Otimização Linear Aplicada a Problemas de Planejamento de Produção

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1 Otimização Linear Aplicada a Problemas de Planejamento de Produção Rafaela Schuindt Santos¹, Daniela Renata Cantane² ¹Escola Estadual Luiz Campacci Laranjal Paulista SP - Brasil ²Universidade Estadual Júlio de Mesquita Filho (UNESP) Instituto de Biociências Departamento de Bioestatística - Botucatu SP Brasil Resumo. O estudo de problemas de otimização linear é de fundamental importância nas mais diversas áreas, tais como biológicas, agrárias, médicas, finanças, produções industriais, etc. Este trabalho consiste em apresentar um modelo matemático do problema de planejamento de produção de uma indústria com o objetivo de encontrar a melhor solução. A resolução do modelo foi obtida por meio do software Excel com auxilio da ferramenta Solver. Abstract. The linear optimization problems study is of fundamental importance in several areas, such as biological, agricultural, medical, finance, industrial production, etc. This work is to present a mathematical model of an industry production planning problem in order to find the best solution. The resolution of the model was obtained using Excel software with the help of the Solver tool. 1. Introdução Os modelos de otimização linear têm sido amplamente utilizados na prática. Muitas situações práticas podem ser representadas por modelos desse tipo; também é comum encontrarmos esses modelos representando subproblemas de casos mais complexos. Embora tais modelos já tivessem sido propostos há mais tempo, o ano de 1947 foi um marco na área da otimização, quando o método simplex foi publicado, seguindo-se intensas pesquisas de novos métodos e implementações eficientes e aplicações de diversas áreas, tais como agricultura, planejamento da produção industrial, logística, telecomunicações, finanças e muitas outras Cantane (2009). Outro marco importante em otimização linear ocorreu em 1984, com a publicação de um método de pontos interiores, ao qual também se seguiram intensas pesquisas. Os métodos do tipo simplex e do tipo pontos interiores são, atualmente, as principais ferramentas computacionais para a resolução de problemas de otimização linear Arenales et al. (2007). Geralmente, para formular um modelo matemático, simplificações razoáveis do sistema ou problema real precisam ser consideradas e a validação do modelo depende da solução do modelo matemático ser coerente com o contexto original. Assim, o modelo matemático é uma representação simplificada do problema real, que deve ser suficientemente detalhado para captar os elementos essenciais do problema, mas suficientemente tratável por métodos de resolução. Dado um sistema ou problema real, a modelagem é realizada por sistemas de equações lineares tendo as variáveis e as relações matemáticas para descrever seu comportamento. Todos os sistemas possuem uma representação matricial. Dessa forma, o estudo das matrizes e sistemas lineares e de fundamental importância para resolução de 118

2 problemas matemáticos. Exemplos de modelos matemáticos são os modelos de otimização matemática, como otimização linear. Como auxílio para a resolução desses problemas matemáticos, utilizaremos a ferramenta Solver do Microsoft Excel que através da elaboração de tabelas com variáveis de decisão, função objetivo e restrições somos capazes de encontrarmos uma solução. 2. O Problema de Programação Linear A seguinte forma do problema de otimização linear é chamada de forma padrão Santos(2010): Minimizar: (1.1)... (1.2) (1.3) A função linear em (1.1), a ser minimizada, é chamada função objetivo, o sistema de equações lineares em (1.2) define as restrições do problema, juntamente com as condições de não negatividade das variáveis em (1.3). O problema pode ser escrito equivalentemente em notação matricial como: Em que É uma matriz, chamada matriz dos coeficientes; é o vetor de custos, é o vetor das variáveis ou incógnitas, é o vetor dos termos independentes ou de recursos, é o vetor cujos elementos são todos iguais a 0. Observações: Denotamos por o transposto do vetor. Em geral, supomos que um vetor é do tipo coluna, isto é, um vetor de coordenadas é uma matriz. Por comodidade, utilizamos também a notação para o vetor. Na forma padrão, o problema de otimização linear tem as seguintes lineares; 119

3 A função objetivo deve ser minimizada; As restrições do problema são definidas por um sistema de equações lineares; As condições de não negatividade de todas as variáveis de decisão complementam as restrições do problema. Qualquer problema de otimização linear pode ser escrito na forma padrão. Com isso, sem perda de generalidade, desenvolvimentos teóricos, métodos e propriedades de problemas de otimização linear podem ser apresentados considerando o problema nessa forma Solução Factível e Região Factível Uma solução é dita factível se satisfaz todas as restrições e as condições de não negatividade. O conjunto de todas as soluções factíveis é chamada região factível Solução Ótima Uma solução factível que fornece o menor valor à função objetivo é chamada solução ótima, denotada por Uma solução factível é ótima se:, para qualquer solução factível. 3. O Problema de Planejamento da Produção A classe de problemas de planejamento e programação da produção é bastante amplo, e vários desses problemas podem ser modelados por meio de otimização linear. Problemas de fabricações de diversos produtos aparecem em diversas situações reais e envolvem decidir quais produtos quanto fabricar de cada produto em que período. Tendo em vista a capacidade limitada de produção (máquinas, recursos humanos, capital, armazenagem etc) e os diversos produtos que a empresa pode fabricar e vender, deseja-se determinar quais fabricar e quanto fabricar de cada produto, de modo a maximizar a margem de contribuição ao lucro da empresa. Arenales et al. (2007) 3.1. Formulação Matemática do Problema de Produção Seja a quantidade do produto j, j=1,2,..., n, a ser produzida em um período do planejamento (por exemplo, um mês). Seja a capacidade do recurso i, i=1,2,...,m, disponível no período. Considere que, para produção de uma unidade do produto j, são consumidos unidades do recurso i. Uma produção mínima do produto j, digamos, precisa ser realizada no período, devido aos pedidos em carteira e a uma política de estoque mínimo para preservação do produto no mercado. O departamento de vendas da empresa acredita que as vendas desse produto não excedam unidades no período em estudo. Cada unidade do produto j resulta em uma contribuição ao lucro de empresa. O problema de produção pode ser formulado como: Maximizar (2.1) (2.2) para a 120

4 (2.3) A função em (2.1) representa a contribuição ao lucro da empresa, a ser maximizada. As restrições (2.2) limitam a fabricação dos produtos devido à disponibilidade dos diversos recursos e as restrições (2.3) impõem que a quantidade fabricada de cada produto não pode ser inferior à mínimo preestabelecida, nem exceder o que o mercado pode absorver Seleção de processos (planejamento estático) Uma empresa fabrica vários produtos em um período e, para isso, dispõe de processos alternativos. Esses processos podem representar tecnologias diferentes, opções de hora extra, turno adicional, subcontratação etc. O problema consiste em determinar quanto produzir de cada produto em cada processo no período, com o objetivo de minimizar os custos de produção, sujeito a limitações de recursos e requisitos de demanda. Considere os seguintes dados: Custo de fabricar uma unidade do produto no processo Demanda do produto no período, Quantidade disponível do recurso no período, Quantidade do recurso k necessária para fabricar uma unidade do produto i no processo j, Conjunto de processos alternativos que fabricam o produto i. Definimos as variáveis de decisão por: Número de produtos do tipo i fabricados no processo j. O modelo completo desse problema é dado por: 4. Otimização Linear aplicada ao planejamento de produção Como precaução para o inverno, uma empresa de confecção está fabricando jaquetas, casacos com enchimento de penas de ganso, calças com isolamento térmico e luvas. Todos os produtos são fabricados em quatro departamentos diferentes: corte, isolamento térmico, costura e embalagem. A empresa recebeu pedidos fechados para seus produtos. O contrato estimula uma multa para itens não entregues. Segue a tabela com os dados pertinentes à situação. Taha (2008). Tabela 1. Dados para a produção da confecção Departamento Jaquetas Casacos Calças Luvas Capacidade(hr)

5 Sejam: Corte 0,3 0,3 0,25 0, Isolamento 0,25 0,35 0,3 0, Costura 0,45 0,5 0,4 0, Embalagem 0,15 0,15 0,1 0, Demanda Lucro por unidade Multa por unidade = número de jaquetas = números de casacos com enchimento de penas de ganso = número de calças = números de pares de luvas Lucro atingido. A empresa é multada se não atender à demanda, o que significa que o objetivo do problema é maximizaras receitas líquidas, definidas como: O lucro total é expresso como. A multa total é uma função das quantidades não fornecidas Essas quantidades podem ser determinadas pelos seguintes limites de demanda: Uma demanda não é atendida se sua restrição for satisfeita como uma desigualdade. Por exemplo, se forem produzidas 650 jaquetas, então, o que resulta em jaquetas a menos. Podemos expressar a falta de qualquer produto algebricamente com a definição de uma nova variável não negativa, ou seja, Número de unidades faltantes do produto Nesse caso, as restrições da demanda podem ser expressas como: Agora podemos calcular a multa por produto não entregue como Assim, a função objetivo pode ser escrita como: Para completar o modelo, as restrições restantes tratam das capacidades de produção, ou seja: (Corte) 122

6 (Isolamento) (Costura) (Embalagem) Portanto, o modelo completo se torna: Sujeito a 5. A Ferramenta "Solver" do Excel para Resolução de Problemas de Otimização Linear O Solver faz parte de um conjunto de programas que geralmente são chamados de ferramentas de análise hipotética, ou seja, uma ferramenta que possibilita encontrar um valor ideal (otimizado) para uma determinada equação. Para resolver problemas lineares e de números inteiros, o Solver utiliza o algoritmo Simplex com limites sobre as variáveis e o método de desvio e limite. A elaboração do modelo para resolução de problemas lineares segue com variáveis de decisão, as quais consistem em explicar as decisões que deverão ser tomadas; função objetivo, onde deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, é a otimização (maximizar ou minimizar algo) desejado; e as restrições do problema. Normalmente as variáveis de decisão podem assumir apenas valores positivos, sendo assim faz-se necessário também expressar as restrições de não negatividade. A elaboração de um modelo é um passo muito importante para que se possa posteriormente chegar a uma resolução. A montagem de um modelo de otimização linear consiste em apresentar três partes fundamentais: Célula de destino (fórmula da função objetivo), Células variáveis e as Restrições. 6. Resultados e Conclusões Para resolvermos o problema de otimização linear apresentado na seção anterior, utilizaremos o software Excel com auxilio da ferramenta Solver. Para o problema de planejamento de produção descrito na Seção 3 foram estudados alguns casos como descritos a seguir. As tabelas de 2 a 4 estão no formato da ferramenta Solver. Caso 1: Nesta primeira resolução não levaremos em conta a demanda exigida e a multa por unidade não produzida. Levando em consideração as restrições de fábrica, a capacidade horária e o lucro obtido por unidade, visando o lucro máximo da empresa encontramos a solução descrita na Tabela 2 e gráfica na Figura

7 Tabela 2. Solução do problema de planejamento de produção utilizando o Caso 1. Departamento Jaquetas Casacos Calças Luvas Total Sinal Capacidade(hr) Corte 0,3 0,3 0,25 0, <= 1000 Isolamento 0,25 0,35 0,3 0,1 700 <= 1000 Costura 0,45 0,5 0,4 0, <= 1000 Embalagem 0,15 0,15 0,1 0, <= 1000 Lucro Solução Figura 1: Solução do problema de planejamento de solução para o Caso 1. Neste caso, o planejamento indica somente a produção de casacos com lucro de $40 por unidade faria a empresa atingir o lucro máximo de $80000 (desconsiderando a demanda exigida e a multa). Caso 2: Nesta segunda resolução levaremos em consideração a demanda exigida, porém ainda desconsiderando a multa por unidade não produzida. O resultado obtido encontra-se na Tabela 3 e solução gráfica na Figura 2. Tabela 3. Solução do problema de planejamento de produção utilizando o Caso 2. Departamento Jaquetas Casacos Calças Luvas Total Sinal Capacidade(hr) Corte 0,3 0,3 0,25 0,15 632,0455 <= 1000 Isolamento 0,25 0,35 0,3 0,1 653,8636 <= 1000 Costura 0,45 0,5 0,4 0, <= 1000 Embalagem 0,15 0,15 0,1 0,05 298,1818 <= 1000 Demanda de <= 800 Demanda de <= 750 Demanda de <=

8 Demanda de ,6364 <= 500 Lucro ,36 Solução ,6364 Figura 2: Solução do problema de planejamento de solução para o Caso 2. Desprezando a multa por unidade, a empresa atingiria seu lucro máximo de $67136,36 produzindo (jaquetas) com lucro de $30 cada unidade; com lucro de $40 cada; com lucro de $20 e (arredondado de 113,6364) com lucro de $10, a qual a demanda não foi atingida. Caso 3. Desta vez levamos em consideração a multa por unidade não produzida. A resolução final do exercício encontra-se na Tabela 4 e na demonstração gráfica da Figura 3. Tabela 4. Solução do problema de planejamento de produção utilizando o Caso 3. Departamento Total Sinal Capacidade Corte 0,3 0,3 0,25 0, ,875 <= 1000 Isolamento 0,25 0,35 0,3 0, ,75 <= 1000 Costura 0,45 0,5 0,4 0, <= 1000 Embalagem 0,15 0,15 0,1 0, ,25 <= 1000 Demanda de = 800 Demanda de = 750 Demanda de = 600 Demanda de = 500 Lucro multa Solução , ,

9 Figura 3: Solução do problema de planejamento de solução para o Caso 3. A solução ótima é A solução satisfaz toda a demanda de jaquetas, casacos e luvas. A ausência de 213 (arredondado de 212,5) calças resultará em um custo de multa de. Podemos verificar que para cada situação, ou seja, para cada um dos três casos, obtemos uma solução distinta, visando sempre o lucro máximo. No Caso 1, ao desconsiderarmos a demanda exigida e a multa, a resolução aparece somente com jaquetas, visando a melhor solução para o lucro máximo da empresa. No Caso 2, ao considerarmos a demanda exigida, nota-se que a empresa deixou de fabricar certa quantidade de luvas, mesmo não cumprindo a demanda, para poder atingir o lucro máximo. No Caso 3, ao levarmos em consideração tanto a demanda exigida quanto a multa por unidade não produzida, chegamos a conclusão que para a melhor solução seria necessário não cumprir uma demanda, no caso a de calças, a qual deveria interferir menos no lucro máximo da empresa. Agradecimentos Agradecemos ao CNPq pela bolsa PIBIC-Jr. Referências Arenales, M.; Armentano V.; Morabito, R.; Yanasse, H. (2007) "Pesquisa Operacional", 6 Ed. Elsevier, RJ. Cantane, D.R.. (2009) Contribuição da Atualização da Decomposição LU no Método Simplex, Tese de Doutorado, FEEC/UNICAMP, Campinas. Santos. R.J. (2010) Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, Imprensa Universitária da UFMG. Taha,Udamdy A. (2008) Pesquisa Operacional: uma visão geral, 8 Ed. Pearson Prentice Hall, SP. 126

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