Aplicação da Programação Linear em uma Indústria Moveleira: Corte de Estoque e Dimensionamento de Lotes *

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1 Aplicação da Programação Linear em uma Indústria Moveleira: Corte de Estoque e Dimensionamento de Lotes * Glaucia Maria Bressan; Giovanna Peral Salvadeo 27 de novembro de 2015 Resumo Com a intensificação da tecnologia no século XXI no cenário mundial, bem como os avanços computacionais e o crescimento do parque industrial brasileiro, as indústrias têm sido estimuladas a tornar seus processos produtivos mais eficientes e competitivos. Com isso, o estudo de modelos de otimização para o controle e planejamento da produção se torna uma ferramenta fundamental para o avanço industrial. Este trabalho aborda métodos de Programação Linear com o objetivo de resolver problemas de tomadas de decisões para a programação da produção de uma indústria moveleira de pequeno porte. O problema é modelado por meio do Problema Combinado, o qual acopla dois problemas de otimização linear: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. A partir do Método Simplex é possível obter a solução do Problema de Programação Linear proposto, auxiliando na tomada de decisão referente à minimização de custos, dimensionamento de lotes e corte de estoque. Palavras Chave: Programação Linear, Método Simplex, Problema Combinado Introdução Devido aos avanços tecnológicos e industriais do século XXI, as indústrias de manufatura têm sido estimuladas a tornar seus processos mais eficientes e competitivos, minimizando os custos globais de produção. Isto incentiva o estudo de * Trabalho realizado com apoio financeiro do CNPq. glauciabressan@utfpr.edu.br; giovannaperal@hotmail.com. Departamento de Matemática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná câmpus Cornélio Procópio. 1

2 modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos, motivando pesquisas acadêmicas. O gerenciamento da produção dentro de uma indústria é responsável pelo planejamento e controle da transformação de matérias-primas em produtos finais. O sistema responsável por este gerenciamento denomina-se Planejamento e Controle da Produção (RUSSOMANO, 2000; TUBINO, 2007), que coordena as atividades, desde a aquisição de matérias-primas até a entrega dos produtos finais. Desta forma, a Pesquisa Operacional e seus métodos de otimização possuem grande utilidade na solução de problemas, em especial os que envolvem processos produtivos, na tomada de decisões e no gerenciamento de sistemas, selecionando as melhores decisões, dentre todas as possíveis (GOLDBARG & LUNA,2005). Várias indústrias que produzem peças de tamanhos e materiais variados possuem problemas com o desperdício de matéria-prima, o que implica em uma redução de lucro, além de aumentar a produção de resíduos. Surge então a necessidade de se resolver um problema de otimização, que consiste em cortar os objetos, respeitando-se estas questões. Desta forma, o objetivo deste trabalho é aplicar o Método Simplex para resolução de problemas reais de tomadas de decisões modelados com o Problema Combinado (GRAMANI, 2001), que, por sua vez, acopla dois problemas de otimização linear: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema de dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser produzida em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo a atender a demanda e minimizar os custos de produção e de estocagem (ARENALES et al, 2007). O Problema de Corte de Estoque bidimensional consiste na otimização do processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e dimensões demandadas (ARENALES et al, 2007). Por sua vez, o Problema Combinado consiste em decidir a quantidade de produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de planejamento tal que minimize os custos da produção, preparação e estocagem e a quantidade de placas a serem cortadas para compor produtos finais. A partir do Método Simplex, é possível solucionar tal Problema de Programação Linear, obtendo uma solução ótima que auxilie na tomada de decisão. O Método Simplex é um algoritmo desenvolvido por George Dantzig em 1947 para resolver problemas numéricos de Programação Linear. O método parte de uma 2

3 solução básica viável, pertencente a um vértice, do sistema de equações que constituem as restrições do problema. A partir dessa solução inicial, o algoritmo identifica novas soluções viáveis de valor igual ou melhor que a corrente. Assim, o processo encontra novos vértices da envoltória convexa do problema e determina se este vértice é ótimo ou não, ou seja, se a troca de variáveis na base pode ainda melhorar a função objetivo. Mais detalhes são encontrados em Lachtermacher (2002), Maculan e Pereira (1980), Moreira (2007), Lins e Calôba (2006). Este trabalho está organizado como segue. A Seção 1, seguinte a esta introdução, descreve o Problema Combinado, bem como suas definições e considerações, e traz a formulação geral deste como um Problema de Programação Linear. Na Seção 2 são descritos dois cenários de programação da produção com dados provenientes de uma indústria moveleira de pequeno porte. Os resultados numéricos e as soluções destes estudos de caso são exibidos na Seção 3. Por fim, a Seção 4 comenta as conclusões e as considerações finais deste trabalho. 1 O Problema Combinado No processo de corte de uma placa em peças menores, para a produção de itens, a perda de material tende a ser cada vez menor se os cortes das peças forem rearranjados de uma forma conveniente na placa. Devido a este fato, há uma pressão econômica para fabricar alguns produtos antecipadamente com o objetivo de minimizar as perdas. Porém, esse estoque pode gerar custos que podem retardar a produção (BRESSAN, 2003). Diante desse problema de decisão de antecipação ou não na produção de certos produtos finais, surge o Problema Combinado, o qual acopla dois problemas de otimização: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema de dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser produzida em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo a atender a demanda e otimizar uma função objetivo, como minimizar os custos de produção e de estocagem. Pode ser classificado como monoestágio, onde os itens são produzidos independentemente, e multiestágio, em que as produções dos itens são dependentes. O problema de corte de estoque bidimensional consiste na 3

4 otimização do processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e dimensões demandadas. Define-se padrão de corte como o arranjo das peças dentro de cada placa, isto é, a forma como um objeto (peça) é cortado para a produção de itens demandados. Algumas regras são necessárias para defini-lo, como cortes do tipo guilhotinado (onde cada corte feito sobre uma placa retangular produz dois novos retângulos), limitação de peças (cortes restritos ou irrestritos), número de estágios (é dito ser 2-estágios quando apenas uma mudança no sentido dos cortes guilhotinados é permitida: horizontal/vertical ou vertical/horizontal). Além disso, o problema será bidimensional quando duas dimensões são relevantes para cortagem. Desta forma, o problema combinado consiste em decidir a quantidade de produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de planejamento tal que minimize os custos da produção, preparação e estocagem (dimensionamento de lotes) e a quantidade de placas a serem cortadas, bem como os padrões de corte, para compor produtos finais (corte de estoque). Em situações reais, a maioria das indústrias aborda esses dois problemas de forma separada. Inicialmente, são determinadas para cada período do horizonte de planejamento, as quantidades de cada produto final (tamanho do lote) a serem produzidas. A partir desta informação, determina-se, para cada período, a quantidade de peças de cada tipo a serem cortadas e os melhores padrões de corte são gerados. Entretanto, tratá-los de forma separada pode elevar os custos globais, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é formada pelo material a ser cortado (BRESSAN&OLIVEIRA, 2004). Uma abordagem para o problema combinado desconsidera a ocorrência de custos de preparação e relaxa a integralidade das variáveis que representam a quantidade de placas cortadas num certo padrão, o que pressupõe grandes quantidades de demanda. Esta abordagem pode ser aplicada na indústria de móveis, onde placas de madeira devem ser cortadas na produção de itens. Por simplicidade, consideramos que haja apenas um tipo de placa em estoque, suficiente para atender a demanda. O Problema Combinado é formulado, então, considerando-se (BRESSAN, 2003): Índices: t = 1,..., T número de períodos. p = 1,..., P número de diferentes tipos de peças a serem cortadas. 4

5 j = 1,..., N número de diferentes padrões de corte. i = 1,...,M número de diferentes produtos finais demandados. Parâmetros: c it ; custo de produção do produto final i no período t. hp pt : custo de estocagem da peça tipo p no período t. h it : custo de estocagem do produto final i no período t. d it : demanda do produto final i no período t. r pi : número de peças tipo p necessárias para formar um produto i. v j : tempo gasto para cortar uma placa no padrão de corte j. a pj : número de peças tipo p no padrão j. u t : tempo máximo de operação da serra. cp: custo da placa a ser cortada. Variáveis de decisão: x it : quantidade do produto final i produzido no período t. ep pt : quantidade da peça tipo p em estoque no fim do período t. e it : quantidade do produto final i em estoque no fim do período t. y jt : quantidade de placas cortadas usando o padrão j no período t. M min i 1 T t 1 (c it.x it + h it. e it ) + N j 1 T t 1 P cp.y jt + p 1 T t 1 hp pt.ep pt (1) s.a: x it + e i,t-1 e it = d it t = 1,,T, i = 1,,M (2) N j 1 a pj.y jt + ep p,t-1 ep pt = M i 1 r pi.x it t = 1 T (3) N j 1 v j.y jt u t t = 1,,T, j = 1,..., N (4) x it, f it, y jt, e pt 0 t = 1,,T (5) 5

6 As restrições (2) se referem às equações de balanço de estoque com relação aos produtos finais, o que garante que a demanda de itens de cada período será atendida. As restrições (3) se referem às equações de balanço de estoque com relação às peças, o que asseguram que a demanda de peças será satisfeita. Estas restrições são as que acoplam os problemas de dimensionamento de lotes e de corte de estoque, pois ambas incluem as variáveis x it, que definem o tamanho dos lotes e y jt, que definem a quantidade de placas cortadas num certo padrão de corte. As restrições (4) se referem à capacidade da serra, o que garante que o tempo gasto no processo de corte das placas nos diversos padrões de corte não ultrapassa a capacidade disponível da serra, ou seja, seu tempo máximo de operação e, por fim, (5) representa as condições de não negatividade. 2 Estudos de caso A fim de executar o Problema Combinado, foram atribuídos valores aos seus parâmetros provenientes de dados fornecidos por uma indústria moveleira de pequeno porte do município de Cornélio Procópio, para que fosse possível a decisão de dois programas de produção, descritos a seguir. Ambos consideram a produção de dois tipos de produtos finais: mesas e cadeiras. Além disso, em ambos os casos, considera-se que não há estoque no período anterior t-1. Desta forma seria possível uma comparação das soluções ótimas obtidas em cada caso Primeiro Programa de Planejamento da Produção No primeiro problema de planejamento da produção, inicialmente, são considerados os seguintes dados: t = 5 períodos de tempo p = 3 tipos de peça j = 5 tipos de padrões de corte da placa i = 2 produtos finais (mesa e cadeira) 6

7 Os tipos de peça para composição dos produtos finais são: Peça do tipo 1: tampo da mesa Peça do tipo 2: pés da mesa/cadeira Peça do tipo 3: assento/encosto da cadeira A variável x 1t representa o produto mesa, cujo custo de produção fornecido é c 1t = R$255 e a demanda é d 1t =2 para t=1,2. A variável x 2t representa cadeira, cujo custo de produção é c 2t = R$80 e a demanda é d 2t = 3 para t=1,2. Os demais parâmetros fornecidos pela fábrica são: cp = R$120, u t = 300 horas por período, a pj pode ser visto na Tabela 1, r 11 =1, r 21 =5, r 32 =2, r 22 =6, h 1t =3, h 2t =1, hp 1t =0,2, hp 2t =0,3, hp 3t =0,5. As peças a serem cortadas são tampo (p =1), pés (p =2), assento/encosto (p =3). Os padrões de corte exibidos na Tabela 1 são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo com a capacidade dos equipamentos e a mão-de-obra disponíveis. Tabela 1: Padrões de Corte Padrão de Corte Peça tipo 1 (p=1) Peça tipo 2 (p=2) Peça tipo 3 (p=3) Tempo de corte j= v 1 = 1 j= v 2 =1,2 j= v 3 =1,5 j= v 4 =1,4 j= v 5 =1,5 Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o seguinte modelo é obtido. A função objetivo (1) se torna Min 255x 11 +3e x 21 +1e y y y y y ep ep ep x 12 +3e x 22 +e y y y y y ep ep ep x 13 +3e x 23 +1e y y y y y ep ep ep x 14 +3e x 24 +1e y y y

8 +120y y ep ep ep x 15 +3e x 25 +1e y y y y y ep ep ep 35 Conjunto de restrições referente à equação (2): 1x 11-1e 11 +1x 12-1e 12 +1x 13-1e 13 +1x 14-1e 14 +1x 15-1e 15 =10 1x 21-1e 21 +1x 22-1e 22 +1x 23-1e 23 +1x 24-1e 24 +1x 25-1e 25 =15 Conjunto de restrições referente à equação (3): 2y y y y y 51-1ep 11-1ep 21-1ep 31 +2y y y y y 52+ -ep12-ep 22-1ep 32 +2y y y y y 53 -ep 13 -ep 23 -ep 33 +2y y y y y 54-1ep 14 -ep 24 -ep 34 +2y y y y y 55 -ep 15 - ep 25 - ep 35 = =6x 11 +8x 21 +6x 12 +8x 22 +6x 13 +8x 23 +6x 14 +8x24+6x 15 +8x 25 Conjunto de restrições referente à equação (4): y 11 +1,2y 21 +1,5y 31 +1,4y 41 +1,5y 51 +y 12 +1,2y 22 +1,5y 32 +1,4y 42 +1,5y 52 +y 13 +1,2y 23 +1,5y 33 +1,4y 43 +1,5y 53 +y 14 +1,2y 24 +1,5y 34 +1,4y 44 +1,5y 54 +y 15 +1,2y 25 +1,5y 35 +1,4y 45 +1,5y 55 <= 1500 A solução ótima deste problema, após a aplicação do Método Simplex, deve indicar em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os produtos finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo de corte e de estoque, respeitando-se as restrições de balanço de estoque com relação aos produtos finais e às peças, a restrição de capacidade da serra e as condições de não negatividade. 2.2.Segundo Programa de Planejamento da Produção No segundo problema de planejamento da produção, é considerado um número maior de diferentes tipos de peças para confecção dos produtos finais. Os seguintes dados são fornecidos pela indústria: t = 5 períodos de tempo p = 7 tipos de peça j = 6 tipos de padrões de corte da placa i = 2 produtos finais (mesa e cadeira) Os tipos de peça para composição dos produtos finais são: 8

9 Peça do tipo 1: tampo da mesa Peça do tipo 2: encosto da cadeira Peça do tipo 3: assento da cadeira Peça do tipo 4: apoio da cadeira Peça do tipo 5: pé da cadeira Peça do tipo 6: apoio da mesa Peça do tipo 7: pé da mesa Neste caso, os novos padrões de corte para a produção de peças são descritos na Tabela 2. Estes, são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo com a capacidade dos equipamentos e a mão-de-obra disponíveis. Tabela 2: Padrões de Corte Padrão Peça tipo 1 Peça tipo 2 Peça tipo 3 Peça tipo 4 Peça tipo5 Peça tipo 6 Peça tipo 7 Tempo de Corte (p=1) (p=2) (p=3) (p=4) (p=5) (p=6) (p=7) de corte j= v 1 = 3 j= v 2 =2 j= v 3 =4 j= v 4 =4 j= v 5 =3 j= v 6 =2 Substituindo-se os valores dos parâmetros fornecidos pela fábrica, obtemos o Problema Combinado a seguir. A variável x 11 representa o produto mesa, cujo custo de produção fornecido é R$60 reais e a demanda é 10, e a variável x 21 representa cadeira, cujo custo de produção é R$40 reais e a demanda é 20. Os parâmetros (custo de produção, estoque e tempo de corte) foram alterados, já que foram utilizados dados de outros tipos de madeira e outros padrões de corte. Considera-se também que não há estoque no período anterior t 1. Portanto, o PPL para o segundo caso é descrito a seguir. Parâmetros fornecidos pela fábrica: cp = R$135,07, u t = 240 horas por período, a pj pode ser visto na Tabela 2, r 11 =1, r 21 =0, r 31 =0, r 41 =0, r 51 =0, r 61 =2, r 71 =4, r 12 =0, r 32 =1, r 22 =1, r 42 =2, r 52 =4, r 62 =0, r 72 =0, h 11 =4, h 21 =2, hp 11 =0,4, 9

10 hp 21 =0,35, hp 31 =0,25, hp 41 =0,13, hp 51 =0,15, hp 61 =0,18, hp 71 =0,23. Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o seguinte modelo de programação linear é obtido. A função objetivo referente à equação (1) se torna: min 60x 11 +4e x 21 +2e ,07y 11 +5,77y ,89y ,07y ,07y 51 +0,4ep 11 +0,35ep 21 +0,25ep 31 +0,13ep 41 +0,15ep 51 +0,18ep ,23ep x 12 +4e x 22 +2e ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y 62 +0,4ep 12 +0,35ep 22 +0,25ep 32 +0,13ep ep 52 +0,18ep ,23ep x 13 +4e x 23 +2e ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y 63 +0,4ep 13 +0,35ep 23 +0,25ep 33 +0,13ep ep 53 +0,18ep ,23ep x 14 +4e x 24 +2e ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y 64 +0,4ep 14 +0,35ep 24 +0,25ep 34 +0,13ep ep 54 +0,18ep ,23ep x 15 +4e x 25 +2e ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y ,07y 65 +0,4ep 15 +0,35ep 25 +0,25ep 35 +0,13ep ep 55 +0,18ep ,23ep 75 Conjunto de restrições referente à equação (2): x 11 -e 11 +x 12 -e 12 +x 13 -e 13 +x 14 -e 14 +x 15 -e 15 =50 x 21 -e 21 +x 22 -e 22 +x 23 -e 23 +x 24 -e 24 +x 25 -e 25 =100 Conjunto de restrições referente à equação (3): 68y y y y 41 +9y 51 +4y 61 -ep 11 -ep 21 -ep 31 -ep 41 -ep 51 -ep 61 -ep 71-7x 11-8x y y y y 42 +9y 52 +4y 62 -ep 12 -ep 22 -ep 32 -ep 42 -ep 52 -ep 62 -ep 72-7x 12-8x y y y y 43 +9y 53 +4y 63 -ep 13 -ep 23 -ep 33 -ep 43 -ep 53 -ep 63 -ep 73-7x 13-8x y y y y 44 +9y 54 +4y 64 -ep 14 -ep 24 -ep 34 -ep 44 -ep 54 -ep 64 -ep 74-7x 14-8x y y y y 45 +9y 55 +4y 65 -ep 15 -ep 25 -ep 35 -ep 45 -ep 55 -ep 65 -ep 75-7x 15-8x 25 =0 10

11 Conjunto de restrições referente à equação (4): 3y 11 +2y 21 +4y 31 +4y 41 +3y 51 +2y 61 +3y 12 +2y 22 +4y 32 +4y 42 +3y 52 +2y 62 +3y 13 +2y 23 +4y y 43 +3y 53 +2y 63 +3y 14 +2y 24 +4y 34 +4y 44 +3y 54 +2y 64 +3y 15 +2y 25 +4y 35 +4y 45 +3y 55 +2y 65 < =1200 Como no problema anterior, após a aplicação do Método Simplex, a solução ótima indicará em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os produtos finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo, respeitando-se as restrições (1) a (5) do Problema Combinado. 3 Resultados Numéricos Soluções ótimas foram obtidas a partir da execução dos modelos descritos anteriormente com apoio computacional do software LINDO ( Linear Interactive and Discrete Optimizer ), a partir da execução do Método Simplex. A configuração utilizada para as execuções dos PPL s se refere a um processador Intel Core I5 de 3.3GHZ, memória de 6GB e 1.333MHz. Para o primeiro programa de produção, a solução ótima obtida para t = 2 períodos de planejamento indica que o custo mínimo de produção para o período é R$1508,09 e as variáveis de decisão obtidas são: x 11 =4, x 21 =6, y 21 =0,067 e as demais são nulas. Com isso, a solução ótima para o problema linear (relaxado) sugere o adiantamento da produção dos produtos finais no primeiro período. Comparando-se a solução ótima com o custo de uma produção que atende a demanda por período produzindo-se 2 mesas e 3 cadeiras por período a solução ótima proporciona uma economia de R$23,51. Na prática, de acordo com Miyazawa (2015), pode ser aplicada uma estratégia para arredondar as variáveis fracionárias para que assumam valores inteiros, de tal maneira a obter uma solução viável. Como o número de placas em uma solução deve ser inteiro, uma solução ótima deve usar pelo menos 1 placa. Assim, se a solução obtida pelo arredondamento não for ótima, usa-se no máximo uma placa a mais que a solução ótima. Ainda, supondo que a demanda e preços de estoque são constantes e t = 5 períodos de planejamento, obteve-se um custo mínimo total de produção de R$ 3758,09, 11

12 o que sugere adiantar a produção de cadeiras, x 21 = 15, gerando estoque, e postergar a produção de mesas, x 14 = 10. Neste caso, comparando-se o custo desta produção com o custo de uma produção que atende a demanda por período, a solução ótima proporciona uma economia de R$70,91 (supondo que a demanda e os preços sejam constantes). Para o segundo programa de planejamento da produção, o custo mínimo para o planejamento de 1 período é de R$1856,85 e as variáveis de decisão obtidas são: x 11 =10, x 21 =20, y 11 =3,3824, atendendo à demanda, Para t = 2 períodos de planejamento, a solução ótima indica que o custo mínimo de produção para o período é R$3713,71,09 e as variáveis de decisão são: x 12 =20, x 22 =40, y 11 =6,77, sugerindo que a produção seja feita no segundo período. Já para t = 5 períodos, a solução ótima indica custo mínimo de R$9284,27 e as variáveis de decisão obtidas são: x 13 =50, x 24 =100, y 12 =16,91. Portanto, a solução ótima sugere o adiantamento da produção de mesas para o terceiro período e de cadeiras para o quarto período, gerando estoque para os períodos seguintes. Conforme descrito no primeiro programa de produção, na prática, pode ser aplicada uma estratégia de arredondamento das variáveis fracionárias para que assumam valores inteiros (MIYAZAWA, 2015). Desta forma, uma solução viável é: y 11 =7 placas a serem cortadas no padrão 1 no período 1 e y 12 =17 placas no padrão 1 no período 2. Uma produção que atende a demanda por período, produzindo-se 10 mesas e 20 cadeiras em cada período, tem custo total de produção de R$1931,21 por período. Supondo demanda e preços constantes, o modelo combinado proporciona economia de R$74,36 por período. Ao considerar t = 5 períodos, a solução ótima então proporciona lucro de R$ 371,80 ao compara-la à uma produção que não considera a antecipação de produtos finais e os custos de estoque. Após a execução dos dois estudos de caso, foi feita a Análise de Sensibilidade dos parâmetros e das constantes dos modelos. Essa análise busca verificar os efeitos causados ao Problema de Programação Linear, devido às possíveis variações dos valores dos coeficientes das variáveis, tanto na função objetivo como nas constantes das restrições. No primeiro estudo de caso, o coeficiente da variável x 21 é 80 (custo de produção do item cadeira no primeiro período). Se tal custo aumentar em 1 unidade, multiplicando-se pela solução ótima, tem-se que a o valor da função objetivo aumentará em R$1215,00., ou seja, a função objetivo final será R$4973,09. No segundo estudo de caso, o valor da função objetivo é R$9284,272; o coeficiente da variável x 13 é 60 e, de 12

13 acordo com a sensibilidade, este valor pode ser aumentar até 77,9 para que as variáveis básicas permaneçam na base. Como o valor ótimo desta variável é 50, logo a função objetivo final será = É importante lembrar que a Análise de sensibilidade é extensiva para qualquer variável de decisão. A partir destes resultados, pode-se concluir que a aplicação do Problema Combinado em conjunto com o Método Simplex no estudo da fábrica de móveis é eficiente, uma vez que fornece o custo mínimo, sugerindo a antecipação da produção de alguns itens, proporcionando economia em relação a uma produção que atende a demanda por período. 4 Considerações Finais Este trabalho apresentou estudos de caso do Problema Combinado, que envolve conjuntamente dois importantes problemas de otimização linear: corte de estoque e dimensionamento de lotes. Tratá-los de forma separada pode elevar os custos globais de produção, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é formada pelo material a ser cortado. Apesar da sua combinação ser ainda pouco explorada na literatura, a constatação de sua relevância em diversas situações o elege como um importante problema a ser pesquisado. Os estudos de caso apresentados, os quais levam em consideração o estudo do Problema Combinado, mostrou-se eficiente, destacando a importância desse tipo de modelo na área de produção. Como perspectivas de continuidade deste trabalho, pretende-se variar a demanda e os preços, para ter perspectivas de estoque, além de fazer comparações com outros estudos de casos reais e suas respectivas análises de sensibilidade; e, ainda, comparar soluções ótimas obtidas a partir de outros tipos de softwares. 13

14 Referências Arenales, M. et al. Pesquisa Operacional: para cursos de engenharia. Elsevier, Rio de Janeiro, Bressan, G.M.; Oliveira, A.R.L. (2004), Reordenamento eficiente das colunas básicas na programação de lotes e cortes. Pesquisa Operacional, 24(2), Bressan, G.M. Solução de Sistemas Lineares Esparsos - Aplicação à Programação de Lotes e Cortes. Dissertação de Mestrado, ICMC USP, Goldbarg, M. C.; Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear. Elsevier, Rio de Janeiro, Gramanni, M.C.M. Otimização do Processo de Cortagem Acoplado ao Planejamento da Produção. Tese de Doutorado, Densis- Unicamp, Lachtermacher, G. Pesquisa Operacional na tomada de decisões. Pearson Prentice Hall, São Paulo, Lins, M. P. E.; Calôba, G. M.Programação Linear: com aplicações em teoria dos jogos e avaliação de desempenho. Interciência, Rio de Janeiro, Miyazawa, F. K. Programação Inteira. Instituto de Computação Universidade Estadual de Campinas, Disponível em < progint.pdf>. Acesso em: 27 nov Maculan Filho, N.; Pereira, M. V. F. Programação Linear. Atlas, São Paulo,1980. Moreira, D. A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. Thomson Learning, São Paulo, Russomano, V. H. Planejamento e Controle da Produção. Pioneira, São Paulo, Tubino, D. F. Planejamento e Controle da Produção: Teoria e Prática. Atlas, São Paulo,