza a soma dos custos dos setups dependentes da seqüência e os custos de estoque. As restrições (2) são de balanceamento de estoque e as (3) asseguram que a produção total no período mais os tempos gastos com os setups não excedem a capacidade do período. As restrições (4) garantem que o produto é produzido somente se a máquina está preparada para produzi-lo. As restrições (5)-(7) determinam a seqüência de produção em cada período e mantêm a configuração da máquina, ou seja, preservam as preparações entre os períodos. As restrições (5) garantem que α it =1 para apenas um item em cada período, ou seja, que a máquina está preparada para apenas um item no início de cada período. As restrições (6) asseguram a configuração da máquina e mantêm a configuração do setup até o próximo período. A variável α não precisa ser binária, pois dado um estado inicial da máquina ( α 1 ), pelas it restrições (6) e (5) segue que para o próximo período teremos α j2 binário. i 1 = [2016]

5 3. O Procedimento Heurístico Gupta e Magnusson (2005) propuseram uma heurística para o problema descrito considerando os tempos das preparações iguais para todos os itens, ou seja, fixos. O procedimento heurístico proposto pelos autores consiste de três passos: inicialização, sequenciamento e melhoria. O primeiro passo é dedicado a determinar uma solução inicial iniciando a produção dos itens com maior demanda acumulativa. o processo de determinação de um plano de produção factível, executam-se passos progressivos e regressivos no tempo para eliminar os excessos de produção em cada período. ote-se que a determinação de uma solução factível é similar à idéia proposta por Trigeiro et al. (1989), uma vez que os tempos de preparação são fixos. Determinada uma solução factível, ainda na etapa de inicialização, é aplicada uma heurística gulosa para determinar a melhor seqüência de produção. O passo da determinação da seqüência é feito considerando os custos das preparações, os quais são seqüência-dependentes. O passo de melhoria verifica se pode-se transferir produção entre períodos, de modo a diminuir os custos mantendo a factibilidade. ossa heurística, ao contrário da de Gupta e Magnusson (2005), tem somente dois passos principais: determinação de uma seqüência inicial factível e procedimento de melhoria. Porém, considera que os tempos e custos das preparações dependem da seqüência de produção, o que torna o problema um pouco mais difícil, principalmente no passo da determinação de uma solução factível. Os passos desta heurística são descritos a seguir: Solução inicial: A idéia da heurística de busca das soluções iniciais é determinar uma solução factível para o problema e tem uma característica extremamente gulosa para economizar o tempo das preparações. O algoritmo trabalha com dois contadores: um para a demanda e outro para a produção. Inicialmente, verificará se o produto que está inicialmente preparado na máquina tem demanda a ser atendida no período. Caso tenha, produz para atender toda demanda. Caso não tenha, procura pelo produto com demanda no período que requer menor tempo de preparação a partir dele e tenta produzir toda demanda, sempre que tenha capacidade disponível. A seguir, se ainda existir capacidade disponível, procura o produto com menor tempo de preparação a partir do último produzido e, novamente, tenta produzir toda demanda. Quando a demanda do período for atendida para todos os itens, procura atender as demanda dos próximos períodos, ou seja, o contador de demanda é incrementado. Quando toda a capacidade do período de produção for utilizada, será incrementado o contador do tempo de produção. Como a busca do próximo produto a ser produzido é um problema exponencial (em termos do número de produtos com demanda no período), um desenvolvimento futuro poderia ser a implementação de uma busca heurística estilo caixeiro viajante. A estratégia do procedimento de obtenção da solução inicial determina um plano de produção sem folgas de capacidade nos períodos consecutivos, porém, tem alta probabilidade de obter uma solução factível. Como não há folga entre produções, caso não se encontre uma seqüência de produção que ofereça uma solução factível, será difícil conseguir uma outra estratégia para torná-la factível, como aquela proposta por Gupta e Magnusson (2005). Procedimento de melhoria: Este procedimento tem três etapas principais e em cada uma delas mantêm a factibilidade da solução: a primeira etapa visa a redução dos estoques, para criar espaço e permitir a aplicação das demais heurísticas. A segunda etapa reordena a seqüência olhando o custo das preparações e, finalmente, o terceiro e último procedimento tenta eliminar preparações fazendo um balanço entre os custos de estoque e setup, como no procedimento de Gupta e Magnusson (2005). Diminuição de estoque. Como a solução inicial obtida estará estocando o máximo para minimizar o tempo de setup (para aumentar chance de encontrar solução factível), a forma mais eficiente de diminuir o custo total é tentar reduzir o estoque, pagando pelo tempo de folga. Este procedimento também serve para tornar a seqüência esparsa, o que possibilita a aplicação de outros procedimentos de melhoria. o procedimento da redução de estoque, a seqüência é varrida de trás para frente no tempo, procurando pelo produto que tenha estoque não nulo em um período t para procurar um período t+1 que possa assumir esta produção. Ao encontrar este produto tenta- [2017]

6 se transferir o excesso de produção para o período folgado. o caso em que não há produção no período folgado é necessário comparar se compensa executar um novo setup, verificando se a economia do custo de estoque compensaria em comparação ao novo custo. Como a seqüência inicial é condensada para minimizar o tempo de produção e das preparações, o método de redução de estoque é um dos mais eficientes no procedimento de melhoria. Portanto, novas abordagens devem ser testadas, como, por exemplo, transferir para um período futuro não consecutivo ou permitir transferências progressivas e regressivas durante um certo número de iterações. Após ter efetuado o procedimento de redução de estoque, pode-se propor várias heurísticas para melhoria como a reordenação de seqüência e a eliminação de setup, entre outras possibilidades. este trabalho, estamos propondo estas duas abordagens. a reordenação da seqüência, tenta-se trocar posições da seqüência de cada período do horizonte de planejamento, para analisar a possibilidade de reduzir os custos. Por ser um procedimento fatorial, mesmo sendo limitado a analisar um único período de cada vez, seria interessante no futuro utilizar um método heurístico estilo caixeiro viajante. o ultimo procedimento, ou seja, na tentativa de eliminação de setup, verifica-se se o produto em produção no período corrente está sendo produzido também no período seguinte; se for produzido é verificado se seria possível antecipar esta produção, produzindo-a toda no período corrente, neste caso poderia eliminar-se um setup, pagando pelo estoque: para decidir é feito um teste de comparação entre os dois custos. a verdade, a melhoria ocorre somente em alguns casos especiais, pois a seqüência inicial tem altos níveis de estoque, e procedimento que tenta aumentar o estoque para reduzir outros custos pode ter pouca eficiência. Este procedimento heurístico foi implementado e para a comparação das soluções heurísticas consideramos um conjunto de instâncias geradas com os tempos das preparações fixos para todos os itens e comparamos a performance do procedimento proposto com o de Gupta e Magnusson (2005). Para este grupo de instâncias obtemos as soluções ótimas utilizando o solver CPLEX 7.5 e todos os resultados foram analisadas. Também consideramos grupos com os custos das preparações dependentes da seqüência de produção e os resultados obtidos foram analisados com os resultados obtidos pelo CPLEX 7.5 após executar por 1200s. 4. Resultados Computacionais A abordagem de solução proposta neste artigo foi implementada em linguagem C e compilada pelo compilador gcc.os testes foram feitos em um uma estação de trabalho SU Ultra-1. Para obtenção da solução ótima foi utilizado o CPLEX 7.5. Foram gerados três grupos de instâncias, G1, G2 e G3. O Grupo G1 é composto por 40 instâncias de pequena dimensão com tempo fixo de setup. A motivação para considerar este grupo foi de comparar as soluções das heurísticas com as soluções ótimas obtidas pelo solver CPLEX. Além disso, comparamos as soluções obtidas com a heurística de Gupta e Magnusson (2005), a qual foi executada no GU OCTAVE. O grupo G2 tem a mesma configuração de G1, porém consideramos os custos e tempos das preparações dependentes da seqüência de produção. Para o grupo G3, composto de 60 instâncias de dimensão média, comparamos a solução obtida pelo CPLEX 7.5 com a nossa heurística proposta. os grupos G2 e G3 consideramos que os tempos das preparações são dependentes da seqüência. A geração dos dados foi baseada em Gupta e Magnusson (2005) e Almada-Lobo et al. (2007). Todas as instâncias foram geradas considerando que o item inicialmente preparado na máquina é o item 1. Para as instâncias do grupo G1, o tempo de setup para todos os itens foi considerado 0.1. Para os demais grupos, os tempos de setup foram geradas uniformemente no intervalo U[s_Max/2,s_Max), onde s_max=0.1. Os custos de setup foram calculados em função dos tempos de setup da seguinte forma: c = fator s, onde fator foi gerado aleatoriamente no intervalo U[5,9]. As demandas foram calculadas como d it = U [0,L ], onde [2018]

7 s 2U ( 1) i, j L = s _ médio, s _ médio = e a utilização média de capacidade foi ( 1) U=0.6 para o grupo G1 e 0.7 para os grupos G2 e G3. O custo de estoque foi calculado como h = fator _ h U [ c _ max,c _ min], onde fator_h i foi gerado uniformemente U[9,11], i i c _ min = min{ c,i j } e c _ max = max{ c,i j }. Os resultados obtidos foram analisados considerando: GapH_HMG Valor médio de 100 x (heu-heu_gm)/ Heu_GM GapOHeu_MG Valor médio de 100 x (Heu_GM-OC)/ OC GapO_Heu Valor médio de 100 x (heu - C_CPLEX)/ C_CPLEX U_heu (Heu_MG) Utilização média de capacidade por período (Gupta e Magnusson, 2005) Onde: heu Valor da solução heurística Heu_GM Valor da solução heurística de Gupta e Magnusson (2005) U_heu Utilização média da capacidade (nossa heurística) U_heu_GM Utilização média da capacidade por período pela heurística de Gupta e Magnusson (2005) C_CPLEX a melhor solução obtida pelo CPLEX (modelo de Almada-Lobo et al (2007) após 1200 segundos R_CPLEX Solução relaxada obtida pelo CPLEX (modelo de Almada-Lobo et al., 2007) a tabela 1 são apresentados os resultados obtidos pelas heurísticas considerando o grupo G1. Para cada configuração (T,) foram geradas 10 instâncias, para as quais o CPLEX 7.5 e as heurísticas determinaram soluções ótimas e soluções factíveis em 60% das instâncias geradas simultaneamente. Tabela 1. Resultados médios para o grupo G1 com o tempo fixo de setup. T Heu U_heu Heu_MG U_Heu_MG C_Cplex GapH_HMG GapO_Heu_MG GapO_Heu Rel_cplex 2 2 2,28 0,73 2,03 0,60 1,95 30% 2% 31% 0, ,16 0,84 2,56 0,77 2,50 25% 2% 27% 0, ,10 0,86 3,78 0,78 3,57 42% 12% 60% 1, ,96 0,83 3,77 0,78 3,64 33% 4% 38% 0,40 a tabela 1, observamos que a heurística de Gupta e Magnusson (2005) obteve, em média, soluções melhores do que as fornecidas pela heurística proposta, no entanto, os resultados são promissores uma vez que a heurística foi proposta considerando os custos e tempos dependentes da seqüência e que também está na fase inicial de desenvolvimento. A heurística proposta tem uma característica extremamente gulosa no sentido de obtenção de soluções iniciais, obtendo soluções com os níveis de estoque altos nos períodos iniciais, o que dificulta o trabalho das heurísticas de melhoria. ovas abordagens devem ser implementadas para tentar obter soluções melhores. Podemos observar, também na tabela 1, que o limitante inferior obtido pela relaxação linear do modelo matemático é muito pobre. Considerando a mesma configuração das instâncias do grupo G1, geramos o grupo G2 com a mesma quantidade de instâncias e tempos de setup dependentes da seqüência. Os resultados obtidos para este grupo foram comparados com as soluções obtidas pelo CPLEX 7.5. Os resultados são apresentados na tabela 2. Para este grupo, o CPLEX 7.5 e a heurística determinaram soluções ótimas e soluções factíveis em 85% das instâncias geradas. Tabela 2. Resultados médios para o grupo G2 com o tempo de setup dependente da seqüência. T H e u U _ h e u C _ C p le x G a p O _ H e u R e l_ c p le x 2 2 1,2 3 0,7 8 1, % 0, ,6 7 0,8 0 2, % 0, ,1 4 0,7 7 1, % 0, ,2 1 0,8 1 2, % 0,3 4 [2019]

8 a tabela 2 observamos mais uma vez que a heurística obtém soluções com gaps médioaltos. Mais uma vez isso mostra a necessidade de implementar outros procedimentos de melhoria. Cabe ressaltar que as instâncias são mais apertadas o que pode ter prejudicado o procedimento heurístico. a tabela 3 apresentamos os resultados para as instâncias do grupo G3. Comparamos os resultados considerando a solução do problema relaxado por programação linear e observamos que os limitantes são ruins. Para este grupo, geramos 60 instâncias, sendo que o CPLEX obteve soluções para 51 instâncias enquanto que a heurística obteve para 53. Também observamos que para T=5, =15, a heurística obteve soluções melhores do que o CPLEX 7.5. Os gaps ainda estão muito grandes, o que mostra a necessidade de melhoramento da abordagem proposta, porém são promissores. Tabela 3. Resultados médios para o grupo G3 com o tempo de setup dependente da seqüência. T H e u U _ h e u C _ C p l e x G a p O _ H e u R e l _ c p l e x , 2 7 0, 9 0 7, % 0, , 7 9 0, , % 0, , 9 1 0, , % 0, , 4 2 0, , % 0, , 2 4 0, , % 0, , 6 5 0, , % 0, , 1 7 0, , % 0, , 9 4 0, , % 0, , 7 8 1, , % 0, , 6 9 0, , % 0, , 6 6 0, , % 0, Conclusões e Perspectivas Futuras este trabalho propomos uma abordagem heurística para o problema de dimensionamento e sequenciamento de lotes proposto por Gupta e Magnusson (2005) e Almada- Lobo et al. (2007). O procedimento heurístico consiste em duas etapas: obtenção de solução inicial e melhorias. O procedimento proposto foi testado considerando tempo de preparação fixo e dependente da seqüência de produção. Os resultados obtidos com o tempo de preparação fixo foram comparados com os obtidos por Gupta e Magnusson (2005) e mostraram-se promissores. Os resultados com os tempos de preparação dependentes da seqüência foram comparados com os obtidos pelo CPLEX 7.5 e também mostraram-se promissores, apesar de um gap médio ainda elevado. Para o melhoramento da heurística propomos uma alteração no procedimento de obtenção da solução inicial, considerando, no lugar de um contador para períodos de produção, um intervalo de produção, que pode ser deslocado na tentativa de diminuir os tempos das preparações. Com esta alteração, esperamos obter um número maior de soluções factíveis. Para melhorar a qualidade das soluções propomos implementar uma heurística do tipo caixeiro viajante para reordenar a seqüência de produção. Além disso, podemos considerar outras estratégias no procedimento de diminuição de estoque. Concluímos, portanto, que a abordagem proposta é competitiva o que incentiva a busca de alternativas de melhoria dos procedimentos e o estudo de sua aplicação a outros problemas de dimensionamento e sequenciamento de lotes. Agradecimentos Agradecemos a FAPESP pelo apoio financeiro para o desenvolvimento deste trabalho. Referências Almada-Lobo, B., Klabjan, D., Carravilha, M. A., Oliveira, J. F (2007). Single Machine Multi-product capacitated lotsizing whit sequence-dependent setups. International Journal of Production Research (to appear). Almada-Lobo, B., Oliveira, J. F., Carravilla, M. A., (2006), A note on the capacitated lotsizing and scheduling problem with sequence-dependent setup costs e setup times, Computers & Operations Research (disponível online). [2020]

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